Dr inż. Michał Chłędowski
AUTOMATYKA
Materiały dydaktyczne
dotyczące zagadnień przewidzianych w I pracy kontrolnej
Zakres tematyczny: Podstawowe człony automatyki, opis własności statycznych i dynamicznych,
transmitancja operatorowa, charakterystyka skokowa, charakterystyka częstotliwościowa
Treść zadania:W pracy należy zrealizować następujące zadania:
1. Wybrać dowolny element automatyki. Narysować go schematycznie oraz narysować jego schemat
blokowy z zaznaczeniem sygnału wejściowego i wyjściowego a także przyjąć liczbowe wartości
parametrów charakteryzujących ten element.
2. Wyprowadzić równanie opisującego właściwości dynamiczne i statyczne elementu automatyki w
dziedzinie czasu.
3. Określić transmitancję przejścia opisywanego elementu z równania operatorowego uzyskanego w
wyniku zastosowania przekształcenia Laplace a do równania w dziedzinie czasu.
4. Wyznaczyć wzór na charakterystykę skokową korzystając z odwrotnego przekształcenia Laplace a i
tablic przekształceń Laplace a. Narysować wykres charakterystyki skokowej korzystając z
dowolnego programu komputerowego (Matlab, Scilab, Codas, Origin). Sprawdzić wybrane punkty
wykresu wykonując obliczenia h(t) ze wzoru dla odpowiednich wartości czasu. Wyniki obliczeń
zamieścić w tabelce.
5. Wyznaczyć wzory na charakterystykę częstotliwościową (amplitudowo-fazową) badanego elementu
oraz na charakterystyki logarytmiczne: amplitudową i fazową. Narysować wykresy tych
charakterystyk. Sposób rysowania i sprawdzania jak w pkt.4.
6. Wszystkie punkty pracy kontrolnej należy wykonać ze zrozumieniem realizowanych czynności i
operacji, podchodząc krytycznie do otrzymywanych wyników i przeprowadzić analizę ich
poprawności.
Tok postępowania:
1. Wybrać dowolny element automatyki. Może to być element mechaniczny, elektryczny,
pneumatyczny, hydrauliczny a także mieszany, np. mechaniczno-elektryczny. Warto w tym
celu przeglądnąć kilka pozycji literatury z zakresu automatyki i znalez
ć przykład, który
przynajmniej częściowo będziemy mogli wykorzystać. Ważnym jest, aby wybrany przykład
elementu automatyki był zrozumiały z punktu widzenia jego budowy, zasady działania i
przeznaczenia. Rozważnym jest wybieranie przykładu o średniej skali trudności. W
szczególności chodzi o to, aby był to element liniowy a równanie opisujące właściwości
dynamiczne było równaniem różniczkowym (całkowym) 1-go lub 2-go rzędu (chociaż
oczywiście może być i wyższego). Nie będą akceptowane przykłady z elementem
proporcjonalnym jako zbyt proste. Tak więc odpadają elementy w postaci np. belki
dwuramiennej czy dzielnika napięcia. Wybrany element należy przedstawić graficznie w
postaci prostego ale zrozumiałego rysunku a także jako schemat blokowy elementu
automatyki w postaci prostokÄ…ta z wyraz
nym zaznaczeniem wielkości fizycznych, które w
naszym przykładzie będą pełnić rolę sygnału wejściowego i sygnału wyjściowego. Proszę
podać miana tych sygnałów a także przyjąć przykładowe (ale rozsądne!) wartości liczbowe
parametrów występujących w opracowywanym przykładzie.
2. Dla tak zdefiniowanego elementu automatyki wyznaczyć opis matematyczny jego
właściwości. Przeprowadzając analizę pracy elementu oraz wykorzystując wiedzę ze
stosownych, mających w danym przypadku zastosowanie dziedzin, należy napisać równanie
w dziedzinie czasu (najczęściej różniczkowe), wiążące sygnał wyjściowy z sygnałem
wejściowym i parametrami charakteryzującymi badany element. Tak napisane równanie da
nam opis właściwości dynamicznych elementu. Przyrównując do zera wszystkie pochodne
występujące w równaniu otrzymamy tzw. równanie statyki, czyli zależność sygnału
wyjściowego od wejściowego w stanie ustalonym.
