Związek równań całkowych z równaniami różniczkowymi

zwyczajnymi.

20 stycznia 2016

Rozpatrywać będziemy tylko równania całkowe jednej zmiennej. O funkcjach φ(x), f (x) bę-
dziemy zakładać, że są one określone i ciągłe na przedziale [a, b]. O funkcji K(x, t) mówimy
zaś, że jest określona i ciągła na kwadracie [a, b] x [a, b]. Funkcje f (x) oraz K(x, t) są funkcjami
danymi, gdzie f (x) jest funkcją zakłócającą a K(x, t) jądrem równania całkowego. Przypomnij-
my, że rozróżniamy 4 podstawowe typy równań całkowych, które wyrażają się następującymi
wzorami:

• Równanie Fredholma I rodzaju:

f (x) =

Z

b

a

K(x, t)φ(t)dt

• Równanie Fredholma II rodzaju:

φ(x) = f (x) + λ

Z

b

a

K(x, t)φ(t)dt

• Równanie Volterry I rodzaju:

f (x) =

Z

x

a

K(x, t)φ(t)dt

• Równanie Volterry II rodzaju:

φ(x) = f (x) + λ

Z

x

a

K(x, t)φ(t)dt,

gdzie φ(t) jest niewiadomą funkcją.

Każde równanie różniczkowe z warunkami początkowymi lub brzegowymi daje się przekształ-
cić do postaci całkowej. W zależności od tego czy są to warunki początkowe czy brzegowe,
rozważamy równanie całkowe Fredholma lub Volterry. Jeżeli rozważamy problem różniczkowy,
posiadający warunki brzegowe to możemy przekształcić go do postaci równania Fredholma.
Zaś rozważając problem różniczkowy posiadający warunki początkowe otrzymujemy równanie
Volterry.
Istnieją równania całkowe, których odpowiednik różniczkowy nie jest znany, to znaczy prze-
kształcenie z postaci różniczkowej do całkowej nie jest odwracalne.

Faktycznie rozważmy równanie różniczkowe zwyczajne postaci

d

n

y(x)

dx

n

+ a

1

(x)

d

n−1

y(x)

dx

n−1

+ ... + a

n

(x)y(x) = f (x),

1

o ciągłych współczynnikach a

i

(x) gdzie i = 1, 2, ..., n przy warunkach początkowych

y(0) = C

0

, y

0

(0) = C

1

, ..., y

n−1

(0) = C

n−1

,

można faktycznie sprowadzić do zagadnienia rozwiązania równania całkowego Volterry drugiego
rzędu. Aby to pokazać rozważmy przykład równania różniczkowego drugiego rzędu

d

2

y(x)

dx

2

+ a

1

(x)

dy(x)

dx

+ a

2

(x)y(x) = f (x)dt,

(1)

z warunkami początkowymi

y(0) = C

0

, y

0

(0) = C

1

.

Przyjmijmy

d

2

y(x)

dx

2

= φ(x).

(2)

Teraz całkując dwukrotnie nasze równanie przy uwzględnieniu warunków początkowych otrzy-
mujemy

dy(x)

dx

=

Z

x

0

φ(s)ds + C

1

,

(3)

y(x) =

Z

p

0

Z

x

0

φ(s)dsdp + C

1

x + C

0

.

Jako, że

Z

x

a

dp

Z

p

a

φ(s)ds =

Z

x

a

(x − t)φ(t)dt,

możemy napisać

y(x) =

Z

x

0

(x − t)φ(t)dt + C

1

x + C

0

.

(4)

Teraz podstawiając do równania (1) wartości z (2), (3) oraz (4) otrzymujemy

φ(x) + a

1

(x)

Z

x

0

φ(t)dt + a

2

(x)

Z

x

0

(x − t)φ(t)dt + a

1

(x)C

1

+ a

2

(x)(C

1

x + C

0

) = f (x).

Możemy wprowadzić oznaczenia postaci

K(x, t) = −[a

1

(x) + a

2

(x)(x − t)]

oraz

F (x) = f (x) − [a

1

(x)C

1

+ a

2

(x)(C

1

x + C

0

)],

co ostatecznie daje

φ(x) =

Z

x

0

K(x, t)φ(t)dt + F (x).

Widzimy, że otrzymaliśmy równanie całkowe Volterry drugiego rodzaju. Do naszych przekształ-
ceń, w celu uproszczenia przykładu, wzięliśmy równanie różniczkowe drugiego rzędu. Aczkolwiek
dla dowolnego rzędu przekształcenia przebiegały by podobnie.
Teraz aby pokazać istotność przekształcenia równania różniczkowego zwyczajnego na równanie
całkowe przedstawimy dwa proste przykłady, mające zastosowanie w fizyce:

2

Przykład 1.
Niech dane będzie równanie oscylatora harmonicznego:

y

00

(t) = −y(t)

z warunkami początkowymi:

y(0) = 0

y

0

(0) = 1

Ponieważ powyższy problem różniczkowy posiada warunki początkowe spodziewamy się otrzy-
mać równanie Volterry. Całkujemy równanie po czasie do chwili T.

