Analiza Matematyczna
Kolokwium 2
Zestaw D
Zadanie 1
Prosz¸e obliczyć
Z
x3
√
dx.
1 − x4
Rozwi¸
azanie
√
Stosujemy podstawienie: y =
1 − x4. St¸
ad − 1 ydy = x3dx.
2
Otrzymujemy
Z
x3
1 Z ydy
1 Z
1
1 √
√
dx = −
= −
dy = − y + C = −
1 − x4 + C.
1 − x4
2
y
2
2
2
Zadanie 2
Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykresy funkcji f (x) = x2, g(x) = 1 x2 + 2 .
2
Rozwi¸
azanie
Zauważmy, że obszar O jest symetryczny wzgl¸edem osi OY.
Rozwi¸
azuj¸
ac układ równań y = x2 i y = 1 x2 + 2, otrzymujemy punkty wspólne parabol 2
(−2, 4), (2, 4).
St¸
ad pole obszaru
Z
2 1
Z
2
16
|P (O)| = 2
( x2 + 2 − x2)dx =
(−x2 + 4)dx =
.
2
3
0
0
Zadanie 3
Prosz¸e wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji x
f (x) =
.
lnx
1
Rozwi¸
azanie
Dziedzin¸
a funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych wi¸ekszych od zera i różnych od 1.
Obliczamy pochodn¸
a rz¸edu pierwszego funkcji f (x).
lnx − 1
f 0(x) =
ln2x
.
f 0(x) > 0, gdy x ∈ (e, ∞).
f 0(x) < 0, gdy x ∈ (0, e).
Funkcja f (x) jest ściśle malej¸
aca na przedziale (0, e)) , i ściśle rosn¸
aca na przedziale (e, ∞) Posiada minimum lokalne właściwe w punkcie (e, e).
Zadanie 4
Prosz¸e napisać wzór Maclaurina z reszt¸
a R4 dla funkcji
f (x) = sin2 3x
Rozwi¸
azanie
Obliczamy kolejne pochodne do rz¸edu czwartego wł¸
acznie funkcji f (x) jej rozwini¸ecia w szereg Maclaurina.
Mamy
f (x) = sin2 3x, f (0) = 0; f (1)(x) = 6 sin 3x cos 3x = 3 sin 6x, f (1)(0) = 0; f (2)(x) = 18 cos 6x, f (2)(0) = 18; f (3)(x) = −108 sin 6x, f (3)(0) = 0; f (4)(c) = −648cos6c, c ∈ [0, x]; St¸
ad
f (x) = sin2 3x = 18x2 − 27 cos(6c)x4
2