♠ 1. Granica ciagu a
,
n = (1 − 2 /n)2 n, przy n → ∞, wynosi: (A) e− 4; (B) e− 1 / 4;
(C) 4 e;
(D) e 1 / 4.
♠ 2. Które z poniższych równości sa prawdziwe:
,
( A) lim
x−|x+1 | = 0 i lim x−|x+1 | = 2
x→−∞
x
x→+ ∞
x
( B) lim
x−|x+1 | = 0 i
lim
x−|x+1 | = 0
x→−∞
x
x→+ ∞
x
( C) lim
x−|x+1 | = 2 i
lim
x−|x+1 | = 0
x→−∞
x
x→+ ∞
x
( D) lim
x−|x+1 | = 2 i
lim
x−|x+1 | = + ∞.
x→−∞
x
x→+ ∞
x
∑
♠
∞
3. Jeśli szereg liczbowy
a
n=1
n jest zbie żny, to
∑ ∞
∑ ∞
(A) lim n→∞ an = 0; (B) lim n→∞ an może nie istnieć; (C) ( − 1) na
|a
n=1
n jest zbie żny; (D)
n=1
n| jest zbie żny;
♠ 4. Która z poniższych funkcji jest ciag la w punkcie − 1?
{
,
{
( x− 1)2
if x ̸= − 1 ,
x 3 − 1
if x ̸= − 1 ,
( A) f ( x) =
x 2 − 1
( B) f ( x) =
x 2 − 1
0
if x = − 1 .
0
if x = − 1 .
{
{
( x+1)2
if x ̸= − 1 ,
x 3+1
if x ̸= − 1 ,
( C) f ( x) =
x 3+1
( D) f ( x) =
( x+1)2
0
if x = − 1 .
0
if x = − 1 .
♠ 5. Niech f : R → R bedzie funkcja ciag la taka, że f( − 1) = − 4, f(0) = 1, f(1 / 2) = − 5 oraz f(1) = − 1.
,
,
,
,
,
Wówczas z w lasności Darboux wynika, że:
(A) Funkcja f ma co najwyżej dwa miejsca zerowe w przedziale [ − 1 , 1], (B) Funkcja f ma co najwyżej jedno miejsce zerowe w przedziale [0 , 1 / 2], (C) Funkcja f ma co najmniej jedno miejsce zerowe w przedziale [1 / 2 , 1], (D) Funkcja f ma przynajmniej dwa miejsca zerowe w przedziale [ − 1 , 1].
♠ 6. Które z nastepujacych zdań jest prawdziwe dla każdej funkcji ciag lej f : [0 , 1] → R?
,
,
,
(A) Dla każdego ε > 0 istnieje x 0 ∈ [0 , 1] taki, że f ( x 0) > sup f ( x)] + ε.
x∈[0 , 1]
(B) f ma w lasność Darboux.
(C) f może być nieograniczona.
(D) Istnieje punkt x 0 ∈ [0 , 1] taki, że f ( x) > f ( x 0) dla każdego [0 , 1] ∋ x ̸= x 0.
♠
3
7. Pochodna funkcji e 3 ln x+2 jest: (A) e 3 ln x+2 ; (B) 3 e ln x + 2;
(C) 3 e 2 x 2;
(D) 6 e 3 ln x+2.
,
♠ 8. Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe dla każdej funkcji różniczkowalnej f : ( a, b) → ( −∞, + ∞)?
(A) Jeśli f ma maksimum w punkcie x 0 ∈ ( a, b), to f ′′( x 0) = 0; (B) Jeśli f ′( x 0) = 0, to f ma ekstremum w punkcie x 0; (C) Jeśli f ma minimum w punkcie x 0 ∈ ( a, b), to f ′( x 0) > 0; (D) Jeśli f ma maksimum w punkcie x 0 ∈ ( a, b), to f ′( x 0) = 0.
♠ 9. Który z podanych ciagów jest ograniczony
,
(A) an = nn/n!; (B) an =
1
; (C) a
+ sin n! ) n ?
sin 1
n = (3 − 2 /n) n; (D) an = ( 1
2
n
n
♠ 10. Która z poniższych funkcji spe lnia za lożenia twierdzenia Lagrange’a na odcinku [0 , 1]?
(A) x , (B) |x − 1 / 2 |, (C) x 2 , (D) 1 /x.
x− 2
x 2 − 1
∫
♠ 11.
ln2 x dx =
( A)
x ln2 x + 2 x 2 ln x + x + C
( B)
x ln2 x − 2 x ln x + 2 x + C
( C)
x 2 ln x + 2 x + C
( D)
x 2 ln2 x − ln x + 2 x + C.