3. Zastosowanie przekształcenia Laplace'a do równania różniczkowego pozwoli napisać
równanie operatorowe. Równanie to powinno być równaniem algebraicznym a zmienną
niezależną będzie operator Laplace'a  s . Korzystając z definicji transmitancji
operatorowej, którą najprościej można zapisać jako: transmitancją operatorową G(s)
nazywamy stosunek transformaty sygnału wyjściowego Y(s) do transformaty sygnału
wejściowego X(s) przy zerowych warunkach początkowych, przekształcimy równanie
operatorowe tak, aby napisać wzór na transmitancję operatorową G(s)=Y(s)/X(s).
4. Charakterystyka skokowa h(t) jest odpowiedzią badanego członu (układu) na wymuszenie
skokowe. Wymuszenie skokowe matematycznie zapisujemy jako a 1(t), gdzie a jest
amplitudÄ… wymuszenia a pogrubiona jedynka charakteryzuje skokowÄ… zmianÄ™ funkcji
wymuszającej. Transformata wymuszenia skokowego ma postać: a/s. Transformatę
charakterystyki skokowej możemy wyznaczyć bezpośrednio ze wzoru na G(s) wstawiając w
miejsce ogólnie zapisanego sygnału wejściowego X(s) transformatę wymuszenia
a
H śąsźą=G śąsźą
skokowego. Otrzymamy: . W celu znalezienia wzoru na charakterystykÄ™
s
skokową badane elementu w dziedzinie czasu należy zastosować odwrotne przekształcenie
a 1
h śątźą= L-1[G śą sźą ]=a L-1[G śąsźą ]
Laplace'a. Zapiszemy to następująco: . Oryginał
s s
wyrażenia z nawiasu kwadratowego znajdziemy w tablicach przekształceń Laplace'a.
Korzystając z dowolnego graficznego programu komputerowego należy narysować wykres
charakterystyki skokowej. Dla sprawdzenia poprawności wyniku należy wyliczyć
przynajmniej 3 - 4 wartości h(t) dla wybranych wartości czasu i porównać z wykresem.
5. Charakterystyki częstotliwościowe rozpatrywać będziemy w oparciu o pojęcie transmitancji
widmowej, którą definiujemy następująco: jest to transmitancja operatorowa, w której za
operator Laplace'a s będący liczbą zespoloną, podstawiamy tylko część urojoną tej liczby,
czyli jÉ, gdzie É  pulsacja zmieniajÄ…ca siÄ™ w zakresie od 0 do +". Czyli
Gśą j Îąźą=G śą sźą#"s= j ÎÄ… .
Będziemy rozpatrywać dwa rodzaje charakterystyk:
- charakterystykÄ™ amplitudowo-fazowÄ…,
- logarytmiczne charakterystyki: amplitudowÄ… i fazowÄ….
Dla znalezienia wzoru a następnie narysowania na jego podstawie wykresu ch-ki a-f
konieczne jest wydzielenie części rzeczywistej P(É) i części urojonej Q(É) z ogólnej postaci
charakterystyki amplitudowo-fazowej G(jÉ). Dla wyznaczenia charakterystyk
logarytmicznych: amplitudowej i fazowej należy wyznaczyć wzory na te charakterystyki.
Wyznaczamy je korzystajÄ…c z definicji. AmplitudowÄ… charakterystykÄ™ logarytmicznÄ…
definiujemy nastÄ™pujÄ…co: L(É)=20logM(É), gdzie , zaÅ›
M śąÎąźą= P2 śąÎąźąƒÄ…Q2śąÎąźą
ćą
Q(É)
Ć(É)=arctan
fazowÄ… charakterystykÄ™ logarytmicznÄ…: . Charakterystyki
P (É)
amplitudowÄ… i fazowÄ… rysujemy jedna pod drugÄ…. L(É) wyrażamy w [dB] zaÅ› Ć(É)
najczęściej w stopniach, rzadziej w radianach. Na osi poziomej odkÅ‚adamy pulsacjÄ™ É w
skali logarytmicznej (jednakowym odcinkom na tej osi odpowiada dziesięciokrotny wzrost
pulsacji). Zakres zmian É dobieramy w zależnoÅ›ci od parametrów i wÅ‚asnoÅ›ci badanego
elementu. Wybieramy przedział w którym zachodzą istotne zmiany. Charakterystyki
częstotliwościowe (amplitudowo-fazową i logarytmiczne) rysujemy wykorzystując
odpowiedni program komputerowy. W celu sprawdzenia poprawności przeprowadzonych
dziaÅ‚aÅ„ liczymy dla wybranych wartoÅ›ci É (w tym dla 0 i ") poszczególne parametry
badanych charakterystyk, czyli: P(É), Q(É), L(É) oraz Ć(É) , zapisujemy w tabelce i
porównujemy z otrzymanymi wykresami.
