ROK WYD. LXIV

앫 ZESZYT 4/2005

9

W zwiàzku z dynamicznie rozwijajàcymi si´ tech-

nologiami wytwarzania znacznie wzrastajà [1, 2]
w ostatnich latach oczekiwania dotyczàce dok∏ad-
noÊci wymiarowo-kszta∏towej przedmiotów skrawa-
nych. Du˝a trwa∏oÊç i wytrzyma∏oÊç narz´dzi skra-
wajàcych konstruowanych z powlekanych w´glików
spiekanych i materia∏ów ceramicznych pozwala na
bardzo wydajnà obróbk´ przy utrzymaniu ma∏ej chro-
powatoÊci powierzchni. Pozostaje jednak, a nawet
zaczyna spe∏niaç coraz wi´kszà rol´, problem osià-
gania dok∏adnoÊci geometrycznej przy bardzo du˝ych
wartoÊciach parametrów skrawania podczas obróbki
szybkoÊciowej oraz wysoko wydajnej. Szczególnie
wyraênie problem ten dotyczy przedmiotów, które
cechujà si´ niskà sztywnoÊcià i wra˝liwoÊcià na
strumieƒ ciep∏a generowany w strefie skrawania
[1 – 16]. Do takiej klasy wyrobów nale˝y zaliczyç tuleje
cylindrowe silników spalinowych, tuleje wykorzys-
tywane w po∏àczeniach pasowanych oraz podatne
wa∏ki [2, 4, 13, 14]. B∏´dy geometryczne przedmiotu
obrabianego sà funkcjà bardzo wielu zmiennych.
Reprezentowaç je mo˝e nast´pujàca zale˝noÊç:

δ

g

=

f(x

1

,

x

2

,

x

3

,

x

4

,

x

5

,

x

6

,

x

7

,

x

8

,

x

9

,

x

10

,

x

11

) (1)

gdzie:

x

1

– wartoÊci sk∏adowych si∏y skrawania,

x

2

– ciep∏o generowane podczas skrawania,

x

3

– sposób mocowania

PO,

x

4

– parametry geometryczne ostrza narz´dzia

(

N) i jego po∏o˝enie wzgl´dem przedmiotu obrabia-

nego (

PO),

x

5

– parametry geometryczne przedmiotu obra-

bianego

x

6

– b∏´dy geometryczne obrabiarki,

x

7

– zmienna sztywnoÊç podczas skrawania,

x

8

– zmienna g∏´bokoÊç skrawania,

x

9

– poziom i charakter drgaƒ mechanicznych,

x

10

– napr´˝enia w∏asne,

x

11

– inne czynniki losowe.

Jak wynika z licznych doÊwiadczeƒ prezentowa-

nych w literaturze [1 – 16], rzeczywiste zwiàzki po-
mi´dzy zmiennymi parametrami procesu skrawa-
nia a b∏´dami obróbki sà o wiele bardziej z∏o˝one ni˝
ich obrazy analityczne w istniejàcych modelach.
Uwzgl´dnienie znacznej liczby zmiennych (zale˝noÊç
(1)) podczas analiz z zastosowaniem aparatu mate-
matycznego utrudnia proces modelowania. Autorzy

raportu [1] wskazujà, ˝e specyfika procesu skrawania
jest na tyle z∏o˝ona, i˝ wymaga niekonwencjonalnych
narz´dzi do jego analizy. Sugerujà potrzeb´ stoso-
wania inteligentnych narz´dzi, tj. sztucznych sieci
neuronowych, sieci rozmytych itp., co pozwoli na
lepsze zrozumienie procesu opisanego analitycznie.
Tradycyjne modele analityczne [2, 13, 14], jak równie˝
i numeryczne (MES, MRS) [7, 8, 11], sà ma∏o przy-
datne, jeÊli chodzi o mo˝liwoÊci ich zastosowania
on-line w rzeczywistym systemie wytwarzania.
Pozwalajà one jedynie na analizy i ewentualnà pre-
dykcj´ b∏´dów w trybie

off-line. Specyfika modeli

neuronowych pozwala na ∏atwà ich adaptacj´ w rze-
czywistych systemach monitorowania i sterowania
procesem. Wiele zalet sztucznych sieci neuronowych
decyduje o ich coraz cz´stszym wyborze jako narz´-
dzia in˝ynierskiego [2 – 4, 10].

Charakterystyka sztucznej sieci neuronowej

Sieci neuronowe sà stosunkowo nowym narz´-

dziem wykorzystywanym do modelowania procesu
skrawania i zjawisk mu towarzyszàcych. Stosowane
sà tam, gdzie algorytmy poszukiwaƒ analityczne-
go rozwiàzania danego problemu sà bardzo trudne
do sformu∏owania lub nie dajà wyczerpujàcego
rozwiàzania. Sieci neuronowe majà budow´ warst-
wowà [17]. Na rys. 1 zaprezentowano typowà struk-
tur´ sieci neuronowej z wyszczególnieniem charak-
terystycznych warstw sieci: wejÊciowej, warstwy neu-
ronów ukrytych oraz wyjÊciowej (architektura sieci).

Wykorzystanie sztucznych sieci neuronowych
do prognozowania dok∏adnoÊci geometrycznej wyrobu

JERZY JÓZWIK
EL˚BIETA JACNIACKA
JERZY LIPSKI

Dr in˝. El˝bieta Jacniacka i dr in˝. Jerzy Józwik sà pra-

cownikami Katedry Podstaw In˝ynierii Produkcji Wydzia∏u
Mechanicznego Politechniki Lubelskiej, a dr hab. in˝. Jerzy
Lipski jest kierownikiem Katedry Organizacji Przedsi´-
biorstwa tej uczelni.

Rys. 1. Architektura sztucznej sieci neuronowej

ROK WYD. LXIV

앫 ZESZYT 4/2005

1 0

Sztuczna sieç neuronowa jest zespo∏em po∏à-

czonych ze sobà elementów przetwarzajàcych in-
formacje, zwanych neuronami. Model geometryczny
pojedynczego neuronu mo˝na przedstawiç jak na
rys. 2. Z ka˝dym wejÊciem

x

i

neuronu zwiàzany

jest wspó∏czynnik zwany wagà

w

i

. Wspó∏czynniki

Rys. 2. Model neuronu

wagowe

w

i

neuronu sà podstawowymi parametra-

mi wp∏ywajàcymi na sposób funkcjonowania sztucz-
nej komórki nerwowej. Przetwarzanie informacji
przez sztuczny neuron sk∏ada si´ z dwóch etapów.
Pierwszym z nich jest agregacja danych wejÊcio-
wych

x

i

, zaÊ drugim wyznaczenie wartoÊci wyjÊciowej

neuronu

y zgodnie z przyj´tà funkcjà aktywacji. Naj-

prostszà spoÊród wykorzystywanych funkcji akty-
wacji jest funkcja liniowa (stosowana g∏ównie w sie-
ciach liniowych). W zale˝noÊci od analizowanego
problemu i stawianych sieci zadaƒ cz´sto wykorzys-
tywane sà równie˝ inne funkcje, takie jak: logistyczna,
liniowa z nasyceniem, wyk∏adnicza, progowa i inne.
Z uwagi na wykorzystanie w prezentowanej pracy
logistycznej funkcji aktywacji, zostanie ona szcze-
gó∏owo omówiona w dalszej cz´Êci tego rozdzia∏u
[17 – 20].

