3.0. Podstawowy warunek wytrzymałościowy
3.0. Podstawowy warunek wytrzymałościowy
Podstawowy warunek wytrzymałościowy (PWW) służy do określania stopnia wytęże-
nia materiału w funkcji obciążeń statycznych lub zmęczeniowych i wymiarów przekroju. W
technice stosuje się dwie podstawowe metody do opisu podstawowego warunku wytrzymało-
ściowego różniące się sposobem określania naprężeń dopuszczalnych.
1. Metodę naprężeń dopuszczalnych stosowaną w ogólnej budowie maszyn w przypadku
obciążeń statycznych i zmęczeniowych.
2.. Metodę stanów granicznych wytężenia materiału przedstawioną w normie [4] służącą
do obliczeń konstrukcji metalowych (patrz rys. 1.1). Do wymiarowania ustrojów nośnych
dz
wignic stosuje się normę PN-M-06515:1979 opartą także na tej metodzie.
3.1 Charakter obciążenia konstrukcji
Wybór postaci PWW, o ile nie jest obligatoryjnie określany specjalnymi przepisami
np. Urzędu Dozoru Technicznego, Polskiego Rejestru Statków itp., dokonuje się na podstawie
charakterystyk czasowych obciążenia działającego na obliczaną lub sprawdzaną konstrukcję.
Na rysunku 3.1 przedstawiono przykładowe charakterystyki obciążeń statycznych i zmęcze-
niowych.
Obciążenie
s q
z
Rys. 3.1. Przypadki obciążenia konstrukcji w funkcji czasu, s -
statyczne, q - quasistatyczne, z - zmęczeniowe.
Czas
3.2 Metoda naprężeń dopuszczalnych
Podstawowy warunek wytrzymałościowy w postaci ogólnej opisywany jest wzorem:
Mg,max
Pr,max Pt,max Ms,max
(3.1)
Ãzu = *" d" kzu Äzv = *" d" kzv
A Wx A W0
gdzie: Ã Ä
à - naprężenia normalne (prostopadÅ‚e) w obliczanym przekroju, Ä
Ã Ä - naprężenia styczne
à Ä
w obliczanym przekroju, k - naprężenia dopuszczalne (patrz pkt. 3.2.1 i 3.2.2.), A  wiel-
kość pola przekroju, W  wielkość wskaz
nika wytrzymałości przekroju, Pr, Pt, Mg, Ms 
obciążenie odpowiednio: siłą rozciągającą lub ściskającą, siła tnącą, momentem gnącym i
momentem skręcającym.
 33 
Podstawy Konstrukcji Maszyn - projektowanie
indeksy: z - określa przypadek obciążeń zmęczeniowych, w przypadku obciążeń statycz-
nych, pomijany; u - określa rodzaj dominujących, w obliczanym przekroju, naprężeń nor-
malnych, przyjmuje następujące oznaczenia: r - rozciąganie, c -ściskanie, g - zginanie, d -
nacisk powierzchniowy, dH - nacisk kontaktowy wg Hertza; v - określa rodzaj dominują-
cych, w obliczanym przekroju, naprężeń stycznych, przyjmuje następujące oznaczenia: t -
ścinanie, s - skręcanie; w - określa rodzaj wskaz
nika: x - dla zginania (oznaczenie osi), o -
dla skręcania; max  wartość maksymalna obciążenia (przy obciążeniach zmęczeniowych.
W przypadku równoczesnego działania złożonego stanu naprężeń normalnych lub
stycznych, warunek ten przyjmuje postać (np. dla obciążeń statycznych):
à = Ãr + Ãg d"1,1Å" kg
(3.2)
Ä = Äs + Ät d"1,1Å"ks
W przypadku równoczesnego działania naprężeń normalnych i stycznych w oblicza-
nym przekroju podstawowy warunek wytrzymałościowy przyjmie postać (indeksy jak przy
3.1):
- gdy dominujÄ…cymi sÄ… naprężenia normalne (Ãu > Äv):
à = Ãu 2 + 3Å" Äv 2 d" 1,1Å" ku
- obciążenia statyczne;
2
(3.3)
ëÅ‚ öÅ‚
kzu Å" Äzv
ìÅ‚ ÷Å‚
Ãz = Ãzu 2 + d" 1,1Å" kzu - obc. zmÄ™czeniowe.
ìÅ‚
kzv ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
- gdy dominujÄ…cymi sÄ… naprężenia styczne (Ãu < Äv):
Ãu 2
Ä = + Äv 2 d"1,1Å" kv
- obciążenia statyczne;
3
(3.4)
2
ëÅ‚ öÅ‚
kzv Å"Ãzu
ìÅ‚ ÷Å‚
Äz = + Äzv 2 d"1,1Å" kzv - obc. zmÄ™czeniowe.
ìÅ‚
kzu ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
3.2.1. Momenty bezwładności i wskaz
niki wytrzymałości przekrojów
Obliczenie wielkości pól przekrojów jest stosunkowo proste. W tym celu wykorzystuje
się dla typowych kształtów gotowe wzory lub też, gdy pole ograniczone jest krzywymi opisa-
nymi znanymi funkcjami  za pomocą różnicy całek pojedynczych lub całki podwójnej. Po-
wszechnie stosuje się podział obliczanego pola (lub momentu bezwładności przekroju) na
figury proste o znanych rozwiązaniach  wówczas pole całkowite jest sumą pól tych figur.
W celu obliczenia wskaz
ników wytrzymałości przekroju na zginanie (osiowego) i na
skręcanie (biegunowego) należy wykonać kolejno kroki zgodnie z przedstawionym algoryt-
mem.
