Metody opracowania danych
Sprawozdanie z zadania domowego
Tomasz Serwa
Tomasz Bojarski
Dane:
Zestaw VII - Bierzemy pod uwagę tylko po 20 rekordów z każdej próby.
Zestaw VII
140,0566381 139,7396642
155,3835788 147,1591231
150,4254576 143,335536
149,8817265 157,4528268
146,1154445 142,2276423
146,2669442 146,3767614
141,1000029 152,0204944
143,7592555 139,1919666
156,198041 156,8113754
139,7264997 159,8951388
153,6021043 146,9131223
147,2266258 146,1618707
146,5666963 154,2979078
147,1911003 147,1888451
151,9193562 149,314915
152,0476147 148,6115681
149,1666863 154,9105305
151,3050653 150,702037
149,4339349 157,2096045
148,1426994 150,9595392
1. Sprawdzić, czy obie próby pochodzą z jednej populacji.
2. Zbadać losowość próby (pojedynczej czy połączonej  w zależności od wyniku
zadania 1).
3. W zależności od wyników zadania 1, znalez
ć podstawowe charakterystyki liczbowe z
próby (średnia, odchylenie standardowe).
4. Przedziałowo oszacować średnią i wariancję dla poziomu ufności 0,95.
5. zweryfikować hipotezę, że dane są opisane rozkładem normalnym N(150,5), przy
poziomie istotności 0,05
6. Znalez
ć prostoliniową funkcję regresji (przyjmując xi=1 do 40, yi  wartości w próby).
1. Sprawdzić czy obie próby należą do tej samej populacji.
Korzystamy z testu serii:
A  Liczby z pierwszej próby
B  Liczby z drugiej próby
B
139,1919666
A
139,7264997
B
139,7396642
A
140,0566381
A
141,1000029
B
142,2276423
B
143,335536
A
143,7592555
A
146,1154445
B
146,1618707
A
146,2669442
B
146,3767614
A
146,5666963
B
146,9131223
B
147,1591231
B
147,1888451
A
147,1911003
A
147,2266258
A
148,1426994
B
148,6115681
A
149,1666863
B
149,314915
A
149,4339349
A
149,8817265
A
150,4254576
B
150,702037
B
150,9595392
A
151,3050653
A
151,9193562
B
152,0204944
A
152,0476147
A
153,6021043
B
154,2979078
B
154,9105305
A
155,3835788
A
156,198041
B
156,8113754
B
157,2096045
B
157,4528268
B
159,8951388
K- liczba serii = 23
Korzystamy z tabeli  Wartości krytyczne rozkładu serii
Szukamy Ką
Próby po 20 więc z serii prób wynika, że dla poziomu ufności ą= 0,05 ką=15
K= 23 > Ką= 15
Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0. Stwierdzamy, że obie próby pochodzą z tej
samej populacji.
2. Zbadać losowość próby.
Do wykonania tego zadania wykorzystamy test serii. Wiemy już, że próby są z jednej
populacji. Więc, wykorzystamy Model I. Stawiamy hipotezę, że obie próby są losowe.
Mediana wynosi: 148,8891272. W poniższej tabeli, każdej wartości mniejszej od mediany
przypisujemy symbol A, a każdej wartości większej symbol B.
140,0566381 A 139,7397 A
155,3835788 B 147,1591 A
150,4254576 B 143,3355 A
149,8817265 B 157,4528 B
146,1154445 A 142,2276 A
146,2669442 A 146,3768 A
141,1000029 A 152,0205 B
143,7592555 A 139,192 A
156,198041 B 156,8114 B
139,7264997 A 159,8951 B
153,6021043 B 146,9131 A
147,2266258 A 146,1619 A
146,5666963 A 154,2979 B
147,1911003 A 147,1888 A
151,9193562 B 149,3149 B
152,0476147 B 148,6116 A
149,1666863 B 154,9105 B
151,3050653 B 150,702 B
149,4339349 B 157,2096 B
148,1426994 A 150,9595 B
Ilość serii K=20, ą=0,05
Korzystając z tablic:  Wartości krytyczne rozkładu serii odczytujemy:
K1= 14
K2= 27
WNIOSEK:
Sprawdzamy hipotezę:
K1 < K < K2
14<20<27
Jako, że k zawiera się w powyższym przedziale nie mamy podstaw do odrzucenia naszej
hipotezy i tym samym stwierdzamy, że próba jest losowa.