We wn´trzu neuronu dokonuje si´ obliczanie sumy

wa˝onej sygna∏ów podawanych na jego wejÊcie,
skorygowanej o sta∏à wielkoÊç progowà

b zgodnie

z zale˝noÊcià:

net = ∑w

i

·

x

i

–

b (2)

gdzie:

w

i

– wagi,

x

i

– sygna∏y wejÊciowe,

b – wielkoÊç progowa.

i

Rys. 3. Przebiegi logistycznej funkcji aktywacji w zale˝noÊci od
parametru β

Na wyjÊciu neuronu pojawia si´ sygna∏ o wartoÊci:

y = f(net) (3)

gdzie:

f(net) jest funkcjà aktywacji neuronu.

Wybór funkcji aktywacji jest uzale˝niony od roli,

jakà neuron pe∏ni w sieci. Najcz´Êciej jednak, ze
wzgl´du na ∏atwà ró˝niczkowalnoÊç, wykorzystywana
jest tzw. funkcja logistyczna postaci:

f

1

(

net) ≡

1 + exp

–β · net

(4)

Funkcja opisana wzorem (4) jest funkcjà

S-kszta∏tnà,

przyjmujàcà wartoÊci z przedzia∏u (0,1). Wzrastajàca
wartoÊç parametru β powoduje, ˝e charakterystyki
stajà si´ bardziej strome, a przy du˝ych wartoÊciach β
(np. β = 8) niewielkie odchylenie wartoÊci net od po-
ziomu zerowego powoduje, ˝e funkcja

f(net) znajdu-

je si´ w stanie nasycenia. Przebieg zmian wartoÊci
funkcji opisanej wzorem (4), w zale˝noÊci od para-
metru β, przedstawiono na rys. 3 [2, 18 – 20].

Proces uczenia sieci polega na zmianie wag po-

∏àczeƒ pomi´dzy neuronami. Istot´ metody zmiany
wektora wag podczas uczenia sieci przedstawiono
na rys. 4 [17]. Proces uczenia sztucznej sieci neuro-
nowej wymaga zbiorów danych eksperymentalnych.
Dane eksperymentalne w zale˝noÊci od przyj´tego
modelu prezentowane sà sieci jako wzorce wejÊciowe
oraz wzorce wyjÊcia sieci.

Ca∏kowità populacj´ danych dzieli si´ zazwyczaj na

trzy zbiory. Pierwszy z nich jest zbiorem uczàcym
(wykorzystywanym w trakcie uczenia sieci), zaÊ kolej-
ny wykorzystywany jest do procesu walidacji sieci
(zbiór walidacyjny). Walidacja pozwala sprawdziç,
czy oszacowana na podstawie zbioru uczàcego sieç
ma zdolnoÊç do generalizacji zdobytej wiedzy. Spo-
Êród danych eksperymentalnych wyodr´bnia si´
ponadto zbiór wykorzystywany do niezale˝nego tes-
towania. Dane tego zbioru nie biorà udzia∏u w pro-
cesie uczenia. Proces uczenia sieci mo˝e odbywaç
si´ ró˝nymi metodami. Najpopularniejsze z nich to
uczenie nadzorowane, tzn. z nauczycielem (np. me-
todà wstecznej propagacji b∏´dów (Back Propaga-
tion – BP), oraz nienadzorowane, tzn. bez nauczyciela
(np. algorytm

Kohenena, algorytm k-Êrednich i inne).

Po nauczeniu sieci jesteÊmy w stanie dla dowolnie

1

Rys. 4. Istota metody zmiany wektora wag podczas uczenia
sieci [17]

ROK WYD. LXIV

앫 ZESZYT 4/2005

1 1

zadanych parametrów (najlepiej i najdok∏adniej
odwzorowywane sà dane z zakresu uczàcego) otrzy-
mywaç rozwiàzanie postawionego sieci zadania
z pewnym b∏´dem odwzorowania [17].

Istnieje bardzo wiele typów sztucznych sieci neu-

ronowych ró˝niàcych si´ mi´dzy sobà strukturà i
zasadà dzia∏ania. Najprostszymi z nich sà sieci liniowe
jednowarstwowe (w tym równie˝ sieci

Kohenena),

majàce tylko warstw´ wejÊciowà i warstw´ wyjÊcio-
wà. Jednak w wielu przypadkach taka sieç nie daje
zadowalajàcych rezultatów. Obecnie najcz´Êciej wy-
korzystywana jest architektura zwiàzana z koncepcjà
wielowarstwowego perceptronu MLP (Multi Layer
Perceptron). OkreÊlenie prawid∏owej liczby warstw
i neuronów w kolejnych warstwach sieci MLP jest
bardzo wa˝nym etapem procesu konstruowania sieci.
Uzale˝niony jest on w g∏ównej mierze od charakteru
zwiàzków, jakie chcemy modelowaç i stopnia z∏o-
˝onoÊci rozpatrywanego problemu. Proces uczenia
sieci MLP mo˝e odbywaç si´ ró˝nymi metodami.
Najlepiej znanym przyk∏adem algorytmu uczenia sieci
neuronowej MLP jest metoda wstecznej propagacji
b∏´dów BP (uczenie nadzorowane). Warto równie˝
dodaç, ˝e istniejà pewne, wypracowane empirycznie
modyfikacje algorytmu wstecznej propagacji b∏´dów.
Do nich mo˝na zaliczyç metod´ szybkiej propagacji
oraz metod´ Delta-Bar-Delta. Nowoczesne algorytmy
drugiego rz´du, takie jak: metoda gradientów sprz´-
˝onych i metoda

Levenberga-Marquardta nale˝à

równie˝ do grupy algorytmów uczenia nadzorowa-
nego sieci MLP. Sà one w wi´kszoÊci zastosowaƒ
szybsze, co mog∏oby sk∏aniaç do ich cz´stszego sto-
sowania. Jednak klasyczna metoda wstecznej pro-
pagacji b∏´dów ma wiele istotnych zalet, co powo-
duje, ˝e jest zdecydowanie najch´tniej stosowana
przez wi´kszoÊç u˝ytkowników sieci neuronowych.
Algorytm uczenia BP jest algorytmem najprostszym
do zrozumienia, doÊç pewnym, za pomocà którego
mo˝na wyjàtkowo ∏atwo rozwiàzywaç wi´kszoÊç sta-
wianych zadaƒ. Wykorzystuje regu∏´ spadku gra-
dientu b∏´du. Podczas prezentowania sieci kolejnych
wzorców prowadzi on stopniowo do minimalizacji tzw.
funkcji energetycznej, b´dàcej miarà b∏´du genero-
wanego na wyjÊciu sieci [17 – 20].