 34 
3.0. Podstawowy warunek wytrzymałościowy
Rys. 3.2. Szkic do wyznaczania wskaz
ni-
ków wytrzymałości przekrojów na
przykładzie figury prostokątnej i
kształcie pierścienia
1. Podzielić obliczany przekrój na figury proste o znanych wzorach na pole i momenty bez-
władności przekrojów we wzajemnie prostopadłych osiach: 1, 2. Otrzymuje się zbiór i-tych
wartości Fi, J1i, J2i, gdzie: i  liczba figur, Fi  pole przekroju i-tej figury, J1i, J2i  momenty
bezwładności i-tej figury liczone względem jej środka ciężkości Oi.
2. Wybrać dowolnie punkt A o współrzędnych: t, w.
3. Dla każdej figury obliczyć momenty bezwładności względem punktu Oi uwzględniając
obrót osi 1, 2 o kąt ąi, do współrzędnych: u, v. Współrzędne: u, w są równoległe do współ-
rzędnych: w, t.
Jui = 0,5(J1i + J2i ) + (J1i - J2i )cosÄ…i Jvi = 0,5(J1i + J2i ) - (J1i - J2i )cosÄ…i (3.5)
4. Obliczyć odległości: w01, t0i punktów Oi od punktu A w kierunkach równoległych do osi:
w, t.
5. Obliczyć sumaryczne momenty bezwładności przekroju względem punktu A
2 2
Jw = + u0iFi) Jt = + v0iFi) (3.6)
ui vi
"(J "(J
i i
6. Obliczyć współrzędne środka ciężkości: x0, y0 całego przekroju O od punktu A.
i i
"F w0i "F t0i
i i
x0 = y0 = (3.7)
i i
"F "F
i i
7. Obliczyć sumaryczne momenty bezwładności przekroju względem punktu O.
2
Jx = Jw + x2 (3.8)
0 i i
"F Jy = Jt + y0"F
i i
8. Obliczyć wskaz
niki wytrzymałości przekroju przy zginaniu.
Jy
Jx
Wx = Wy = (3.9)
ymax xmax
 35 
Podstawy Konstrukcji Maszyn - projektowanie
gdzie: ymax  maksymalna odległość wzdłuż osi y od osi x do skrajnego punktu przekroju, xmax
 maksymalna odległość wzdłuż osi x od osi y do skrajnego punktu przekroju,
9. Obliczyć wskaz
nik wytrzymałości przekroju przy skręcaniu.
Jx + Jy
W0 = (3.10)
rmin
gdzie: rmin  najmniejsza odległość od środka ciężkości do skrajnego punktu przekroju.
3.2.1. Naprężenia dopuszczalne dla obciążeń statycznych
Naprężenia dopuszczalne dla obciążeń statycznych i quasi statycznych określa się ze
wzoru:
Reu*"ev R
mu*"mv
ku*"v = *" ku*"v = (3.11)
xe xm
gdzie: Reu, Rev  granica plastyczności lub umowna granica plastyczności (tab. 3.2) dla okre-
ślonego stanu naprężeń (indeksy jak we wzorze 3.1), Rmu, Rmv  wytrzymałość doraz
na dla
określonego stanu naprężeń, używana dla materiałów kruchych lub bez wyraz
nej granicy pla-
styczności, xe, xm  współczynniki bezpieczeństwa liczone odpowiednio względem granicy
plastyczności lub wytrzymałości doraz
nej (tab. 3.1).
Tab. 3.1. Typowe wartości ogólnych współczynników bezpieczeństwa stosowanych w obliczeniach
wstępnych w budowie maszyn
Materiały xe xm xz
Stale, staliwa, żeliwa ciÄ…gliwe 2 ÷ 2,3 - 3,5 ÷ 4
Żeliwa szare - 3,5 3
MosiÄ…dze 3 - 5
BrÄ…zy 3,5 - 4,5
Spiże 3,6 - 5
BrÄ…zale 3,6 - 5,5
Stopy glinu i magnezu 3,9 - 6
xe  liczony względem granicy plastyczności,
xm  liczony względem wytrzymałości doraz
nej,
xz  przy obciążeniach zmęczeniowych.
3.2.2. Naprężenia dopuszczalne dla obciążeń zmęczeniowych
Dla obciążeń zmęczeniowych, naprężenia dopuszczalne oblicza się ze wzoru:
Zu*"v ZNu*"Nv
kzu*"zv = *" (3.12)
xz xz
 36 
3.0. Podstawowy warunek wytrzymałościowy
gdzie: Zu, Zv  długotrwała (niezależna od ilości cykli zmian zmęczeniowych) granica wy-
trzymałości zmęczeniowej (tab. 3.2 lub wz. 3.10) dla określonego rodzaju naprężeń
(rys. 3.1), ZNu, ZNv  krótkotrwała (zależna od założonej ilości cykli zmęczeniowych)
granica wytrzymałości zmęczeniowej dla określonego rodzaju naprężeń (wz. 3.11), xz
- ogólny zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa (tab. 3.1). Z uwagi na znaczące
oddziaływanie karbu, stanu powierzchni i wielkości przekroju, w przypadku elemen-
tów obciążonych zmęczeniowo współczynnik ten sprawdzany jest, w wybranych miej-
scach konstrukcji, jak przedstawiono w tablicy 3.2:
Tab. 3.2. Wyznaczanie rzeczywistej wartości zmęczeniowego współczynnika bezpieczeństwa
² Å"´
xz =
Rzeczywisty współczynnik bezpieczeństwa
µ
Ogólny
² = ²Ã 2 + ²Ä 2
Współczynnik osłabienia
²Ã = ²kà + ² -1
Normalny do przekroju
p
²Ä = ²kÄ + ² -1
Styczny do przekroju
p
²kà (" ²kÄ = f (Ä…k , ·k )
Współczynnik działania karbu
·k = f (Rm , Á)
Współczynnik wrażliwości
²p - współczynnik stanu powierzchni, Ä…k  współczynnik ksztaÅ‚tu karbu, Rm  wy-
trzymałość doraz
na materiaÅ‚u przy rozciÄ…ganiu, Á - promieÅ„ zaokrÄ…glenia karbu, ´ -
podstawowy współczynnik bezpieczeÅ„stwa (tab. 3.4 lub tab. 3.5), µ - współczynnik
wielkości przekroju..
