2013-10-10

1

II. Druga dynamiki Newtona – stała masa

i

i

F

m a

= ⋅

∑

Przykład. Wyznaczy

ć

sił

ę

naci

ą

gu liny T oraz

przyspieszenie układu. Zakładamy brak sił oporu.

,

,

,

;

;

x i

x

y i

y

z i

z

i

i

i

F

m a

F

m a

F

m a

= ⋅

= ⋅

= ⋅

∑

∑

∑

Rzut pionowy do góry

0

v

mg

−

g

m

mg

a

−

=

−

=

gt

v

v

−

=

0

2

2

0

gt

t

v

h

−

=

Czas wznoszenia

Ciało b

ę

dzie si

ę

wznosi

ć

a

ż

pr

ę

dko

ść

nie osi

ą

gnie warto

ś

ci równej zeru

g

v

t

gt

v

w

w

0

0

0

=

⇒

−

=

Maksymalna wysoko

ść

na jak

ą

wzniesie si

ę

ciało

g

v

g

v

g

g

v

v

gt

t

v

h

w

w

2

2

2

2

0

2

0

0

0

2

0

max

=













−

=

−

=

Ruch zmienny prostoliniowy - przyspieszenie

2

Spadek swobodny

y

g

0

0

=

v

0

t

v

v

gt

gt

= + =

Przebyta droga

2

2

gt

h

=

Je

ż

eli ciało spadało z wysoko

ś

ci H, to czas jego lotu

g

h

t

2

=

Pr

ę

dko

ść

ko

ń

cowa

gh

v

k

2

=

3

2013-10-10

2

Rzut ukośny

4

)

sin(

)

cos(

0

0

0

0

θ

θ

v

v

v

v

y

x

=

=

0

2

0

2

x

y

y

oy

x

v t

t

y

v t

g

v

v

gt

=

=

−

=

−

Czas lotu

0

0

0

1/ 2

1/ 2

2

2

sin( )

0

2

y

y

v

v

v

gt

t

t

g

g

θ

=

−

⇒

=

=

=

Zasięg

2

0

0

0

0

2

sin( )

sin(2 )

cos( )

x

v

v

R

v t

v

g

g

θ

θ

θ

=

=

⋅

=

Rzut ukośny

5

)

sin(

)

cos(

0

0

0

0

θ

θ

v

v

v

v

y

x

=

=

2

2

0

0

t

g

t

v

y

t

v

x

y

x

−

=

=

Rzut ukośny - równanie toru

x

v

x

t

0

=

( )

2

2

2

0

2

0

0

0

cos

2

2

x

v

g

xtg

v

x

g

v

x

v

y

x

x

y

θ

θ

−

=













−

=

Zasięg

( )

2

2

0

0

0

2

cos

g

y

R tg

R

v

θ

θ





=

⇒

−

=













( )

( )

2

2

2

0

0

2

cos

sin 2

sin

cos

v

v

R

g

g

θ

θ

θ

θ

=

⋅

=

6

2013-10-10

3

Siła tarcia

,max

s

s

f

N

µ

=

Maksymalna warto

ść

siły

tarcia

statycznego

7

R

N

Siła tarcia

Warto

ść

siły tarcia

kinetycznego

k

k

f

N

µ

=

N - warto

ść

siły normalnej

( siły prostopadłej do powierzchni)

k

k

f

N

µ

=

8

9

2013-10-10

4

N

F

T

)

θ

θ

cos

0

cos

1

mg

N

mg

N

F

y

=

⇒

=

−

=

∑

cos

k

T

mg

µ

θ

=

)

2

sin

x

F

F

mg

T

ma

θ

= −

− =

∑

sin

cos

k

F

mg

mg

a

m

θ µ

θ

−

−

=

Przykład 2.