Innà, cz´sto u˝ywanà siecià neuronowà jest sieç

wykorzystujàca radialne funkcje bazowe RBF (Radial
Basic Function). Sieci RBF majà zawsze dok∏adnie trzy
warstwy; wejÊciowà, warstw´ ukrytà z neuronami ra-
dialnymi (o wyk∏adniczej funkcji aktywacji) i liniowà
warstw´ wyjÊciowà. WartoÊci wyjÊciowe neuronów,
wchodzàcych w sk∏ad warstwy wejÊciowej, sà prze-
kazywane do neuronów drugiej warstwy bez ˝adnych
form przetwarzania. W∏aÊciwy proces przetwarzania
danych dostarczonych sieci odbywa si´ w warstwie
ukrytej oraz wyjÊciowej. Ka˝dy neuron ukryty i wyjÊ-
ciowy ma pewnà liczb´ po∏àczeƒ, wyznaczanych na
zasadzie „ka˝dy z ka˝dym”, dochodzàcych do niego
od neuronów warstwy poprzedniej. Ka˝de po∏àczenie
zwiàzane jest z w∏asnym wspó∏czynnikiem wagowym,
a ponadto ka˝dy neuron ma swojà wartoÊç progowà.
W analizowanym w prezentowanej pracy przypadku,
przy 2 wejÊciach zachowanie neuronu determinowane
jest przez 3 nastawne parametry. Neurony warstwy
ukrytej wyznaczajà kwadrat odleg∏oÊci pomi´dzy
dwoma punktami (reprezentujàcymi odpowiednio
wektor opisujàcy sygna∏ wejÊciowy oraz wektor wag
neuronu) w 3-wymiarowej przestrzeni. Kwadrat od-

Rys. 5. Stanowisko badawcze

leg∏oÊci wyznaczany przez neurony radialne mno˝ony
jest przez wartoÊç progowà (która w neuronach
radialnych pe∏ni rol´ miary wartoÊci dopuszczalnego
odchylenia). W ten sposób wyznaczana jest wartoÊç
wejÊciowa rozwa˝anego neuronu. Zaletà sieci z ra-
dialnymi funkcjami bazowymi jest ich szybkie uczenie
si´ i dobra jakoÊç regresji, porównywalna z sieciami
typu perceptron wielowarstwowy. Wadà sieci RBF
jest podatnoÊç na b∏´dy algorytmu pseudoinwersji,
szczególnie dla ma∏ych odchyleƒ radialnych.

Podstawowà cechà sztucznej sieci neuronowej jest

umiej´tnoÊç uczenia si´, a ze zdobytego doÊwiad-
czenia wyprowadzanie wyników dajàcych niejedno-
krotnie pe∏ne rozwiàzanie analizowanego problemu.
Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych stanowi
zatem wyrafinowanà technik´ modelowania zdolnà
do odwzorowywania bardzo z∏o˝onych funkcji. Znaj-
dujà one szczególne zastosowanie do modelowania
nieliniowych zwiàzków rzeczywistego procesu ob-
róbki. Pozwalajà wychwyciç nawet najbardziej sub-
telne zwiàzki w procesie skrawania. Przy rozwià-
zywaniu trudnych i k∏opotliwych zagadnieƒ z zakre-
su identyfikacji, odwo∏anie si´ do modeli tworzonych
z wykorzystaniem sieci neuronowych jest niejedno-
krotnie jedynym, najszybszym i najwygodniejszym
rozwiàzaniem problemu. Modele takie z uwagi na
zdolnoÊç uogólniania zdobytej wiedzy sà w stanie
pracowaç równie˝ w sytuacjach niepewnoÊci i nie-
kompletnoÊci danych, niedok∏adnoÊci pomiarowych
itp. „Potrafià podejmowaç decyzje” w obecnoÊci
chaotycznych przebiegów czasowych o losowo
kszta∏tujàcych si´ wartoÊciach [2 – 5, 10, 17 – 20].

Badania eksperymentalne

Aby sprostaç wysokim wymaganiom jakoÊcio-

wym wytwarzanych produktów, technolog potrzebuje
u˝ytecznego narz´dzia do oceny b∏´dów obróbko-
wych. Sk∏ania to naukowców do podejmowania
prac, których efektem finalnym b´dzie zbudowanie
takiego modelu procesu skrawania, który pozwoli
na pe∏nà – wielokryterialnà ocen´ b∏´dów obrób-
kowych przed procesem. Ze wzgl´du na mo˝liwoÊç
uwzgl´dnienia dowolnej liczby miar diagnostycz-
nych, sztuczne sieci neuronowe dajà optymistyczne
przes∏anki dotyczàce mo˝liwoÊci zbudowania takiego
modelu. Wymaga to jednak wyników badaƒ ekspe-
rymentalnych.

W tym celu przeprowadzono doÊwiadczenie, w

efekcie którego dla zadanych warunków procesu

ROK WYD. LXIV

앫 ZESZYT 4/2005

1 2

skrawania uzyskano zestawy sumarycznych ugi´ç
przedmiotu obrabianego

dy, dz w dwóch prosto-

pad∏ych do siebie p∏aszczyznach

X-Y, X-Z (rys. 5).

Badania przeprowadzono w pi´ciu seriach na to-

karce uniwersalnej CS 401 dla ró˝nych kombinacji
ustalonych parametrów skrawania (

a

p

= 0,5; 1;

1,5 mm,

f = 0,1; 0,2; 0,31 mm/obr, v

c

= 165; 235;

330 m/min). Skrawaniu poddawano tuleje cienko-
Êcienne ze stali w´glowej konstrukcyjnej o Êrednicy
zewn´trznej

d

z

= 108 mm i gruboÊci Êcianki

g = 4 mm.

