1
Miara Å‚ukowa kÄ…ta
Definicja MiarÄ… Å‚ukowÄ… kÄ…ta w kole o promieniu r nazywamy
stosunek długości łuku, na którym oparty jest ten kąt, do długości
promienia koła.
JednostkÄ… miary Å‚ukowej jest radian.
1
2Ä„r
Ä„
4
90ć% = rad = rad
r 2
1
2Ä„r
2
180ć% = rad = Ą rad
r
Ą 180ć%
1ć% = rad 1 rad =
180 Ä„
2
Kąty w układzie współrzędnych
Każda liczba rzeczywista może być traktowana jako miara łukowa
kÄ…ta.
3
Funkcje trygonometryczne
y x y x
sin Ä… = cos Ä… = tg Ä… = ctg Ä… =
r r x y
4
Definicja FunkcjÄ™ postaci y = sin x nazywamy funkcjÄ… sinus.
Dziedziną funkcji sinus jest zbiór liczb rzeczywistych (x " R), zbiorem
wartości funkcji sinus jest przedział domknięty [-1, 1] (y " [-1, 1]).
Funkcja sinus jest funkcjÄ… nieparzystÄ… i okresowÄ… o okresie podstawo-
wym T = 2Ä„.
5
Definicja FunkcjÄ™ postaci y = cos x nazywamy funkcjÄ… cosinus.
Dziedziną funkcji cosinus jest zbiór liczb rzeczywistych (x " R),
zbiorem wartości jest przedział domknięty [-1, 1] (y " [-1, 1]).
Funkcja cosinus jest funkcjÄ… parzystÄ… i okresowÄ… o okresie podstawo-
wym T = 2Ä„.
6
Definicja FunkcjÄ™ postaci y = tg x nazywamy funkcjÄ… tangens.

Ä„
Dziedziną funkcji tangens jest zbiór R + kĄ : k " Z , zbiorem
2
wartości funkcji tangens jest zbiór liczb rzeczywistych.
Funkcja tangens jest funkcjÄ… nieparzystÄ… i okresowÄ… o okresie podsta-
wowym T = Ä„.
7
Definicja FunkcjÄ™ postaci y = ctg x nazywamy funkcjÄ… cotangens.
Dziedziną funkcji cotangens jest zbiór R {kĄ : k " Z}, zbiorem
wartości funkcji cotangens jest zbiór liczb rzeczywistych.
Funkcja cotangens jest funkcjÄ… nieparzystÄ… i okresowÄ… o okresie podsta-
wowym T = Ä„.
8

Ä„
Definicja FunkcjÄ™ odwrotnÄ… do funkcji f : -Ä„, [-1, 1]
2 2
danej wzorem f(x) = sin x nazywamy funkcjÄ… arcsin (czyt. arkus
sinus).
îÅ‚ Å‚Å‚
Ä„ Ä„
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
arcsin : [-1, 1] - ,
2 2
9
Dziedziną funcji arcsin jest przedział domknięty [-1, 1] , przeciw-

Ä„
dziedziną przedział domknięty -Ą, .
2 2
Funkcja arcsin jest funkcjÄ… rosnÄ…cÄ… i nieparzystÄ….
y = sin x Ð!Ò! x = arcsin y
îÅ‚ Å‚Å‚
Ä„ Ä„
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
x " - , y " [-1, 1]
2 2
Przykład Oblicz:
"
2
" arcsin (-1)
" arcsin
2
2
10
Definicja FunkcjÄ™ odwrotnÄ… do funkcji f : [0, Ä„] [-1, 1]
danej wzorem f(x) = cos x nazywamy funkcjÄ… arccos (czyt. arkus
cosinus).
arccos : [-1, 1] [0, Ä„]
11
Dziedziną funcji arccos jest przedział domknięty [-1, 1] , przeciw-
dziedziną przedział domknięty [0, Ą] .
Funkcja arccos jest funkcjÄ… malejÄ…cÄ….
y = cos x Ð!Ò! x = arccos y
x " [0, Ä„] y " [-1, 1]
Przykład Oblicz:
"
" arccos 1
- 2
" arccos
2
12