♠ 12. Które z nastepujacych zdań poprawnie opisuje pojecie granicy lim
,
,
,
n→∞ an = a ?
A) Istnieje liczba n 0 ∈ N taka, że dla każdego ε > 0 i każdego n ≥ n 0 spe lniona jest nierówność |an − a| < ε; B) Dla każdego ε > 0 zbiór {n ∈ N : |an − a| < ε} jest nieskończony; C) Dla każdego ε > 0 zbiór {n ∈ N : |an − a| ≥ ε} jest skończony; D) Istnieje ε > 0 i liczba n 0 ∈ N taka, że dla każdego n ≥ n 0 spe lniona jest nierówność |an − a| < ε.
♠ 13. Wektory [1 , 2 , 3] , [0 . 1 . 4] , [5 , 0 , 1]: A) sa liniowo niezależne,
B) sa liniowo zależne,
C) leża na jednej p laszczyźnie,
,
,
,
D) jeden z nich jest prostopad ly do pozosta lych.
♠ 14. Liczba − 1
√ − 1
√ i ma nastepujaca postać trygonometryczna: 2
2
,
,
,
,
A) cos 7 π + i sin 7 π
B) cos 5 π + i sin 5 π
C) cos 5 π + i sin 5 π
D) sin 7 π + i cos 7 π .
2
2
2
2
4
4
4
4
∑
♠
∞
15. Promień zbieżności szeregu
n 2 xn jest równy: (A) 5;
(B) 1 / 5;
(C) 25;
(D) 1 / 25.
n=1 5 n
1
♠ 16. Który z podanych ciagów jest rozbieżny
,
√
√
∑
∑
(A) a
n
1
n
n = (1 + 1 ) n; (B) a
n + 1 −
n; (C) a
; (D) a
1 / 2 k?
n 2
n =
n =
k=1 2 k
n =
k=1
♠ 17. Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe dla dowolnych funkcji f, g : [ a, b] → R, majacych ciag le pochodne
,
,
?:
∫
∫
b
b
(A)
f ( x) g′( x) dx +
f ′( x) g( x) dx = f ′( b) g′( b) − f ′( a) g′( a); a
a
∫
∫
b
b
(B)
f ( x) g′( x) dx −
f ′( x) g( x) dx = f ( b) g( b) − f ( a) g( a); a
a
∫
∫
b
b
(C)
f ( x) g′( x) dx +
f ′( x) g( x) dx = f ( b) g( b) − f ( a) g( a); a
a
∫
∫
b
b
(D)
f ( x) g′( x) dx −
f ′( x) g( x) dx = f ′( b) g′( b) − f ′( a) g′( a); a
a
♠
na
18.
Dana jest rosnaca funkcja f : [ a, b] → [ f ( a) , f ( b)] majaca ciag la pochodna na ca lym odcinku. Który z
,
,
,
,
,
poniższych wzorów jest spe lniony dla dowolnej funkcji ciag lej h : [ f ( a) , f ( b)] → R ?
,
∫
∫
∫
∫
b
f ( b)
f ( b)
b
(A)
h( y) dy =
h[ f ( x)] f ′( x) dx, (B)
h( y) dy =
f [ h( x)] f ′( x) dx, a
f ( a)
f ( a)
a
∫
∫
∫
∫
b
f ( b)
f ( b)
b
(C)
f ( y) dy =
f [ h( x)] h′( x) dx, (D)
h( y) dy =
h[ f ( x)] f ′( x) dx.
a
f ( a)
f ( a)
a
♠ 19. Poniżej P = ( a, b) × ( c, d), ( x 0 , y 0) ∈ P , a f : P → ( −∞, + ∞) ma ciag le pochodne czastkowe 2-ego rzedu na
,
,
,
P . Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe?
(A) f może nie być różniczkowalna na P ; (B) Jeśli f ma ekstremum w ( x 0 , y 0), to df ( x 0 , y 0) = 0;
′′
′′
′′
(C) Jeśli f
( x
( x
( x
xx
0 , y 0) fyy
0 , y 0) − [ fxy
0 , y 0)]2 > 0, to f nie ma w ( x 0 , y 0) ekstremum;
′′
′′
′′
(D) Jeśli f
( x
( x
( x
xx
0 , y 0) fyy
0 , y 0) − [ fxy
0 , y 0)]2 < 0, to f ma w ( x 0 , y 0) ekstremum;
√
∫
♠
1
20.