Z

T

0

y

00

(t)dt = −

Z

T

0

y(t)dt

y

0

(T ) − y

0

(0) = −

Z

T

0

y(t)dt

y

0

(T ) = y

0

(0) −

Z

T

0

y(t)dt

Całkujemy ponownie, tym razem po zmiennej T, w przedziale od 0 do b:

Z

b

0

y

0

(T )dT =

Z

b

0

y

0

(0) −

Z

T

0

y(t)dtdT

y(b) − y(0) = y

0

(0) · b −

Z

b

0

Z

T

0

y(t)dtdT

Korzystając z warunków początkowych y(0) = 0 i y

0

(0) = 1 dostajemy:

y(b) − 0 = 1 · b −

Z

b

0

Z

T

0

y(t)dtdT

Skąd ostatecznie:

y(b) = b −

Z

b

0

Z

T

0

y(t)dtdT

Równanie zapisane w tej postaci nie przypomina żadnego z 4 podstawowych typów równań.
Sprowadźmy je do postaci jednego ze znanych równań. Zachodzi następująca tożsamość:

Z

b

0

Z

T

0

y(t)dtdT =

Z

b

0

(b − t)y(t)dt

(5)

Dowód. Zróżniczkujmy stronami powyższą tożsamość: Lewa strona: Podstawmy:

Z

T

0

y(t)dt = F (T )

Wówczas

Z

b

0

Z

T

0

y(t)dtdT =

Z

b

0

F (T )dT

Stąd po zróżniczkowaniu po b otrzymujemy:

F (b) =

Z

b

0

y(t)dt

Prawa strona:

Z

b

0

(b − t)y(t)dt = b

Z

b

0

y(t)dt −

Z

b

0

ty(t)dt

Różniczkując stronami po b:

Z

b

0

y(t)dt + by(b) − by(b)

Skąd uzyskujemy tożsamość.

3

Korzystając z tożsamości (5):

y(b) = b −

Z

b

0

(b − t)y(t)dt

Przyjmując b=x

y(x) = x −

Z

x

0

(x − t)y(t)dt

Zgodnie z wcześniejszymi przewidywaniami otrzymaliśmy równanie Volterry II rodzaju.

Przykład 2.
Niech dane będzie równanie drgań struny:

y

00

(t) = −ω

2

y(t)

z warunkami początkowymi:

y(0) = 0

y(a) = 0

Ponieważ powyższy problem różniczkowy posiada warunki brzegowe spodziewamy się otrzymać
równanie Fredholma.
Całkujemy równanie po czasie do położenia a.

Z

a

0

y

00

(t)dt = −ω

2

·

Z

a

0

y(t)dt

y

0

(a) − y

0

(0) = −ω

2

Z

a

0

y(t)dt

y

0

(a) = y

0

(0) − ω

2

Z

a

0

y(t)dt

Całkujemy ponownie, tym razem po zmiennej a, w przedziale od 0 do b:

Z

b

0

y

0

(a)da =

Z

b

0

y

0

(0) − ω

2

Z

a

0

y(t)dtda

y(b) − y(0) = y

0

(0) · b − ω

2

Z

b

0

Z

a

0

y(t)dtda

Przyjmując a=x, b=x

y(x) = x · y

0

(0) − ω

2

Z

x

0

Z

x

0

y(t)dtda

Korzystając z tożsamości (5) :

y(x) = x · y

0

(0) − ω

2

Z

x

0

(x − t)y(t)dt

Wartość y

0

(0) jest niewiadoma. Dokonajmy podstawienia x=a, w celu wyliczenia jej.

y(a) = a · y

0

(0) − ω

2

Z

a

0

(a − t)y(t)dt

Korzystając z warunku początkowego y(a)=0:

0 = a · y

0

(0) − ω

2

Z

a

0

(a − t)y(t)dt

4

Stąd:

y

0

(0) = −

ω

2

a

Z

a

0

(a − t)y(t)dt

Wstawiając do równania, otrzymujemy:

y(x) = ω

2

Z

a

0

K(x, t)y(t)dt,

gdzie K(x, t) =







x(a−t)

a

dla x < t

t(a−x)

a

dla x > t

Otrzymane równanie możemy sklasyfikować jako równanie Fredholma II rodzaju, czyli zgodnie
z początkowymi przypuszczeniami.

5