Ä„
Definicja FunkcjÄ™ odwrotnÄ… do funkcji f : -Ä„, R danej
2 2
wzorem f(x) = tg x nazywamy funkcjÄ… arctg (czyt. arkus tangens).
ëÅ‚ öÅ‚
Ä„ Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
arctg : R - ,
2 2
13
Dziedziną funcji arctg jest zbiór liczb rzeczywistych, przeciwdziedziną

Ä„
przedział otwarty -Ą, .
2 2
Funkcja arctg jest funkcjÄ… rosnÄ…cÄ… i nieparzystÄ….
y = tg x Ð!Ò! x = arctg y
ëÅ‚ öÅ‚
Ä„ Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
x " - , y " R
2 2
Przykład Oblicz:
"
" arctg (-1)
" arctg 3
14
Definicja FunkcjÄ™ odwrotnÄ… do funkcji f : (0, Ä„) R danej
wzorem f(x) = ctg x nazywamy funkcjÄ… arcctg (czyt. arkus tangens).
arcctg : R (0, Ä„)
15
Dziedziną funcji arcctg jest zbiór liczb rzeczywistych, przeciwdziedziną
przedział otwarty (0, Ą) .
Funkcja arcctg jest funkcjÄ… malejÄ…cÄ….
y = ctg x Ð!Ò! x = arcctg y
x " (0, Ä„) y " R
Przykład Oblicz:
"
" arcctg (-1)
" arcctg 3
16
Przykład Wyznaczyć dziedzinę i przeciwdziedzinę oraz narysować
wykres funkcji:
Ä„
" y = arcsin (3x - 6) - Ä„ " y = 2arcctg (x + 1) -
2
Przykład Rozwiąż równanie lub nierówność:
2 - x
arccos = Ä„
3
1
arctg arctg 9x
x
Przykład Wyznaczyć dziedzinę i przeciwdziedzinę oraz narysować
wykres funkcji:
" y = sin(arcsin x) " y = arcsin (sin x)
17
Podstawowe związki między funkcjami cyklometrycznymi
Dla każdego x " [-1, 1] zachodzi:
Ä„
arcsin x = - arcsin (-x) = - arccos x
2
Dla każdego x " R zachodzi:
Ä„
arctg x = - arctg (-x) = - arcctg x
2
18
Funkcje elementarne
Definicja PodstawowÄ… funkcjÄ… elementarnÄ… nazywamy funkcjÄ™
stałą, potęgową, wykładniczą, logarytmiczną, trygonometryczną lub
cyklometryczną. Funkcję, którą można otrzymać z podstawowych
funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmety-
cznych oraz operacji złożenia funkcji, nazywamy funkcją elementarną.
Przykład Następujące funkcje są funkcjami elementarnymi:
4x2 - 1
" f(x) = 3x9 - x2, f(x) =
x5 + 5
"
3
" f(x) = 3x2 + 1, f(x) = log2(x + 3)
" f(x) = sin(arctg x + 1)
ex - e-x ex + e-x
" sh x = , ch x =
2 2
19
Przykład Uzasadnić, że funkcja f : R [0, +"] dana wzorem
f(x) = |x| jest funkcjÄ… elementarnÄ….
Przykład Przykłady funkcji nieelementarnych:
" Funkcja  signum :
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 1 x > 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
sgn x =
ôÅ‚ 0 x = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ -1 x < 0
ół
" Funkcja  część całkowita :
z(x) = k jeżeli x " [k, k + 1), k " Z
20
" Funkcja Dirichleta:
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1 x " Q
ôÅ‚
òÅ‚
D(x) =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
0 x " R Q
ôÅ‚
ół