Made by LideR M [L-klik] tel. [phone] lider m o2.pl
Zadanie 3
x2 + y2 +z2 = 32 jest sferą o środku w (0, 0, 0) i o promieniu 3, natomiast x2 + y2 +z2 = 6z, czyli inaczej x2 + y2 +(z-3)2 = 9
jest sferą o środku w (0, 0, 3) i o promieniu 3.
Szkic:
Czyli jest to bryła ograniczona z dołu dolną częścią wyżej leżącej sfery, czyli równaniem:
(z - 3)2 = 9 - x2 - y2
z - 3 = - 9 - x2 - y2
z = 3 - 9 - x2 - y2
a z góry górną częścią niżej leżącej sfery, czyli równaniem:
z2 = 9 - x2 - y2
z = 9 - x2 - y2
Rzutem na OXY jest koło o promieniu równym promieniowi okręgu powstałego z przecięcia się sfer, czyli przyrównując
równania sfer:
3 - 9 - x2 - y2 = 9 - x2 - y2
3 = 2 9 - x2 - y2
9 = 4(9 - x2 - y2)
9 = 36 - 4(x2 + y2)
-27 = -4(x2 + y2)
27
x2 + y2 =
4
" "
27 3 3
Czyli promień tego koła to r = = .
2
ńł2
�ł
x = r cos �
�ł
�ł
�ł
�ł
y = r sin �
�ł
Wprowadzamy współrzędne walcowe otrzymujemy następujące ograniczenia:
�ł
�ł
z = z
�ł
�ł
�ł
ół
|J| = r
"
3 3
0 < r <
2
0 < � < 2Ą"
"
3 - 9 - r2 < z < 9 - r2
Liczymy objętość:
" "
"
3 3 3 3
2Ą 9-r2 2Ą
"
2 2
9-r2
"
V = 1dxdydz = d� rdr dz = d� rdr[z] =
"
3- 9-r2
V 0 0 3- 9-r2 0 0
tel. [phone] c&1c&
Made by LideR M [L-klik] tel. [phone] lider m o2.pl
" "
3 3 3 3
2Ą 2Ą
2 " " 2 "
= d� r( 9 - r2 - 3 + 9 - r2)dr = d� [2r 9 - r2 - 3r]dr = ( )
0 0 0 0
Liczymy całkę nieoznaczoną:
9 - r2 = t
"
"
1
2
2r 9 - r2dr = -2rdr = dt = - tdt = - t dt =
2rdr = -dt
3
"
"
2
t 2 2
= - + C = - t t + C = - (9 - r2) 9 - r2 + C
3
3 3
2
Wracamy do liczenia objętości:
"
�ł �ł
3 3
2Ą 2Ą
"
2
�ł �ł
2 3
�ł- 2 9 9 3 27 2 "
�ł �ł
( ) = d� - (9 - r2) 9 - r2 - r2 = �ł � - � + � 9 9 + 0�ł d� =
�ł
�ł łł
3 2 3 4 4 2 4 3
0
0 0
2Ą
45 45 45
= d� = [�]2Ą = Ą
0
8 8 4
0
Zadanie 4
Jest to bryła zawarta między paraboloidą oraz półsferą.
