Analiza matematyczna I.
Pula jawnych zadań na kolokwia.
Wydział MIiM UW, 2010/11
wersja z dnia: 7 listopada 2010
Szanowni Państwo,
zgodnie z zapowiedzią, na każdym kolokwium co najmniej 4 zadania zostaną wy-
brane z poniższej jawnej puli.
Wśród zamieszczonych niżej zadań są łatwiejsze i trudniejsze.
Podkreślamy: proszę się nie zrażać, jeśli nie będą Państwo umieli zrobić wszyst-
kich od razu. Materiał jest obszerny i dla większości z Państwa trudniejszy, niż w
szkole, szczególnie na samym początku studiów. Ponadto, w matematyce jest rzeczą
normalną, że człowiek pewnych rzeczy nie potrafi zrobić. Skuteczna nauka wymaga
czasu, regularnego treningu i cierpliwości, a także bieżącego kontaktu z materiałem,
omawianym na wykładzie. Taka inwestycja przynosi praktycznie zawsze pozytywne
skutki.
1
Liczby rzeczywiste. Kresy zbiorów. Indukcja.
1. Udowodnić, że dla wszystkich x ≥ 1000 zachodzi nierówność
x
3
≥ 5x
2
+ 14x + 17.
2. Udowodnić, że liczba
p
7 +
√
2
jest niewymierna.
3. Wykazać, że równanie x/1 = (1 − x)/x na liczbę złotego podziału x ∈ (0, 1) nie ma
pierwiastków wymiernych.
4. Płaszczyznę parametrów a, b ∈ R podzielić na podzbiory odpowiadające stałej licz-
bie pierwiastków równania
abx
2
+ (a + b)x + 1 = 0.
5. Rozstrzygnąć, czy liczba
p√
5 + 3 +
p√
5 − 2
jest wymierna.
Wskazówka. Zbadać sumę i iloczyn liczb
p√
5 + 3 ±
p√
5 − 2
.
1
6. Niech A ⊂ R będzie zbiorem ograniczonym i λ ∈ R. Zbiór λA określamy wzorem
λA := {λa : a ∈ A} .
Oznaczmy sup A = M i inf A = m. Wyznaczyć kresy zbioru λA.
7. Udowodnić, że dla każdego n ∈ N zachodzi nierówność
1
n
+
1
n + 1
+ · · · +
1
2n
≥
1
2
.
8. Udowodnić, że dla każdego n ∈ N zachodzi nierówność
1
n
+
1
n + 1
+ · · · +
1
2n
≥
7
12
.
9. Wykazać, że dla każdego n naturalnego liczba 13
n
− 7 jest podzielna przez 6.
10. Wykazać, że jeśli n jest liczbą naturalną parzystą, to liczba n
3
+ 20n
dzieli się
przez 48 (= 3 · 2
4
).
11. Udowodnić, że dla liczb całkowitych 0 ≤ k < l ≤ n/2 mamy
n
k
<
n
l
.
12. Czy zbiór A = {2
n
/3
k
,
gdzie k, n naturalne i k ≥ n} jest ograniczony z góry? A z
dołu? Proszę uzasadnić obie odpowiedzi. Jeśli któraś z nich jest twierdząca, wyzna-
czyć odpowiedni kres zbioru A.
13. Dane są liczby a
n
∈ [0, 1], gdzie n = 1, 2, . . . . Udowodnić, że zbiór
A =
n
a
n
n
: n = 1, 2, . . .
o
jest ograniczony i inf A = 0.
14. Udowodnić, że (n!)
2
≥ n
n+1
dla n ≥ 7.
15. Udowodnić, że zbiór
n
n
(n!)
2
: n = 1, 2, . . .
jest ograniczony. Wyznaczyć jego kresy.
16. Wyznaczyć kresy zbiorów
A = {|x − 1| + |x + 1| : x ∈ R oraz |x| < 2} ,
B = {|x − 1| − |x + 1| : x ∈ R} .
17. Znaleźć inf A i sup A, gdzie
A = {x + y + z : x, y, z > 0, xyz = 1} .
