Analiza Matematyczna
Kolokwium 2
Zestaw D
Zadanie 1
Prosz¸e obliczyć
Z
x
3
√
1 − x
4
dx.
Rozwi¸
azanie
Stosujemy podstawienie: y =
√
1 − x
4
. St¸
ad −
1
2
ydy = x
3
dx.
Otrzymujemy
Z
x
3
√
1 − x
4
dx = −
1
2
Z
ydy
y
= −
1
2
Z
dy = −
1
2
y + C = −
1
2
√
1 − x
4
+ C.
Zadanie 2
Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykresy funkcji f (x) = x
2
,
g(x) =
1
2
x
2
+ 2 .
Rozwi¸
azanie
Zauważmy, że obszar O jest symetryczny wzgl¸edem osi OY.
Rozwi¸
azuj¸
ac układ równań y = x
2
i y =
1
2
x
2
+ 2, otrzymujemy punkty wspólne parabol
(−2, 4), (2, 4).
St¸
ad pole obszaru
|P (O)| = 2
Z
2
0
(
1
2
x
2
+ 2 − x
2
)dx =
Z
2
0
(−x
2
+ 4)dx =
16
3
.
Zadanie 3
Prosz¸e wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji
f (x) =
x
lnx
.
1
Rozwi¸
azanie
Dziedzin¸
a funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych wi¸ekszych od zera i różnych
od 1.
Obliczamy pochodn¸
a rz¸edu pierwszego funkcji f (x).
f
0
(x) =
lnx − 1
ln
2
x
.
f
0
(x) > 0, gdy x ∈ (e, ∞).
f
0
(x) < 0, gdy x ∈ (0, e).
Funkcja f (x) jest ściśle malej¸
aca na przedziale (0, e)) ,
i ściśle rosn¸
aca na przedziale (e, ∞)
Posiada minimum lokalne właściwe w punkcie (e, e).
Zadanie 4
Prosz¸e napisać wzór Maclaurina z reszt¸
a R
4
dla funkcji
f (x) = sin
2
3x
Rozwi¸
azanie
Obliczamy kolejne pochodne do rz¸edu czwartego wł¸
acznie funkcji f (x) jej rozwini¸ecia
w szereg Maclaurina.
Mamy
f (x) = sin
2
3x, f (0) = 0;
f
(1)
(x) = 6 sin 3x cos 3x = 3 sin 6x, f
(1)
(0) = 0;
f
(2)
(x) = 18 cos 6x, f
(2)
(0) = 18;
f
(3)
(x) = −108 sin 6x, f
(3)
(0) = 0;
f
(4)
(c) = −648cos6c, c ∈ [0, x];
St¸
ad
f (x) = sin
2
3x = 18x
2
− 27 cos(6c)x
4
2