Rzutem bryły jest koło o promieniu równym promieniowi okręgu powstałemu z przecięcia się półsfery z paraboloidą,
przyrównujemy równania:
z = z
13 - x2 - y2 = x2 + y2 - 1
Podstawiamy x2 + y2 = t:
"
13 - t = t - 1
13 - t = (t - 1)2
13 - t = t2 - 2t + 1
t2 - t - 12 = 0
t = 4 t = -3
Ponieważ t > 0:
t = 4
x2 + y2 = 4
tel. [phone] c&2c&
Made by LideR M [L-klik] tel. [phone] lider m o2.pl
Czyli promień koła to r = 2:
ńł
�ł
x = r cos �
�ł
�ł
�ł
�ł
y = r sin �
�ł
Wprowadzamy współrzędne walcowe otrzymujemy następujące ograniczenia:
�ł
�ł
z = z
�ł
�ł
�ł
ół
|J| = r
0 < r < 2
0 < � <"
2Ą
r2 - 1 < z < 13 - r2
Liczymy:
"
2Ą 2 13-r2 2Ą 2
"
13-r2
V = 1dxdydz = d� rdr dz = d� r[z]r -1 dr =
2
V 0 0 r2-1 0 0
2Ą 2 2Ą 2
" "
= d� r( 13 - r2 - r2 + 1)dr = d� (r 13 - r2 - r3 + r)dr = ( )
0 0 0 0
Liczymy całkę nieoznaczoną:
13 - r2 = t
"
"
1 1 1
2
r 13 - r2dr = -2rdr = dt - tdt = - t dt =
=
2 2
1
rdr = - dt
2
3
"
"
2
1 t 1 1
= - + C = - t t + C = - (13 - r2) 13 - r2 + C
3
2 3 3
2
Wracamy do liczenia objętości:
2Ą 2 2Ą
" " "
1 1 1 1 1 1 1
( ) = d� - (13 - r2) 13 - r2 - r4 + r2 = - � 9 9 - � 24 + � + � 13 13 - 0 + 0 d� =
3 4 2 3 4 2 3
0
0 0
" " "
2Ą
"
13 13 13 13 13 13 2
= - 11 d� = - 11 [�]2Ą = - 11 � 2Ą = Ą 13 13 - 33
0
3 3 3 3
0
Zadanie 5
Jest to bryła zawarta od dolnej części sfery (o równaniu z = - 16 - x2 - y2) do górnej częsci sfery (z = 16 - x2 - y2)
oraz wewnątrz walca x2 + y2 = 4x, czyli (x - 2)2 + y2 = 4. Czyli rzutem tej bryły jest koło (x - 2)2 + y2 4.
ńł
�ł
x = r cos �
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł y = r sin �
Wprowadzamy współrzędne walcowe otrzymujemy następujące ograniczenia:
�ł
�ł
z = z
�ł
�ł
�ł
ół
|J| = r
Ą Ą
- < � <
2 2
0 < r < 4 cos
" "Ć
- 16 - r2 < z < 16 - r2
tel. [phone] c&3c&
Made by LideR M [L-klik] tel. [phone] lider m o2.pl
Ograniczenie na kąt wzięło się z tego, że koło (x - 2)2 + y2 4 znajduje się w I i IV ćwiartce układu współrzędnych.
Ograniczenie na r wzięło się z równania okręgu we współrzędnych walcowych:
x2 + y2 = 4x
r2 = 4r cos �
r(r - 4 cos �) = 0
r = 0 r = 4 cos �
Liczymy objętość
" "
Ą Ą
4 cos � 16-r2 4 cos � 16-r2 Ą 4 cos �
2 2 2 "
V = 1dxdydz = d� rdr dz = d� rdr[z] = d� 2r 16 - r2dr = ( )
" "
Ą Ą Ą
V - 0 - 16-r2 - 0 - 16-r2 - 0
2 2 2
Liczymy całkę nieoznaczoną:
16 - r2 = t
"
"
1
2
2r 16 - r2dr = -2rdr = dt - tdt = - t dt =
=
2rdr = -dt
3
"
"
2
t 2 2
= - + C = - t t + C = - (16 - r2) 16 - r2 + C
3
3 3
2
Wracamy do liczenia objętości:
Ą Ą
4 cos �
2 " 2 "
2 2 2
( ) = - (16 - r2) 16 - r2 = - 16(1 - cos2 �) 16(1 - cos2 �) + 16 16 d� =
Ą 3 Ą 3 3
0
- -
2 2
Ponieważ funkcja podcałkowa jest parzysta (cosinusy są przyste), to:
Ą
2
128 128
= 2 - (1 - cos2 �) sin2 � + d� = ( )
3 3
0
Policzymy nieoznaczoną:
t = cos � t3 1
(1 - cos2 �) sin �d� = = - (1 - t2)dt = (t2 - 1)dt = - t + C = cos3 � - cos � + C
dt = - sin �d�
3 3
Wracamy:
Ą Ą
2 2
128 1 128 258 1 258 Ą 1
( ) = 2 - cos3 � - cos � + � = - cos3 � - cos � + � = - (0 - 0) + + - 1 - 0 =
3 3 3 3 3 3 2 3
0 0
258 Ą 2 258 3Ą - 4 128
= - = � = (3Ą - 4)
3 2 3 3 6 9
tel. [phone] c&4c&
Made by LideR M [L-klik] tel. [phone] lider m o2.pl
Zadanie 6
Jest to bryła zawarta między dwoma paraboloidami.