Tab. 3.3. Wartości podstawowego zmęczeniowego współczynnika bezpieczeństwa stosowane w budo-
wie maszyn
Warunki zastosowania
´
Znany rozkład naprężeń i charakterystyk zmęczeniowych określonych w wa-
runkach obciążeń eksploatacyjnych, wysoka technologia wykonania, materiał
1,3 ÷ 1,5
kontrolowany defektoskopowo w określonych okresach użytkowania.
Zwykła dokładność obliczeń i możliwość określenia obciążeń i naprężeń,
1,5 ÷ 1,7
dobra technologia wykonania i czynności kontrolnych.
Elementy o większych wymiarach dla których nie dysponuje się możliwo-
1,7 ÷ 2,2 Å›ciami badaÅ„ zmÄ™czeniowych, elementy spawane z możliwymi wadami spa-
walniczymi, średnia technologia wykonania.
Przy orientacyjnym określaniu obciążeń i naprężeń, dla mało dokładnie zna-
2,0 ÷ 2,5
nych i specjalnie ciężkich warunków pracy, dla elementów odlewanych.
Charakter zmienności obciążeń określany jest współczynnikiem stałości (zmienności)
obciążenia:
 37 
Podstawy Konstrukcji Maszyn - projektowanie
Ãm Ãmax + Ãmin Äm Ämax + Ämin
Ç = = *" Ç = =
Ãa Ãmax - Ãmin Äa Ämax - Ämin
(3.13)
Pm Pmax + Pmin Mm Mmax + Mmin
Ç = = *" Ç = =
Pa Pmax - Pmin Ma Mmax - Mmin
gdzie: Ã, Ä, - wartoÅ›ci naprężeÅ„ normalnych i stycznych, P, M  wartoÅ›ci siÅ‚y i momentu ob-
ciążającego element, indeksy: m  wartość średnia, a  amplituda zmian wartości.
Długotrwałą granicę wytrzymałości zmęczeniowej wyznacza się z następujących wzo-
rów:
(Ç +1) Å" Zuo*"vo Reu*"ev - Zuo*"vo
Zu*"v = Ç d" Çgr =
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚1- 2Å" Zuo*"vo ÷Å‚ ìÅ‚1- 2Å" Zuo*"vo ÷Å‚
1- Ç Å" Zu(v)o - Reu*"ev Å" (3.14)
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
Zuj*"vj Zuj*"vj
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Zu*"v = Reu*"ev Ç > Çgr
gdzie: Zuo, Zvo- długotrwała granica wytrzymałości zmęczeniowej dla obciążeń naprzemien-
nych (Ç= 0, rys. 3.2d, tab. 3.2) (indeksy jak we wzorze 3.1), Zuj, Zvj- jw. dla obciążeÅ„
odzerowo-tÄ™tniÄ…cych (Ç= 1, rys. 3.2c, tab. 3.5),
lgÃmax
Ã
Ã
Ã
Ã, Ä, P, M
Ãmax
b)
a)
lgRe
Ç = const
Ãa
lgZN
Ãm lgZ
t lg N
Ãmin
lg Ngr gr
lg N1
Ç = 1 Ç = 0
d)
c)
Ãmax = Zj
Ãa = Zo Ãmax = Zo
Ãa = 1/2 Zj
t
Ãm = 0
Ãm = 1/2 Zj m a
Ã
Ã
Ã
Ã
a
t
= 0 Ãmin = -Zo
Ãmin = 0
Rys. 3.3. Przykład zmęczeniowego stanu naprężeń, a) naprężenia lub obciążenie w funkcji czasu, b)
wykres WQ
hlera, c) naprężenia odzerowo-tętniące, d) naprężenia naprzemienne.
 38 
3.0. Podstawowy warunek wytrzymałościowy
Tab.3.4. Długotrwałe granice wytrzymałości statycznej i zmęczeniowej w zależności od wyników próby rozrywania.
