I

2

"!

#

$%%&

15:35 — 18:35

Rozwia

zania r´

o˙znych zada´

n maja

znale´

z´

c sie

na r´

o˙znych kartkach.

Ka˙zda kartka musi by´

c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pi-

sza

cego oraz jego nr. indeksu.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

dze´

n

elektronicznych; je´

sli kto´

s ma, musza

by´

c schowane i wy la

czone! Nie dotyczy rozrusz-

nik´

ow serca.

Nie wolno korzysta´

c z ksia

˙zek, tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

na twierdzenia, kt´

ore

zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

'

)(*,+

-

./+

-01

#

32.

45%65-7.89:(;1

=<

1. (a) Wykaza´c, ˙ze szereg

∞

X

n=0

1

2

n

−

1+e

x

jest zbie˙zny dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x .

(b) Niech f (x) =

∞

X

n=0

1

2

n

−

1+e

x

dla x ∈

>

.

(c) Znale´z´c zbi´

or wszystkich punkt´

ow cia

g lo´sci funkcji f .

(d) Znale´z´c zbi´

or wszystkich punkt´

ow r´

o˙zniczkowalno´sci funkcji f .

(e) Obliczy´c f

0

(0) .

2. (a) Znale´z´c promie´

n zbie˙zno´sci R szeregu pote

gowego

∞

X

n=0

(−1)

n

·

x

2n+1

(2n + 1) · 4

n

.

(b) Czy ten szereg jest zbie˙zny dla x = R ?

Czy ten szereg jest zbie˙zny dla x = −R ?

(c) Niech A be

dzie zbiorem wszystkich x ∈

>

, dla kt´

orych rozwa˙zany szereg jest zbie˙zny.

Czy jest on jednostajnie zbie˙zny na zbiorze A ?

(d) Czy jest on niemal jednostajnie zbie˙zny na zbiorze A ?

(e) Znale´z´c sume

badanego szeregu dla dowolnego x ∈ A .

3. Niech f (x) =

1

2+sin x

dla x ∈

>

.

(a) Obliczy´c:

R

π/2

0

f

(x)dx .

(b) Obliczy´c:

R

2π

0

f

(x)dx .

4. (a) Rozwina

´c w szereg Taylora wok´

o l punktu p = 0 funkcje

f

(x) = x

2

ln(4 − x

2

) .

(b) Obliczy´c f

(2008)

(0) .

5. Niech f : [0, ∞) −→

>

be

dzie ograniczona

funkcja

wypuk la

, dwukrotnie r´

o˙zniczkowalna

.

Wykaza´c, ˙ze dla ka˙zdej liczby x ≥ 0 zachodzi nier´

owno´s´c f

0

(x) ≤ 0 .