Analiza Matematyczna

Kolokwium 2

Zestaw D

Zadanie 1

Prosz¸e obliczyć

Z

x

3

√

1 − x

4

dx.

Rozwi¸

azanie

Stosujemy podstawienie: y =

√

1 − x

4

. St¸

ad −

1
2

ydy = x

3

dx.

Otrzymujemy

Z

x

3

√

1 − x

4

dx = −

1

2

Z

ydy

y

= −

1

2

Z

dy = −

1

2

y + C = −

1

2

√

1 − x

4

+ C.

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykresy funkcji f (x) = x

2

,

g(x) =

1
2

x

2

+ 2 .

Rozwi¸

azanie

Zauważmy, że obszar O jest symetryczny wzgl¸edem osi OY.
Rozwi¸

azuj¸

ac układ równań y = x

2

i y =

1
2

x

2

+ 2, otrzymujemy punkty wspólne parabol

(−2, 4), (2, 4).
St¸

ad pole obszaru

|P (O)| = 2

Z

2

0

(

1

2

x

2

+ 2 − x

2

)dx =

Z

2

0

(−x

2

+ 4)dx =

16

3

.

Zadanie 3

Prosz¸e wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji

f (x) =

x

lnx

.

1

Rozwi¸

azanie

Dziedzin¸

a funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych wi¸ekszych od zera i różnych

od 1.

Obliczamy pochodn¸

a rz¸edu pierwszego funkcji f (x).

f

0

(x) =

lnx − 1

ln

2

x

.
f

0

(x) > 0, gdy x ∈ (e, ∞).

f

0

(x) < 0, gdy x ∈ (0, e).

Funkcja f (x) jest ściśle malej¸

aca na przedziale (0, e)) ,

i ściśle rosn¸

aca na przedziale (e, ∞)

Posiada minimum lokalne właściwe w punkcie (e, e).

Zadanie 4

Prosz¸e napisać wzór Maclaurina z reszt¸

a R

4

dla funkcji

f (x) = sin

2

3x

Rozwi¸

azanie

Obliczamy kolejne pochodne do rz¸edu czwartego wł¸

acznie funkcji f (x) jej rozwini¸ecia

w szereg Maclaurina.

Mamy

f (x) = sin

2

3x, f (0) = 0;

f

(1)

(x) = 6 sin 3x cos 3x = 3 sin 6x, f

(1)

(0) = 0;

f

(2)

(x) = 18 cos 6x, f

(2)

(0) = 18;

f

(3)

(x) = −108 sin 6x, f

(3)

(0) = 0;

f

(4)

(c) = −648cos6c, c ∈ [0, x];

St¸

ad

f (x) = sin

2

3x = 18x

2

− 27 cos(6c)x

4

2