Klasówka poprawkowa, matematyka A, 17 stycznia 2006
Rozwiazania różnych zada´
n maja znaleźć sie na różnych kartkach.
,
,
,
Każda kartka musi być podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pi-
szacego, jego nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadzacej ćwiczenia i nr. grupy ćwiczeniowej.
,
,
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urzadze´
n
,
elektronicznych; jeśli ktoś ma, musza by´
c schowane i wy laczone!
,
,
Nie wolno korzystać z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia należy uzasadniać. Wolno i NALE ŻY powo lywać sie na twierdzenia,
,
które zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ćwiczeniach.
1. Rozwiazać równanie:
,
1 log( x + 11) + log 5 x− 10 = 1 .
2
6
2. Zdefiniować log d c pamietajac o za lożeniach o c i d .
Niech a = log
,
,
1000 2 , b = log10 14 .
Za pomoca a i b wyrazić log
log 3 .
,
10 5 i log10 35 . Wykazać, że log10 2 < 12
19
3. Rozwiazać równanie:
2 log
) = − 1 . Zilustrować rozwiazanie tego równania na
,
4 sin( ϕ − π
4
,
okregu x 2 + y 2 = 1 .
,
4. Podać definicje kosinusa dowolnego kata dodatniego. Rozwiazać nierówność: | cos t| ≥ − 1 .
,
,
,
2
Zilustrować rozwiazanie tej nierówności na okregu x 2 + y 2 = 1 .
,
,
6. Niech a
n
n =
(2 −n)( n+3)
, b
i c
dla n = 1 , 2 , 3 , . . . .
4 n 2 − 11 n+2005
n = (966 n− 1025 n 2)6
n 13 − 3 n+3
n =
0 , 99 + 1 n
Wyjaśnić, czy setny wyraz ciagu ( a
kszy, równy czy mniejszy niż − 1 . A wyraz
,
n) jest wie ,
dwusetny?
Znaleźć granice:
lim an ,
lim bn ,
lim cn .
n→∞
n→∞
n→∞
8. Znaleźć kosinus kata nierozwartego, który tworza p laszczyzny o równaniach y + z = 0 i
,
,
2 x + 2 y + z = 0 . Znaleźć iloczyn wektorowy wektorów ~v = [0 , 1 , 1] i ~
w = [2 , 2 , 1] oraz kat
,
jaki tworzy wektor ~v × ~
w z prosta wspólna obu p laszczyzn. Niech ~u = [1 , − 1 , 1] . Obliczyć
,
,
~u · ( ~v × ~
w) .
inf. Informacje przeróżne (przydatne albo i nie):
√
sin 5 π = 1 ;
sin 5 π = − 2 ;
1 + x ≤ ex dla x ∈ R ; sin x < x < tg x , gdy π > x > 0 .
6
2
4
2
2
27 = 128 , 29 = 1024 , 212 = 4096 , 220 = 1048576 , 34 = 81 , 38 = 6561 , 313 = 1594323 .