punkty kratowe mają wpółrzędne postaci
P(i)=(xi,yi) gdzie i={1,2,3,4,5}
wezmy 2 punkty P1=(a1,b1) P2=(a2,b2)
wpółrzedne punktu kratowego są postaci
S((a1+a2)/2;(b1+b2)/2)

oznaczmy za p-współrzędną parzystą za n-współrzędną nieparzystą
punkt kratowe moze byc postaci takich kombinacji(?)-nie wiem czy kombinacja to dobre słowo:P
B(p,p) lub B(p,n) lub B(n,p) lub B(n,n)
teraz jest taki 'trick'-moce zbiorów-jest 5 punktów więc
|B(p,p)|+ |B(p,n)|+ |B(n,p)|+ |B(n,n)|= 5>4, bo są 4 możliwe konfiguracje.
A więc jeden ze zbiorów zwrca co najmniej 2 punkty (xi,yi),(xj,yj) współrzędne tych punktów są tej samej parzystości
mamy więc układ:
xi+xj}
yj+yi}
gdzie te sumy dają liczby parzyste(czyli podziela sie w tym punkcie S bez reszty). Stąd otzrymujemy że jest to środek odcinka o koncach (xi,yi)(xj,yj)-> jest punktem kratowym