2
18. Zbiór niepusty A ⊂ R ma tę własność, że dla każdego a ∈ A istnieje element b ∈ A
taki, że b ≤
a
2
+ 1
. Wykazać, że inf A ≤ 2.
19. Wyznaczyć kres górny i dolny zbioru
A =
n − k
2
n
2
+ k
3
: n, k ∈ N
.
20. Wyznaczyć kres górny i dolny zbioru
m
2
− n
m
2
+ n
2
: n, m ∈ N, m > n
.
21. Zbiór niepusty A ⊂ (0, ∞) ma tę własność, że jeśli a ∈ A, to
1
a
∈ A. Wykazać, że
jeśli A jest ograniczony z góry, to inf A · sup A = 1.
22. Ciąg (a
n
)
jest określony rekurencyjnie:
a
1
= 2,
a
2
= 7,
a
n+2
= 7a
n+1
− 10a
n
dla n=1,2,. . .
Udowodnić, że a
n
= 2
n−1
+ 5
n−1
dla wszystkich n ∈ N.
23. Wykazać, że dla każdego n ∈ N zachodzi nierówność
1
1
4
+
1
2
4
+
1
3
4
+ · · · +
1
n
4
≤ 2 −
1
√
n
.
24. Udowodnić, że prawdziwy jest następujący wzór:
n
0
+
n
2
+
n
4
+ · · · +
n
2 [n/2]
= 2
n−1
.
25. Wykazać, że
0
2
n
0
+ 1
2
n
1
+ 2
2
n
2
+ · · · + n
2
n
n
= n(1 + n) · 2
n−2
.
Wskazówka. Zauważyć, że k
2
= k(k − 1) + k
i obliczyć dwie sumy.
26. Załóżmy, że (s
k
)
jest ciągiem liczb rzeczywistych nieujemnych, s
1
≤ 1, i dla każ-
dego k ≥ 1 spełniona jest nierówność
s
k+1
≤ 2k + 3
k
X
j=1
s
j
.
Wykazać, że s
k
< 7
k
dla wszystkich k naturalnych.
Wskazówka. 2k < 1 + 2k ≤ (1 + 2)
k
na mocy nierówności Bernoulli’ego.
3
2
Ciągi i granice.
27. Obliczyć granice następujących ciągów:
a
n
=
1 + 2 + · · · + n
n
2
,
b
n
=
9 + 16 + · · · + (7n + 2)
n
2
.
28. Obliczyć granice następujących ciągów:
a
n
=
3 + (−1)
n
+ 9
√
n − 7n
5
− 2[
3
√
n ]n
(3n − 1)(n − 2)(2n − 3)(n − 4)(4n − 5) + 2
−n
,
b
n
= −3n
3
+
r
9n
6
+ 7n
3
+ (−1)
n
1 +
1
n
− 10n
2
.
29. Obliczyć granicę
lim
n→∞
1
n
2
+ 2
+
1
n
2
+ 4
+ . . .
1
n
2
+ 2n
n.
30. Obliczyć granice następujących ciągów:
a
n
=
n
2
7
√
n
,
b
n
=
3
√
n
2
n
.
31. Znaleźć granicę ciągu
a
n
=
√
n + 1 −
√
n − 1
√
2n + 1 .
32. Obliczyć granicę
lim
n→∞
n
q
n +
√
n + 2012 −
q
n +
√
n + 2010
.
33. Obliczyć granicę
lim
n→∞
p
n +
√
n + 2012 −
p
n +
√
n + 2010
3
√
n
3/2
+ 2012 −
3
√
n
3/2
+ 2010
.
34. Niech, dla wszystkich k naturalnych,
s
k
=
2k−1
X
n=k
n
2
n
.
Wykazać, że
s
k
=
(2k + 2)2
k
− 4k − 2
2
2k
dla k ∈ N
i obliczyć granicę ciągu (s
k
)
.
4
35. Niech, dla wszystkich k naturalnych,
s
k
=
k−1
X
n=0
n
4
3
n
.
Wykazać, że
s
k
= 12 + (3k − 12)
4
3
k
dla k ∈ N
i obliczyć granicę ciągu c
k
= s
k
/2
k/2
.