Przykład rozwiązania: obcowzbudny silnik prądu stałego (DC)
Krok I  wybór elementu do badań
Jako przedmiot badań wybierzemy obcowzbudny silnik elektryczny prądu stałego. Konstrukcję
takiego silnika przedstawia rys.1 a jego zasadę działania  rys. 2.
Rys. 1. Budowa silnika DC Rys. 2. Zasada działania silnika DC
Dla napisania równań opisujących dynamiczne własności silnika wygodnie jest przedstawić
schematycznie obwody elektryczne i model mechaniczny wirnika (rys. 3). Schemat blokowy silnika
DC jako elementu automatyki przedstawia rys. 4.
Rys. 4. Schemat blokowy silnika DC
Rys. 3. Uproszczony schemat silnika DC
Wartości liczbowe parametrów charakteryzujących silnik prądu stałego przyjmiemy po
wyprowadzeniu wzorów. Wówczas będzie znany pełny zestaw tych parametrów.
Krok II  Model matematyczny silnika DC
Analizę tego układu przeprowadzimy przy założeniu, że dynamikę silnika obcowzbudnego prądu
stałego można, z wystarczającym przybliżeniem, opisać za pomocą równania różniczkowego
pierwszego rzędu. Dokładniejsza analiza wymagałaby uwzględnienia szeregu zjawisk (chociażby
indukcyjność obwodu twornika), które poprawiają jakość odzwierciedlenia rzeczywistego
zachowania silnika ale znacznie komplikujÄ… model. Tutaj ograniczymy siÄ™ opisem wynikajÄ…cym z
rys.3. Wielkością sterowaną jest prędkość obrotowa silnika n a wielkością sterującą  napięcie
U
przyłożone do obwodu twornika (rys. 4.).
s
U
Uzwojenie wzbudzenia zasilane stałym napięciem wytwarza stałe pole magnetyczne
w
pomiędzy nabiegunnikami, stąd nazwa silnik obcowzbudny (nie ze stałymi magnesami).
Rt
Obwód elektryczny twornika uwzględnia oporność twornika oraz siłę elektromotoryczną
indukcji e. Wartość siły elektromotorycznej możemy wyrazić zależnością:
e=c ´Ä…n (1)
gdzie: c  stała konstrukcyjna maszyny elektrycznej,
Ś  strumień pola magnetycznego wzbudzenia,
n - prędkość obrotowa silnika.
U
Ponieważ napięcie wzbudzenia jest stałe to wytwarzany strumień pola magnetycznego
w
wzbudzenia Ś jest również stały. Możemy zatem napisać:
e=k n
(2)
e
k
gdzie: - stała elektromechaniczna silnika.
e
Z prawa Kirchhoffa zastosowanego do obwodu twornika otrzymamy równanie:
e=k n=U -it Rt
(3)
e s
Z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego wynika, że:
dn
J =M -M
(4)
e
dt
gdzie: J - całkowity moment bezwładności (wszystkich elementów wirujących),
M
- elektromagnetyczny moment obrotowy wytwarzany przez wirnik silnika,
e
M - moment sił hamujących (obciążenie silnika).
Moment obrotowy wytwarzany przez silnik możemy wyliczyć z zależności:
M =cm Åšit=kmit
(5)
e
k =cmÅš
gdzie: - stała momentowa.
m
Ostatecznie, podstawiając do równania (4) zależności (3) i (5) otrzymujemy równanie dynamiki
silnika prądu stałego:
JRt dnƒÄ…n= 1 Rt
U - M
(6)
km ke dt ke s k km
e
U
Widzimy, że w równaniu (6) występują dwie wielkości wejściowe: napięcie sterujące oraz
s
moment obciążenia M. W układzie tym sterujemy prędkością obrotową n(t) za pomocą napięcia
U śąt źą
twornika przy występowaniu zakłóceń w postaci zmiennego obciążenia M(t).
s
Mając wszystkie parametry występujące w opisie własności dynamicznych silnika możemy określić
ich wartości liczbowe.
