ÿþM e t o d y n u m e r y c z n e
E i T 2 0 0 9 / 2 0 1 0
S p r a w y o r g a n i z a c y j n e
Ï%
d r W o j c i e c h T y l m a n , K a t e d r a M i k r o e l e k t r o n i k i i
T e c h n i k I n f o r m a t y c z n y c h P A
Ï%
B 1 8 , I p . , p . 5 6
Ï%
w w w . d m c s . p . l o d z . p l
Ï%
t y l @ d m c s . p . l o d z . p l
Ï%
g o d z i n y p r z y j : W W W
T e m a t y k a
Ï%
M e t o d y r o z w i z y w a n i a r ó w n a D p r z e z n a c z o n e
d o i m p l e m e n t a c j i k o m p u t e r o w e j
Ï%
Z a g a d n i e n i a z w i z a n e z o b l i c z e n i a m i
n u m e r y c z n y m i p r z e p r o w a d z a n y m i n a
w s p ó Bc z e s n y c h k o m p u t e r a c h
L i t e r a t u r a
Ï%
L e o n O . C h u a , P e n - M i n L i n K o m p u t e r o w a
a n a l i z a u k Ba d ó w e l e k t r o n i c z n y c h : a l g o r y t m y i
m e t o d y o b l i c z e n i o w e , W y d a w n i c t w a N a u k o w o -
T e c h n i c z n e , W a r s z a w a 1 9 8 1
Ï%
Z e n o n F o r t u n a , B o h d a n M a c u k o w , J a n u s z
W s o w s k i M e t o d y n u m e r y c z n e , W y d a w n i c t w a
N a u k o w o - T e c h n i c z n e , W a r s z a w a 2 0 0 6
O r g a n i z a c j a z a j
Ï%
W y k Ba d : 1 5 h ( 2 h c o t y d z i e D, p ó B s e m e s t r u )
Ï%
w i c z e n i a : 1 5 h ( 1 h c o t y d z i e D)
Ï%
L a b o r a t o r i u m : 1 5 h ( 2 h c o d r u g i t y d z i e D)
Ï%
Z a l i c z e n i e p r z e d m i o t u : z a l i c z e n i e w y k Ba d u ,
w i c z e D i l a b o r a t o r i u m , o c e n y b r a n e z t s a m
w a g
P l a n
Ï%
M e t o d y n u m e r y c z n e r o z w i z y w a n i a l i n i o w y c h u k Ba d ó w r ó w n a D ( 2 h )
Ï%
M e t o d y n u m e r y c z n e r o z w i z y w a n i a r ó w n a D n i e l i n i o w y c h i
n i e l i n i o w y c h u k Ba d ó w r ó w n a D ( 2 h )
Ï%
K o m p u t e r o w e o p r a c o w y w a n i e w y n i k ó w p o m i a r ó w ( i n t e r p o l a c j a ,
a p r o k s y m a c j a ) ( 1 h )
Ï%
A l g o r y t m y p r z e t w a r z a n i a s y g n a Bó w ( 1 h )
Ï%
O g r a n i c z e n i a i k o r z y [c i s y m u l a c j i k o m p u t e r o w e j ( 1 / 2 h )
Ï%
S y m u l a c j a i e k s p e r y m e n t k o m p u t e r o w y ( 1 / 2 h )
Ï%
O p r o g r a m o w a n i e d o o b l i c z e D i s y m u l a c j i i n |y n i e r s k i c h ( 4 h )
Ï%
Z a s a d y t w o r z e n i a s k r y p t ó w d o n a r z d z i p r o g r a m o w y c h ( 2 h )
Ï%
D o k u m e n t a c j a i n |y n i e r s k a ( 1 h )
Ï%
Z a l i c z e n i e ( 1 h )
M e t o d y n u m e r y c z n e r o z w i z y w a n i a
l i n i o w y c h u k Ba d ó w r ó w n a D
Ï%
M e t o d a e l i m i n a c j i G a u s s a
Ï%
M e t o d a r o z k Ba d u L U
a l g o r y t m C r o u t a
a l g o r y t m D o o l i t t l a
M e t o d a e l i m i n a c j i G a u s s a
Ï%
E f e k t y w n a m e t o d a r o z w i z y w a n i a u k Ba d ó w
r ó w n a D l i n i o w y c h
Ï%
W y m a g a w p r z y b l i |e n i u n 3 / 3 m n o |e D. N p . d l a
n = 1 0 d a j e t o 3 3 3 m n o |e D
Ï%
D l a p o r ó w n a n i a , m e t o d C r a m e r a w y m a g a
w p r z y b l i |e n i u 2 ( n + 1 ) ! m n o |e D. D l a n = 1 0 d a j e
t o 7 9 8 3 3 6 0 0 m n o |e D
M e t o d a e l i m i n a c j i G a u s s a
A x = ¼
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ï" + a 1 n x n = µ
1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ï" + a 2 n x n = µ
2
î"
a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ï" + a n n x n = µ
n
1 . E l i m i n a c j a w p r z ó d
2 . P o d s t a w i e n i e w s t e c z
E t a p I : e l i m i n a c j a w p r z ó d
- a 2 1 - a 3 1
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + a 1 3 x 3 = µ × + × +
1
a 1 1 a 1 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + a 2 3 x 3 = µ
2
a 3 1 x 1 + a 3 2 x 2 + a 3 3 x 3 = µ
3
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + a 1 3 x 3 = µ
1
( 2
- a 3 2 )
( 2 ( 2 ( 2 )
a 2 2 ) x 2 + a 2 3 ) x 3 = µ × +
2
( 2
a 2 2 )
( 2 ( 2 ( 2 )
a 3 2 ) x 2 + a 3 3 ) x 3 = µ
3
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + a 1 3 x 3 = µ
1
( 2 ( 2 ( 2 )
a 2 2 ) x 2 + a 2 3 ) x 3 = µ
2
( 3 ( 3 )
a 3 3 ) x 3 = µ
3
a 1 1 a 1 2 a 1 3 x 1 µ
îø ùø îø ùø îø ùø
1
ïø ïø úø
( 2 ( 2 ( 2 )
0 a 2 2 ) a 2 3 ) úø ïø x 2 úø = µ
2
ïø úø ïø úø ïø úø
( 3 ( 3 )
ïø úø ïø úø ïø úø
0 0 a 3 3 ) ûø ðø x 3 ûø ðø µ
3
ðø ûø
E t a p I I : p o d s t a w i e n i e w s t e c z
( 3 )
µ
3
x 3 =
( 3
a 3 3 )
'"
îø1 ¼ùø
A r = [ A ¼] Ò!