3. Znalez
ć podstawowe charakterystyki liczbowe z próby.
Parametr Wartość
Średnia arytmetyczna 148,9
Mediana 148,889
Odchylenie
5,33
standardowe
Wariancja 28,404
4. Przedziałowo oszacować średnią i wariancję dla poziomu ufności
0,95.
W tym zadaniu zastosujemy przedział ufności dla średniej - MODEL III.
Dzielimy próby na przedziały
nj  liczba prób
xj  wartości prób
xjsr  wartośd środkowa przedziału
xśr  średnia
h  wielkośd przedziałów: 2
nj
xj xjsr xjsr * nj (xjsr-xśr)2 nj * (xjsr-xśr)2 xśr
139 - 141 4 140 560 80,77515625 323,100625 148,9875
141 - 143 2 142 284 48,82515625 97,6503125 148,9875
143 - 145 2 144 288 24,87515625 49,7503125 148,9875
145 - 147 6 146 876 8,92515625 53,5509375 148,9875
147 - 149 6 148 888 0,97515625 5,8509375 148,9875
149 - 151 7 150 1050 1,02515625 7,17609375 148,9875
151 - 153 4 152 608 9,07515625 36,300625 148,9875
153 - 155 3 154 462 25,12515625 75,37546875 148,9875
155 - 157 3 156 468 49,17515625 147,5254688 148,9875
157 - 160 3 158,5 475,5 90,48765625 271,4629687 148,9875
Ł 40 5959,5 1067,74375
Obliczenia:
xśr = �jnj/nj = 148,9875
s2 = (�j-xśr)2nj /nj =26,6936
pop do s2: h^2/12= 0,3333
s2pop = s2-pop= 26,3603
s= pierwiastek(s2pop)= 5,1342
Z tablicy Funkcji Laplace'a dla 1-ą=0,95; uą=1,96
Podstawiając do wzoru:
�� s s ��
P��x -� ua� �� <� m <� x +� ua� �� =� 1-�a�
ż�
n n
�� ��
Otrzymujemy: 147,396 < m < 150,579
WNIOSEK: Przedział liczbowy o końcach 147,396 i 150,579 obejmuje z ufnością 0,95
prawdziwą średnią m w populacji.
Zastosujemy przedział ufności dla wariancji - MODEL II.
Dane z poprzedniego podpunktu.
Podstawiając do wzoru:
�� ��
�� ��
s s
�� ��
P�� <� s� <� � 1-� a�
ua� ż�
��1+� ua� ��
1-�
�� ��
2n 2n
�� ��
Otrzymujemy : 4,2114 < � < 6,575
WNIOSEK:
Z ufnością ą=0,95 przedział liczbowy o końcach 4,2114 i 6,575 obejmuje odchylenie
standardowe �.
5. Zweryfikować hipotezę, że dane są opisane rozkładem normalnym
N(150,5), przy poziomie istotności 0,05.
Zastosujemy test dla wartości średniej populacji- MODEL III.
Dane z poprzedniego zadania. uą=1,96
Hipoteza: H0: m0=150;
H1: m0<150.
Podstawiamy do wzoru :
x -� m0
u =� n
s
Otrzymujemy: u = -1,244 < uą = 1,96
WNIOSEK:
Wartość u znalazła się w obszarze krytycznym, więc hipotezę H0 należy odrzucić na korzyść
alternatywnej H1. Oznacza to, że z prawdopodobieństwem błędu mniejszym niż 0,05 możemy
twierdzić, że m0 jest niższe.
6. Znalez
ć prostoliniową funkcję regresji (przyjmując xi=1 do 40, yi 
wartości w próbie).