Wykorzystamy dane silnika wykonawczego produkcji krajowej PZTK88-35TRR. Producent
dostarcza następujących danych:
" Moment długotrwały (dla n=0)  0,55 Nm,
" Napięcie maksymalne zasilania  35 V,
" Prędkość maksymalna - 3200 obr/min,
" Moment maksymalny - 2,8 Nm,
" PrÄ…d maksymalny - 27 A,
M
e
km=cmÅš = =0,105 Nm/ A
" Stała momentowa - ,
it
e
k =cÅš = =11 V /1000obr /min
" Stała elektromechaniczna silnika - ,
e
n
Rt=0,56 śą
" Rezystancja twornika - ,
Lt=0,9 mH
" Indukcyjność twornika - ,
" Moment bezwładności - J =1,45"10-4 kgm2 .
Równanie (6) warto zapisać w skróconej postaci:
dnśąt źą
T ƒÄ…nśąt źą=ku U śąt źą-ko M śątźą
(7)
s
dt
JRt 1,45Å"10-4Å"0,56
T = = =0,07
gdzie: ,
km ke 0,105Å"0,011
1 1
ku= = =90,91
,
ke 0,011
Rt
0,56
ko= = =484,85
.
kekm 0,105Å"0,011
Lewa strona tego równania opisuje własności silnika. Jak widzimy, w tym przypadku jest to
równanie różniczkowe I-go rzędu. Bardziej szczegółowa analiza silnika jako obiektu sterowania
(uwzględniająca indukcyjność obwodu twornika) prowadzi do równania II-go rzędu. Pojawia się
wówczas w tym równaniu druga stała czasowa, tzw. elektryczna, która jest przynajmniej o dwa
rzędy wielkości mniejsza aniżeli stała mechaniczna (T) co powoduje, że współczynnik przy drugiej
pochodnej jest bardzo mały i można go przy mniej dokładnej analizie zaniedbać.
Po prawej stronie równania występuje sygnał sterujący (napięcie twornika) i sygnał zakłócający
(zmienny moment obciążenia). Strukturę sterowania silnika prądu stałego w pętli otwartej można
przedstawić jak na rys. 5.
Rys. 5. Schemat blokowy sterowania silnika w otwartej pętli
Obliczymy transmitancję operatorową silnika przyjmując zgodnie z rys. 4 za sygnał wejściowy
U śąt źą
napięcie a za sygnał wyjściowy - prędkość obrotową n(t). Moment obciążający M(t) w
s
tym przypadku jest stały, w szczególności równy zero. Równanie (7) w takim przypadku przyjmie
postać:
dnśąt źą
T ƒÄ…nśąt źą=ku U śąt źą
(8)
s
dt
Z równania (8) opisującego własności dynamiczne silnika łatwo uzyskać równanie  statyki .
Charakterystyka statyczna to zależność sygnału wyjściowego od wejściowego w stanach
ustalonych. W stanach ustalonych wielkości wejściowe i wyjściowe nie zmieniają się (mamy
przecież stan ustalony). A jeśli tak, to wszystkie pochodne są równe zeru. Przyrównanie do zera
członów równania w których występują pochodne daje nam równanie statyki. W omawianym
przypadku równanie to przyjmie postać:
n0=ku U
(9)
s0
gdzie indeks  0 oznacza wartość danej zmiennej w stanie ustalonym.
Krok III  Określenie transmitancji operatorowej G(s)
Równanie operatorowe otrzymamy stosując znane reguły przekształcenia Laplace'a. Symbol
d
różniczkowania zastępujemy operatorem Laplace'a  s , zmienne uzależniamy również od
dt
 s i piszemy dużą literą, parametry stałe nie ulegają zmianie (nie podlegają przekształceniu). W
naszym przypadku, po zastosowaniu opisanych reguł do równania (8) otrzymamy równanie
algebraiczne:
T sN śą sźąƒÄ… N śąsźą=ku U śąsźą
(10)
s
Teraz możemy napisać transmitancję operatorową badanego silnika DC. Przypomnimy definicję:
transmitancją operatorową G(s) układu lub członu automatyki nazywamy stosunek transformaty
sygnału wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego przy zerowych warunkach początkowych.
