I

2

!#"$!%'&&(

16:00 — 18:30

Rozwia

)

zania r´

o˙znych zada´

n maja

)

znale´

z´

c sie

)

na r´

o˙znych kartkach.

Ka˙zda kartka musi by´

c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pi-

sza

)

cego, jego nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza

)

cej ´

cwiczenia i nr. grupy ´

cwiczeniowej.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

)

dze´

n

elektronicznych; je´

sli kto´

s ma, musza

)

by´

c schowane i wy la

)

czone! Nie dotyczy rozrusz-

nik´

ow serca.

Nie wolno korzysta´

c z ksia

)

˙zek, tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

)

na twierdzenia, kt´

ore

zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

0. (a) Poda´c definicje

)

funkcji ca lkowalnej w sensie Riemanna.

(b) Poda´c przyk lad ograniczonej funkcji f : [7, 13] −→

*

nieca lkowalnej w sensie Riemanna.

(c) Poda´c przyk lad funkcji f : [1, ∞) −→

*

takiej, ˙ze ca lka niew la´sciwa

R

∞

1

f

(x)dx jest

zbie˙zna, a ca lka

R

∞

1

|f(x)|dx — rozbie˙zna.

1. Obliczy´c

lim

n→∞

π
n

·

n

X

k=1

exp

kπ

n

sin

kπ

n

.

2. Rozwa˙zmy ca lki z parametrem p > 0 :

I

1

=

Z

1

0

ln(1 + x)

x

p

dx

;

I

2

=

Z

∞

1

ln(1 + x)

x

p

dx

.

(a) Dla jakich p > 0 ca lka I

1

jest zbie˙zna?

(b) Dla jakich p > 0 ca lka I

2

jest zbie˙zna?

(c) Obliczy´c ca lke

)

I

2

dla p = 2 .

3. Obliczy´c:

lim

x→0

sin x −

R

sin

x

0

√

1 + t

3

dt

x

4

.

4. Niech f :

*

−→

*

be

)

dzie funkcja

)

cia

)

g la

)

i niech T > 0 be

)

dzie ustalona

)

liczba

)

. Wykaza´c,

˙ze ca lka

R

a+T

a

f

(x)dx nie zale˙zy od wyboru liczby a ∈

*

wtedy i tylko wtedy, gdy f jest

funkcja

)

okresowa

)

o okresie T , tzn. f (x + T ) = f (x) dla ka˙zdej liczby x ∈

*

.