Metody numeryczne - opracowanie
Wyznacznik macierzy trójkątnej = iloczyn elementów na przekątnej
Układ oznaczony  jedno rozwiązanie
Układ nieoznaczony  wiele rozwiązao
Układ sprzeczny  brak rozwiązao
Błąd wejściowy  niedokładne wartości wsp.
Błąd zaokrągleo  błąd podczas działao
Błąd metody  błąd wyboru metody (charakterystyczny dla danej metody)
Własności normy:
||x||>0
||x||=||||||x||
||x+y||<=||x||+||y||
Normy w Rn:
||x||1=Ł|xn|
||x||2=(Łxn2)0.5
||x||inf=max{ Ł|xn|}
||x||inf<=||x||2<=||x||1
Normy wykorzystywane są do analizy błędów oraz określenia współczynnika uwarunkowania
macierzy cond(A)=||A||*||A-1||
Układy liniowe:
Dokładne metody rozwiązywania układów równao liniowych:
Metoda podstawiania
Przeciwnych współczynników
Wzory Cramera
Eliminacja Gaussa
Metody wykorz. Rozkład mac. A
Metody przybliżone:
 Iteracji prostej
Gaussa-seidela
Nadrelaksacji
Czebyszewa
Richardsona
Iteracja prosta:
X(k+1)=W*Xk+Z //W-glowne wartości w równaniu, Z po znaku =
Gaussa-Seidela:
X(k+1)=Wu*Xk+Wl*X(k+1)+Z
- jeśli macierz jest dominująca przekątniowo to ciąg zbieżny do rozwiązania, jeśli nie to niekoniecznie
(obie powyższe metody).
Metody dokładne:
Skooczona liczba działao
Mało obliczeo
Dużo pamięci
Brak błędu metody, za to zaokrągleo
Eliminacja Gaussa:
Element podstawowy  element którym eliminujemy zmienną z innych równao (modyfikacja 
element ktej macierzy w katej kolumnie o największym module)
Rozkład LU  rozkład na macierz dolna i górą A=L*U rozkład LU jeśli minory główne są nieosobliwe
Metody przybliżone:
Ciąg rozwiązao zbieżny
Obliczenia przerywamy gdy któryś warunek
Dla dużych układów szybsze niż dokładne
Efektywne dla układów rzadkich
Stabilne  im więcej iteracji tym mniejsze błędy
Jeśli A jest dominująca przekątniowo to metodami iteracji prostej i Gaussa-seidela otrzymujemy ciąg
zbieżny, jeśli nie to niekoniecznie.
Równania nieliniowe:
Metody rozwiązywania:
Połowienia
Regula falsi
Siecznych
Stycznych
Iteracyjne
f(a)*f(b)<0  to wiemy że jest rozwiązanie
zatrzymanie algorytmów:
f(x) < cos
x1-x2 < cos
liczba iteracji > cos
regula falsi:
lecimy do punktu stałego prostą i miejsce przecięcia z osia X sprawdzamy, jak==0 to ok. jak nie to
sprawdzamy f(x) i od tego nowa linia
siecznych:
na początku lecimy od f(a) do f(b) póz
niej od nowo wyznaczonych xow (nowe xy są z przecięcia z osią
X), pierwszy krok jak falsi
założenia do metod siecznych i regula falsi:
ma tylko 1 pierwiastek
f(a)f(b)<0
ciągła
f i f  mają stały znak na przedziale
metoda stycznych:
zaczynamy od f(b) i dajemy styczną, nowy punkt wyznaczany na podstawie przecięcia z osią X i znów
styczna
założenia do metody stycznych:
3 jak wcześniej
f !=0
f  stały znak
rozwiązanie istnieje:
jeśli f jest ciągła w prostokącie ą x � to rozwiązanie jest x(t):
Jeśli f i iloraz różniczek są ciągłe to zagadnienie ma jednoznaczne rozwiązanie (zamiast <= to <)
Jeśli:
|f(x,y1)  f(x,y2)| <=L|y1  y2|
To zagadnienie =f(x,y) y(a)=ą
Ma w przedziale jednoznaczne rozwiązanie.
Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego: rozwiązanie zawierające n stałych, na które można dad
n warunków początkowych (metody analityczne).
Rozwiązanie szczególne: jeśli dla n stałych ustalimy ich wartości (metody analityczne, numeryczne i
eksperymentalne).
Wzór Taylora:
Metody Eulera
rzędu pierwszego
nie trzeba różniczkowad
małe h
�(x,y)=f(x,y)="y/"x
Metody Rungego-Kutty:
a,b,w  stałe
Metody wielokrokowe:
Całkujemy obie strony równania.
Metoda jawna (ekstrapolacyjna) jeśli b0=0, w przeciwnym wypadku niejawna
(uwikłana/interpolacyjna).
Obliczanie pochodnych:
Wzór dwupunktowy:
Wzór trójpunktowy (centralna):
Wzór pięciopunktowy: ***
Wzór trójpunktowy:
Całkowanie numeryczne:
h=b-a/n
Metoda prostokątów:
Metoda trapezów:
Metoda parabol (Simpsona):
Aproksymacja: ustalenie funkcji która najlepiej przybliża funkcję rzeczywistą.
Funkcja aproksymowana musi spełniad warunki, np:
||f(x)-F(x)||
Aproksymacja:
Punktowa (punkty)
Integralna (przedział)
Rodzaje aproksymacji:
Wielomianowa
Za pomocą szeregów
Wielomianów ortogonalnych
Trygonometryczna
Funkcji sklejanych
Funkcjami wymiernymi
ck=Ł(y*P)
sk=Ł(P^2)
bk=ck/sk
ekstrapolacja  przybliżenie poza przedziałem (dla jednego punktu):
Interpolacja:
Funkcja wyznaczona, która przyjmuje określone wartości w węzłach (przechodzi przez podane punkty
x,y)
Funkcje interpolujące:
Wielomiany algebraiczne
Wielomiany trygonometryczne
Wielomiany ortogonalne
Funkcje sklejające
Macierz Vandermonde a:
1 x0 x0^2 & x0^n
1 x1 x1^2 & x1^n
& & & & &
1 xn xn^2 & xn^n
V- macierz Vandermonde a
A- Wektor współczynników
Y- wektor wartości funkcji
V*A=Y
Jeśli det(V)!=0 to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie
Iloraz różnicowy:
f[x0,x1]=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)
Dla funkcji sklejanej k-1 pochodna musi byd ciągła.
Naturalna funkcja sklejana: funkcja sklejana stopnia 2k-1 jeśli w przedziałach poza węzłami jest
dana wielomianem stopnia k-1.
Jeśli węzły są różnowartościowe to istnieje dokładnie jedna funkcja sklejana interpolująca.