Zastosowano sk∏adany nó˝ tokarski firmy PAFANA
(wieloostrzowà p∏ytk´ powlekanà SNMG120408-SS
gat. BP35A mocowanà w oprawce PSBN R 2020 12K
o przekroju 20x20) o ustalonej geometrii ostrza:
λ

s

= -6° γ

o

= -6°. Do pomiaru przemieszczeƒ w ana-

lizowanych osiach (

y, z) zastosowano czujniki la-

serowe optoNCDT 1605/2 firmy Micro-Epsilon Mass-
technik. Sygna∏y przemieszczeƒ

dy, dz próbkowano

i zamra˝ano na wszystkich mierzonych kana∏ach.
Pozwoli∏o to na uzyskanie wartoÊci mierzonych wiel-
koÊci w tych samych jednostkach czasowych. Przy
wykorzystaniu przetwornika analogowo-cyfrowego
firmy National Instrument zamro˝one sygna∏y prze-
twarzano do postaci cyfrowej. Komunikacj´ wszyst-
kich zespo∏ów pomiarowych, sterowanie procesem
pomiaru i archiwizacj´ otrzymanych wyników pro-
wadzono za pomocà specjalistycznego oprogra-
mowania wykonanego w Êrodowisku LabView. Oceny
dok∏adnoÊci geometrycznej wykonania wyrobów po
obróbce dokonano z wykorzystaniem wspó∏rz´d-
noÊciowej maszyny pomiarowej WMP Vista-Zeiss
oraz specjalistycznego oprogramowania Calypso.
Przeprowadzono pomiary, których celem by∏o okreÊ-
lenie b∏´du wymiaru ∆W obrabianego elementu,
odchy∏ki walcowoÊci ∆Wal oraz odchy∏ki okràg∏oÊci
∆Okr.

Na podstawie uzyskanych wyników badaƒ eks-

perymentalnych przygotowano zbiory niezb´dne do
uczenia, testowania i walidacji sztucznych sieci neu-

ronowych (rys. 6). Ze 135 przypadków sk∏adajà-
cych si´ na ca∏kowity zbiór danych eksperymen-
talnych wyselekcjonowano losowo 68 przypadków
i przypisano je do zbioru uczàcego, 34 przypadki
przypisano do zbioru walidacji uczenia oraz 33 przy-
padki do zbioru, którego zadaniem jest niezale˝ne
testowanie.

Analiza i jej wyniki

Do prognozowania b∏´dów kszta∏tu i wymiaru

gotowego wyrobu wykorzystano sieci o radialnych
funkcjach bazowych RBF oraz sieci MLP, uczone algo-
rytmem wstecznej propagacji b∏´dów BP. Struktury
sieci (tab. I, tab. II) otrzymano w wyniku wielokrot-
nych eksperymentów. Warstwy ukryte przyj´tych sieci
neuronowych z∏o˝one sà z neuronów ukrytych o
sigmoidalnej funkcji aktywacji – dla sieci MLP oraz
wyk∏adniczej – dla sieci RBF. Liczb´ neuronów ukry-
tych w poszczególnych warstwach podajà opisy
umieszczone w tab. I oraz tab. II. Warstw´ wyjÊciowà
stanowià neurony wyjÊciowe, prezentujàce wyniki
symulacji numerycznej, obarczone b∏´dem odwzo-
rowania. Neurony wyjÊciowe sieci RBF wyposa˝ono
w liniowe funkcje aktywacji. Proces uczenia sieci
prowadzono w trybie

off-line. W trakcie uczenia,

walidacji i testowania sieci wykorzystywano funkcj´
b∏´du typu suma-kwadratów. Opierajàc si´ na przy-
j´tej funkcji wyznaczano sum´ kwadratów ró˝nic
pomi´dzy wartoÊciami zadanymi i wartoÊciami otrzy-
manymi na wyjÊciu ka˝dego neuronu wyjÊciowego.
Wybór funkcji b∏´du sieci typu suma-kwadratów
stanowi najw∏aÊciwszà decyzj´ w wi´kszoÊci anali-
zowanych problemów regresyjnych oraz niektórych
problemach klasyfikacji.

Zastosowane sieci uczà si´ aproksymowaç uzys-

kane wyniki badaƒ eksperymentalnych. W analizo-
wanym przypadku proces uczenia sieci MLP pro-
wadzono algorytmem wstecznej propagacji b∏´du BP.

Etap uczenia sieci RBF (trenowania) prowadzo-

no trójstopniowo. Zastosowano sieci o strukturze ma-
jàcej warstw´ wejÊciowà, na którà podawano sygna∏y
opisane wektorem wejÊciowym [

dy, dz], warstw´

ukrytà z neuronami radialnymi (o wyk∏adniczej funkcji
aktywacji) oraz warstw´ wyjÊciowà z∏o˝onà z trzech
neuronów. W pierwszej kolejnoÊci ustalone zosta∏y
wartoÊci wag neuronów warstwy radialnej (ukrytej).
Wagi tych neuronów przyjmowa∏y wartoÊci równe
wspó∏rz´dnym punktów stanowiàcych Êrodki skupieƒ
(centra skupieƒ) wyst´pujàcych w zbiorze uczàcym.
Ârodki skupieƒ odzwierciedlajàce struktur´ danych
wejÊciowych wyznaczono metodà

k-Êrednich. Ka˝de

TABELA I. Analiza wra˝liwoÊci zmiennych wejÊciowych dla: a) sieci RBF 2:2-10-3:3, b) sieci RBF 2:2-8-3:3, c) sieci RBF
2:2-5-3:3;

dy, dz – ugi´cia przedmiotu obrabianego podczas skrawania w osiach y, z

Rys. 6. Klasyfikacja zbiorów danych eksperymentalnych

ROK WYD. LXIV

앫 ZESZYT 4/2005

1 3

skupienie danych wejÊciowych mia∏o swojà repre-
zentacj´ w postaci jednego neuronu radialnego. Roz-
przestrzenienie danych w ka˝dym skupieniu by∏o
identyfikowane przez wartoÊç odchylenia radialnego
(przechowywanego jako wartoÊç progowa neuronu,
którego wagi reprezentujà centrum skupienia). Po
wyznaczeniu centrów skupieƒ danych wejÊciowych
i ich zasi´gów, odzwierciedlonych w toku uczenia
w neuronach warstwy radialnej, uczeniu poddawano
neurony warstwy wyjÊciowej. Neurony warstwy
wyjÊciowej uczono za pomocà techniki – pseudoin-
wersji. Proces walidacji oraz testowania sieci pro-
wadzono na zbiorach niebioràcych udzia∏u w pro-
cesie uczenia.

