Analiza Matematyczna

Zestaw B

Zadanie 1
Prosz¸e obliczyć granic¸e

lim

x→π

(1 + 2 sin(x))

1

π−x

Rozwi¸

azanie

Stosujemy podstawienie y = π − x.

lim

x→π

(1 + 2 sin(x))

1

π−x

= lim

x→0

(1 + 2 sin(π − y))

1
y

= lim

x→0

h

(1 + 2 sin(y))

1

2 sin y

i

2 sin y

y

= e

2

Zadanie 2
Prosz¸e sprawdzić korzystaj¸

ac z definicji, czy istnieje pochodna funkcji f w punkcie x

0

= 0,

jeżeli

f (x) =

 ln cos(x) dla 0 < |x| <

π

2

0

dla x = 0

Rozwi¸

azanie

Z definicji pochodnej funkcji w punkcie

f

0

(0) = lim

h→0

+

ln cos(h) − ln cos(0)

h

= lim

h→0

+

1

h

[ln(cos h)] = lim

h→0

+

[ln(cos h]

1

h

= 0

Istnieje wi¸ec pochodna funkcji w punkcie (0, 0) i jest równa 0.

Zadanie 3
Prosz¸e obliczyć granic¸e

lim

x→0

tan3x

√

1 − 3x + 1

Rozwi¸

azanie

lim

x→0

tan 3x

√

1 − 3x + 1

=

0

1 + 1

=

0

2

= 0

1

Zadanie 4

Prosz¸e znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x

0

, f (x

0

)), jeśli

f (x) = (x

2

− 1)

2

, x

0

= 0.

Rozwi¸

azanie

Równanie stycznej w punkcie (x

0

, f (x

0

)), y = f

0

(x

0

)(x − x

0

) + f (x

0

).

f

0

(x) = 4x(x

2

− 1), f

0

(0) = 0, f (0) = 1.

St¸

ad

y = 0(x − 0) + 1 = 1

Prosta pozioma y = 1 jest styczn¸

a do wykresu funkcji f w punkcie (0, 1).

2