II kolokwium

Analiza Matematyczna 2

ZESTAW A

1. W całce podwójnej

2

R

0

dx

√

2x−x

2

R

x

2

−4x

f (x, y)dy zmienić kolejność całkowania.

Sporządzić rysunek obszaru całkowania D. Wykorzystując jeden ze sposobów opisu obszaru D
obliczyć całkę podwójną

RR

D

ydxdy.

2. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:

z = 4 − 3

√

x

2

+ y

2

, z = x

2

+ y

2

.

Sporządzić odpowiednie rysunki.

3. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

∞

P

n=1

(1 − 2x)

n

√

n2

n

.

4. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania y

0

+ 2ty =

1

t

e

−t

2

, a następnie podać rozwiązanie

zagadnienia początkowego z warunkiem y(1) = 1.

ZESTAW B

1. W całce podwójnej

2

R

−2

dy

−y

R

−2−

√

4−y

2

f (x, y)dx zmienić kolejność całkowania.

Sporządzić rysunek obszaru całkowania D. Wykorzystując jeden ze sposobów opisu obszaru D
obliczyć całkę podwójną

RR

D

xydxdy.

2. Obliczyć masę obszaru określonego warunkami: x

2

+ y

2

­ 4, (x − 2)

2

+ y

2

¬ 4, y ­ 0, jeżeli

gęstość masy zadana jest wzorem σ(x, y) = y. Sporządzić odpowiednie rysunki.

3. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

∞

P

n=1

n(2x + 5)

n

3

n

·

√

n

2

+ 1

.

4. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania

ty

0

− 2y = t ln t, a następnie podać rozwiązanie

zagadnienia początkowego z warunkiem y(1) = 0.

ZESTAW C

1. W całce podwójnej

0

R

−4

dx

2+

√

−4x−x

2

R

−x−2

f (x, y)dy zmienić kolejność całkowania.

Sporządzić rysunek obszaru całkowania D. Jaka jest wartość średnia po obszarze D z funkcji
f (x, y) =

√

2 ?

2. Obliczyć pole części powierzchni paraboloidy z = 4 − (x

2

+ y

2

) wyciętej przez płaszczyzny

z = 1, z = 2. Sporządzić odpowiednie rysunki.

3. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

∞

P

n=1

ln n

n

2

(x + 1)

n

.

4. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania t

2

y

0

−y = 2, a następnie podać rozwiązanie zagadnienia

początkowego z warunkiem y(1) = 0.

ZESTAW D

1. W całce podwójnej

2

R

−2

dy

4−y

2

R

−2+

√

4−y

2

f (x, y)dx zmienić kolejność całkowania.

Sporządzić rysunek obszaru całkowania D. Wykorzystując jeden ze sposobów opisu obszaru D
obliczyć całkę podwójną

RR

D

ydxdy.

2. Obliczyć masę obszaru określonego warunkami: x

2

+ y

2

¬ 2y, x ­ 0, y ­ 0, jeżeli gęstość

masy zadana jest wzorem σ(x, y) = x. Sporządzić odpowiednie rysunki.

3. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

∞

P

n=2

ln n

n2

n

(2x − 4)

n

.

4. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania y

0

+ y sin t = sin t, a następnie podać rozwiązanie

zagadnienia początkowego z warunkiem y(0) = 2.