Rolę sygnału wyjściowego pełni prędkość obrotowa n(t) a jej transformata to N(s). Rolę sygnału
U śąt źą
wejściowego pełni napięcie twornika, zwane napięciem sterującym . Jego transformata to
s
U śą sźą
. Tak więc:
s
ku 90,91
N śą sźą
Gśą sźą= = =
(11)
U śą sźą TsƒÄ…1 0,07 sƒÄ…1
s
Krok IV  Charakterystyka skokowa
W pkt.  Tok postępowania (str.2) mamy podane podstawowe informacje na temat charakterystyki
skokowej (więcej w poz. [1], str.71) i w szczególności przytoczony jest wzór:
a 1
h śątźą= L-1[G śą sźą ]=a L-1[G śąsźą ]
(12)
s s
Przeanalizujemy tok postępowania zmierzający do otrzymania charakterystyki skokowej zarówno
w postaci analitycznej (tabelka) jak i graficznej (wykres) w oparciu o wzór (12).
U =35[V ]
W badanym silniku maksymalne napięcie zasilające wynosi . Przyjmiemy zatem, że
s
parametr  a w równaniu (12) oznaczający amplitudę skoku wymuszającego równy będzie 35.
Wzór (12) przyjmie postać:
ku a
1 1
hśątźą= L-1[ ]=aÅ"ku L-1[ ]=3181,85 L-1[ ] (13)
TsƒÄ…1 s sśąTsƒÄ…1źą sśą0,07 sƒÄ…1źą
Symbol oznacza odwrotne przekształcenie Laplace'a. Oznacza on, że poszukujemy oryginału
L-1
z wyrażenia znajdującego się w nawiasie kwadratowym za tym symbolem. Do tego celu
wykorzystujemy tablice transformat Laplace'a. W każdym podręczniku do automatyki powinna
znajdować się taka, mniej lub bardziej rozbudowana tablica. Jeśli korzystamy z pozycji [1] to na
stronie 412 znajdziemy rozdział DODATEK a w nim bardzo rozbudowaną tablicę. Korzystanie z
takiej tablicy w celu znalezienia odwrotnego przekształcenia Laplace'a polega na znalezieniu w
drugiej kolumnie wyrażenia identycznego jak nasze wyrażenie w nawiasie kwadratowym i
odczytaniu w trzeciej kolumnie oryginału, który będzie poszukiwanym wzorem charakterystyki
1
[ ]
skokowej. Poszukujemy zatem w drugiej kolumnie tablicy wyrażenia . Ponieważ
sśą0,07 sƒÄ…1źą
rozpatrywany przykład jest stosunkowo prostym przykładem nie powinno być problemu ze
znalezieniem takiego wyrażenia.
W przypadkach bardziej złożonych, kiedy nie udaje się nam znalez
ć odpowiedniego wyrażenia
stosujemy zabieg rozkładu takiego wyrażenia na ułamki proste, przedstawiamy go więc jako sumę
 prostszych wyrażeń, w tablicy znajdujemy te  prostsze wyrażenia a wynik uzyskujemy jako
sumę oryginałów poszczególnych  prostszych wyrażeń. Więcej szczegółów o toku
przedstawionego postępowania można znalez
ć w pozycji [1], str.76.
Występujące w naszym przykładzie wyrażenie znajdujemy bez większego problemu w drugim
1
·Ä…=
wierszu tablicy. Odczytujemy oryginał: gdzie . Tak więc wzór (13) na
1-e-·Ä… t
T
charakterystykę skokową w naszym przypadku przyjmie postać:
-t -t
ku a
T
h śątźą= L-1[ ]=aÅ"ku śą1-e źą=3181,85śą1-e0,07źą (14)
TsƒÄ…1 s
Dokonajmy odpowiedniej interpretacji otrzymanego wzoru. Przypomnijmy, że rozpatrywanym
obiektem jest silnik prądu stałego (rys. 3 i 4). Wielkością wyjściową jest prędkość obrotowa w
[obr/min] a wielkością wejściową  napięcie zasilające w [V]. Wzór (14) wyraża zmiany prędkości
obrotowej badanego silnika w czasie po podłączeniu go do napięcia 35 [V]. Silnik przed
podłączeniem do zasilania miał prędkość obrotową zerową (zerowe warunki początkowe). Należy
sprawdzić, czy po podstawieniu do (14) t=0 h(t) reprezentujące obroty będzie równe zero. Po
odpowiednio długim czasie (ok. 3-4 stałe czasowe) prędkość obrotowa silnika obcowzbudnego
(przy braku zmian jego obciążenia) ustali się na stałej wartości. Jakiej? Należy wyliczyć wartość
(14) przy t=" (stan ustalony). Tym sposobem określimy wartość początkową i końcową prędkości
obrotowej. Natomiast dla określenia przebiegu jej zmian konieczne jest policzenie wartości (14) dla
kilku wartości t z przedziału od 0 do (3-4)T. Najwygodniej wyniki tych obliczeń przedstawić w
odpowiedniej tabelce.
