I
2
!#"$!%'&&(
16:00 — 18:30
Rozwia
)
zania r´
o˙znych zada´
n maja
)
znale´
z´
c sie
)
na r´
o˙znych kartkach.
Ka˙zda kartka musi by´
c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pi-
sza
)
cego, jego nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza
)
cej ´
cwiczenia i nr. grupy ´
cwiczeniowej.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
)
dze´
n
elektronicznych; je´
sli kto´
s ma, musza
)
by´
c schowane i wy la
)
czone! Nie dotyczy rozrusz-
nik´
ow serca.
Nie wolno korzysta´
c z ksia
)
˙zek, tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
)
na twierdzenia, kt´
ore
zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
0. (a) Poda´c definicje
)
funkcji ca lkowalnej w sensie Riemanna.
(b) Poda´c przyk lad ograniczonej funkcji f : [7, 13] −→
*
nieca lkowalnej w sensie Riemanna.
(c) Poda´c przyk lad funkcji f : [1, ∞) −→
*
takiej, ˙ze ca lka niew la´sciwa
R
∞
1
f
(x)dx jest
zbie˙zna, a ca lka
R
∞
1
|f(x)|dx — rozbie˙zna.
1. Obliczy´c
lim
n→∞
π
n
·
n
X
k=1
exp
kπ
n
sin
kπ
n
.
2. Rozwa˙zmy ca lki z parametrem p > 0 :
I
1
=
Z
1
0
ln(1 + x)
x
p
dx
;
I
2
=
Z
∞
1
ln(1 + x)
x
p
dx
.
(a) Dla jakich p > 0 ca lka I
1
jest zbie˙zna?
(b) Dla jakich p > 0 ca lka I
2
jest zbie˙zna?
(c) Obliczy´c ca lke
)
I
2
dla p = 2 .
3. Obliczy´c:
lim
x→0
sin x −
R
sin
x
0
√
1 + t
3
dt
x
4
.
4. Niech f :
*
−→
*
be
)
dzie funkcja
)
cia
)
g la
)
i niech T > 0 be
)
dzie ustalona
)
liczba
)
. Wykaza´c,
˙ze ca lka
R
a+T
a
f
(x)dx nie zale˙zy od wyboru liczby a ∈
*
wtedy i tylko wtedy, gdy f jest
funkcja
)
okresowa
)
o okresie T , tzn. f (x + T ) = f (x) dla ka˙zdej liczby x ∈
*
.