PRZYKŁADOWE ZADANIA TEORETYCZNE. KOLOKWIUM I.
n −1
1. Podać definicję kresu górnego zbioru liczbowego. Znaleźć sup
,n ∈ N .
n
n +1
2. Podać definicję kresu dolnego zbioru liczbowego. Znaleźć inf
,n ∈ N .
n
3. Niech f : A → R będzie funkcją ograniczoną. Podać definicję sup f . Wskazać supremum funkcji f ( x ) = a c r tgx .
4. Sformułować twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym. Korzystając z 1
1
1
niego uzasadnić zbieżność ciągu: a
L
L
.
n =
+
+
+
2 + 1
22 + 1
2 n + 1
5. Sformułować twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym. Uzasadnić 1
1
1
zbieżność ciągu: a =
+
+ L
L
+
.
n
n + 1
n + 2
2 n
6. Podać definicję granicy ciągu liczbowego. Uzasadnić, że granica ciągu o wyrazach ujemnych nie może być liczbą dodatnią.
7. Sformułować twierdzenie o zachowaniu nierówności przy przejściu do granicy ciągów
{ a , b , a ≤ b . Podać przykład ciągów, dla których silna nierówność między ich n } { n }
n
n
wyrazami ( a < b nie implikuje silnej między ich granicami.
n
n )
2
1
8. Podać definicję granicy ciągu liczbowego. Wykazać z definicji, że lim1 +
= 1
n→∞
n
9. Wykazać, że ciąg zbieżny jest ograniczony.
10. Sformułować i udowodnić twierdzenie o trzech ciągach. Znaleźć granicę 1
1
1
ciągu: an =
+
+LL+
.
2
2
2
n
+1
n
+ 2
n
+ n
11. Sformułować i udowodnić twierdzenie o trzech ciągach. Stosując to twierdzenie 2
sin n + 4 n
znaleźć granicę: lim
n→∞
3 n −1
12. Wykazać, że funkcja wykładnicza rośnie szybciej niż potęgowa
k
n
tzn.: (∀ a > 1 , ∀ k ∈ N ) lim
= 0 . Sformułować twierdzenie, z którego należy n
n→∞ a
skorzystać.
∞
n
1
13. Podać własności ciągu : 1 +
oraz sformułować twierdzenie, z którego
n
n=1
2010
2011
2011
2012
wynika jego zbieżność. Wskazać większą z liczb:
,
.
2010
2011
Odpowiedź uzasadnić.
∞
n
1
14. Korzystając z własności ciągu 1 +
oraz własności funkcji logarytmicznej
n
n=1
1
1
uzasadnić, że prawdziwa jest nierówność: ln1 + <
n
n
15. Korzystając ze zbieżności ciągu { n n}∞ uzasadnić, że dla każdej liczby dodatniej a : n=1
n
lim a = 1
n→∞
16. Korzystając z definicji granicy funkcji w sensie Heine'go wykazać, że lim sin x = 0
x→0
π
17. Podać definicję granicy funkcji w sensie Heine'go. Uzasadnić, że lim a c r ctgx =
x→0
2
18. Podać definicję granicy funkcji w sensie Heinego. Uzasadnić, że nie istnieje granica .
1
lim co
s
x →
2
0
x
x 2
1
19. Uzasadnić, że lim 1 +
= e
x→∞
x 2
2
x − 5 x + 6
20. Podać definicję granicy prawostronnej. Obliczyć lim
+
x→3
x − 3
2
x − 5 x + 6
21. Podać definicję granicy lewostronnej. Obliczyć lim
−
x→2
x − 2
2
x − 5 x + 6
22. Czy funkcja f ( x ) =
ma granicę w punkcie x = 3 ? Sformułować x − 3
0
twierdzenie, z którego należy skorzystać.
sin x
tgx
arctgx
arcsin x
23. Wykazać, że lim
= 1 , lim
= 1 , lim
= 1 , lim
= 1
x→0
x→0
x→0
x→0
x
x
x
x
tg 2 x
π
π
x ∈ −
, 0 ∪ 0 ,
24. Zbadać ciągłość funkcji f(x)= x
4
4
2
x = 0
25. Sformułować twierdzenie Darboux. Korzystając z tego twierdzenia wykazać, że równanie ln( x + 2
3
) + x + x = 0 ma rozwiązanie w przedziale <-1,1>.
26. Podać definicję pochodnej. Wykazać z definicji, że (cosx)'=-sinx.
27. Zbadać istnienie pochodnej funkcji f ( x ) |
= sin x | w x=0.
28. Zbadać istnienie pochodnej funkcji f ( x ) |
= ln x | w x=1.
29. Podać definicję pochodnej. Znaleźć wzór na pochodną funkcji f ( x) = ln | x | .
30. Wyprowadzić wzory na pochodną funkcji f ( x ) = tgx i g( x ) = ctgx .
31. Sformułować twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej. Wyprowadzić wzory na pochodne funkcji f ( x ) = e x , g( x ) = a c r tgx.
″
0
32. Sformułować regułę de l'Hospitala dla nieoznaczoności Znaleźć granicę
0
"
2
1
x sin x
lim
. Czy można tu zastosować regułę de l'Hospitala?
x→0
sin x
″
∞
33. Sformułować regułę de l'Hospitala dla nieoznaczoności Znaleźć granicę
∞
"
x + cos 2 x
lim
. Czy można tu zastosować regułę de l'Hospitala?
x→∞ x − cos x