Pytania z matematyki na egzamin licencjacki
Na egzaminie student (studentka) z czterdziestu pytań losuje trzy. Z wylosowanych pytań
odrzuca jedno i wybiera dwa, z których jest egzaminowany (egzaminowana).
Każda odpowiedz powinna zawierać: definicje podstawowych pojęć, najważniejsze
twierdzenia, przykłady (kontrprzykłady) i zastosowania.
1. Liczby naturalne i zasada indukcji matematycznej.
2. Relacja równoliczności i moc zbioru. Przeliczalność i nieprzeliczalność.
3. Relacje równoważności i klasy abstrakcji.
4. Podstawowe pojęcia dotyczące funkcji (obraz, przeciwobraz, funkcja odwrotna,
różnowartościowa, rosnąca, złożenie funkcji).
5. Kres dolny i górny podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych.
6. Granica ciągu liczbowego. Ciągi monotoniczne. Zbieżność ciągów monotonicznych. Liczba e.
7. Granica ciągu liczbowego. Własności ciągów zbieżnych. Twierdzenie o trzech ciągach.
8. Granica dolna i górna ciągu liczbowego.
9. Definicja granicy funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej w punkcie.
10. Ciągłość funkcji w punkcie i na zbiorze. Warunki równoważne ciągłości funkcji.
11. Własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych.
12. Definicja pochodnej funkcji jednej zmiennej w punkcie i przykład jej interpretacji.
13. Podstawowe własności funkcji różniczkowalnych. Warunek konieczny różniczkowalności
funkcji.
14. Pochodna funkcji odwrotnej i złożonej.
15. Definicja ekstremum lokalnego funkcji w punkcie. Warunek konieczny i warunki
wystarczające istnienia ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej.
16. Twierdzenie de l Hospitala i jego zastosowania.
17. Wzór Taylora i jego zastosowania.
18. Definicja całki Riemanna i jej interpretacja geometryczna. Klasy funkcji całkowalnych w
sensie Riemanna.
19. Twierdzenie o całkowaniu przez części. Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie.
20. Całka niewłaściwa po przedziale nieograniczonym. Całka niewłaściwa z funkcji
nieograniczonej.
21. Definicja szeregu liczbowego. Zbieżność szeregów liczbowych - kryteria zbieżności.
22. Określenie ciągu funkcyjnego. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu funkcyjnego.
23. Definicja szeregu funkcyjnego. Zbieżność punktowa i jednostajna na zbiorze.
24. Kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych.
1 / 2
Pytania z matematyki na egzamin licencjacki
25. Szeregi potęgowe i ich zbieżność. Własności sumy szeregu potęgowego.
26. Definicja przestrzeni metrycznej. Zbieżność ciągów w przestrzeni metrycznej.
27. Zupełność przestrzeni metrycznych.
28. Definicja grupy i podgrupy.
29. Definicja macierzy. Wyznacznik macierzy i jego własności.
30. Rząd macierzy i jego własności. Macierz odwrotna.
31. Przestrzenie liniowe. Liniowa zależność i niezależność układu wektorów. Baza i wymiar
przestrzeni liniowej.
32. Definicja przekształcenia liniowego. Jadro, obraz i rząd odwzorowania liniowego.
33. Twierdzenia Cramera i Kroneckera-Capelliego.
34. Ciało liczb zespolonych. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej. Postać
trygonometryczna liczby zespolonej. Twierdzenia o potęgowaniu i pierwiastkowaniu liczb
zespolonych.
35. Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo
całkowite.
36. Definicja zmiennej losowej. Zmienna losowa i jej rozkład. Charakterystyki liczbowe zmiennej
losowej.
37. Niezależność zdarzeń i zmiennych losowych.
38. Izomertria figur, grupa izometrii. Przykłady izometrii płaszczyzny.
39. Klasyfikacja krzywych algebraicznych stopnia drugiego i ich postacie kanoniczne.
40. Rzut prostopadły punktu na hiperpłaszczyzne, własności.
2 / 2