Rozciąganie Ściskanie Zginanie Ścinanie i skręcanie
Lp. Materiały
Re Zrj Zro Rec Zcj Reg Zgj Zgo Res Zsj Zso
1 Stale węglowe Re 0,56 Rm 0,31 Rm Re 0,56 Rm 1,19 Re 0,76 Rm 0,42 Rm 0,62 Re 0,56 Rm 0,25 Rm
2 Stale stopowe Re 0,52 Rm 0,31 Rm Re 0,52 Rm 1,10 Re 0,66 Rm 0,42 Rm 0,60 Re 0,46 Rm 0,25 Rm
3 Staliwa węgl. Re 0,50 Rm 0,30 Rm 1,35 Re 0,68 Rm 1,15 Re 0,60 Rm 0,34 Rm 0,60 Re 0,40 Rm 0,24 Rm
4 Żeliwa szare 0,6 Rm1) 0,44 Rm 0,30 Rm 1,8 Rm1) 1,20 Rm 1,2 Rm1) 0,80 Rm 0,50 Rm 0,6 Rm1) 0,46 Rm 0,35 Rm
5 Żeliwa ciągl. Re 0,50 Rm 0,30 Rm 1,30 Re 0,64 Rm 1,10 Re 0,56 Rm 0,33 Rm 0,70 Rm 0,36 Rm 0,21 Rm
6 MosiÄ…dze 0,6 Rm 0,50 Rm 0,31 Rm 0,6 Rm 0,50 Rm 0,65 Rm 0,62 Rm 0,36 Rm 0,40 Rm 0,36 Rm 0,21 Rm
7 Brązy, spiże 0,6 Rm 0,44 Rm 0,26 Rm 0,6 Rm 0,44 Rm 0,50 Rm 0,54 Rm 0,31 Rm 0,34 Rm 0,30 Rm 0,17 Rm
8 BrÄ…zale 0,6 Rm 0,52 Rm 0,31 Rm 0,6 Rm 0,52 Rm 0,58 Rm 0,64 Rm 0,38 Rm 0,42 Rm 0,38 Rm 0,22 Rm
9 Stopy glinu 0,6 Rm 0,48 Rm 0,29 Rm 0,6 Rm 0,48 Rm 0,64 Rm 0,60 Rm 0,34 Rm 0,40 Rm 0,36 Rm 0,20 Rm
10 Stopy magnezu 0,6 Rm 0,52 Rm 0,30 Rm 0,6 Rm 0,52 Rm 0,68 Rm 0,64 Rm 0,38 Rm 0,42 Rm 0,38 Rm 0,22 Rm
1)
Umowna granica plastyczności Re0,2.
 39 
Podstawy Konstrukcji Maszyn - projektowanie
Tab. 3.5. Wyznaczanie wartości podstawowego współczynnika bezpieczeństwa
Nazwa
Wielkość Zastosowanie Przykłady zastosowania
współczynnika
Przeprowadzono badania wy-
Badanie specjalnych nadlewów,
trzymałościowe materiału i
1,1 naddatków lub odcinków dane-
zastosow. ścisłą metodę obli-
go materiału.
czeń
1,2  bardzo prosty układ ob-
ciążeń,
Znany gatunek materiału, zwy- 1,4  gat. materiału określony
1,2 ÷ 1,4
´1 kÅ‚e metody obliczeÅ„ porównawczo lub skom-
pewności plikowany układ obcią-
założeń żeń.
1,5  uderzenia Å‚agodne z reso-
rowaniem,
1,6  obciążenia dynamiczne
1,5 ÷ 2,0 Obciążenie udarowe bez prÄ™dkoÅ›ci poczÄ…tko-
wej,
2,0  uderzenia bez resorowa-
nia.
Gdy zniszczenie elementu:
1,0 ÷ 1,1 - spowoduje zatrzymanie ma-
szyny,
- spowoduje uszkodzenie ma-
´2 1,1 ÷ 1,2 1,1  Å‚atwa, tania naprawa.
szyny,
ważności
1,3  poważne uszkodzenie
przedmiotu
wielu elementów,
1,3 ÷ 1,5 - może spowodować wypadek. 1,4  zniszczenie urzÄ…dzenia,
1,5  wypadek (zagrożenie dla
ludzi).
Defektoskopowa kontrola jed- 1,0  elementy o małej grubo-
1,0 ÷ 1,05
norodności. ści.
Materiały kute, walcowane,
1,1
ciÄ…gnione.
Odlewy ciśnieniowe, odśrod-
1,2
kowe.
´3 Odlewy kokilowe, staranne
jednorodności 1,3 połączenia spawane z kontrolą
materiału rentgenowską.
1,4  małe odlewy,poł. spawane
ze stali o sprawdzonej
Odlewy piaskowe, elem. har-
spawalności np. St3S,
1,4 ÷ 1,7 towane, prawidÅ‚owe poÅ‚Ä…cze-
1,7  duże odlewy, poł. spawa-
nia spawane
ne z materiałów niesta-
lowych.
 40 
3.0. Podstawowy warunek wytrzymałościowy
Ścisła kontrola wym. każdego 1,0  gdy geometria przedmiotu
1,0 ÷ 1,05
elementu. jest prosta
Kontrola wyrywkowa po obr.
1,05 ÷ 1,1 1,1  skomplikowane ksztaÅ‚ty
skrawaniem.
1,1  pręty ciągnione, krótkie
´4
profile , odlewy kokilo-
zachowania
Pręty, profile walcowane, bla-
we bez rdzeni,
wymiarów
1,1 ÷ 1,15 chy, dokÅ‚adne odlewy, elemen-
1,15  utrudniony pomiar (np.
ty tłoczone.
blachy w środku), duże
profile walcowe.
Kontr. spawane, odlewy, od-
1,2
kówki.
Podstawowy
współcz. bez- ´ = ´1 Å" ´ Å" ´ Å" ´
´ ´ ´ ´ ´
´ ´ ´ ´ ´
´ ´ ´ ´ ´
2 3 4
pieczeństwa.
Krótkotrwałą granicę wytrzymałości zmęczeniowej dla N < Ngr cykli zmęczeniowych
wyznacza siÄ™ ze wzoru:
Re N
g
lg lg
Z N
ZN = 10k Z k =
lg N
g
N = 60 Å" n Å" Lh (3.15)
N = 3600 Å" f Å" Lh
gdzie: N  planowana liczba cykli zmęczeniowych, Ngr  graniczna ilość cykli (dla stali ~
107, dla stopów miedzi ~ 108), n  prędkość obrotowa np. wału [obr/min], Lh  pla-
nowana trwałość elementu (w godzinach pracy), f  częstotliwość [Hz].
