SNM PG WETI, r.ak. 2007/2008
ZADANIE DOMOWE NR1
1) Obliczyć objętość bryły leżącej wewnątrz sfery x2 + y2 + z2 = 4 oraz walca x2 + y2 = 2y.
2) Obliczyć całkę podwójną po obszarze D ograniczonym krzywymi:

"
y2
a) (xy + )dxdy, gdzie D : y = x, x = 4, y = 1
D x2

1
b) (x2 + xy)dxdy, gdzie D : y = 1, x = 2, y = .
D x
x2
3) Obliczyć pole powierzchni walcowej x2 + y2 = 16 ograniczonej powierzchniami z = 0, z = 4 + .
4
4) Obliczyć za pomocą całki potrójnej objętość bryły ograniczonej powierzchniami: x2 + y2 + z2 = a2,
z2 = x2 + y2 (z2 d" x2 + y2, a > 0).

5) Obliczyć całkę krzywoliniową niezorientowaną (x + 2y - z)dl, gdzie L jest odcinkiem o początku w punkcie
L
A(1, -1, 1) i końcu w B(2, 0, 3).
6) Obliczyć całki krzywoliniowe, gdzie K jest odcinkiem o początku A(-1, 1, -1) i końcu B(3, 0, -3):

a) (2x + y - z)dl
K

b) (-zdx + 2xdy - ydz).
K

7) Obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną (x + z)dy + (z - x)dx, gdzie L : = [t3, t2, t], 0 d" t d" 1.
r(t)
L

2y+z z2-x2-y2
2x+z
8) Obliczyć całkę krzywoliniową dx + dy + dz, gdzie K to odcinek od punktu A(1, 2, 1) do
K 2 2 z2
punktu B(3, 1, 3).

9) Obliczyć całkę krzywoliniową ydx - x2dy, gdzie K jest krzywą zamkniętą P1P2P3P1, przy czym: P1P2 jest
K
Ą
łukiem asteroidy x(t) = a cos3 t, y(t) = a sin3 t, 0 d" t d" , P2P3 jest odcinkiem prostej y - x = a oraz P3P1
2
półokręgiem o promieniu a i środku w (0, 0).
10)
Stosując twierdzenie Greena obliczyć całkę:
a) ydx - 2xdy po krzywej zamkniętej L skierowanej dodatnio:
L

x2 + y2 d" 4y
L =
x2 + y2 d" 4

b) ydx - xdy, gdzie L jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach przebiegających w kolejności
L
(0, 0), (1, 0), (0, 1), (0, 0).
11) Wyznaczyć potencjał pola wektorowego:

a) F (x, y, z) = (z2, 2yz, 2xz + y2)

b) F (x, y, z) = (ey+2z, xey+2z, 2xey+2z).
12) Znalez
ć w płaszczyz
nie zespolonej rozwiązanie równania z5 - z4 + z - 1 = 0.
13) Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P (a, b, -6), a, b " R i prostopadłej do
1 : x + y + z - 5 = 0 oraz : x - y + z = 0, gdziea(2 + 3i) + b(4 - 5i) = 6 - 2i.
2
14) Rozwiązać równanie (z - 4)2 = 2i w zbiorze liczb zespolonych i narysować na płaszczyz
nie zespolonej zbiór
punktów spełniających to równanie.
1+i 26
"
15) Obliczyć i przedstawić na płaszczyz
nie zespolonej za, gdzie a jest granicą ciągu liczbowego
2
3+5+...+(2n+1)
an = .
3n2+2
"
400
(1- 3i)
16) Znajdz
postać algebraiczną liczby i zaznacz ją na płaszczyz
nie zespolonej.
(1+i)(-1-i)
"
3 1
17) Narysuj na płaszczyz
nie zespolonej zbiór punktów spełniających warunek: |1 + iz| d" Re[( - i)12]
2 2
18) Znalez
ć funckję holomorficzną f(z), gdy dana jest jej część rzeczywista:
a) u(x, y) = ex sin y
b) u(x, y) = 2ex sin y.
19) Znalez
ć funckję holomorficzną f(z), gdy dana jest jej część urojona:
a) v(x, y) = 2xy + 3x
b) v(x, y) = y3 - 3yx2.