02 01 11 11 01 03 Kolokwium2Did 3877

background image

Analiza Matematyczna

Kolokwium 2

Zestaw D

Zadanie 1

Prosz¸e obliczyć

Z

x

3

1 − x

4

dx.

Rozwi¸

azanie

Stosujemy podstawienie: y =

1 − x

4

. St¸

ad −

1
2

ydy = x

3

dx.

Otrzymujemy

Z

x

3

1 − x

4

dx = −

1

2

Z

ydy

y

= −

1

2

Z

dy = −

1

2

y + C = −

1

2

1 − x

4

+ C.

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykresy funkcji f (x) = x

2

,

g(x) =

1
2

x

2

+ 2 .

Rozwi¸

azanie

Zauważmy, że obszar O jest symetryczny wzgl¸edem osi OY.
Rozwi¸

azuj¸

ac układ równań y = x

2

i y =

1
2

x

2

+ 2, otrzymujemy punkty wspólne parabol

(−2, 4), (2, 4).
St¸

ad pole obszaru

|P (O)| = 2

Z

2

0

(

1

2

x

2

+ 2 − x

2

)dx =

Z

2

0

(−x

2

+ 4)dx =

16

3

.

Zadanie 3

Prosz¸e wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji

f (x) =

x

lnx

.

1

background image

Rozwi¸

azanie

Dziedzin¸

a funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych wi¸ekszych od zera i różnych

od 1.

Obliczamy pochodn¸

a rz¸edu pierwszego funkcji f (x).

f

0

(x) =

lnx − 1

ln

2

x

.
f

0

(x) > 0, gdy x ∈ (e, ∞).

f

0

(x) < 0, gdy x ∈ (0, e).

Funkcja f (x) jest ściśle malej¸

aca na przedziale (0, e)) ,

i ściśle rosn¸

aca na przedziale (e, ∞)

Posiada minimum lokalne właściwe w punkcie (e, e).

Zadanie 4

Prosz¸e napisać wzór Maclaurina z reszt¸

a R

4

dla funkcji

f (x) = sin

2

3x

Rozwi¸

azanie

Obliczamy kolejne pochodne do rz¸edu czwartego wł¸

acznie funkcji f (x) jej rozwini¸ecia

w szereg Maclaurina.

Mamy

f (x) = sin

2

3x, f (0) = 0;

f

(1)

(x) = 6 sin 3x cos 3x = 3 sin 6x, f

(1)

(0) = 0;

f

(2)

(x) = 18 cos 6x, f

(2)

(0) = 18;

f

(3)

(x) = −108 sin 6x, f

(3)

(0) = 0;

f

(4)

(c) = −648cos6c, c ∈ [0, x];

St¸

ad

f (x) = sin

2

3x = 18x

2

− 27 cos(6c)x

4

2


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
02-01-11 11 01 03 Kolokwium2D
MPLP 336;337 18.02;01.03.2012
02 01 11 11 01 18 Kolokwium2D1
02 01 11 11 01 52 Kolokwium1D
11 01 03 02 ?z d Fzge, Tagbez o L
02 01 11 11 01 12 Kolokwium1B
02 01 11 11 01 34 Kolokwium2A1
02 01 11 12 01 04 kolokwium22
02 01 11 12 01 15 kolokwium 21
02-01-11 12 01 41 analiza matematyczna kolokwium 2002-01-16
02 01 11 11 01 32 Kolokwium1C
02 01 11 12 01 48 kolokwium 12
02 01 11 11 01 56 Kolokwium2B
02 01 11 11 01 08 Kolokwium 16 listopadaid 3878
02 01 11 12 01 28 kolokwium 23
02 01 11 11 01 16 08 03 10 am1 popr
02 01 11 11 01 41 Kolokwium2
02 01 11 12 01 57 e notatka analiza matematyczna II kolokwium II

więcej podobnych podstron