Analiza matematyczna I.

Pula jawnych zadań na kolokwia.

Wydział MIiM UW, 2010/11

wersja z dnia: 7 listopada 2010

Szanowni Państwo,

zgodnie z zapowiedzią, na każdym kolokwium co najmniej 4 zadania zostaną wy-

brane z poniższej jawnej puli.

Wśród zamieszczonych niżej zadań są łatwiejsze i trudniejsze.
Podkreślamy: proszę się nie zrażać, jeśli nie będą Państwo umieli zrobić wszyst-

kich od razu. Materiał jest obszerny i dla większości z Państwa trudniejszy, niż w
szkole, szczególnie na samym początku studiów. Ponadto, w matematyce jest rzeczą
normalną, że człowiek pewnych rzeczy nie potrafi zrobić. Skuteczna nauka wymaga
czasu, regularnego treningu i cierpliwości, a także bieżącego kontaktu z materiałem,
omawianym na wykładzie. Taka inwestycja przynosi praktycznie zawsze pozytywne
skutki.

1

Liczby rzeczywiste. Kresy zbiorów. Indukcja.

1. Udowodnić, że dla wszystkich x ≥ 1000 zachodzi nierówność

x

3

≥ 5x

2

+ 14x + 17.

2. Udowodnić, że liczba

p

7 +

√

2

jest niewymierna.

3. Wykazać, że równanie x/1 = (1 − x)/x na liczbę złotego podziału x ∈ (0, 1) nie ma
pierwiastków wymiernych.

4. Płaszczyznę parametrów a, b ∈ R podzielić na podzbiory odpowiadające stałej licz-
bie pierwiastków równania

abx

2

+ (a + b)x + 1 = 0.

5. Rozstrzygnąć, czy liczba

p√

5 + 3 +

p√

5 − 2

jest wymierna.

Wskazówka. Zbadać sumę i iloczyn liczb

p√

5 + 3 ±

p√

5 − 2

.

1

6. Niech A ⊂ R będzie zbiorem ograniczonym i λ ∈ R. Zbiór λA określamy wzorem

λA := {λa : a ∈ A} .

Oznaczmy sup A = M i inf A = m. Wyznaczyć kresy zbioru λA.

7. Udowodnić, że dla każdego n ∈ N zachodzi nierówność

1

n

+

1

n + 1

+ · · · +

1

2n

≥

1

2

.

8. Udowodnić, że dla każdego n ∈ N zachodzi nierówność

1

n

+

1

n + 1

+ · · · +

1

2n

≥

7

12

.

9. Wykazać, że dla każdego n naturalnego liczba 13

n

− 7 jest podzielna przez 6.

10. Wykazać, że jeśli n jest liczbą naturalną parzystą, to liczba n

3

+ 20n

dzieli się

przez 48 (= 3 · 2

4

).

11. Udowodnić, że dla liczb całkowitych 0 ≤ k < l ≤ n/2 mamy

n
k

<

n

l

.

12. Czy zbiór A = {2

n

/3

k

,

gdzie k, n naturalne i k ≥ n} jest ograniczony z góry? A z

dołu? Proszę uzasadnić obie odpowiedzi. Jeśli któraś z nich jest twierdząca, wyzna-
czyć odpowiedni kres zbioru A.

13. Dane są liczby a

n

∈ [0, 1], gdzie n = 1, 2, . . . . Udowodnić, że zbiór

A =

n

a

n

n

: n = 1, 2, . . .

o

jest ograniczony i inf A = 0.

14. Udowodnić, że (n!)

2

≥ n

n+1

dla n ≥ 7.

15. Udowodnić, że zbiór



n

n

(n!)

2

: n = 1, 2, . . .



jest ograniczony. Wyznaczyć jego kresy.

16. Wyznaczyć kresy zbiorów

A = {|x − 1| + |x + 1| : x ∈ R oraz |x| < 2} ,

B = {|x − 1| − |x + 1| : x ∈ R} .

17. Znaleźć inf A i sup A, gdzie

A = {x + y + z : x, y, z > 0, xyz = 1} .