Gdy w sprawdzanej konstrukcji zachodzi: Ãmaks d" Z (rys. 3.4.) wówczas istnieje zapas
wytrzymałościowy amplitudy i/lub wartości średniej naprężenia które obliczyć można ze wzo-
rów z tab. 3.6.
Ã
R
e
Z
j
Z
Z
o
Ã
maks
"Ã
Ç = const m
Rys. 3.4. Wykres Smitha z oznaczonymi zapasami
wytrzymałości zmęczeniowej przy założeniu
stałej wartości średniej lub stałej wartości
Ã
m
współczynnika stałości onciążenia
Ç + 1
tg É
=
Ç
Ã
à m
min
 41 
Ã
m
0,5Z
j
"Ã
"Ã
= const
a
m
= const
a
Ç
Ã
a
Ã
É
4
5
°
Podstawy Konstrukcji Maszyn - projektowanie
Tab. 3.6. Wzory do wyznaczania zapasu amplitudy i wartości średniej naprężenia
Zapas amplitudy Zapas wart. średniej
"Ãa "Ãm
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚1- Zo ÷Å‚
Ãmaks
Ãm = const 0
ìÅ‚ ÷Å‚
Z
j
íÅ‚ Å‚Å‚
Ç
Z -Ãmaks (Z -Ãmaks)
Ç = const
Ç +1
3.4. Obliczenia
3.4.1. Zadania konstrukcyjne
Podstawowy warunek wytrzymałościowy wykorzystuje się na dwa sposoby.
1. Wyznaczenie wielkości przekroju krytycznego elementu konstrukcyjnego.
Zazwyczaj zakłada się kształt przekroju na podstawie typowych kształtów obliczanego
elementu np. wały i osie posiadają przekroje kołowe i pierścieniowe, belki podsuwnicowe
 to przekroje dwuteowe lub skrzynkowe (przekrój rury prostokątnej), słupy  to przekro-
je pierścieniowe lub otrzymane z hutniczych profili walcowanych itp. Należy pamiętać,
że kształt przekroju decyduje o masie elementu, co przedstawiono na przykładzie w tabli-
cy 3.7.
Wielkość przekroju określa się przez obliczenie pola powierzchni lub wskaz
nika wy-
trzymałości:
P M
A e" W e" (3.16)
k k
gdzie: P  siła rozciągająca, ściskająca lub tnąca, M  moment gnący lub skręcający, k
 odpowiednie naprężenia dopuszczalne.
Zazwyczaj każda z tych wielkości opisana bywa kilkoma parametrami geometryczny-
mi, których wyznaczenie zmusza do wykonywania obliczeń w kolejnych przybliżeniach.
Ma to miejsce szczególnie wtedy, gdy wielkość przekroju wyznaczana jest z naprężeń
zredukowanych. W przypadku przekrojów opisanych jednym parametrem można skorzy-
stać z wzorów przedstawionych w pkt. 3.4.2.
2. Sprawdzenie wartości naprężeń w przekroju krytycznym.
Znając kształt i wielkość przekroju krytycznego elementu konstrukcyjnego należy wy-
znaczyć naprężenia powstające na skutek działania obciążeń i porównać ich wartość z
naprężeniami dopuszczalnymi. Czyli należy sprawdzić podstawowy warunek wytrzyma-
 42 
3.0. Podstawowy warunek wytrzymałościowy
łościowy.
Tab. 3.7. Porównanie wytrzymałości i sztywności dla profili belek o tej samej powierzchni przekroju
poprzecznego 29 cm3 (masa 22 kg/m).
Największy dopuszczalny Największy dopuszczalny moment
Przekrój moment gnący ze względu na: skręcający ze względu na:
Lp.
poprzeczny
Naprężenia Ugięcie Naprężenia Kąt skręcenia
Nm Stosunek Stosunek Nm Stosunek kNm Stosunek
29
48,3Å"kg 1,0 1,0 23Å"ks 1,0 66Å"GÅ"Õ 1,0
1
2 58,2Å"kg 1,2 1,15 116Å"ks 5,0 590Å"GÅ"Õ 8,9
10
3 66,3Å"kg 1,4 1,5 105Å"ks 4,5 441Å"GÅ"Õ 6,7
75
10
4 90Å"kg 1,8 1,9 12Å"ks 0,52 12Å"GÅ"Õ 0,18
100
kg, ks  naprężenia dopuszczalne na zginanie i skręcanie w MPa, G  współczynnik spręży-
stoÅ›ci postaciowej w MPa, Õ - wzglÄ™dny dopuszczalny kÄ…t skrÄ™cenia w rd/mm
3.4.2. Przekroje jednoparametryczne
W celu wyznaczenia parametru przekroju d należy z wzorów przedstawionych w tabli-
cy 3.8 wyznaczyć pola powierzchni lub wskaz
niki wytrzymałości dla wybranych kształtów.
Współczynnik ą zdefiniowany w tablicy 3.9. jako stosunek naprężeń dopuszczalnych
można, przy założeniu jednakowych wartości współczynników bezpieczeństwa, przedstawić
jako stosunek granic plastyczności  dla obciążeń statycznych (z tablicy 3.4.) lub granic wy-
trzymałości zmęczeniowych  dla obciążeń zmęczeniowych.
