Analiza matematyczna I, MIM UW, 2010/11

Kolokwium I, 26 listopada 2010

Uwaga: Rozwiązanie każdego zadania proszę napisać na oddzielnej kartce. Proszę pod-
pisać każdą z oddawanych kartek, umieszczając na nich:

Imię, Nazwisko, nr albumu, nr grupy i potoku, nazwisko prowadzącego ćwiczenia

Czas pracy:

135 minut

1. Rozstrzygnąć, czy liczba

p√

5 + 3 +

p√

5 − 2

jest wymierna.

Wskazówka. Zbadać sumę i iloczyn liczb

p√

5 + 3 ±

p√

5 − 2

.

2. Czy zbiór

A = {2

n

/3

k

,

gdzie

k, n

naturalne i

k ≥ n}

jest ograniczony z góry? A z

dołu? Proszę uzasadnić obie odpowiedzi. Jeśli któraś z nich jest twierdząca, wyznaczyć
odpowiedni kres zbioru

A

.

3. Obliczyć granice następujących ciągów:

a

n

=

n

2

7

√

n

,

b

n

=

3

√

n

2

n

.

4. Udowodnić, że ciąg

a

1

= 3,

a

2

= 3 −

2

3

,

. . . ,

a

n

= 3 −

2

a

n−1

,

. . .

jest zbieżny i znaleźć jego granicę.

5. Dane są liczby

a, b, c > 0

. Obliczyć granicę

lim

n→∞

ln(a

n

+ b

n

+ c

n

)

√

n

2

+ 1

.

6. Dla

n ∈ N

połóżmy

a

n

= (−1)

n

+ (−1)

(n

2

+n)/2

,

b

n

=

n

q

a

n

n

+ a

n+1

n

.

Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste, które są granicami podciągów ciągu

(b

n

)

.

Szkice rozwiązań zadań

Zadanie 1. Niech

a =

p√

5 + 3 +

p√

5 − 2

,

b =

p√

5 + 3 −

p√

5 − 2

. Ze wzoru na

różnicę kwadratów

ab = (

√

5 + 3) − (

√

5 − 2) = 5

zatem

a = 5/b

. Są więc tylko dwie możliwości: (1)

a, b ∈ Q

, albo (2)

a, b ∈ R \ Q

.

Przypuśćmy, że

a

i

b

są wymierne. Wtedy

a + b

2

=

q

√

5 + 3 ∈ Q ,

q

√

5 + 3 =

k

l

dla pewnych

k, l ∈ Z

.

Podnosząc obie strony do kwadratu i odejmując 3, otrzymujemy

√

5 = (k

2

/l

2

) − 3 ∈ Q

.

To jednak jest sprzeczność, gdyż

√

5

jest liczbą niewymierną.

1

Zatem,

a, b ∈ R \ Q

.

Zadanie 2. Dla

k ≥ n ≥ 1

mamy

2

n

3

k

=

2

n

3

n

·

1

3

k−n

≤

 2

3



n

≤

2

3

,

zatem liczba

2/3

jest ograniczeniem górnym

A

. Ponieważ

2/3 ∈ A

, więc

2/3 = sup A

(żadna liczba

M < 2/3

nie może być ograniczeniem górnym

A

).

Jeśli

x ∈ A

, to

x > 0

. Zatem

0

jest ograniczeniem dolnym

A

. Wykażemy, że

0

jest

kresem dolnym

A

. Ustalmy dowolne

ε > 0

. Ponieważ

A 3

2

n

3

n

=

1

1 +

1
2

n

≤

1

1 +

n

2

<

2

n

< ε

dla każdego

n > 2/ε

,

(skorzystaliśmy z nierówności Bernoulliego), więc

ε

nie jest ograniczeniem dolnym

A

,

tzn.

0 = inf A

.

Zadanie 3. Ponieważ

x = exp ln x

dla

x > 0

, więc ciąg

a

n

= exp



−(ln 7)

√

n + 2 ln n



jest zbieżny do zera, gdyż dla dowolnych

a, b > 0

jest

a ln n − b

√

n → −∞

, gdy

n → ∞

.

Podobnie dowodzimy, że

lim b

n

= 0

.

Zadanie 4. Jeśli ciąg

a

n

jest zbieżny, to jego granica

g

spełnia

g = 3 − (2/g)

, tzn.

g = 1

lub

g = 2

. Wykażemy, że ciąg

a

n

jest zbieżny do

g = 2

.

Niech

f (x) = 3 − (2/x)

dla

x ∈ R

,

x 6= 0

. Funkcja

f

jest rosnąca na

(0, ∞)

i nietrudno

się przekonać (szkicując wykres i rozwiązując odpowiednie proste nierówności), że

2 < f (x) < x

dla wszystkich

x ∈ (2, ∞)

.

1

Można to udowodnić wprost, albo odwołać się do twierdzenia z wykładu: dla

k, n ∈ N

liczba

k

√

n

jest

albo niewymierna, albo naturalna.

Wykres

f (x) = 3 − (2/x)

dla

x > 0

przecina prostą

y = x

w dwóch punktach.

Przez indukcję wnioskujemy stąd, że

2 < a

n+1

= f (a

n

) < a

n

< . . . < a

1

= 3

dla każdego

n ∈ N

. Ciąg

(a

n

)

jest więc malejący i ograniczony z dołu, a zatem jest zbieżny.

Jego granicą oczywiście nie może być liczba

1

, gdyż dla każdego

n ∈ N

jest

|a

n

− 1| > 1

.

Zatem

lim a

n

= 2

.

Zadanie 5. Bez zmniejszenia ogólności załóżmy, że

0 < a ≤ b ≤ c = max(a, b, c)

. Wtedy,

dzięki monotoniczności logarytmu naturalnego,

n ln c

√

n

2

+ 1

=

ln(c

n

)

√

n

2

+ 1

≤ x

n

:=

ln(a

n

+ b

n

+ c

n

)

√

n

2

+ 1

≤

ln(3 · c

n

)

√

n

2

+ 1

=

ln 3

√

n

2

+ 1

+

n ln c

√

n

2

+ 1

.

Ponieważ

lim

n→∞

n

√

n

2

+ 1

= 1 ,

lim

n→∞

ln 3

√

n

2

+ 1

= 0 ,

więc, na mocy twierdzenia o trzech ciągach,

(x

n

)

ma granicę

ln c = ln max(a, b, c)

.

Zadanie 6. Wypełniając (stopniowo, spokojnie i mechanicznie) powiedzmy 8–10 wierszy
tabelki

n

(n

2

+ n)/2

(−1)

n

(−1)

(n

2

+n)/2

a

n

(a

n

)

n

(a

n

)

n

+ (a

n+1

)

n

b

n

1

1

2

3

3

6

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

nietrudno zauważyć odpowiednią prawidłowość i znaleźć odpowiedź, a następnie krótko
ją uzasadnić. Szczegóły pozostawiamy Czytelnikowi.