Analiza

I

1

, drugie kolokwium, 11 stycznia 2008

16:10 — 18:30

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pi-

sza

,

cego, jego nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia i nr. grupy ´cwiczeniowej.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n

elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusz-

nik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z ksia

,

˙zek, tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia,

kt´ore zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

0. (a) Sformu lowa´c twierdzenie o osia

,

ganiu kres´ow przez funkcje

,

cia

,

g la

,

.

(b) Poda´c definicje

,

szeregu warunkowo zbie˙znego i poda´c przyk lad takiego szeregu.

1. Zbada´c zbie˙zno´s´c szereg´ow

∞

X

n=0

(−1)

n

·

n

n

2

+1000

oraz

∞

X

n=0

cos

(2n+1)π

4

·

n

n

2

+1000

.

2. Znale´z´c wszystkie takie tr´ojki liczb rzeczywistych a, b, c , dla kt´orych funkcja

f (x) =























(1 − 2x)

a/x

dla x < 0,

b

dla x = 0,

sin

√

x

2

+ c

2

· x

x

dla x > 0;

jest cia

,

g la we wszystkich punktach R .

3. Niech f : [0, ∞) −→ R be

,

dzie taka

,

funkcja

,

cia

,

g la

,

, ˙ze f (x) =

sin x

2

x

dla ka˙zdego x > 0 .

Znale´z´c f (0) .

Wyja´sni´c, czy jest jednostajnie cia

,

g la na [0, 7) .

Wyja´sni´c, czy funkcja f jest jednostajnie cia

,

g la na p´o lprostej [0, ∞) .

4. Niech f : [1, 4] −→ R be

,

dzie taka

,

funkcja

,

cia

,

g la

,

, ˙ze f (1) = f (4) .

Udowodni´c, ˙ze istnieje taka liczba x ∈ [1, 4] , dla kt´orej zachodzi r´owno´s´c f (x) = f (2x) .