 43 
100
100
100
10
100
10
0
1
Podstawy Konstrukcji Maszyn - projektowanie
Tab. 3.8. Pola przekrojów lub wskaz
niki wytrzymałości do wzorów przedstawionych w tab. 3.9.
Obliczeniowe: wskaz
niki w mm3 i pola przekroju w mm2
Kształt przekroju
Rozciąganie Zginanie Ścinanie Skręcanie
d r = 0,273Å"Pr g = 10,186Å"Mg t = 0,273Å"Pt s = 5,093Å"Ms
y
d
gx = 32,000Å"Mg
r = 1,155Å"Pr t = 1,155Å"Pt s = 20,000Å"Ms
x x
gy = 27,713Å"Mg
y
·
·
·
·
gx = 6,000Å"Mg
x x
d
r = 1,000Å"Pr t = 1,000Å"Pt s = 4,808Å"Ms
g· = 8,485Å"Mg
·
·
·
·
y
gx = 8,313Å"Mg
x x
d
r = 1,155Å"Pr t = 1,155Å"Pt s = 5,291Å"Ms
gy = 9,597Å"Mg
y
Pr  siła rozciągająca w N, Mg  moment zginający w Nmm,
Pt  siła ścinająca w N, Ms  moment skręcający w Nmm,
x, y, · - oznaczenia osi zginania.
W przypadku występowania równocześnie dwóch rodzajów naprężeń parametr prze-
kroju wyznacza się z wzorów przedstawionych w tablicy 3.9. Natomiast, gdy w przekroju
występują równocześnie trzy lub cztery rodzaje naprężeń należałoby wyznaczyć pierwiastki
równania 6-go stopnia: d6 + a Å"d2 + b Å"d + c = 0 (3.17)
gdzie: dla dominujących naprężeń normalnych:
2
ëÅ‚ öÅ‚
r2 + Ä… Å" t2 2Å"(r Å"g + Ä… Å" t Å"s); g2 + Ä… Å"s2 kÃ
ìÅ‚ ÷Å‚
a = - ; b = - c = - ; Ä… = (3.17a)
ìÅ‚ ÷Å‚
kÄ
kà 2 kà 2 kà 2
íÅ‚ Å‚Å‚
dla dominujących naprężeń stycznych:
2
ëÅ‚ öÅ‚
r2 + Ä… Å" t2 2Å"(r Å"g + Ä… Å" t Å"s); g2 + Ä… Å"s2 kÄ
ìÅ‚ ÷Å‚
a = - ; b = - c = - ; Ä… = (3.17b)
ìÅ‚ ÷Å‚
kÃ
kÄ 2 kÄ 2 kÄ 2
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie: r, g, t, s  jak w tablicy 3.9, ą - stosunek większych z naprężeń dopuszczalnych nor-
malnych do naprężeń stycznych.
Ze względu na nieznajomość rozwiązania analitycznego takiego równania, uzyskano
rozwiązanie przybliżone.
6
d6 + c = 0 d* = - c (3.18)
gdzie: c  jak we wzorach (3.17a) i (3.17b), d* - pierwsze przybliżenie parametru przekroju.
Rozwiązanie można uściślić stosując pojedynczy krok iteracyjny wg metody Newtona-
Raphsona:
 44 
3.0. Podstawowy warunek wytrzymałościowy
Tab. 3.9. Wzory do obliczenia parametru przekroju w przypadku naprężeń złożonych
Napr.
domi- Złożenie naprężeń Parametr przekroju ą c
nujÄ…ce
2 3
g g r
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
3
rozciÄ…g. zginanie 1,1Å"kg
d = A + B; A, B = Ä…
ìÅ‚ ÷Å‚ - ìÅ‚ ÷Å‚
2 Å" c 2 Å" c 3 Å" c
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
- -
2 3
s s t
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
Å›cinanie skrÄ™canie 3 1,1Å"kt
d = A + B; A, B = Ä…
ìÅ‚ ÷Å‚ - ìÅ‚ ÷Å‚
2 Å" c 2 Å" c 3Å" c
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2
1 ëÅ‚ öÅ‚
kr
Å›cinanie d = Å" r2 + Ä… Å" t2 ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
c kt
íÅ‚ Å‚Å‚
rozciÄ…g. 1,1Å"kr
2 2 4 6
2
Ä… s Ä… öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
s 1 r
ëÅ‚
3
d = A + B; A,B = Å"ëÅ‚ öÅ‚ Ä… Å" - Å"ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ kr öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
skręcanie
2 c 2 c 27 c ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ks
íÅ‚ Å‚Å‚
nor-
malne
kg 2
ëÅ‚ öÅ‚
2 4 3 6
ìÅ‚ ÷Å‚
1 g 1 g Ä… öÅ‚ öÅ‚
t
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
3 ìÅ‚ ÷Å‚
ścinanie
d = A + B; A,B = Å"ëÅ‚ öÅ‚ Ä… Å" - ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ kt
Å"ëÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2 c 4 c 3 c
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
zginanie
1,1Å"kg
2
kg
1 ëÅ‚ öÅ‚
skrÄ™canie d = Å" g2 + Ä… Å" s2 ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
c ks
íÅ‚ Å‚Å‚
1
Å›cinanie d = Å" Ä… Å" r2 + t2
2
c
ëÅ‚ öÅ‚
ks
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
rozciÄ…g.