Trzeba wyraênie zaznaczyç, ˝e funkcje aproksy-

mujàce wyniki badaƒ nie sà prezentowane w sposób
jawny jako funkcje matematyczne, jak ma to miejsce
w przypadku klasycznej analizy regresji. Podczas wy-
korzystania sieci neuronowych do zagadnieƒ apro-
ksymacji sieç pe∏ni rol´ „czarnej skrzynki”, na której
wejÊcie podawane sà wartoÊci wielkoÊci wejÊcio-
wych, na wyjÊciu zaÊ (w wyniku z∏o˝onych procedur)
uzyskiwane sà interesujàce nas wartoÊci wielkoÊci
wyjÊciowych. Wyniki tych z∏o˝onych „obliczeƒ” wi-
zualizowane sà w formie graficznej.

Zbudowane z wykorzystaniem sztucznych sieci

neuronowych modele uwzgl´dniajà sumaryczne od-
kszta∏cenia przedmiotu obrabianego

dy, dz w p∏asz-

czyznach

X-Y, X-Z i ich wp∏yw na uzyskiwanà do-

k∏adnoÊç wymiarowo-kszta∏towà po obróbce. Sà one
kontynuacjà z∏o˝onego modelu prognozowania
b∏´dów kszta∏tu i wymiaru gotowego wyrobu. Pierw-
szy etap prac nad zbudowaniem takiego modelu
przedstawiono w artyku∏ach prezentowanych w li-
teraturze [2, 4]. Przedstawione w pracach [2, 4] mo-
dele, na postawie technologicznych warunków skra-
wania sà zdolne przewidywaç sumaryczne ugi´cia
przedmiotu podczas obróbki. Efektem prowadzonych
w niniejszej pracy analiz jest zarówno ocena przy-
datnoÊci sieci neuronowej do prognozowania b∏´dów
kszta∏tu i wymiaru, jak równie˝ opracowanie u˝ytecz-
nych modeli neuronowych, których parametrami
wyjÊciowymi sà: b∏àd wymiaru ∆W, odchy∏ka wal-
cowoÊci ∆Wal oraz odchy∏ka okràg∏oÊci ∆Okr.

Dla ka˝dej z sieci przeprowadzono analiz´ wra˝li-

woÊci zmiennych wejÊciowych oraz wygenerowano
statystyki regresyjne dla ka˝dej zmiennej wyjÊcio-
wej. Wyniki analizy wra˝liwoÊci sieci RBF na zmienne
wejÊciowe

dy, dz przedstawiono w tab. I, a dla sieci

MLP w tab. II. Statystyki regresyjne dla ka˝dej zmien-
nej wyjÊciowej zaprezentowano w tab. III – VIII. Tab.

III – V przedstawiajà wyniki obliczeƒ parametrów
regresji dla b∏´dów kszta∏tu i wymiaru wyrobu, mo-
delowanych z wykorzystaniem sieci o radialnych
funkcjach bazowych, zaÊ tab. VI – VIII prezentujà wy-
niki obliczeƒ w odniesieniu do sieci MLP uczonych
algorytmem BP.

Przeprowadzona analiza wra˝liwoÊci sieci dostar-

cza wiedzy o tym, jakie jakoÊciowo informacje niosà
ze sobà zmienne wejÊciowe

dy, dz, jaka jest ich

przydatnoÊç i wp∏yw na proces uczenia oraz spraw-
noÊç dzia∏ania sieci. Szacuje ponadto strat´, jakà
ponosi badacz odrzucajàc konkretnà zmiennà. Im
wy˝sza wartoÊç rangi danej wejÊciowej, tym mniej
potrzebna jest ona do utrzymania ˝àdanej sprawnoÊci
sieci. W prezentowanym przypadku najwi´kszy wp∏yw
na wartoÊci poszczególnych b∏´dów dla wszystkich
analizowanych sieci ma ugi´cie przedmiotu obra-
bianego podczas skrawania oznaczone jako

dy. Jest to

ugi´cie zarejestrowane w kierunku dzia∏ania sk∏a-
dowej odporowej si∏y skrawania

F

p

. Drugorz´dnà

rang´ uzyska∏o ugi´cie

dz, zmierzone w p∏aszczyê-

nie pionowej – prostopad∏ej do kierunku dzia∏ania
sk∏adowej odporowej

F

p

. Analiza wra˝liwoÊci sieci

pozwala zatem odró˝niaç wa˝ne zmienne od takich,
które nie wnoszà cennych informacji do wyniku

TABELA II. Analiza wra˝liwoÊci zmiennych wejÊciowych dla: a) sieci MLP 1:1-17-3:3, (BP), b) sieci MLP 1:1-11-11-3:3, (BP),
c) sieci MLP 1:1-11-3:3 (BP);

dy, dz – ugi´cia przedmiotu obrabianego podczas skrawania w osiach y, z

TABELA III. Statystyki regresyjne wartoÊci b∏´du ∆W i od-
chy∏ek ∆Wal, ∆Okr dla sieci RBF 2:2-10-3:3 (sieç „a” z tab. I)

ROK WYD. LXIV

앫 ZESZYT 4/2005

1 4

dzia∏ania sieci, a przez to do modelu wnioskowania
prognostycznego. Pozwala ona na optymalizacj´
z∏o˝onoÊci modelu, co jest niezwykle istotne w przy-
padku analizy du˝ej liczby zmiennych wejÊciowych.
Jednak˝e nale˝y byç niezmiernie ostro˝nym pod-
czas jej stosowania, gdy˝ nie daje ona bezwzgled-
nej oceny u˝ytecznoÊci zmiennych. Uwzgl´dniajàc
fakt, ˝e mogà wyst´powaç zwiàzki pomi´dzy zmien-
nymi wejÊciowymi

dy, dz, wskaênik ten mo˝e dawaç

mylny obraz rzeczywistoÊci. Mo˝e zachodziç równie˝
sytuacja, ˝e zale˝ne od siebie zmienne u˝yteczne b´dà
wyst´powaç tylko razem. Po usuni´ciu którejÊ z nich
wra˝liwoÊç pozosta∏ych zmiennych b´dzie zerowa.
Szacowana wartoÊç b∏´du nauczenia sieci przy braku

danej zmiennej (tab. I oraz tab. II) zamieszczono pod
wartoÊcià rangi. Wa˝ne zmienne majà du˝à wartoÊç,
mówiàcà, ˝e sieç wiele traci bez tej zmiennej. Jak
wynika z tab. I dla wszystkich badanych sieci RBF
ugi´cie

dy ma wy˝sze wartoÊci b∏´du w stosunku

do ugi´cia

dz, co Êwiadczy o przewadze wa˝noÊci

zmiennej

dy nad zmiennà dz. W sieci typu MLP wy-

korzystywana opcja automatycznego projektanta sieci
automatycznie odrzuca zmiennà

dz jako nieistotnà.