n n
-� x)�(�yi -� y)� yi -� nxy
��(�xi ��xi
i=�1 i=�1
a =� =�
2 n
n
2
-� nx2
-� x)� ��xi
��(�xi
i=�1
i=�1
b =� y -� ax
~
P{�w
i -� tg� sw
<� y <� w
i +� tg� sw
}�=� 1-�g�
i i
2
1 (�xi -� x)�
sw
=� sr +�
n
i
n
2
-� x)�
��(�xi
i=�1
n
1
2
sr =� -� w
i)�
��(�yi
n -� 2
i=�1
xi yi xi - xśr yi - yśr (xi-xśr)(yi-yśr) (xi-xsr)2 (yi - yśr)2
1 139,1919666 -19,5 -9,707931878 189,3046716 380,25 94,24394135
2 139,7264997 -18,5 -9,173398816 169,7078781 342,25 84,15124584
3 139,7396642 -17,5 -9,160234313 160,3041005 306,25 83,90989267
4 140,0566381 -16,5 -8,843260362 145,913796 272,25 78,20325383
5 141,1000029 -15,5 -7,79989565 120,8983826 240,25 60,83837215
6 142,2276423 -14,5 -6,672256229 96,74771532 210,25 44,51900319
7 143,335536 -13,5 -5,564362536 75,11889424 182,25 30,96213043
8 143,7592555 -12,5 -5,140643013 64,25803766 156,25 26,42621059
9 146,1154445 -11,5 -2,784454027 32,02122131 132,25 7,753184228
10 146,1618707 -10,5 -2,738027794 28,74929184 110,25 7,496796201
11 146,2669442 -9,5 -2,632954349 25,01306632 90,25 6,932448604
12 146,3767614 -8,5 -2,523137079 21,44666517 72,25 6,366220719
13 146,5666963 -7,5 -2,333202165 17,49901624 56,25 5,443832343
14 146,9131223 -6,5 -1,986776203 12,91404532 42,25 3,947279681
15 147,1591231 -5,5 -1,740775438 9,574264909 30,25 3,030299126
16 147,1888451 -4,5 -1,711053396 7,699740282 20,25 2,927703724
17 147,1911003 -3,5 -1,708798191 5,980793669 12,25 2,919991258
18 147,2266258 -2,5 -1,673272723 4,183181807 6,25 2,799841606
19 148,1426994 -1,5 -0,757199091 1,135798637 2,25 0,573350463
20 148,6115681 -0,5 -0,288330391 0,144165196 0,25 0,083134414
21 149,1666863 0,5 0,266787793 0,133393896 0,25 0,071175726
22 149,314915 1,5 0,415016469 0,622524703 2,25 0,17223867
23 149,4339349 2,5 0,534036379 1,335090947 6,25 0,285194854
24 149,8817265 3,5 0,981828039 3,436398136 12,25 0,963986298
25 150,4254576 4,5 1,525559055 6,865015748 20,25 2,32733043
26 150,702037 5,5 1,802138541 9,911761976 30,25 3,247703321
27 150,9595392 6,5 2,059640664 13,38766432 42,25 4,242119665
28 151,3050653 7,5 2,405166834 18,03875126 56,25 5,784827499
29 151,9193562 8,5 3,019457673 25,66539022 72,25 9,117124639
30 152,0204944 9,5 3,120595887 29,64566093 90,25 9,73811869
31 152,0476147 10,5 3,147716245 33,05102057 110,25 9,908117559
32 153,6021043 11,5 4,702205804 54,07536675 132,25 22,11073942
33 154,2979078 12,5 5,398009336 67,4751167 156,25 29,13850479
34 154,9105305 13,5 6,010631984 81,14353178 182,25 36,12769685
35 155,3835788 14,5 6,483680278 94,01336403 210,25 42,03810995
36 156,198041 15,5 7,298142488 113,1212086 240,25 53,26288378
37 156,8113754 16,5 7,911476866 130,5393683 272,25 62,5914662
38 157,2096045 17,5 8,309705996 145,4198549 306,25 69,05121374
39 157,4528268 18,5 8,552928251 158,2291726 342,25 73,15258167
40 159,8951388 19,5 10,9952403 214,4071858 380,25 120,8953092
820 5955,995941 2389,131569 5330 1107,754575
xśr= 20,5
yśr = 148,8998985
a= 0,44824
b= 139,71098
y=0,44824x + 139,71098
sr2= 29,15144
sr= 5,39921
ą= 0,05
tł=2,026
1/n= 0,025
Podstawiając do wzoru (model II ) :
�� ��
�� ��
sr sr
�� ��
P��a -� tg� n <� a� <� a +� tg� n =� 1-� g�
ż�
2 2
�� ��
-� x)� -� x)�
��(�xi ��(�xi
�� ��
i=�1 i=�1
�� ��
Otrzymujemy : 0,44619 < a� < 0,45029