FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
Sumy funkcji trygonometrycznych jednego kÄ…ta
Wybrane tożsamości trygonometryczne
2
Ä„
öÅ‚
" ctg Ä… + tg Ä… =
" cosÄ… + sin Ä… = 2 cosëÅ‚Ä… - ÷Å‚
ìÅ‚
Niech Ä… , ² bÄ™dÄ… dobrze okreÅ›lone
sin 2Ä…
4
íÅ‚ Å‚Å‚
Podstawowe tożsamości trygonometryczne
Ä„
öÅ‚
" ctg Ä… - tg Ä… = 2ctg 2Ä…
" cosÄ… - sin Ä… = - 2 sinëÅ‚Ä… - ÷Å‚
ìÅ‚
2
cosÄ…
" sin Ä… + cos2 Ä… =1
4
íÅ‚ Å‚Å‚
" = ctg Ä…
sinÄ…
sinÄ…
Funkcje trygonometryczne kątów  połówkowych
" = tg Ä…
o tg Ä… Å" ctg Ä… =1.
cosÄ…
Ä… sinÄ…
Ä… 1 - cosÄ…
" tg =
" sin =
2 1 + cosÄ…
2 2
Funkcje trygonometryczne sum kątów
" sin(Ä… + ² )= sin Ä… cos ² + cosÄ… sin ² " sin(Ä… - ² )= sin Ä… cos ² - cosÄ… sin ²
Ä… sinÄ…
Ä… 1 + cosÄ…
" ctg =
" cos =
2 1 - cosÄ…
2 2
" cos(Ä… + ² ) = cosÄ… cos ² - sin Ä… sin ² " cos(Ä… - ² ) = cosÄ… cos ² + sin Ä… sin ²
Funkcje trygonometryczne krotności kątów
tgÄ… + tg² tgÄ… - tg²
" tg(Ä… + ² ) = " tg(Ä… - ² ) =
3
" sin 2Ä… = 2sin Ä… cosÄ…
1 - tgÄ… Å" tg² 1 + tgÄ… Å" tg² " sin 3Ä… = 3sinÄ… cos2 Ä… - sin Ä…
2 2
2
" cos 2Ä… = cos Ä… - sin Ä…
ctgÄ… Å" ctg -1 ctgÄ… Å" ctg² +1 " cos 3Ä… = cos3 Ä… - 3sin Ä… cosÄ…
" ctg(Ä… + ² ) = " ctg(Ä… - ² )=
ctgÄ… + ctg² ctg² - ctgÄ…
3tg Ä… - tg3Ä…
2tg Ä…
" tg 3Ä… =
" tg 2Ä… =
1 - 3tg2Ä…
1 - tg2Ä…
Sumy funkcji trygonometrycznych
Ä… + ² Ä… - ² Ä… - ² Ä… + ²
ctg3Ä… - 3ctg Ä…
" sinÄ… + sin ² = 2sin cos " sinÄ… - sin ² = 2sin cos
ctg2Ä… -1
" ctg 3Ä… =
2 2 2 2 " ctg 2Ä… =
3ctg2Ä… -1
2ctg Ä…
Ä… + ² Ä… - ² Ä… + ² Ä… - ²
" cosÄ… + cos ² = 2cos cos " cosÄ… - cos ² = -2sin sin
Postacie parametryczne funkcji trygonometrycznych
2 2 2 2
Niech Ä… `" Ä„ + k Å" 2Ä„ i k "C
sin(Ä… + ² ) sin(Ä… - ²)
" tg Ä… + tg ² = " tg Ä… - tg ² =
cosÄ… cos ² cosÄ… cos ² 2t 2t
" sinÄ… = " tg Ä… = Ð! t `" 1
2 2
1 + t 1 - t
Ä…
gdzie t = tg " R .