Potwierdza to jedynie obserwacje wyników badaƒ
eksperymentalnych i analizy logicznej. Zmienna

dy

le˝y w p∏aszczyênie dzia∏ania sk∏adowej odporowej

TABELA V. Statystyki regresyjne wartoÊci b∏´du ∆W i od-
chy∏ek ∆Wal, ∆Okr dla sieci RBF 2:2-5-3:3 (sieç „c” z tab. I)

TABELA VI. Statystyki regresyjne wartoÊci b∏´du ∆W i
odchy∏ek ∆Wal, ∆Okr dla sieci MLP 1:1-17-3:3, BP, (sieç „a”
z tab. II)

TABELA VII. Statystyki regresyjne wartoÊci b∏´du ∆W i
odchy∏ek ∆Wal, ∆Okr dla sieci MLP 1:1-11-11-3:3, BP, (sieç „b”
z tab. II)

TABELA IV. Statystyki regresyjne wartoÊci b∏´du ∆W i od-
chy∏ek ∆Wal, ∆Okr dla sieci RBF 2:2-8-3:3 (sieç „b” z tab. I)

ROK WYD. LXIV

앫 ZESZYT 4/2005

1 5

si∏y skrawania

F

p

wywo∏ujàcej istotne ugi´cia spr´-

˝yste przedmiotu obrabianego. Ugi´cie

dy mierzone

w tej p∏aszczyênie determinuje wartoÊci genero-
wanych b∏´dów obróbkowych (wymiaru i kszta∏tu).
Jak mo˝na zauwa˝yç, wp∏yw danego rodzaju wiel-
koÊci wejÊciowej

dy, dz jest podobny w zbiorze

uczàcym i walidacyjnym tak jak i sama ranga.
Âwiadczy to o tym, ˝e proces uczenia przebiega
w sposób zbli˝ony, co z kolei sugeruje prawid∏owoÊç
generowanych modeli identyfikacji b∏´dów kszta∏tu
(∆Wal oraz ∆Okr) i b∏´du wymiaru ∆W analizowanego
wyrobu. Wyniki przeprowadzonej analizy wra˝liwoÊci
dla wybranych rodzajów sieci (RBF – tab. I, MLP,
BP – tab. II) wskazujà na wyraênà zale˝noÊç b∏´dów
kszta∏tu i wymiaru przedmiotu obrabianego od jego
ugi´cia podczas obróbki

dy.

Cennych informacji na temat stopnia dok∏adnoÊci

predykcji b∏´dów kszta∏tu i wymiaru przez sieç
dostarczajà nam statystyki regresyjne. Umiej´tnoÊci
odwzorowywania danych przez sieç czy zastosowa-
nie sieci do rozwiàzania zadania regresyjnego za-
koƒczy∏o si´ powodzeniem, co mo˝na odczytaç ana-
lizujàc wyniki tych statystyk. W tab. III – VIII za-
mieszczono, wyznaczone niezale˝nie dla zbioru
uczàcego, walidacyjnego i testujàcego ró˝nych sieci
neuronowych, wartoÊci parametrów cechujàcych
poszczególne zmienne. OkreÊlono Êrednie wartoÊci
b∏´du wymiaru ∆W, odchy∏ki walcowoÊci ∆Wal oraz
okràg∏oÊci ∆Okr na podstawie zadanych wartoÊci
tych zmiennych, zgromadzonych odpowiednio w
poszczególnych zbiorach. Ponadto, wyznaczono war-
toÊci odchylenia standardowego obliczonego dla
zadanych wartoÊci poszczególnych b∏´dów geomet-
rycznych przedmiotu obrabianego oraz Êredni b∏àd –
jako modu∏ ró˝nicy pomi´dzy wartoÊcià zadanà i
uzyskanà na wyjÊciu dla konkretnych zmiennych
wyjÊciowych. Oczekiwany Êredni b∏àd odwzorowania
przy zastosowaniu statystyk regresyjnych jest równy
odchyleniu standardowemu obliczonemu dla odpo-
wiednich b∏´dów; wymiaru ∆W i kszta∏tu (∆Wal, ∆Okr),
w zbiorze uczàcym, walidacyjnym i testujàcym (tab. III,
IV, V). WartoÊci tych odchyleƒ dla badanych sieci RBF
zawiera∏y si´ odpowiednio w przedzia∏ach:

– dla zbioru uczàcego; ∆W→0,036-0,041,

∆Wal→0,014-0,015, ∆Okr→0,011-0,012,

– dla zbioru walidacyjnego; ∆W→0,038-0,042,

∆Wal→0,015-0,017, ∆Okr→0,011-0,013,

– dla zbioru testujàcego; ∆W→0,039-0,044,

∆Wal→0,017-0,018, ∆Okr→0,012-0,013,
zaÊ dla badanych sieci MLP, odpowiednio:

– dla zbioru uczàcego; ∆W→0,037-0,038,

∆Wal→0,014-0,015, ∆Okr→0,011-0,012,

– dla zbioru walidacyjnego; ∆W→0,043-0,045,

∆Wal→0,017-0,018, ∆Okr→0,013,

– dla zbioru testujàcego; ∆W→0,038-0,042,

∆Wal→0,016, ∆Okr→0,012.

OkreÊlono równie˝ ró˝nic´ pomi´dzy wartoÊcià

zadanà i wartoÊcià uzyskanà na wyjÊciu dla ka˝dej
zmiennej wyjÊciowej (Êredni b∏àd bezwzgl´dny) oraz
odchylenia standardowe b∏´dów. Oprócz tego wyzna-
czono ilorazy odchyleƒ standardowych dla b∏´dów
i dla danych, które sà g∏ównymi wskaênikami jakoÊci
zbudowanych przez sieç modeli regresyjnych.