Tabela 1. Wybrane wartości h(t)
t[s] 0 0,001 0,002 0,003 0,01 0,01 0,02 0,05 0,1 0,5 "
h(t)[obr/min] 0 45,13 89,62 133,48 219,35 423,57 790,76 1624,2 2419,31 3179,33 3181,85
Dokładny wykres charakterystyki skokowej można uzyskać wykorzystując dowolny program
graficzny. W ramach ćwiczeń laboratoryjnych istnieje możliwość narysowania wykresu h(t) przy
pomocy programu MATLAB. Poniżej podane są instrukcje ogólnodostępnego programu SciLAB
pozwalające narysować wykres h(t) badanego silnika.
-->s=poly(0,'s');
-->sl=syslin('c',3181.85/(0.07*s+1));
-->instants=0:0.01:1;
-->y=csim("step",instants,sl);
-->plot2d(instants',y');
Po wykonaniu tych instrukcji w programie SciLAB otrzymamy wykres jak na rys. 6.
Rys. 6. Wykres charakterystyki skokowej silnika prądu stałego
Krok V - Charakterystyki częstotliwościowe
W pkt. 5  Tok postępowania (str. 2) przytoczone są podstawowe pojęcia i wzory mające
zastosowanie w analizie częstotliwościowej. Więcej informacji można znalez
ć w rozdziale 3
pozycji [1], str. 88. W ramach pracy kontrolnej należy rozpracować dwa rodzaje charakterystyk
częstotliwościowych: charakterystykę amplitudowo-fazową oraz charakterystyki logarytmiczne.
Charakterystyka amplitudowo-fazowa (a-f)
Dla narysowania charakterystyki a-f na płaszczyz
nie fazowej konieczne jest rozdzielenie
transmitancji widmowej G(jÉ) na część rzeczywistÄ… P(É) i część urojonÄ… Q(É):
Gśą j Îąźą=P śąÎąźąƒÄ… jQ śąÎąźą
(15)
W rozpatrywanym silniku DC, którego transformata operatorowa ma postać określoną równaniem
(11), transmitancjÄ™ widmowÄ… zapiszemy jako:
ku
Gśą j Îąźą= (16)
1ƒÄ… j ÎÄ…T
W celu wydzielenia części rzeczywistej i urojonej z równania (16) pomnożymy jego licznik i
mianownik przez liczbę zespoloną, sprzężoną do liczby znajdującej się w mianowniku. Jak
pamiętamy, liczba sprzężona do danej liczby zespolonej to taka, która ma część rzeczywistą taką
samą a część urojoną z odwrotnym znakiem. Tak więc w naszym przypadku pomnożymy licznik i
mianownik równania (16) przez 1- jÉT. Wykonamy kolejne przeksztaÅ‚cenia i otrzymamy:
k śą1- j ÎÄ…T źą ku k ÎÄ…T
u u
Gśą j Îąźą= = - j
śą1ƒÄ… j ÎÄ…T źąśą1- j ÎÄ…T źą śą1ƒÄ… j ÎÄ…T źąśą1- j ÎÄ…T źą śą1ƒÄ… j ÎÄ…T źąśą1- j ÎÄ…T źą
i dalej
ku ku ÎÄ…T
Gśą j Îąźą= - j = P śąÎąźą- jQ śąÎąźą
2 2
1ƒÄ…ÎÄ…2T 1ƒÄ…ÎÄ…2T
Ostatecznie, dla potrzeb narysowania charakterystyki amplitudowo-fazowej, obliczymy części
rzeczywistÄ… i urojonÄ… transmitancji:
k
90,91
u
P śąÎąźą= =
2
1ƒÄ…ÎÄ…2 T 1ƒÄ…0,0049 ÎÄ…2
(17)
-ku ÎÄ…T
-6,3637 ÎÄ…
(18)
QśąÎąźą= =
2
1ƒÄ…ÎÄ…2 T 1ƒÄ…0,0049 ÎÄ…2
W celu narysowania ch-ki a-f wygodnie jest wykonać obliczenia części rzeczywistej P(É) i części
urojonej Q(É) dla É zmieniajÄ…cej siÄ™ w zakresie od 0 do ".
