I

1

!

"#%$&"'

!!(

16:10 — 18:40

Rozwia

)

zania r´

o˙znych zada´

n maja

)

znale´

z´

c sie

)

na r´

o˙znych kartkach.

Ka˙zda kartka musi by´

c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pi-

sza

)

cego, jego nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza

)

cej ´

cwiczenia i nr. grupy ´

cwiczeniowej.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

)

dze´

n

elektronicznych; je´

sli kto´

s ma, musza

)

by´

c schowane i wy la

)

czone!

Nie dotyczy rozrusz-

nik´

ow serca.

Nie wolno korzysta´

c z ksia

)

˙zek, tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

)

na twierdzenia, kt´

ore

zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

0.

Poda´c definicje

)

kresu g´

ornego zbioru niepustego A ⊆

*

.

Poda´c przyk lad przeliczalnego zbioru A ⊆

*

, dla kt´

orego sup A = 2008 i 2008 /

∈ A .

Niech X ⊆

*

be

)

dzie niepustym zbiorem i niech f : X −→

*

oznacza pewna

)

funkcje

)

. Poda´c

definicje

)

cia

)

g lo´sci i definicje

)

jednostajnej cia

)

g lo´sci funkcji f .

1.

Niech a

1

= 1 , a

n

+1

=

√

1 + a

n

− 1 .

Rozstrzygna

)

´c, czy cia

)

g (a

n

) ma granice

)

.

Je´sli cia

)

g (a

n

) ma granice

)

, znale´z´c ja

)

.

2.

Dla jakich liczb rzeczywistych c szereg

∞

X

n

=1

c

n

sin

1

n

|c|

jest zbie˙zny?

3.

Znale´z´c wszystkie takie pary liczb rzeczywistych a, b , dla kt´

orych funkcja

f (x) =































a ·

e

sin x

− 1

ln(1 + x)

dla −1 < x < 0,

b

dla x = 0,

3

√

1 + x −

3

√

1 + 2x

√

1 + x −

√

1 + 2x

dla x > 0;

jest cia

)

g la we wszystkich punktach p´

o lprostej (−1, ∞) .

4.

f spe lnia warunek Lipschitza na

*

. Udowodnij, ˙ze funkcja g(x) = f (x) sin x spe lnia waru-

nek Lipschitza na

*

wtedy i tylko wtedy, gdy f jest ograniczona.