Analiza Matematyczna

Kolokwium 2

Zestaw A1

Zadanie 1

Prosz¸e obliczyć

Z

1

5 + 4 sin x

dx.

Rozwi¸

azanie

Stosujemy podstawienia: sin x =

2t

1+t

2

, dx =

2

1+t

2

dt, gdzie t = tan x/2.

Otrzymujemy

Z

2

1+t

2

5 +

8t

(1+t

2

)

dt =

2

5

Z

1

(t + 4/5)

2

+ 9/25

dt =

2

3

Z

1

u

2

+ 1

du =

=

2

3

arctan(

5t + 4

3

) + C =

2

3

arctan

 5tanx/2 + 4

3



+ C

gdzie zastosowaliśmy podstawienie u =

5t+4

3

.

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykres funkcji f (x) = x sin 4x i g(x) = 0
oraz proste x = 0 i x = π/8.

Rozwi¸

azanie

Pole obszaru

|P (O)| =

Z

π/8

0

x sin 4xdx = −

1

4

Z

π/8

0

x(cos 4x)

0

dx = −

1

4

π/8(cos π/2)+

+

1

4

0 cos 0 +

1

4

Z

π/8

0

1 cos 4xdx = 0 +

1

16

sin π/2 −

1

16

sin 0 =

1

16

.

1

Zadanie 3

Prosz¸e wyznaczyć asymptoty wykresu oraz ekstrema lokalne funkcji

f (x) =

x + 1

√

x

2

+ 1

, x ∈ R

1

.

Rozwi¸

azanie

f (x) =

x + 1

√

x

2

+ 1

=

x(1 + 1/x)

|x|

p1 + 1/x

2

= −1 gdy x → −∞ lub 1 gdy x → +∞

Wykres funkcji f (x) posiada wi¸ec asymptot¸e poziom¸

a lewostronn¸

a y = −1 i asymptot¸e

poziom¸

a prawostronn¸

a y = 1.

Obliczamy pochodn¸

a rz¸edu pierwszego funkcji f (x).

f

0

(x) =

√

x

2

+ 1 − (x + 1)

2x

2

√

x

2

+1

x

2

+ 1

=

1 − x

p(x

2

+ 1)

3

.

f

0

(x) < 0, gdy x ∈ (1, ∞).

f

0

(x) > 0, gdy x ∈ (−∞, 1).

Funkcja f (x) rośnie na przedziale (−∞, 1) i maleje na (1, ∞). oraz posiada maksimum
lokalne właściwe równe

√

2 w punkcie (1,

√

2).

Zadanie 4

Prosz¸e rozłożyć jednomian J (x) = x

3

w szereg Taylora według pot¸eg (x − a) z reszt¸

a

R

2

i odpowiedzieć od czego zależy liczba c wyst¸epuj¸

aca w ostatnim składniku rozwini¸ecia.

Rozwi¸

azanie

Obliczamy kolejne pochodne do rz¸edu drugiego wł¸

acznie funkcji J (x) jej rozwini¸ecia w

szereg Taylora w otoczeniu punktu x

0

= a.

Mamy

J (x) = x

3

= J (a) +

J

0

(a)

1!

(x − a) +

J ”(c)

2!

(x − a)

2

.

St¸

ad

x

3

= a

3

+ 3a

2

(x − a) + 3c(x − a)

2

.

2

(x − a)(x

2

+ ax + a

2

) = 3a

2

(x − a) + 3c(x − a)

2

.

x

2

+ ax + a

2

= 3a

2

+ 3c(x − a)

c =

x

2

+ ax − 2a

2

3(x − a)

=

(x − a)(x + 2a)

3(x − a)

=

x + 2a

3

Liczba c wyst¸epuj¸

aca w reszcie wzoru Taylora zależy od x,a i od rz¸edu pochodnej n (dla

różych n otrzymujemy różne postacie wzoru na c).

3