2

18. Zbiór niepusty A ⊂ R ma tę własność, że dla każdego a ∈ A istnieje element b ∈ A
taki, że b ≤

a
2

+ 1

. Wykazać, że inf A ≤ 2.

19. Wyznaczyć kres górny i dolny zbioru

A =

 n − k

2

n

2

+ k

3

: n, k ∈ N



.

20. Wyznaczyć kres górny i dolny zbioru

 m

2

− n

m

2

+ n

2

: n, m ∈ N, m > n



.

21. Zbiór niepusty A ⊂ (0, ∞) ma tę własność, że jeśli a ∈ A, to

1
a

∈ A. Wykazać, że

jeśli A jest ograniczony z góry, to inf A · sup A = 1.

22. Ciąg (a

n

)

jest określony rekurencyjnie:

a

1

= 2,

a

2

= 7,

a

n+2

= 7a

n+1

− 10a

n

dla n=1,2,. . .

Udowodnić, że a

n

= 2

n−1

+ 5

n−1

dla wszystkich n ∈ N.

23. Wykazać, że dla każdego n ∈ N zachodzi nierówność

1

1

4

+

1

2

4

+

1

3

4

+ · · · +

1

n

4

≤ 2 −

1

√

n

.

24. Udowodnić, że prawdziwy jest następujący wzór:

n

0



+

n

2



+

n

4



+ · · · +



n

2 [n/2]



= 2

n−1

.

25. Wykazać, że

0

2

n

0



+ 1

2

n

1



+ 2

2

n

2



+ · · · + n

2

n

n



= n(1 + n) · 2

n−2

.

Wskazówka. Zauważyć, że k

2

= k(k − 1) + k

i obliczyć dwie sumy.

26. Załóżmy, że (s

k

)

jest ciągiem liczb rzeczywistych nieujemnych, s

1

≤ 1, i dla każ-

dego k ≥ 1 spełniona jest nierówność

s

k+1

≤ 2k + 3

k

X

j=1

s

j

.

Wykazać, że s

k

< 7

k

dla wszystkich k naturalnych.

Wskazówka. 2k < 1 + 2k ≤ (1 + 2)

k

na mocy nierówności Bernoulli’ego.

3

2

Ciągi i granice.

27. Obliczyć granice następujących ciągów:

a

n

=

1 + 2 + · · · + n

n

2

,

b

n

=

9 + 16 + · · · + (7n + 2)

n

2

.

28. Obliczyć granice następujących ciągów:

a

n

=

3 + (−1)

n

+ 9

√

n − 7n

5

− 2[

3

√

n ]n

(3n − 1)(n − 2)(2n − 3)(n − 4)(4n − 5) + 2

−n

,

b

n

= −3n

3

+

r

9n

6

+ 7n

3

+ (−1)

n



1 +

1

n



− 10n

2

.

29. Obliczyć granicę

lim

n→∞



1

n

2

+ 2

+

1

n

2

+ 4

+ . . .

1

n

2

+ 2n



n.

30. Obliczyć granice następujących ciągów:

a

n

=

n

2

7

√

n

,

b

n

=

3

√

n

2

n

.

31. Znaleźć granicę ciągu

a

n

=



√

n + 1 −

√

n − 1



√

2n + 1 .

32. Obliczyć granicę

lim

n→∞

n

q

n +

√

n + 2012 −

q

n +

√

n + 2010



.

33. Obliczyć granicę

lim

n→∞

p

n +

√

n + 2012 −

p

n +

√

n + 2010

3

√

n

3/2

+ 2012 −

3

√

n

3/2

+ 2010

.

34. Niech, dla wszystkich k naturalnych,

s

k

=

2k−1

X

n=k

n

2

n

.

Wykazać, że

s

k

=

(2k + 2)2

k

− 4k − 2

2

2k

dla k ∈ N

i obliczyć granicę ciągu (s

k

)

.

4

35. Niech, dla wszystkich k naturalnych,

s

k

=

k−1

X

n=0

n

 4

3



n

.

Wykazać, że

s

k

= 12 + (3k − 12)

 4

3



k

dla k ∈ N

i obliczyć granicę ciągu c

k

= s

k

/2

k/2

.

