Analiza Matematyczna

Kolokwium 2

Zestaw B1

Zadanie 1
Prosz¸e obliczyć

Z

x

√

1 − x

4

dx.

Rozwi¸

azanie

Stosujemy podstawienie y = x

2

.

Z

x

√

1 − x

4

dx =

1

2

Z

y

p(1 − y)

2

dy =

1

2

arcsin y + C =

1

2

arcsin x

2

+ C

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykresy funkcji f (x) = x

2

i g(x) = 1 − x

2

Rozwi¸

azanie

Znajdujemy punkty wspólne parabol, rozwi¸

azuj¸

ac układ równań y = x

2

i y = 1 − x

2

.

Otrzymujemy punkty (−

√

2/2, 1/2), (

√

2/2, 1/2).

Zauważmy, że obszar O jest symetryczny wzgl¸edem osi OY, st¸

ad jego pole P (O)

|P (O)| =

Z

√

2/2

−

√

2/2

(1 − x

2

− x

2

)dx = 2

Z

√

2/2

0

(1 − 2x

2

)dx =

2

3

√

2.

Zadanie 3

Prosz¸e wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji

f (x) =

ln(x)

√

x

.

1

Rozwi¸

azanie

Dziedzin¸

a funkcji f (x) jest jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich.

Obliczamy pochodn¸

a rz¸edu pierwszego funkcji f (x).

f

0

(x) =

√

x

x

−

lnx

2

√

x

√

x

2

=

x(2 − lnx)

2

√

x

5

.

f

0

(x) > 0, gdy x ∈ (0, e

2

).

f

0

(x) < 0, gdy x ∈ (e

2

, ∞).

Funkcja f (x) jest ściśle rosn¸

aca na przdziale (0, e

2

) i ściśle malej¸

aca na (e

2

, ∞).

W punkcie (e

2

, 2/e) posiada maksimum lokalne właściwe.

Zadanie 4

Prosz¸e napisać trzy pierwsze wyrazy rozwini¸ecia Taylora w otoczeniu punktu a = 1
dla funkcji

f (x) = 2

x

.

Rozwi¸

azanie

f (x) = f (0) + f

(1)

(1)(x − 1) + f

(2)

(1)

(x − 1)

2

2!

+ f

(3)

(c)

(x − 1)

3

3!

.

gdzie c ∈ [0, x].

Obliczamy kolejne pochodne funkcji f (x) do rz¸edu trzeciego wł¸

acznie.

f (1) = 2

1

= 2.

f

(1)

(x) = 2

x

ln(2), f

0

(1) = 2ln2.

f

(2)

(x) = 2

x

ln

2

(2), f

(2)

(1) = 2ln

2

(2).

f

(3)

(c) = 2

x

ln

3

(2) , f

(3)

(1) = 2

c

ln

3

(2).

St¸

ad

f (x) = 2

x

= 2 + 2ln(2)(x − 1) + ln

2

(2)(x − 1)

2

+

2

c

6

ln

3

(2)(x − 1)

3

.

gdzie c ∈ [1, x].

2