36. Niech a
n
będzie ciągiem zadanym rekurencyjnie: a
1
jest pewną liczbą rzeczywi-
stą, a ponadto
a
n+1
= a
2
n
− 1
dla n = 1, 2, . . .
Udowodnić, że gdy |a
1
| ≤ (1 +
√
5)/2
, to ciąg (a
n
)
jest ograniczony, a gdy |a
1
| > (1 +
√
5)/2
, to ciąg (a
n
)
jest rozbieżny (do +∞.)
37. Udowodnić, że ciąg
a
1
= 3,
a
2
= 3 −
2
3
,
. . . , a
n
= 3 −
2
a
n−1
,
. . .
jest zbieżny i znaleźć jego granicę.
38. Dany jest ciąg (a
n
)
n≥1
taki, że a
1
= a
2
= 1
oraz 2a
n+2
= 2a
n+1
+ a
n
dla n = 1, 2, 3 . . ..
Wykazać, że
a
n
=
1
√
3
h
1 +
√
3
2
n
−
1 −
√
3
2
n
i
.
Obliczyć lim
n→∞
n
√
a
n
.
39. Obliczyć granicę
lim
n→∞
(n!)
n
n
n
2
.
40. Obliczyć granicę
lim
n→∞
ln(3n
2
+ 20n + 5)
ln(n
9
− 3n + 12)
.
41. Obliczyć granicę
lim
n→∞
n(1 −
n
√
ln n) .
42. Obliczyć granicę
lim
n→∞
n ln(n
2
+ 1) − 2n(ln n)
n
√
ln n
.
5
43. Obliczyć granicę
lim
n→∞
n − 1
n + 1
b
n
,
gdzie b
n
= (
√
n + 1 −
√
n − 1)
−2
.
44. Ciąg (a
n
)
jest określony rekurencyjnie:
a
1
=
1
2
,
a
2
= 1,
a
n
=
1
2
a
n−1
+
√
a
n−2
dla n ≥ 3.
Wykazać, że ciąg (a
n
)
jest rosnący i ograniczony, a następnie znaleźć jego granicę.
45. Ciąg (x
n
)
jest określony rekurencyjnie:
x
1
= 2,
x
n+1
= f (f (x
n
))
dla n = 1, 2, . . . ,
gdzie f (x) = 1 +
1
x
. Wykazać, że x
n
jest monotoniczny i ograniczony i obliczyć jego
granicę.
46. Ciąg {a
n
}
∞
n=1
ma wyrazy dodatnie i jest ograniczony. Wykazać, że jeśli ciąg (c
n
)
ma granicę równą 0, to ciąg dany wzorem
b
n
:= c
n
n
p
ln(1 + a
1
) · ln(1 + a
2
) · . . . · ln(1 + a
n
)
też ma granicę równą 0.
Wskazówka. Wykorzystać nierówność ln(1 + x) ≤ x dla x > 0.
47. Obliczyć granicę
lim
n→∞
1 +
n
√
n
2
n
ln n
.
48. Wykazać, że jeśli ciąg liczb rzeczywistych (a
n
)
spełnia jednocześnie dwa warunki:
lim
n→∞
(a
n+1
− a
n
) = 0,
a ponadto
∀
ε>0
∃
N ∈N
∀
n,m>N
|a
3m
− a
3n
| ≤ ε,
to (a
n
)
jest zbieżny. Podać przykłady świadczące o tym, że żaden z powyższych wa-
runków z osobna nie jest warunkiem wystarczającym zbieżności ciągu a
n
.
49. Wykazać, że jeśli
A = {a
n
: n ∈ N}
jest zbiorem wyrazów zbieżnego ciągu liczb rzeczywistych (a
n
)
, to sup A ∈ A lub
inf A ∈ A
.
Podać przykład takiego ograniczonego ciągu rozbieżnego (b
n
)
, dla którego ani
sup B
, ani inf B nie są elementami zbioru B wszystkich wyrazów ciągu (b
n
)
.
6
50. Obliczyć granicę
lim
n→∞
1 · 4 · 7 · . . . · (3n + 1)
2 · 5 · 8 · . . . · (3n + 2)
.
Wskazówka: przydatne mogą być (ale nie muszą) różne własności logarytmu natu-
ralnego.
7