sin(Ä… + ² ) sin(² -Ä…)
" ctg Ä… + ctg ² = 2
" ctg Ä… - ctg ² =
2 2
sinÄ… sin ²
1 - t 1 - t
sinÄ… sin ²
" cosÄ… = " ctg Ä… = Ð! t `" 0
2
2t
1 + t
Dokładne wartości funkcji trygonometrycznych niektórych kątów Przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych niektórych kątów
Ä… sinÄ… cosÄ… tg Ä… ctg Ä… Ä… sinÄ… cosÄ… tg Ä… ctg Ä…
0 0,000 1,000 0,000  45 0,707 0,707 1,000 1,000
1 0,017 1,000 0,017 57,290 46 0,719 0,695 1,036 0,966
tg Ä… ctg Ä…
Ä… sinÄ… cosÄ…
2 0,035 0,999 0,035 28,636 47 0,731 0,682 1,072 0,933
3 0,052 0,999 0,052 19,081 48 0,743 0,669 1,111 0,900
4 0,070 0,998 0,070 14,301 49 0,755 0,656 1,150 0,869
Ä„
0 1 0 900 =
00 = 0 Ä… " 5 0,087 0,996 0,087 11,430 50 0,766 0,643 1,192 0,839
2
6 0,105 0,995 0,105 9,514 51 0,777 0,629 1,235 0,810
7 0,122 0,993 0,123 8,144 52 0,788 0,616 1,280 0,781
8 0,139 0,990 0,141 7,115 53 0,799 0,602 1,327 0,754
Ä„ 5Ä„
6 - 2 6 + 2
150 = 750 = 9 0,156 0,988 0,158 6,314 54 0,809 0,588 1,376 0,727
2 - 3 2 + 3
12 12
4 4
10 0,174 0,985 0,176 5,671 55 0,819 0,574 1,428 0,700
11 0,191 0,982 0,194 5,145 56 0,829 0,559 1,483 0,675
12 0,208 0,978 0,213 4,705 57 0,839 0,545 1,340 0,649
Ä„ 2Ä„
5 -1
10 + 2 5 25 -10 5
180 = 720 =
13 0,225 0,974 0,231 4,331 58 0,848 0,530 1,600 0,625
5 + 2 5
10 5
4
4 5 14 0,242 0,970 0,249 4,011 59 0,857 0,515 1,664 0,601
15 0,259 0,966 0,268 3,732 60 0,866 0,500 1,732 0,577
16 0,276 0,961 0,287 3,487 61 0,875 0,485 1,804 0,554
Ä„ 3Ä„
2 - 2 2 + 2
22030' = 67030' =
2 -1 2 +1
17 0,292 0,956 0,306 3,271 62 0,883 0,469 1,881 0,532
8 8
2 2
18 0,309 0,951 0,325 3,078 63 0,891 0,454 1,963 0,510
19 0,326 0,946 0,344 2,904 64 0,899 0,438 2,050 0,488
Ä„ 1 Ä„ 20 0,342 0,940 0,364 2,747 65 0,906 0,423 2,145 0,466
3 3
300 = 600 =
3
21 0,358 0,934 0,384 2,605 66 0,914 0,407 2,246 0,445
6 2 3
2 3
22 0,375 0,927 0,404 2,475 67 0,921 0,391 2,356 0,424
23 0,391 0,921 0,424 2,356 68 0,927 0,375 2,475 0,404
24 0,407 0,914 0,445 2,246 69 0,934 0,358 2,605 0,384
Ä„ 3Ä„
5 +1
10 - 2 5 25 + 10 5
360 = 540 =
5 - 2 5
25 0,423 0,906 0,466 2,145 70 0,940 0,342 2,747 0,364
5 10
4
4 5
26 0,438 0,899 0,488 2,050 71 0,946 0,326 2,904 0,344
27 0,454 0,891 0,510 1,963 72 0,951 0,309 3,078 0,325
Ä„ Ä„ 28 0,469 0,883 0,532 1,881 73 0,956 0,292 3,271 0,306
2 2
450 = 1 1 450 =
29 0,485 0,875 0,554 1,804 74 0,961 0,276 3,487 0,287
4 4
2 2
30 0,500 0,866 0,577 1,732 75 0,966 0,259 3,732 0,268
31 0,515 0,857 0,601 1,664 76 0,970 0,242 4,011 0,249
cos ² sin ² ctg ² tg ² ²
32 0,530 0,848 0,625 1,600 77 0,974 0,225 4,331 0,231
33 0,545 0,839 0,649 1,540 78 0,978 0,208 4,705 0,213
34 0,559 0,829 0,675 1,483 79 0,982 0,191 5,145 0,194
35 0,574 0,819 0,700 1,428 80 0,985 0,174 5,671 0,176
36 0,588 0,809 0,727 1,376 81 0,988 0,156 6,314 0,158
37 0,602 0,799 0,754 1,327 82 0,990 0,139 7,115 0,141
38 0,616 0,788 0,781 1,280 83 0,993 0,122 8,144 0,123
39 0,629 0,777 0,810 1,235 84 0,995 0,105 9,514 0,105
40 0,643 0,766 0,839 1,192 85 0,996 0,087 11,430 0,087
41 0,656 0,755 0,869 1,150 86 0,998 0,070 14,301 0,070
Nomat 1992
Nomat 1992
Nomat 1992
Nomat
Å› 1992
42 0,669 0,743 0,900 1,111 87 0,999 0,052 19,081 0,052
43 0,682 0,731 0,933 1,072 88 0,999 0,035 28,636 0,035
44 0,695 0,719 0,966 1,036 89 1,000 0,017 57,290 0,017
45 0,707 0,707 1,000 1,000 90 1,000 0,000  0,000