Znajdujemy promień rzutu (jest to koło), inaczej promień przecięcia:
z = z
x2 + y2 = 8 - x2 - y2
2x2 + 2y2 = 8
x2 + y2 = 4
Czyli jest to r = 2.
ńł
�ł
x = r cos �
�ł
�ł
�ł
�ł
y = r sin �
�ł
Wprowadzamy współrzędne walcowe otrzymujemy następujące ograniczenia:
�ł
�ł
z = z
�ł
�ł
�ł
ół
|J| = r
0 < r < 2
0 < � < 2Ą
r2 < z < 8 - r2
Liczymy objętość:
2Ą 2 8-r2 2Ą 2 2Ą 2 2Ą 2
2
V = 1dxdydz = d� rdr dz = d� rdr[z]8-r = d� r(8-r2-r2)dr = d� (8r-2r3)dr =
r2
V 0 0 r2 0 0 0 0 0 0
Granice są stałe oraz zmienne są porozdzielane, możemy zapisać całkę jako iloczyn dwóch całek:
2Ą 2
2
1 1
= d� � (8r - 2r3)dr = [�]2Ą � 4r2 - r4 = 2Ą � 4 � 4 - � 16 = 16Ą
0
2 2
0
0 0
tel. [phone] c&5c&
Made by LideR M [L-klik] tel. [phone] lider m o2.pl
Zadanie 7
Jest to bryła zawarta pomiędzy: od dołu paraboloidą z = 3(x2 + y2), od góry stożkiem z = 4 - x2 + y2.
Znajdujemy promień rzutu (jest to koło), inaczej promień przecięcia:
z = z
3(x2 + y2) = 4 - x2 + y2
t = x2 + y2:
3t2 = 4 - t
3t2 + t - 4 = 0
4
t = 1 t = -
3
t > 0
t = 1
x2 + y2 = 1
x2 + y2 = 1
Czyli promień wynosi 1
ńł
�ł
x = r cos �
�ł
�ł
�ł
�ł
y = r sin �
�ł
Wprowadzamy współrzędne walcowe otrzymujemy następujące ograniczenia:
�ł
�ł
z = z
�ł
�ł
�ł
ół
|J| = r
0 < r < 1
0 < � < 2Ą
3r2 < z < 4 - r
Liczymy:
2Ą 1 4-r 2Ą 1 2Ą 1
V = 1dxdydz = d� rdr dz = d� rdr[z]4-r = d� r(4 - r - 3r2)dr =
3r2
V 0 0 3r2 0 0 0 0
Granice są stałe oraz zmienne są porozdzielane, możemy zapisać całkę jako iloczyn dwóch całek:
2Ą 1
1
1 3 1 3 11Ą
= d� � (4r - r2 - 3r3)dr = [�]2Ą � 2r2 - r3 - r4 = 2Ą � 2 - - =
0
3 4 3 4 6
0
0 0
tel. [phone] c&6c&
Made by LideR M [L-klik] tel. [phone] lider m o2.pl
Zadanie 9
Jest to pomiędzy: od dołu ogranicza stożek z = x2 + y2 - 3, od góry paraboloida z = 3 - x2 - y2. Wszystko jest
wewnętrz walca x2 + y2 = 1, czyli rzut kołem x2 + y2 1, czyli promień rzutu to r = 1.