kr
2 4 3 6 íÅ‚ Å‚Å‚
1 s 1 s Ä… öÅ‚ öÅ‚
r
ëÅ‚
3
skręcanie
d = A + B; A,B = Å"ëÅ‚ öÅ‚ Ä… Å"ëÅ‚ öÅ‚ - ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
Å"ëÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 c 4 c 3 c
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
styczne 1,1Å"ks
2 2 4 6
Ä… g Ä… öÅ‚
g 1 t
ëÅ‚
3
2
d = A + B; A,B = Å"ëÅ‚ öÅ‚ Ä… Å"ëÅ‚ öÅ‚ - Å"ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ścinanie
ëÅ‚ öÅ‚
ks
2 c 2 c 27 c
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
zginanie ìÅ‚ ÷Å‚
kg
íÅ‚ Å‚Å‚
1
skrÄ™canie d = Å" Ä… Å" g2 + s2
c
r, g, t, s  obliczeniowe pola powierzchni lub wskaz
niki wytrzymałości przekroju obciążonego odpowiednio:
rozciąganiem, zginaniem, ścinaniem lub skręcaniem (tab. 3.2),
kr, kg, kt, ks  naprężenia dopuszczalne dla statycznego lub zmęczeniowego, odpowiednio: rozciągania, zgina-nia,
ścinania i skręcania
6 2
(d*) + a Å"(d*) + b Å"d* + c
d** = d* - (3.19)
5
6Å"(d*) + 2Å"a Å"d* + b
3.3 Metoda stanów granicznych
3.3.1. Podstawowy warunek wytrzymałościowy
Podstawowy warunek wytrzymałościowy jest opisany następującą nierównością:
 45 
Podstawy Konstrukcji Maszyn - projektowanie
P M
à *" Ä = *" d" fdr (3.20)
A Ww
gdzie: à - naprężenia normalne (prostopadÅ‚e) w obliczanym przekroju, Ä - naprężenia styczne
w obliczanym przekroju, P  siła obciążająca (rozciągająca, ściskająca lub ścinająca),
M  moment obciążający (gnący lub skręcający), A  powierzchnia rozpatrywanego
przekroju, W  wskaz
nik wytrzymałości przekroju (na zginanie i na skręcanie), fd 
naprężenia obliczeniowe (tabl. 3.7), indeksy: w  określa rodzaj wskaz
nika
przekroju: x  na zginanie, o  na skręcanie; r  określa rodzaj naprężeń obliczenio-
wych: bez indeksu  dla naprężeń normalnych (rozciąganie, ściskanie i zginanie), v 
dla naprężeń stycznych (ścinanie i skręcanie), b  dla nacisku powierzchniowego, bH
 dla nacisku kontaktowego.
Naprężenia obliczeniowe dla materiałów nie ujętych w tablicy 3.7 można obliczyć ze
wzorów:
Re min
fd = fdv = 0,58Å"fd fdb =1,25Å"fd fdbH = 3,6Å"fd
Å‚s
Å‚s =1,15 Re min d" 360 MPa
(3.21)
Å‚s =1,20 360 < Re min d" 470 MPa
Å‚s =1,25 470 < Re min < 600 MPa
3.3.2. Właściwości wytrzymałościowe materiałów
W tablicy 3.9. przedstawiono wartości właściwości mechaniczne typowych materiałów
na konstrukcje stalowe oraz ich wytrzymałość obliczeniową do obliczeń metodą określania
stanów granicznych wytężenia.
Tab. 3.10. Minimalne właściwości wytrzymałościowe stali konstrukcyjnych[4].
Rodzaj wyrobu, grubości 1) t Właściwości mechaniczne 2) [MPa]
Rodzaj stali Symbol stali
[mm]
Re min Rm min fd
Blachy, t e" 16 195 315 175
St0S
kształtowniki, 16 < t d" 40 185 315 165
pręty,
Stal węglowa St3SX, St3SY, t e" 16 235 215
rury
konstrukcyjna St3S, St3V, 16 < t d" 40 225 375 205
PN-88/H-84020 St3W 40 < t d" 100 215 195
St4VX, St4VY, t e" 16 255 410 235
St4V,St4W 16 < t d" 40 245 410 225
Stal t e" 16 355 305
niskostopowa 18G2, 18G2A 16 < t d" 30 345 490 295
PN-86/H-84018
30 < t d" 50 335 285
18G2AV t e" 16 440 560 370
 46 
3.0. Podstawowy warunek wytrzymałościowy
16 < t d" 30 430 360
30 < t d" 50 420 350
walcowane
10HA 315 440 275
na zimno
walcowane
Stal trudno-
10H, 10HA 345 470 290
na gorÄ…co
rdzewiejÄ…ca
10HAV,10HAVP, walcowane
PN-83/H-84017 355 490 290
10HNAP 3) na zimno
walcowane
10HAV, 10HAVP 390 510 310
na gorÄ…co
R Nie określa się 165
Stal do produk-
Rury walcowane lub
cji rur 4) R35 235 345 210
ciÄ…gnione,
PN-89/H- 255 440 225
R45
rury zgrzewane
84023.07
12X 205 330 180
L400 250 400 225
Staliwo
L450 Odlewy staliwne grupy II 260 450 235
PN-85/H-83152
L500 320 500 280
1)
Dla kształtowników walcowanych miarodajna jest średnia grubość półki (stopki).
2)
Podane w tablicy wartości dotyczą kategorii wytrzymałościowej E440.
3)
Stal 10HNAP jest walcowana na gorÄ…co.
4)
Rury walc. lub ciągn. są produkowane także ze stali 18G2A, a zgrzewane ze stali St3S i 18G2A.