Wyniki tych obliczeÅ„ dla wybranych wartoÅ›ci É zamieÅ›cimy w tabeli 2.
Tabela 2. Wyniki obliczeń charakterystyki amplitudowo-fazowej
É 0 0,01 0,1 0,25 0,5 1 5 10 20 100 "
P(É) 90,91 90,9 90,9 90,88 90,8 90.46 81 61,01 30,71 1,82 0
Q(É) 0 -0,06 -0,06 -1,59 -3,18 -6,33 -28,35 -42,71 -43 -12,73 0
Pełny wykres charakterystyki można również otrzymać korzystając z odpowiednich graficznych programów
komputerowych. W ramach zajęć laboratoryjnych była możliwość wykorzystania do tego celu programu
MATLAB. Poniżej podany jest zestaw instrukcji pozwalających narysować charakterystykę amplitudowo-
fazowÄ… (tzw. ch-kÄ™ Nyquista) przy pomocy programu SciLAB.
-->s=poly(0,'s');
-->h=syslin('c',90.91/(0.07*s+1));
-->nyquist(h,0.01,100);
Sam wykres otrzymany w wyniku realizacji zaprezentowanych instrukcji przedstawiony jest na rys. 7.
Charakterystyki logarytmicznej
Analizujemy dwie charakterystyki logarytmiczne: amplitudowÄ… i fazowÄ…. CharakterystykÄ™
amplitudową wyznaczymy z zależności:
ku
L śąÎąźą=20 log P2śąÎąźąƒÄ…Q2śąÎąźą=20log
ćą
(19)
2
ćą1ƒÄ…T ÎÄ…2
którą najwygodniej zapisać w postaci:
2
L śąÎąźą=20 log ku-20log 1ƒÄ…T ÎÄ…2 (20)
ćą
2
Wykres L(É) można uproÅ›cić, pomijajÄ…c we wzorze (20) dla É<1/T skÅ‚adnik , a dla
T ÎÄ…2
É>1/T skÅ‚adnik 1 pod pierwiastkiem. Otrzymamy wówczas tzw. asymptotycznÄ… charakterystykÄ™
amplitudowÄ…:
L śąÎąźą=20 log ku
dla É<1/T , (21)
L śąÎąźą=20 log ku-20log T ÎÄ…
dla É>1/T (22)
Rys. 7. Wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej silnika DC uzyskany przy pomocy
programu SciLAB
Pulsacja (czÄ™stotliwość kÄ…towa) É=1/T nazywa siÄ™ pulsacjÄ… sprzÄ™gajÄ…cÄ… i oznacza siÄ™ jÄ…
ÎÄ…s ÎÄ…0
symbolem lub czasami .
Logarytmiczną charakterystykę fazową wyznaczamy z zależności:
śąÎąźą
ÔąśąÎąźą=arctg Q śąÎąźą=arctg śą-T Îąźą=-arctg śąT Îąźą
(23)
P
Bardziej szczegółowe informacje na omawiane tematy można znalez
ć w [1], str.100.
Na rys. 8 przedstawione zostały wykresy charakterystyki amplitudowej i fazowej uzyskane przy
pomocy programu SciLAB. Dla ich otrzymania wystarczy w programie SciLAB następujęce
instrukcje:
-->s=poly(0,'s');
-->h=syslin('c',90.91/(0.07*s+1));
-->bode(h,0.01,100);
W ramach ćwiczeń laboratoryjnych przedstawiane było wykorzystanie programu MATLAB do takich zadań.
W pracy kontrolnej w przypadku rysowania dokładnych charakterystyk logarytmicznych z wykorzystaniem
programu komputerowego, na otrzymany wykres charakterystyki amplitudowej proszę nanieść przybliżoną
charakterystykę (patrz: asymptotyczna charakterystyka amplitudowa  wzór (21) i (22)).
Rys. 8. Charakterystyki logarytmiczne silnika CD
Literatura
1. Wykłady z automatyki dla mechaników, M. Chłędowski, Oficyna Wydawnicza Politechniki
Rzeszowskiej, Rzeszów 2003
2. Podstawy automatyki w ćwiczeniach i zadaniach, M. Chłędowski, J. Pieniążek, Oficyna
Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów 2009