WartoÊci ilorazu odchyleƒ standardowych wyzna-

czone dla badanych sieci RBF zawiera∏y si´ odpo-
wiednio w przedzia∏ach:

TABELA VIII. Statystyki regresyjne wartoÊci b∏´du ∆W i
odchy∏ek ∆Wal, ∆Okr dla sieci MLP 1:1-11-3:3, BP, (sieç „c”
z tab. II)

– dla zbioru uczàcego; ∆W→0,097-0,109,

∆Wal→0,242-0,331, ∆Okr→0,223-0,292,

– dla zbioru walidacyjnego; ∆W→0,066-0,075,

∆Wal→0,191-0,340, ∆Okr→0,182-0,292,

– dla zbioru testujàcego; ∆W→0,084-0,101,

∆Wal→0,199-0,356, ∆Okr→0,172-0,315,
zaÊ dla badanych sieci MLP, odpowiednio:

– dla zbioru uczàcego; ∆W→0,090-1,127,

∆Wal→0,333-1,760, ∆Okr→0,256-1,090,

– dla zbioru walidacyjnego; ∆W→0,065-1,127,

∆Wal→0,267-1,734, ∆Okr→0,180-1,126,

– dla zbioru testujàcego; ∆W→0,092-1,128,

∆Wal→0,297-1,710, ∆Okr →0,273-1,094.

WartoÊci ilorazu odchyleƒ standardowych mówià

o stopniu dok∏adnoÊci predykcji. Ma∏e wartoÊci
(du˝o poni˝ej 1, np. 0,3, 0,2, 0,1 i mniej) Êwiadczà
o dobrej realizacji regresji przez sieç, tzn. dobrym
oszacowaniu wyjÊcia systemu uzyskiwanym za po-
mocà sieci. Wysokie wartoÊci ilorazu odchyleƒ stan-
dardowych dla b∏´dów i dla danych dyskwalifikujà
stworzony przez sieç model. Uwzgl´dniajàc powy˝sze
kryterium oceny sieci, okazuje si´, ˝e zdecydowanie
lepsze w∏aÊciwoÊci regresji wykazujà sieci RBF, które
cechujà si´ ni˝szymi wartoÊciami ilorazu odchyleƒ
standardowych dla b∏´dów i dla danych, szczególnie
w odniesieniu do zbiorów walidacyjnych i testujàcych.
JeÊli zastosowana sieç neuronowa b´dzie zdolna
zbudowaç model, dla którego iloraz osiàgnie wartoÊç
0,0, to wówczas taki model nie b´dzie w ogóle po-
pe∏nia∏ pomy∏ek – b´dzie to model idealny.

Przytoczony przypadek jest czysto hipotetyczny,

chocia˝ nie niemo˝liwy. JeÊli modelowany proces
by∏by deterministyczny, to mo˝e si´ zdarzyç, ˝e sieci
uda si´ znaleêç idealne dopasowanie (prawdziwy
model – idealny). W wyniku obliczeƒ statystyk regre-
syjnych wyznaczono wartoÊci standardowego wspó∏-
czynnika korelacji

R Pearsona pomi´dzy obliczonymi

i rzeczywistymi wartoÊciami wyjÊciowymi. Idealna

ROK WYD. LXIV

앫 ZESZYT 4/2005

1 6

Rys. 7. Prognozowany przebieg zmian b∏´dów kszta∏tu i wy-
miaru przedmiotu obrabianego przez sieç RBF 2:2-10-3:3; a)
b∏´du wymiaru ∆W, b) odchy∏ki walcowoÊci ∆Wal, c) odchy∏ki
okràg∏oÊci ∆Okr

prognoza charakteryzowa∏aby si´ wspó∏czynnikiem
korelacji

R = 1. Jednak wartoÊç wspó∏czynnika ko-

relacji na poziomie równym 1 niekoniecznie oznacza
idealnà prognoz´, a jedynie prognoz´, która jest
dok∏adnie liniowo skorelowana z aktualnymi war-
toÊciami wyjÊciowymi.

Niemniej jednak w praktyce wspó∏czynnik kore-

lacji jest dobrym wskaênikiem jakoÊci sieci. Dla
analizowanego w pracy przypadku przewidywane
przez sieci RBF wartoÊci wyjÊciowe ∆W, ∆Wal oraz
∆Kol korelujà na bardzo wysokim poziomie z wartoÊ-
ciami rzeczywistymi. WartoÊç wspó∏czynnika korelacji
zawiera si´ w przedziale 0,93 – 0,99 dla wszystkich
zbiorów sztucznej sieci neuronowej. Gorszà korelacj´
zaobserwowano w przypadku sieci MLP. WartoÊç
wspó∏czynnika korelacji dla tych sieci zmienia si´
w szerszym zakresie 0,77 – 0,99. Ponadto jedna z sieci
wykazuje ujemnà wartoÊç wspó∏czynnika korelacji,
co na tle pozosta∏ych sieci oraz na podstawie wczeÊ-
niejszych obserwacji autorów pracy jest sprzeczne
z rzeczywistoÊcià. Âwiadczy to o niew∏aÊciwej ar-
chitekturze sieci i ewentualnie niew∏aÊciwym prze-
biegu procesu uczenia. Uwzgl´dniajàc to kryterium
wyboru sieci, nale˝a∏oby takà sieç odrzuciç.

Wyniki dzia∏ania najlepszej sieci na zadane dane

wejÊciowe (sieç RBF 2:2-10-3:3) w formie po-
wierzchniowych wykresów odpowiedzi zaprezen-
towano na rys. 7. Na rys. 7a przedstawiono prze-
widywany charakter zmian b∏´du wymiaru ∆W w
funkcji sumarycznych ugi´ç

dy oraz dz. Jak wynika

z prezentowanego wykresu, zarówno

dy, jak i dz

powodujà progresywny przyrost b∏´du wymiaru
w ca∏ym zakresie danych badawczych. Zbli˝ony cha-
rakter zmian przedstawiajà równie˝ wykresy zapre-
zentowane na rys. 7b oraz 7c. Okazuje si´, ˝e b∏´dy
kszta∏tu wzrastajà wraz ze wzrostem sumarycznych
ugi´ç przedmiotu obrabianego podczas obróbki.

Podsumowanie i wnioski

Badania doÊwiadczalne oraz wyniki przeprowa-

dzonej analizy dajà optymistyczne przes∏anki doty-
czàce mo˝liwoÊci aplikacji sztucznych sieci neuro-
nowych do modelowania b∏´dów kszta∏tu i wymiaru
przedmiotów wytwarzanych w procesie skrawania.
Otrzymane na podstawie zbudowanych modeli wyniki
symulacji zmian b∏´dów kszta∏tu i wymiaru przed-
miotu obrabianego podczas obróbki wykazujà zbli-
˝ony charakter w stosunku do prezentowanych w

literaturze charakterystyk otrzymanych innymi me-
todami. Zaobserwowano dobrà powtarzalnoÊç prze-
biegów dla stosunkowo szerokiego przedzia∏u pa-
rametrów wejÊciowych. Oznacza to niewàtpliwà
przydatnoÊç sieci neuronowej w tego typu prog-
nozach.

