Analiza Matematyczna
Zestaw B
Zadanie 1
Prosz¸e obliczyć granic¸e
lim
x→π
(1 + 2 sin(x))
1
π−x
Rozwi¸
azanie
Stosujemy podstawienie y = π − x.
lim
x→π
(1 + 2 sin(x))
1
π−x
= lim
x→0
(1 + 2 sin(π − y))
1
y
= lim
x→0
h
(1 + 2 sin(y))
1
2 sin y
i
2 sin y
y
= e
2
Zadanie 2
Prosz¸e sprawdzić korzystaj¸
ac z definicji, czy istnieje pochodna funkcji f w punkcie x
0
= 0,
jeżeli
f (x) =
ln cos(x) dla 0 < |x| <
π
2
0
dla x = 0
Rozwi¸
azanie
Z definicji pochodnej funkcji w punkcie
f
0
(0) = lim
h→0
+
ln cos(h) − ln cos(0)
h
= lim
h→0
+
1
h
[ln(cos h)] = lim
h→0
+
[ln(cos h]
1
h
= 0
Istnieje wi¸ec pochodna funkcji w punkcie (0, 0) i jest równa 0.
Zadanie 3
Prosz¸e obliczyć granic¸e
lim
x→0
tan3x
√
1 − 3x + 1
Rozwi¸
azanie
lim
x→0
tan 3x
√
1 − 3x + 1
=
0
1 + 1
=
0
2
= 0
1