36. Niech a

n

będzie ciągiem zadanym rekurencyjnie: a

1

jest pewną liczbą rzeczywi-

stą, a ponadto

a

n+1

= a

2
n

− 1

dla n = 1, 2, . . .

Udowodnić, że gdy |a

1

| ≤ (1 +

√

5)/2

, to ciąg (a

n

)

jest ograniczony, a gdy |a

1

| > (1 +

√

5)/2

, to ciąg (a

n

)

jest rozbieżny (do +∞.)

37. Udowodnić, że ciąg

a

1

= 3,

a

2

= 3 −

2

3

,

. . . , a

n

= 3 −

2

a

n−1

,

. . .

jest zbieżny i znaleźć jego granicę.

38. Dany jest ciąg (a

n

)

n≥1

taki, że a

1

= a

2

= 1

oraz 2a

n+2

= 2a

n+1

+ a

n

dla n = 1, 2, 3 . . ..

Wykazać, że

a

n

=

1

√

3

h

1 +

√

3

2



n

−



1 −

√

3

2



n

i

.

Obliczyć lim

n→∞

n

√

a

n

.

39. Obliczyć granicę

lim

n→∞

(n!)

n

n

n

2

.

40. Obliczyć granicę

lim

n→∞

ln(3n

2

+ 20n + 5)

ln(n

9

− 3n + 12)

.

41. Obliczyć granicę

lim

n→∞

n(1 −

n

√

ln n) .

42. Obliczyć granicę

lim

n→∞



n ln(n

2

+ 1) − 2n(ln n)

n

√

ln n



.

5

43. Obliczyć granicę

lim

n→∞

 n − 1

n + 1



b

n

,

gdzie b

n

= (

√

n + 1 −

√

n − 1)

−2

.

44. Ciąg (a

n

)

jest określony rekurencyjnie:

a

1

=

1

2

,

a

2

= 1,

a

n

=

1

2

a

n−1

+

√

a

n−2

dla n ≥ 3.

Wykazać, że ciąg (a

n

)

jest rosnący i ograniczony, a następnie znaleźć jego granicę.

45. Ciąg (x

n

)

jest określony rekurencyjnie:

x

1

= 2,

x

n+1

= f (f (x

n

))

dla n = 1, 2, . . . ,

gdzie f (x) = 1 +

1
x

. Wykazać, że x

n

jest monotoniczny i ograniczony i obliczyć jego

granicę.

46. Ciąg {a

n

}

∞
n=1

ma wyrazy dodatnie i jest ograniczony. Wykazać, że jeśli ciąg (c

n

)

ma granicę równą 0, to ciąg dany wzorem

b

n

:= c

n

n

p

ln(1 + a

1

) · ln(1 + a

2

) · . . . · ln(1 + a

n

)

też ma granicę równą 0.

Wskazówka. Wykorzystać nierówność ln(1 + x) ≤ x dla x > 0.

47. Obliczyć granicę

lim

n→∞

 1 +

n

√

n

2



n

ln n

.

48. Wykazać, że jeśli ciąg liczb rzeczywistych (a

n

)

spełnia jednocześnie dwa warunki:

lim

n→∞

(a

n+1

− a

n

) = 0,

a ponadto

∀

ε>0

∃

N ∈N

∀

n,m>N

|a

3m

− a

3n

| ≤ ε,

to (a

n

)

jest zbieżny. Podać przykłady świadczące o tym, że żaden z powyższych wa-

runków z osobna nie jest warunkiem wystarczającym zbieżności ciągu a

n

.

49. Wykazać, że jeśli

A = {a

n

: n ∈ N}

jest zbiorem wyrazów zbieżnego ciągu liczb rzeczywistych (a

n

)

, to sup A ∈ A lub

inf A ∈ A

.

Podać przykład takiego ograniczonego ciągu rozbieżnego (b

n

)

, dla którego ani

sup B

, ani inf B nie są elementami zbioru B wszystkich wyrazów ciągu (b

n

)

.

6

50. Obliczyć granicę

lim

n→∞

1 · 4 · 7 · . . . · (3n + 1)

2 · 5 · 8 · . . . · (3n + 2)

.

Wskazówka: przydatne mogą być (ale nie muszą) różne własności logarytmu natu-
ralnego.

7