Zadania 1. Rachunek prawdopodobieństwa.

1. Rzucamy dwiema kostkami. Niech zdarzenie A polega na tym, że suma wyników jest równa 4, a B - na tym, że przynajmniej na jednej kostce wypadła liczba parzysta. Opisz zdarzenie A ∩ B.

2. Z talii 52 kart losujemy jedną. Z następujących zdarzeń wybrać pary zdarzeń wykluczających się A - wylosowano króla

B - wylosowano pika

C - wylosowano kartę czerwoną

D - wylosowano kartę młodszą od 10

3. Niech A, B, C są zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia: a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C;

b) zachodzą dokładnie dwa zdarzenia spośród A, B, C;

c) zachodzą co najmniej dwa zdarzenia spośród A, B, C;

d) zajdą nie więcej niż dwa zdarzenia spośród A, B, C.

4. Rzucamy trzy razy monetą. Zdarzenie Ai polega na tym, że otrzymamy orła w i-tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Za pomocą działań na zdarzeniach Ai zapisać następujące zdarzenia: a) w drugim rzucie otrzymano orła;

b) otrzymano co najmniej jednego orła;

c) otrzymano dokładnie jednego orła;

d) liczba orłów była większa od liczby resztek.

5. Wykazać, że jeśli P ( A) + P ( B) > 1, to A i B nie mogą się wykluczać.

6. Niech P ( A) = x, P ( B) = x 2. Wiadomo, że oba zdarzenia się wykluczają, ale jedno z nich musi zajść. Obliczyć x.

7. Udowodnić, że jeśli C ⊃ A ∩ B, to P ( C) ­ P ( A) + P ( B) − 1.

8. Dwóch piłkarzy chodzi niezbyt regularnie na treningi. Jeden opuszcza 40% zajęć, a drugi chodzi na 70%. Jednocześnie są na 40% treningów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że na treningu a) jest dokładnie jeden z nich, b) nie ma żadnego.

9. Dane są P ( A ∪ B) = 0 . 75 i P ( A ∩ B) = 0 . 5, ponadto P ( A\B) = P ( B\A). Obliczyć P ( A) i P ( B\A).

10. Dane są P ( A0 ∩ B0) = 1 , P ( A0) = 5 , ponadto P ( A ∩ B) = 1 . Obliczyć P ( B) oraz P ( A0 ∩ B).

3

9

3

11. Dane są P ( A) = 1 , P ( B) = 7 , A ∩ B = ø. Uporządkowac rosnąco P ( A ∪ B) , P ( A0 ∪ B) , P ( A ∪ B0).

8

8

12. Wykazać, że P ( A 4 B) ¬ 1 − P ( A ∩ B) ¬ 2 − P ( A) − P ( B).

13. Ze zbioru liczb { 1 , 2 , . . . , 99 } losujemy jedną. Znaleźć prawdopodobieństwo, że będzie ona podzielna przez 2 lub 3.

14. Siedem osób, wśród których są osoby A,B i C, ustawiamy losowo w szeregu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoby A, B, C stoją osbok siebie w kolejności

(a) B,C,A,

(b) dowolnej?

15. 5 chłopców i 4 dziewczynki ustawiamy losowo w szeregu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoby tej samej płci nie stoją obok siebie?

16. 5 chłopców i 5 dziewcząt ustawiamy losowo w szeregu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoby tej samej płci nie stoją obok siebie?

17. Liczby 1 , 2 , . . . , 8 ustawiamy losowo w ciąg. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) na pierwszym miejscu stoi 3,

(b) na trzecim miejscu stoi 2, zaś na piątym 6,

(c) na początku stoją liczby nieparzyste, a potem parzyste?

Źródło : J. Jakubowski, R. Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego, SCRIPT, Warszawa 2006.

18. Ze zbioru { 1 , 2 , . . . , 9 } losujemy kolejno bez zwracania trzy liczby, a następnie układamy je w kolejności losowania w liczbę trzycyfrową. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymana liczba

(a) jest parzysta,

(b) jest podzielna przez 5,

(c) jest mniejsza od liczby 782?

19. W przedziale wagonu kolejowego są ustawione naprzeciw siebie dwie ławki. Każda ma 5 ponumerowanych miejsc.

Do przedziału weszło pięć osób. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzy z nich będą siedziały przodem, a dwie tyłem do kierunku jazdy?

20. Czterech pasażerów wsiada na parterze do windy, która zatrzymuje się na każdym z pięciu pięter domu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że

(a) każdy pasażer wysiądzie na innym piętrze,

(b) wszyscy pasażerowie wysiądą na dwóch różnych piętrach?

21. Z grupy 3 mężczyzn i 4 kobiet wybieramy trzy osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wybranych osób (a) byli sami mężczyźni,

(b) były same kobiety,

(c) były dwie kobiety i jeden mężczyzna,

(d) kobiet było więcej niż mężczyzn?

22. Ze zbioru { 1 , 2 , . . . , 15 } losujemy jednocześnie dwie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) suma obu liczb jest parzysta,

(b) suma obu liczb jest nieparzysta,

(c) iloczyn obu liczb jest parzysty,

(d) iloczyn obu liczb jest podzielny przez 8?

23. Z talii 52 kart losujemy jednoczeście 4 karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kart znajdują się

(a) dwie damy i dwa asy,

(b) trzy karty młodsze od dziewiątki i jeden król,

(c) trzy figury i jedna karta nie będąca figurą?

24. Z talii 52 kart losujemy jednocześnie 13 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kart (a) będzie co najmniej jeden as,

(b) będą trzy damy i dwie dziesiątki,

(c) będą co najwyżej dwie damy?

25. W pierwszej loterii jest n losów, spośród których jeden wygrywa, w drugiej 2n losów, spośród których dwa wygrywają. W której z tych loterii gracz kupujący dwa losy ma większą szansę otrzymania co najmniej jednego losu wygrywającego?

26. Jaka jest szansa uzyskania sześciu trafień w Toto-Lotku, gdzie losuje się 6 liczb z 49?

27. W Toto-Lotku losuje się 6 liczb z 49. Jaka jest szansa, że żadne dwie nie będą kolejnymi?

Źródło : J. Jakubowski, R. Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego, SCRIPT, Warszawa 2006.