ńłjest
�ł
x = r cos �
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł y = r sin �
Wprowadzamy współrzędne walcowe otrzymujemy następujące ograniczenia:
�ł
�ł
z = z
�ł
�ł
�ł
ół
|J| = r
0 < r < 1
0 < � < 2Ą
r - 3 < z < 3 - r2
Liczymy:
2Ą 1 3-r2 2Ą 1 2Ą 1
2
V = 1dxdydz = d� rdr dz = d� rdr[z]3-r = d� r(3 - r2 - r + 3)dr =
r-3
V 0 0 r-3 0 0 0 0
Granice są stałe oraz zmienne są porozdzielane, możemy zapisać całkę jako iloczyn dwóch całek:
2Ą 1 1
1 1 1 1 29
= d� � (6r - r3 - r2)dr = [�]2Ą � 3r2 - r4 - r3 = 2Ą � 3 - - - 0 = Ą
0
4 3 4 3 6
0
0 0
Zadanie 10
tel. [phone] c&7c&
Made by LideR M [L-klik] tel. [phone] lider m o2.pl
Od dołu bryła jest ograniczona stożkiem z = x2 + y2, od góry górną połową sfery danej równaniem x2 + y2 + z2 = 2z,
czyli:
(z - 1)2 + x2 + y2 = 1
(z - 1)2 = 1 - x2 - y2
z - 1 = 1 - x2 - y2
z = 1 + 1 - x2 - y2
ńł
�ł
x = r cos �
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł y = r sin �
Wprowadzamy współrzędne walcowe otrzymujemy następujące ograniczenia:
�ł
�ł
z = z
�ł
�ł
�ł
ół
|J| = r
0 < r < 1
0 < � <"
2Ą
r < z < 1 + 1 - r2
Liczymy:
"
2Ą 1 1+ 1-r2 2Ą 1 2Ą 1
"
"
V = 1dxdydz = d� rdr dz = d� rdr[z]1+ 1-r2 = d� r(1 + 1 - r2 - r)dr =
r
V 0 0 r 0 0 0 0
Granice są stałe oraz zmienne są porozdzielane, możemy zapisać całkę jako iloczyn dwóch całek:
2Ą 1
"
= d� � (r + r 1 - r2 - r2)dr = ( )
0 0
Liczymy całkę nieoznaczoną:
1 - r2 = t
"
"
1 1 1
2
r 1 - r2dr = -2rdr = dt - tdt = - t dt =
=
2 2
rdr = -1 dt
2
3
"
"
2
1 t 1 1
= - + C = - t t + C = - (1 - r2) 1 - r2 + C
3
2 3 3
2
Wracamy do liczenia objętości:
1
" "
1 1 r3 1 1 1 1
( ) = [�]2Ą � r2 - (1 - r2) 1 - r2 - = 2Ą � - 0 - - 0 + � 1 1 + 0 = 2Ą � = Ą
0
2 3 3 2 3 3 2
0
Zadanie 12
tel. [phone] c&8c&
Made by LideR M [L-klik] tel. [phone] lider m o2.pl
Od góry jest bryła ograniczona paraboloidą z = 2 - x2 - y2, od dołu pólsferą z = - 4 - x2 - y2.
Znajdujemy promień okręgu powstałego z ich przecięcia:
z = z
2 - x2 - y2 = - 4 - x2 - y2
t = x2 + y2:
"
2 - t = - 4 - t
4 - 4t + t2 = +(4 - t)
t2 - 3t = 0
t = 0 t = 3
x2 + y2 = 0 x2 + y2 = 3
"
Więc promień to r = 3.
ńł
�ł
x = r cos �
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł y = r sin �
Wprowadzamy współrzędne walcowe otrzymujemy następujące ograniczenia:
�ł
�ł
z = z
�ł
�ł
�ł
ół
|J| = r
"
0 < r < 3
0 < � < 2Ą
"
- 4 - r2 < z < 2 - r2
Liczymy:
" " "
2Ą 3 2-r2 2Ą 3 2Ą 3
"
2
"
V = 1dxdydz = d� rdr dz = d� rdr[z]2-r = d� r(2 - r2 + 4 - r2)dr =
"
- 4-r2
V 0 0 - 4-r2 0 0 0 0
Granice są stałe oraz zmienne są porozdzielane, możemy zapisać całkę jako iloczyn dwóch całek:
"
2Ą 3
"
= d� � (2r - r3 + r 4 - r2)dr = ( )
0 0
Liczymy całkę nieoznaczoną:
4 - r2 = t
"
"
1 1 1
2
r 4 - r2dr = -2rdr = dt - tdt = - t dt =
=
2 2
rdr = -1 dt
2
3
"
"
2
1 t 1 1
= - + C = - t t + C = - (4 - r2) 4 - r2 + C
3
2 3 3
2
Wracamy do liczenia objętości:
"
3
"
1 1
( ) = [�]2Ą � r2 - r4 - (4 - r2) 4 - r2 =
0
4 3
0
" "
1 1 1 37 37
= 2Ą � 3 - � 9 - � 1 1 - 0 + 0 + � 4 4 = 2Ą � = Ą
4 3 3 12 6
tel. [phone] c&9c&