Pytania z matematyki na egzamin magisterski
Na egzaminie student (studentka) z pięćdziesięciu siedmiu pytań losuje trzy. Z wylosowanych
pytań odrzuca jedno i wybiera dwa, z których jest egzaminowany (egzaminowana).
Każda odpowiedz powinna zawierać: definicje podstawowych pojęć, najważniejsze twierdzenia,
przykłady (kontrprzykłady) i zastosowania.
1. Relacja, relacja równoważności, klasy abstrakcji. Funkcja jako relacja.
2. Równoliczność zbiorów, moc zbioru. Zbiory przeliczalne i ich własności. Zbiory
nieprzeliczalne, moc continuum.
3. Definicja przestrzeni metrycznej. Ciągi i granice ciągów w przestrzeniach metrycznych.
4. Zbiory otwarte, domknięte i spójne w przestrzeniach metrycznych.
5. Pojęcia zwartości i zupełności przestrzeni metrycznych.
6. Granica ciągu liczbowego. Własności ciągów zbieżnych. Twierdzenie o trzech ciągach.
7. Zbieżność ciągów monotonicznych. Liczba e. Twierdzenie Bolzano - Weierstrassa.
8. Warunki równoważne ciągłości funkcji.
9. Własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych.
10. Ciągłość, jednostajna ciągłość, warunek Lipschitza - definicje, porównanie, przykłady.
11. Pojecie pochodnej w punkcie funkcji jednej zmiennej- interpretacja fizyczna i geometryczna.
Warunek konieczny różniczkowalności.
12. Pochodna funkcji odwrotnej, pochodna superpozycji.
13. Ekstrema lokalne. Warunek konieczny i warunki dostateczne istnienia ekstremów lokalnych
funkcji jednej zmiennej.
14. Twierdzenia o wartości średniej i twierdzenie o przyrostach funkcji rzeczywistej zmiennej
rzeczywistej.
15. Twierdzenie Taylora i jego zastosowania.
16. Pochodna kierunkowa, pochodne czÄ…stkowe, pochodna mocna.
17. Pochodne wyższych rzędów. Macierz Jacobiego, jakobian, gradient. Twierdzenie Schwarza.
18. Definicja ekstremum lokalnego funkcji wielu zmiennych. Warunki konieczne i dostateczne
do istnienia ekstremum lokalnego.
19. Definicja funkcji uwikłanej. Twierdzenie o funkcji uwikłanej.
20. Twierdzenie Fubiniego i jego zastosowanie do obliczania całek wielokrotnych.
1 / 2
Pytania z matematyki na egzamin magisterski
21. Funkcja pierwotna, całka nieoznaczona. Całkowanie przez części i przez podstawienie.
22. Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej - określenie i własności.
23. Całka niewłaściwa po przedziale nieograniczonym. Całka niewłaściwa z funkcji
nieograniczonej.
24. Twierdzenie o funkcji górnej granicy całkowania. Twierdzenia o wartości średniej dla całek.
25. Podstawowe twierdzenia rachunku całkowego.
26. Zbieżność szeregów liczbowych. Kryteria zbieżności.
27. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów funkcyjnych.
28. Ciągłość, różniczkowalność i całkowalność granicy ciągu funkcyjnego.
29. Szeregi funkcyjne. Kryterium jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego
30. Szeregi potęgowe i ich zbieżność. Własności sumy szeregu potęgowego.
31. Szeregi Fouriera - ich zbieżność punktowa i jednostajna. Rozwijanie funkcji w szereg
Fouriera.
32. Zagadnienie Cauchy ego. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania
zagadnienia Cauchy ego.
33. Przestrzeń Banacha. Przykłady.
34. Przestrzeń Hilberta. Przykłady.
35. Miara zewnętrzna Lebesgue a. Zbiory mierzalne w sensie Lebesgue a.
36. Zbiory miary zero. Mierzalność zbiorów borelowskich.
37. Porównanie całki i całkowalności w sensie Riemanna i Lebesgue a.
38. Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki Lebesgue a.
39. Funkcje mierzalne i ich własności.
40. Definicja grupy i podgrupy.
41. Definicja macierzy. Wyznacznik macierzy i jego własności.
42. Rząd macierzy i jego własności. Macierz odwrotna.
43. Przestrzenie liniowe. Definicja przestrzeni liniowej i podprzestrzeni liniowej. Baza i wymiar
przestrzeni liniowej.
44. Operacje na przestrzeniach liniowych: suma prosta i iloraz.
45. Przekształcenia liniowe: monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm. Jadro i obraz
przekształcenia liniowego.
46. Opis macierzowy odwzorowania liniowego. Mnożenie macierzy, a złożenie odwzorowań
liniowych.
47. Twierdzenia Cramera i Kroneckera-Capelliego.
48. Wartości własne i wektory własne odwzorowania liniowego, ich znajdowanie i rola.
49. Ciała i _-ciała zbiorów. Zbiory borelowskie. Definicja miary przeliczalnie addytywnej.
50. Przestrzeń probabilistyczna. Zbieżność z prawdopodobieństwem 1, według
prawdopodobieństwa, według średniej kwadratowej, według rozkładu. Przykłady.
51. Dystrybuanta zmiennej losowej.
52. Zmienne losowe i ich charakterystyki liczbowe. Przykłady.
53. Definicja procesu stochastycznego. Proces Wienera.
54. Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-L´evy ego.
55. Prawa wielkich liczb i ich interpretacja.
56. Testowanie hipotez. (Omówić jedno wybrane zagadnienie).
57. Estymacja statystyczna parametrów. Estymacja przedziałowa. (Omówić jedno wybrane
zagadnienie).
2 / 2