3.4. Stateczność konstrukcji przy ściskaniu
Wyboczenie  utrata stateczności (prostoliniowości i zdolności do przenoszenia ob-
ciążeń) elementu ściskanego siłą większą od krytycznej. Wartość siły krytycznej lub naprężeń
granicznych wyboczenia R (rys. 3.4) zależy od smukłości elementu (pręta) określonej wzo-
rem:
µ Å" l
s = (3.22)
imin
gdzie: µ - współczynnik okreÅ›lajÄ…cy sposób mocowania koÅ„ców prÄ™ta, rys. 3.4, l  dÅ‚ugość
geometryczna pręta podlegająca odkształceniom, imin  najmniejszy promień bezwład-
ności przekroju pręta, ze wzoru:
Imin
imin = (3.23)
A
Imin - najmniejszy moment bezwładności przekroju pręta, A  pole przekroju.
 47 
Podstawy Konstrukcji Maszyn - projektowanie
R
R
e
Wyboczenie Wyboczenie
niecalk.-sprezyste sprezyste
wzor:
wzor:
Tetmajera-Jasinskiego Eulera
Rys. 3.5. Zależność naprężeń granicznych przy wybo-
s
czeniu od smukłości pręta.
sgr
s =25
0
P P P
P P P
Rys. 3.6. Wartości współ-
czynnika zamocowania
końców pręta  w nawia-
sach wartości rekomen-
dowane.
µ=0,7 (0,8) µ=0,5 (0,65)
µ=0,7 (0,8) µ=0,5 (0,65)
µ=2 (2) µ=1 (1,2) µ=1 (1)
µ=2 (2) µ=1 (1) µ=0,7 (0,8) µ=0,5 (0,65)
µ=2 (2,1) µ=2 (2) µ=1 (1)
µ=2 (2,1) µ=2 (2) µ=1 (1,2) µ=1 (1) µ=0,7 (0,8) µ=0,5 (0,65)
µ=2 (2,1) µ=1 (1,2)
µ=2 (2,1) µ=1 (1,2)
- brak wyboczenia (s d" s0 =25): R = Re
(obowiązuje podstawowy warunek wytrzymałościowy na statyczne ściskanie)
- wyboczenie niecałkowicie sprężyste (s0 d" s d" sgr):
wzór Tetmajera - Jasińskiego
R = a - b Å" s + c Å" s2
TJ
(3.24)
R = A - B Å" s2 wzór Johnsona - Ostenfelda
JO
gdzie: a, b, c, A, B  współczynniki zależne od materiału pręta, z tablicy 3.11 lub obliczane ze
wzorów:
a H" Re
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
Re - RH RH (3.24a)
Å"
ôÅ‚b =
Ä„ E
ół
RH - granica proporcjonalności (granica Hooke a), E - moduł sprężystości podłużnej
(moduÅ‚ Younga  dla stali ok. 2,1Å"105 MPa), sgr - smukÅ‚ość graniczna:
E
sgr = Ä„ Å" (3.24b)
R
H
 48 
Brak wyboczenia
l
3.0. Podstawowy warunek wytrzymałościowy
s0 = 25 - smukłość  zerowa (poniżej której nie zachodzi groz
ba wyboczenia).
Ä„2 Å" E
- wyboczenie sprężyste (s > sgr): R = wzór Eulera (3.25)
E
s2
Tabl. 3.11. Wartości współczynników materiałowych do wzoru T-J (3.18) dla wybranych materiałów.
Materiał Rm, MPa Re, MPa A5 % sgr a, MPa b, MPa c, MPa
St3 400 230 25 105 310 1,19 0
St4 500 270 23 90 335 0,62 0
Stal St5 600 300 19 90 335 0,62 0
35 600 360 20 90 335 0,62 0
45 700 420 16 90 335 0,62 0
Żeliwo 200 600 600 - 80 776 12,00 0,54
Stal do 5% Ni - - - 86 470 2,30 0
Piśmiennictwo
[1] Dietrych M. i inni: Podstawy konstrukcji maszyn, t. 1, PWN, Warszawa 1986.
[2] PN-90/B-02000: Konstrukcje stalowe, obliczenia statyczne i projektowanie, PKNMiJ.
[3] PN-90/B-03001: Konstrukcje stalowe, obliczenia statyczne i projektowanie, PKNMiJ.
[4] PN-90/B-03200: Konstrukcje stalowe, obliczenia statyczne i projektowanie, PKNMiJ
 49 
Podstawy Konstrukcji Maszyn - projektowanie
.
START
µ (rys.3.3) Ustalenie sposobu mocowania koÅ„ców
2
2
P, l, xw, E (materiał)
P, l, xw, E (materiał)
PÅ"(µÅ" l) Å" xw
PÅ"(µÅ" l) Å" xw
Imin =
Imin =
Ä„2 Å" E
Ä„2 Å" E
Irz e" Imin Dobór przekroju
Irz e" Imin Dobór przekroju
s (wz. 3.13) Smukłość rzeczywista
s (wz. 3.13) Smukłość rzeczywista
s < s0 s0 < s < sgr s > sgr
s < s0 s0 < s < sgr s > sgr
P Å" xe A Å" (a - b Å" s)
P Å" xe A Å" (a - b Å" s)
KONIEC
KONIEC
x =
x =
Amin =
Amin =
w
w
a, b (tab. 3.8)
P
P
R
R
ec
ec
xe, Rec
KONIEC
KONIEC
xw < 3 3 < xw < 6 xw > 6
xw < 3 3 < xw < 6 xw > 6
An > An-1 An < An-1 przekroju
An > An-1 An < An-1 Zmiana powierzchni
KONIEC
KONIEC
s (wz. 3.13)
s (wz. 3.13)
Rys. 3.6. Algorytm doboru przekroju pręta
wybaczanego.
 50