Po podstawieniu
x 2 + x + 2 = t − x ca lka dx
√
zamienia sie na ca lke:
0
x 2+ x+2
,
,
∫
∫
∫ √
∫ √
3 2 t + 1
3
2
2
2 dt
13
t
( A)
√
dt
( B)
√
dt
( C)
√
( D)
dt.
2 t 2 + 2
2 2 t + 1
13 t( t 2 + 2)
1
2 t + 1
♠ 21. Dany jest macierzowy jednorodny uk lad równań A x = 0, gdzie A jest macierza kwadratowa, majaca m wierszy
,
,
,
,
i m kolumn. Zak ladamy, że m > 2.
Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe?
(A) Jeśli rzad macierzy A jest równy m − 1, to uk lad nie ma rozwiazania;
,
,
(B) Jeśli det A = 0, to uk lad nie ma rozwiazania;
,
(C) Jeśli rzad A jest równy m, to jedynym rozwiazaniem uk ladu jest x = 0;
,
,
(D) Jeśli det A ̸= 0, to uk lad ma nieskończenie wiele rozwiazań.
,
♠ 22. Dana jest macierz A = [ aij] i≤m ,j≤n taka, że m < n. Niech r bedzie rzedem macierzy.
,
,
Które z podanych niżej stwierdzeń jest prawdziwe?
(A) Liczba r jest równa maksymalnej ilości liniowo niezależnych wierszy; (B) m ≤ r ≤ n;
(C) r = n − m.
(D) Liczba r jest równa minimalnej ilości liniowo niezależnych kolumn;
♠ 23. Która z podanych niżej rodzin funkcji jest ca lka ogólna równania dy + y = 2 x?
,
,
dx
x
(A) x 2 + c/x,
(B) 2 x 2 + c/x,
(C) 1 x 3 + c/x,
(D) x 2 + x + c.
3
4
3
− 4 2
♠ 24. Dana jest macierz A = 2 − 3 1 . Który z poniższych wyznaczników jest równy 4 det A?
3
− 5 − 3
− 9 12 − 6
12 − 4 2
12 − 16 8
3 − 4 8
(A) 2
− 3 1 ,
(B) 2
− 12 1
, (C) 8
− 12 4
, (D) 2 − 3 4
.
− 9 15 9
3
− 5
− 12
12 − 20 − 12
3 − 5 − 12
♠ 25.
∫ 1 √
√
3
√
3
√
3 x + 1 dx =:
( A) 3 3 2
( B) 5
( C)
(2 3 2 − 1) ( D) (23 3 2 − 1) .
0
4
4
♠ 26. Różniczka df(1 , 2 , 2) funkcji f( x, y, z) = ln(3 x + 2 y + z + 1) jest równa: (A) 3 dx + 2 dy + 1 dz;
(B) 1 dx + 2 dy + 3 dz;
(C) 3 dx + 1 dy + 2 dz;
(D) 2 dx + 3 dy + 4 dz.
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
♠ 27. Różniczka d 2 f(0 , 2 , 1) funkcji f( x, y, z) = 3 x 2 + xy 2 z + 1 /z jest równa: (A) 6 dx 2 + 2 dz 2 + 8 dxdy + 8 dxdz (B) − 6 dx 2 + 4 dy 2 − 6 dz 2 + 8 dxdy − 8 dzdx (C) 4 dx 2 + 8 dy 2 + 8 dxdy + 6 dydz + 8 dzdx (D) 6 dx 2 + 4 dy 2 + 6 dz 2 + 8 dxdy + 8 dydz + 8 dzdx 2
♠ 28. Dane sa macierze kwadratowe A , B tego samego wymiaru. Która z poniższych równości zawsze jest prawdziwa?
,
(A) det A + det B = det(A + B);
(B) AB = BA; (C) AB ̸= BA;
(D) det (AB) = det (BA).
♠ 29. Ca lka ogólna równania różniczkowego y′′ = −y jest funkcja:
,
,
(A) y = sin x + a cos2 x + b (B) y = aex + be−x
(C) y = a cos x + b sin x (D) y = 0.
♠ 30. Dziedzina funkcji f( x, y) = arcsin ln( xy) jest zbiór
,
(A) {( x, y) : xy > 1 } (B) {( x, y) : 1 ≥ xy ≥ e− 1 |
(C) {( x, y) : e− 1 ≤ xy ≤ e} (D) {( x, y) : 1 ≤ xy ≤ e}.
3