Wzorce długoS
ci masy i czasu
DługoS
ć
In October 1983, the meter (m) was redefined as the distance traveled by light in
vacuum during a time of 1/299 792 458 second
Masa
The kilogram (kg), is defined as the mass of a specific
platinum iridium alloy cylinder kept at the International
Bureau of Weights and Measures at Sevres, France
Czas
The second (s), is defined as 9 192 631 770 times the period of vibration of radiation from
the cesium-133 atom
c a b
Działania na wektorach
Dodawanie (składanie) wektorów
metoda
metoda trójkąta
równoległoboku
b
a c a
a
+ = =
c
b
b
c2 a2 b2 2abcos(180 )
c a2 b2 c
c a b c |a b|
a
b
a b
a
b a
(twierdzenie
b
Pitagorasa)
 a b b a ,
 a b c ( a b) c a ( b c ).
a3 a4
a2
a a1 a a a a
2 3 4 5 a5
a1
a
metoda
Odejmowanie wektorów c a b a ( b)
równoległoboku
a
a
c
-
= =
+
a
b b
b
Mnożenie wektorów przez liczbę c r a
c
dla r 0
a
r
=
c
dla r 0
Rozkład wektora na wektory składowe.
zadane kierunki
P
P
dla rozkładu
a
a a a
p q
a
Q
ap
Q
zadany wektor
aq
a
a a a
Wersor
|a| 1 a || a
a
Wersor osi liczbowej OX :
i , x, e , nx 1 0 1 2 3 4 5
X
x
i
Rzut wektora
c acos b
a
a
c
c
b b b
b
a
Rzut wektora na oS
liczbową
a a cos i ax i
x
1 0 1 2 3 4 5
ax
i
X
c a b a bcos
Iloczyn skalarny wektorów
a
a
c
=
b
b
Iloczyn skalarny wektorów Iloczyn skalarny wektorów jest działaniem:
 przemiennym a b b a,
a || b a b ab
 rozdzielnym względem dodawania wektorów a (b c ) a b a c.
a b a b 0
a b
kąt pomiędzy a i b cos ,
ab
a
a
c
b c b
b b
Rzut wektora a na kierunek wektora b
a b a b
c acos b a b a b ( a b) b
a 1
| a|| b|
w szczególnoS
ci rzut wektora a na oS
OX:
a
a ( a i ) i czyli ax a i .
x
1 0 1 2 3 4 5
ax
i
X
a a a2, dlatego a a a
Wektor w dwuwymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych
Y
a a a
x y
a
a acos i acos j ax i ay j
ay
2 2 j
a ax ay
0 X
ax
i
Y
Dodawanie wektorów
b
by
c
cy a
c a b
ay
cx ax bx
0
X
ax
bx
cy ay by
cx
Działania na składowych wektora.
Dodawanie wektorów:
c a b a a ax i ay j bx i by j (ax bx ) i (ay by ) j ,
x y
cx a bx
x
czyli .
cy a by
y
Iloczyn wektora przez liczbę:
c r a r (a i a j ) r a i r a j
x y x y
cx r a
x
i stąd .
cy r a
y
Iloczyn skalarny wektorów:
c a b (ax i ay j ) (bx i by j ) axbx i i axby i j
ay bx j i ay by j j axbx ay by
}
}
}
}
Wektor w trójwymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych
a acos i
x
Z
a a a a
x y z
a acos j
az
a y
a acos k
z
k
i
j
Y
ay
a acos i acos j acos k ax i a j az k
y
ax
2 2
X
a ax a2 az
y
Iloczyn wektorowy wektorów
c | c| ab|sin |
c a b
c
a
X
=
b
a
a || b a b 0
b a b | a b| ab
Działania na wektorach w trójwymiarowym układzie współrzędnych
cx ax bx cx r ax
c a b czyli cy ay by , c r a czyli cy r ay ,
cz az bz cz r az
c a b (ax i a j az k ) (bx i by j bz k ) a bx i i a by i j
y x x
a bz i k a bx j i ay by j j ay bz j k az bx k i az by k j az bz k k
x y
(axby ay bx ) k ( a bz az bx ) j (a bz az by ) i
x y
a b b a, a (b c ) a b a c.