CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
Def. Mówimy, że funkcja jest ciągła w x jeżeli
0
f (x) = f (x0)
lim
x x0
Def. Mówimy, że funkcja jest ciągła w przedziale jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału
ODOSOBNIONY PUNKT NIECI
GA
OÅšCI
Def. Odosobnionym punktem nieciągłości nazywamy punkt x " R, w którym funkcja nie jest ciągła, ale
jest ciÄ…gÅ‚a w (sÄ…siedztwie tego punktu) w pewnym zbiorze (x ) *" (x , x + dð).
0  dð, x
0 0 0
KLASYFIKACJA PUNKTÓW NIECI
GA
OÅšCI
Def. Punkt nieciągłości odosobniony, nazywamy punktem nieciągłości pierwszego rodzaju jeżeli
istnieje skończona granica jednostronna.
Def. Punkt nieciągłości odosobniony, nazywamy punktem nieciągłości drugiego rodzaju jeżeli choć
jedna z granic jednostronnych nie istnieje lub jest granicą niewłaściwą.
WA
ASNOÅšCI FUNKCJI CI
GA
YCH
Tw. Jeżeli funkcja ciągła w punkcie x spełnia warunek f (x ) > 0 lub f (x ) < 0, to istnieje przedział
0 0 0
(x  ´, x + ´) w którym funkcja przyjmuje wartoÅ›ci (tylko) dodatnie (ujemne).
0 0
Tw. Funkcja ciągła w przedziale przyjmuje wszystkie wartości leżące pomiędzy f (a) i f (b).
Tw. Funkcja ciągła w przedziale przyjmuje w tym przedziale wartość najmniejszą i największą.
POCHODNA FUNKCJI
Def. Mówimy, że funkcja f ma pochodną w punkcie x jeżeli istnieje skończona granica:
0
f (x0 + h) - f (x0)
f '(x0) = (h 0)lim
h
f (x) - f (x0 )
(x x0 )lim
x - x0
Styczna do wykresu y=f(x) w (x ,f(x )):
0 0
y  f(x ) =f (x ) (x-x )
0 0 0
RÓŻNICZKOWALNOŚĆ FUNKCJI
Tw. Funkcja różniczkowalna w punkcie x jest w tym punkcie ciągła
0
(x x0)lim f (x) = f (x0) Ô! lim[ f (x) - f (x0)] = 0 Ô!
f (x) - f (x0)
Ô! lim[ *(x - x0) = f '(x0)*0 = 0
x - x0
Przykład:
f (x) = x
h
f (0 +h) - f (0)
(h 0)lim = lim
h h
h
(h 0-) lim = lim(-1) = -1
h
h
(h 0+)lim = lim(1) =1
h
Nie istnieje pochodna w punkcie 0!
Tw. Jeżeli f i g są różniczkowalne to:
10 ) ( f (x) Ä… g(x))'= f '(x) Ä… g'(x)
20 ) ( f (x)* g(x))'= f '(x) * g(x) + f (x)* g'(x)
f (x) f '(x) * g(x) - f (x)* g'(x)
30 ) ( )'= , g(x) `" 0
g(x) g'(x)
POCHODNA FUNKCJI ODWROTNEJ
Tw. Jeżeli f(x) jest rosnąca (malejąca), istnieje pochodna f  (a) `" 0 , jeżeli b= f (a) to f 1 (x) jest
różniczkowalna w punkcie b oraz pochodna tej funkcji odwrotnej w punkcie b
1 1
-1
( f )'(b) = =
-1
f '( f (b)) f '(a)
-1
a = f (b)
Przykład:
f (x) = ax
-1
f (x) = loga x a > 0, a `"1, x > 0
1 1 1
-1
( f )'(x) = (loga x)'= = =
-1
f ( x) a
alog x ln a x ln a
a ln a
------------------------------
(ax )'= ax ln a
POCHODNA FUNKCJI ZA
OŻONEJ
Tw. Jeżeli istnieje pochodna funkcji w punkcie x oraz istnieje pochodna funkcji f w punkcie g(x), to
istnieje pochodna funkcji złożonej fog w punkcie x oraz (fog) (x)=f (g(x))*g (x).
Przykład:
f (x) = xÄ…
y = xÄ…, Ä…"R, x >0
ln y =ln xÄ…
ln y =Ä…ln x
y =eÄ…ln x
-------
1 1
(xÄ…)'=(eÄ…ln x )' =eÄ…ln x *Ä…* =Ä…* xÄ… * =Ä…xÄ…-1
x x
Przykład:
y = xx , x >0
ln y =ln xx
ln y = x ln x
y' 1
=ln x +x Ò!y' = xx (ln x +1)
y x
PRZEDSTAWIENIE PRZYROSTU FUNKCJI
Tw. Jeżeli dziedzina funkcji f zawiera pewne otoczenie (Ux ) punktu x oraz istnieje pochodna f  (x ),
0 0 0
to dla każdego h takiego, że x + h " Ux zachodzi wzór:
0
f(x +h)-f(x )=f (x )*h+Ä…(h)*h,
0 0 0
przy czym:
(x0) lim Ä…(h)=0.
RÓŻNICZKA FUNKCJI f W PUNKCIE X
0
http://notatek.pl/ciaglosc-funkcji-nieciaglosc-w-punkcie-sciaga-z-m
Def. df (x ) = f  (x ) * h.
0 0
h = "x
Def. df (x ) f  (x ) * "x
0 0
atematyki-na-egzamin-ustny?notatka
x df (x)
Przykład:
f (x +h) H" f (x ) + f  (x ) * h
0 0 0
4,01
1
f (x) = x f '(x) =
2 x
x0 = 4
x0 + h = 4,01
więc h = 0,01
1
4,01 H" 4 + *0,01 = 2,0025
4
TWIERDZENIE DE L HOSPITALA
Stosujemy tylko kiedy występuje symbol nieoznaczony)
Tw. (Z: - założenie)
są określone i różniczkowalne w
f f'
10 ) Z : ,
sÄ…siedztwie punktu x (Sx ).
0 0
g g'
20 ) Z : (x x0 ) lim f(x) = lim g(x) = 0 (Ä…")
f(x) f '(x)
30 ) Z : istnieje (x x0 ) lim = lim
g(x) g'(x)
Teza (T) Istnieje:
f(x) f '(x)
(x x0 ) lim = lim
g(x) g'(x)
Przykład:
1
ln x 0
x
(x 1) lim =[ ]H = lim =1
x -1 0 1
Przykład:
x x ln x
(x 0+) lim x =[00 ]H = e =1
Przykład:
ln x
(x 0+ ) lim x ln x = [0*"]H = lim =
1
-
2
x
1
3
" 1
x
= [ ]H = lim = lim(-2) * x2 =
3
-
" 1 x
2
- * x
2
1
= lim(-2)* x2 = 0