10

a

b)

1

1

2

0

m g

T

T

Nf

N

m a

F

N

m a

− =

=

=

− =

2013-10-10

5

Opis ruchu na płaszczy

ź

nie i przestrzeni

ˆ

ˆ

ˆ

3

2

5

r

i

j

k

= − +

+

ˆ

ˆ

ˆ

r

xi

yj

zk

= + +

14

Wektor położenia

Przemieszczenie

2

1

r

r

r

∆ = −

15

2013-10-10

6

Ruch punktu materialnego na płaszczyźnie

Wektor prędkości średniej

sr

r

v

t

∆

=

∆

sr

x i

y j

x

y

v

i

j

t

t

t

∆ ⋅ + ∆ ⋅

∆

∆

=

=

+

∆

∆

∆

,

,

sr

sr x

sr y

v

v

i

v

j

=

+

16

( )

(

)

1

2

(5 )

5

(12 )

4.8

R

m i

m j

R

m i

m j

=

+

=

+

x

y

(

) (

)

12 5

4.8 5

2

2

3.5 /

0.1 /

sr

sr

R

v

i

j

t

v

m s i

m s j

∆

−

−

=

=

+

∆

=

−

1

R

2

R

R

∆

•

Wektor prędkości średniej

•

Wartość średniej szybkości

s

v

t

∆

=

∆

Długość przebytej drogi w czasie

∆

t

17

2

.

Prędkość chwilowa

0

0

( )

lim

lim

t

t

r

x

y

v t

i

j

t

t

t

∆ →

∆ →

∆

∆

∆





=

=

+





∆

∆

∆





x

y

v

v i

v j

=

+

0

0

( )

lim

lim

t

t

x

y

v t

i

j

t

t

∆ →

∆ →

∆

∆









=

+









∆

∆









0

0

( )

lim

lim

t

t

x

y

v t

i

j

t

t

∆ →

∆ →

∆

∆









=

+









∆

∆









18

( )

d x

d y

v t

i

j

d t

d t

=

+

r

x i

y j

∆ = ∆ ⋅ + ∆ ⋅

2013-10-10

7

x

y

v

v i

v j

=

+

Prędkość chwilowa jest zawsze
styczna do toru

19

sr

v

a

t

∆

=

∆

1.

Przyspieszenie średnie

Przyspieszenie

20

sr

a

Przyspieszenie

2. Przyspieszenie chwilowe

0

0

lim

lim

y

x

t

t

v

v

v

a

i

j

t

t

t

∆ →

∆ →

∆





∆

∆

=

=

+





∆

∆

∆





x

y

a

a i

a j

=

+

0

0

0

lim

lim

lim

y

x

t

t

t

v

v

v

a

i

j

t

t

t

∆ →

∆ →

∆ →

∆





∆

∆





=

=

+









∆

∆

∆









21

0

lim

y

x

t

dv

dv

v

a

i

j

t

dt

dt

∆ →

∆

=

=

+

∆

2013-10-10

8

Układy nieinercjalne

22

Przyspieszenie do

ś

rodkowe

2

2

ˆ

d

d

v

a

r

r

v

a

r

= − ⋅

=

Układy nieinercjalne

cos

β

=

F

mg

2

sin

β

=

mv

F

R

Wyznaczy

ć

warto

ść

okresu obiegu. Z punktu widzenia

obserwatora

w inercjalnym

układzie odniesienia

2

π

β

=

=

⋅

R

R

T

v

r tg

2

tan

β

=

v

Rg

⇔

cos

2

β

π

=

L

T

g

24

F – siła naci

ą

gu liny

2013-10-10

9

Układy nieinercjalne

cos

β

=

F

mg

2

sin

β

=

mv

F

R

Wyznaczy

ć

warto

ść

okresu obiegu. Z punktu widzenia

obserwatora

w nieinercjalnym

układzie odniesienia

2

π

β

=

=

⋅

R

R

T

v

r tg

2

tan

β

=

v

Rg

⇔

cos

2

β

π

=

L

T

g

25

F – siła naci

ą

gu liny