Decydujàcym kryterium wyboru sieci neuronowej

jako narz´dzia do zadaƒ aproksymacji i celów prog-
nostycznych jest jej zdolnoÊç odtwarzania infor-
macji zdobytych podczas procesu uczenia. Jak wyni-
ka z równania (1), b∏´dy kszta∏tu i wymiaru sà funkcjà
bardzo wielu zmiennych. Mo˝liwoÊç uwzgl´dnienia
praktycznie nieograniczenie wielu zmiennych wejÊcio-
wych przez sieci neuronowe nie tylko u∏atwia proces
modelowania, ale niejednokrotnie jest jedynym spo-
sobem stworzenia wiarygodnego a jednoczeÊnie
u˝ytecznego i ∏atwego w stosowaniu modelu. Po-

ROK WYD. LXIV

앫 ZESZYT 4/2005

1 7

nadto, z uwagi na wykorzystanie w fazie uczenia sieci
danych eksperymentalnych, najbardziej uniwersalne
i jednoczeÊnie efektywne sà neuronowe modele wie-
lowymiarowe. Mo˝liwoÊç douczania sieci, w przy-
padku pojawienia si´ nowych – uaktualnionych
danych, umo˝liwia uwzgl´dnienie w tworzonym
modelu informacji zawartych w najnowszych obser-
wacjach.

Modelowanie b∏´dów kszta∏tu i wymiaru z wyko-

rzystaniem sztucznych sieci neuronowych i ich
aplikacja w uk∏adach sterowania maszyn techno-
logicznych jest alternatywà w stosunku do trady-
cyjnych metod zapewnienia wymaganej dok∏ad-
noÊci wymiarowo-kszta∏towej. Modele zbudowane
z wykorzystaniem narz´dzia w postaci sieci neuro-
nowej wspomagajà prac´ technologów, jak równie˝
umo˝liwiajà analizy pozwalajàce na lepsze zrozu-
mienie procesu skrawania. Utrwalenie w formie
modelu neuronowego zwiàzków funkcyjnych po-
mi´dzy zmierzonymi odkszta∏ceniami przedmiotu
podczas skrawania a b∏´dami kszta∏tu i wymiaru
pozwoli na ∏atwe eksperymentowanie bez koniecz-
noÊci powtarzania prób technologicznych, a w
konsekwencji minimalizacj´ b∏´dów gotowego
wyrobu.

LITERATURA

1.

Luttervelt C. A., Childs T. H. C., Klocke F., Venuvinod P. K.:
Present situation and future trends in modelling of machi-
ning operations. Progress Report of the CIRP working group
„Modelling of Machining Operations”. Annals of the CIRP,
47 (2), 1998, pp. 587- 626.

2.

Lipski J., Lutek K., Nieszczeta W., Zaleski K.: Ocena b∏´dów
obróbkowych spowodowanych odkszta∏ceniami cieplny-
mi przedmiotu obrabianego”. Forum prac badawczych –
Kszta∏towanie cz´Êci maszyn przez usuwanie materia∏u”.
Koszalin 1994. Mat.

3. J

ózwik J., Lipski J.: Prediction of value cutting force compo-

nents by applied neural networks with radial basic functions
RBF. Systemy informacyjne i informatyczne w in˝ynierii
produkcji. LTN, Lublin 2003.

4.

Józwik J., Lipski J.: Application of neural network to mo-
deling of workpiece deformations during turning process.
Maintenance and Reliability, 4, 2002, pp. 30 – 49.

5.

Józwik J., Lipski J.: Prediction of workpiece deforming
during cutting with applied artificial neural network.
II Sympozjum Mechaniki Zniszczenia Materia∏ów i Kon-
strukcji, Augustów 2003.

6.

Bryan J.: International status of thermal error research.
Annals CIRP, 39 (2), 1990, pp. 645 – 656.

7.

Mayer J. R. R., Phan A.-V., Cloutier G.: Prediction of dia-
meter errors in bar turning: a computationally effective
model. Applied Mathematical Modeling, 24, 2000, pp.
943 – 956.

8.

Phan A.-V., Cloutier G., Mayer J.R.R.: A finite element
model for predicting tapered workpiece deflections in
turning. Computer Modeling and Simulation in Engineering,
4, 1999, pp.138 – 142.

9.

Li X.: Real-Time Prediction of Workpiece Errors for a CNC
Turning Centre. Part 4. Cutting-Force-Induced Errors. Int. J.
Adv. Manuf. Technol. 17 (2001), pp. 665 – 669.

10.

Li X., Venuvinod P. K., Djorjevich A., Liu Z. Q.: Predicting
Machining Errors in Turning Using Hybrid Learning. Int J
Adv Manuf Technol., 18, 2001 pp. 863 – 872.

11.

Liu Z. Q.: Finite difference calculations of the deformations
of multi-diameter workpieces during turning. Journal of
Materials Processing Technology. 98, 2000, pp. 310 – 316.

12.

Shiraishi M.: In-process control of workpiece dimension in
turning. Annals of the CIRP, 28 (1), 1979, pp. 333 – 337.

13.

Kops L., Gould M., Mizrach M.: Improved analysis of the
workpiece accuracy in turning, based on the emerging
diameter, ASME Journal of Engineering for Industry. 115,
1993, pp. 253 – 257.

14.

Kops L., Gould M., Mizrach M.: A search for equilibrium
between workpiece deflection and depth of cut: key to pre-
dictive compensation for deflection in turning, 2, Manuf.
Sci. Eng., ASME PED, 68 (2), 1994 pp. 819 – 825.

15.

Yang S., Yuan J., Ni J.: Real-time cutting force induced
error compensation on a turning center. International
Journal of Machine Tools and Manufacture. 37, 1997, pp.
1597 – 1610.

16.

Asao T., Mizugaki Y., Sakamoto M.: Precision turning by
means of a simplified predictive function of machining error.
Annals of the CIRP. 41(1) 1992, 447 – 450.

17.

Tadeusiewicz R.: Sieci neuronowe. Akademicka Oficyna
Wydawnicza RM, Warszawa 1998.

18.

Masters T.: Sieci neuronowe w praktyce. WNT, Warsza-
wa 1996.

19.

Osowski S.: Sieci neuronowe w uj´ciu algorytmicznym.
WNT, Warszawa 1996.

20.

Osowski S.: Sieci neuronowe do przetwarzania informacji.
Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa
2000.