I
1
!
"#%$&"'
!!(
16:10 — 18:40
Rozwia
)
zania r´
o˙znych zada´
n maja
)
znale´
z´
c sie
)
na r´
o˙znych kartkach.
Ka˙zda kartka musi by´
c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pi-
sza
)
cego, jego nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza
)
cej ´
cwiczenia i nr. grupy ´
cwiczeniowej.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
)
dze´
n
elektronicznych; je´
sli kto´
s ma, musza
)
by´
c schowane i wy la
)
czone!
Nie dotyczy rozrusz-
nik´
ow serca.
Nie wolno korzysta´
c z ksia
)
˙zek, tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
)
na twierdzenia, kt´
ore
zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
0.
Poda´c definicje
)
kresu g´
ornego zbioru niepustego A ⊆
*
.
Poda´c przyk lad przeliczalnego zbioru A ⊆
*
, dla kt´
orego sup A = 2008 i 2008 /
∈ A .
Niech X ⊆
*
be
)
dzie niepustym zbiorem i niech f : X −→
*
oznacza pewna
)
funkcje
)
. Poda´c
definicje
)
cia
)
g lo´sci i definicje
)
jednostajnej cia
)
g lo´sci funkcji f .
1.
Niech a
1
= 1 , a
n
+1
=
√
1 + a
n
− 1 .
Rozstrzygna
)
´c, czy cia
)
g (a
n
) ma granice
)
.
Je´sli cia
)
g (a
n
) ma granice
)
, znale´z´c ja
)
.
2.
Dla jakich liczb rzeczywistych c szereg
∞
X
n
=1
c
n
sin
1
n
|c|
jest zbie˙zny?
3.
Znale´z´c wszystkie takie pary liczb rzeczywistych a, b , dla kt´
orych funkcja
f (x) =
a ·
e
sin x
− 1
ln(1 + x)
dla −1 < x < 0,
b
dla x = 0,
3
√
1 + x −
3
√
1 + 2x
√
1 + x −
√
1 + 2x
dla x > 0;
jest cia
)
g la we wszystkich punktach p´
o lprostej (−1, ∞) .
4.
f spe lnia warunek Lipschitza na
*
. Udowodnij, ˙ze funkcja g(x) = f (x) sin x spe lnia waru-
nek Lipschitza na
*
wtedy i tylko wtedy, gdy f jest ograniczona.