dr hab. Wawrzosek Jacek

Matematyka i badania operacyjne

WIP - kierunek Transport. 1r.

Wybrane sposoby wyznaczania granicy ciągów (1-22) i funkcji (23-30)

Lp.

Typy ciągów nieskończonych

Sposób wyznaczania granicy ciągów

1.

3

4

1

3









n

n

a

n

Wyznaczyć

granicę

wyrażenia

podpierwiastkowego.

2.

4

5

9

3

4

3

4

10

5

6











n

n

n

n

n

a

n

Dzielić licznik i mianownik przez zmienną w
najwyższej potędze mianownika.

3.

3

4

10

5

10

4

5

8

3

4











n

n

n

n

n

a

n

Wyznaczyć

granicę

wyrażenia

podpierwiastkowego jak w postaci 2.

4.









2

2

3

3

8

4

1

27

3

2

n

n

n

n

a

n











Wzór skróconego mnożenia na potęgę 2 i 3,
dalej jak w postaci 2.

5.

2

3

4

10

5

4

6

4

5

9

3

4

3

n

n

n

n

n

n

a

n











jak w postaci 2.

6.





3

2

2

2











n

n

n

n

a

n

Doprowadzić do postaci 5 wykorzystując wzór
skróconego mnożenia na potęgę 2.

7.





3

3

3

3

2

3

5

n

n

n

a

n









Doprowadzić do postaci 5 wykorzystując wzór
skróconego mnożenia na potęgę 3.

8.













 

!

3

8

!

3

3

!

1

3

27

!

2

3

n

n

n

n

n

n

a

n













Wyłączyć największy wspólny czynnik dla
wyrażeń w liczniku i mianowniku, dalej jak w
postaci 2.

9.





n

n

a

n





















...

3

2

1

1

2

...

5

3

1

Wzór

na

sumę

n

elementów

ciągu

arytmetycznego, dalej jak w postaci 2.

10.









n

n

n

n

a

n





























...

3

2

1

2

1

2

...

6

5

4

3

2

1

Rozdzielić elementy ciągów o różnych znakach,
dalej jak w postaci 9.

11.

n

n

n

a

7

1

...

7

1

7

1

7

1

3

1

...

3

1

3

1

3

1

3

2

3

2



















Wzór

na

sumę

n

elementów

ciągu

geometrycznego, dalej jak w postaci 2.

12.

n

n

n

n

n

n

n

a

2

2

1

4

1

4

5

9

2

4

3



















Dzielić licznik i mianownik przez największą
stałą w potędze n.

13.

n

n

n

a

20

20

6

2

6

5





Wykorzystać fakt, że

1

lim







n

n

a

14.

n

n

n

n

a

3

!

2



Twierdzenie o 3 ciągach.

15.

!

3

5

4

3

n

a

n

n

n



Odwrócić do postaci 15.

16.

 

n

n

n

n

a

n

5

3

!

cos

2

2





Twierdzenie o 3 ciągach.

17.

n

n

n

n

n

a

2

8

4

3









Twierdzenie o 3 ciągach oraz

1

lim







n

n

n

i

1

lim







n

n

a

.

18.

n

n

n

a

2

12

3



Twierdzenie o 3 ciągach w tym porównanie z
ciągiem geometrycznym.

19.

2

1

2

3

2





















n

n

n

n

a

Doprowadzić do postaci

a

e

lub

n

a

e

.

20.

4

9

7

3

log

log

n

n

a

n



Wykorzystać wzory na logarytm.

dr hab. Wawrzosek Jacek

Matematyka i badania operacyjne

WIP - kierunek Transport. 1r.

21.

n

n

n

a

2

log

3

9

3



Wykorzystać wzory na logarytm, dalej jak w
postaci 18.

22.









n

n

n

a

n

ln

2

ln

3







Wykorzystać wzory na logarytm i doprowadzić

do postaci

a

e

lub

n

a

e

23.

2

4

2

2

lim









x

x

x

Wzory skróconego mnożenia.

24.

9

3

3

4

2

3

lim









x

x

x

x

Rozkładanie wielomianu na czynniki.

25.

16

16

lim

16







x

x

x

Wzory skróconego mnożenia.

26.

x

tg

x

x

4

5

7

lim

0



Wykorzystać fakt, że

1

sin

lim

0





x

x

x

.

27.

2

cos

3

lim

2









x

x

x

Podstawić

2







x

t

dalej jak w 25.

28.

Wyrażenia nieoznaczone

0

0

,





Wykorzystać regułę de L’Hospitala.

29. Wyrażenia nieoznaczone







,





0

Wykorzystać regułę de L’Hospitala uprzednio
sprowadzając do odpowiedniej postaci.

30. Wyrażenia nieoznaczone



1

,

0



,

0

0

Logarytmowanie a następnie jak w 19 lub 29,
na końcu powrócić do postaci pierwotnej sprzed
logarytmowania.

L

ITERATURA

1. Krysicki W., Włodarski L. 2008: Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I. i II, PWN,

Warszawa.

2. Zaporożec G. I. 1976: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej. WNT,

Warszawa.