ïø úø
ðø ûø
M e t o d a e l i m i n a c j i G a u s s a - p r z y k Ba d
( 1 )
2 6 1
1 3
Å"x =
1 2 2
3
[ ]
[ ]
4 6 8 8
M e t o d a e l i m i n a c j i G a u s s a - p r z y k Ba d
( 2 )
2 6 1 1 3
1 2 2 3
[ ]
4 6 8 8
M e t o d a e l i m i n a c j i G a u s s a - p r z y k Ba d
( 3 )
2 6 1 1 3
0 - 1 3 / 2 - 7 / 2
[ ]
0 - 6 6 - 1 8
M e t o d a e l i m i n a c j i G a u s s a - p r z y k Ba d
( 4 )
2 6 1 1 3
0 - 1 3 / 2 - 7 / 2
[ ]
0 0 - 3 3
M e t o d a e l i m i n a c j i G a u s s a - p r z y k Ba d
( 5 )
2 6 1 1 3
0 - 1 3 / 2 - 7 / 2
[ ]
0 0 1 - 1
M e t o d a e l i m i n a c j i G a u s s a - p r z y k Ba d
( 6 )
2 6 1 1 3
0 - 1 0 - 2
[ ]
0 0 1 - 1
M e t o d a e l i m i n a c j i G a u s s a - p r z y k Ba d
( 7 )
2 6 1 1 3
0 1 0 2
[ ]
0 0 1 - 1
M e t o d a e l i m i n a c j i G a u s s a - p r z y k Ba d
( 8 )
2 0 0 2
0 1 0 2
[ ]
0 0 1 - 1
M e t o d a e l i m i n a c j i G a u s s a - p r z y k Ba d
( 9 )
1 0 0 1
0 1 0 2
[ ]
0 0 1 - 1
M e t o d a e l i m i n a c j i G a u s s a - p r z y k Ba d
( 1 0 )
1
x =
2
[ ]
- 1
M e t o d a e l i m i n a c j i G a u s s a
Ï%
P o d c z a s w y z n a c z a n i a r o z w i z a n i a n i e j e s t
w y z n a c z a n a m a c i e r z o d w r o t n a
Ï%
J e [l i z a c h o d z i p o t r z e b a w y z n a c z e n i a m a c i e r z y
o d w r o t n e j , m o |n a t o z r o b i z a p o m o c
e l i m i n a c j i G a u s s a p o p r z e z d o p i s a n i e d o
m a c i e r z y A m a c i e r z y j e d n o s t k o w e j i w y k o n a n i e
a l g o r y t m u j a k p o p r z e d n i o .
Ï%
W y m a g a t o n 3 m n o |e D
M e t o d a e l i m i n a c j i G a u s s a
Ï%
J e [l i p o d c z a s w y k o n y w a n i a a l g o r y t m u o k a |e
s i , |e e l e m e n t p r z e z k t ó r e g o o d w r o t n o [
n a l e |y m n o |y ( c z y l i d z i e l i p r z e z ) m a w a r t o [
0 ( l u b n a w e t w a r t o [ b e z w z g l d n b a r d z o m a B
w p o r ó w n a n i u z p o z o s t a By m i ) n a l e |y
p r z e p r o w a d z i z a m i a n w i e r s z y t a k , a b y
u z y s k a e l e m e n t o d u |e j w a r t o [c i . A b y
z a p e w n i d u | d o k Ba d n o [, n a l e |y z a w s z e
z a m i e n i a w i e r s z e ( m o |n a r ó w n i e | k o l u m n y )
p r z e d k a |d y m m n o |e n i e m .
M e t o d a e l i m i n a c j i G a u s s a - p r z y k Ba d
( 1 )
2 6 1
1 1
Å"x =
1 3 2
- 2
[ ]
[ ]
4 6 8
- 1 4
2 6 1 1 1
1 3 2 - 2
[ ]
4 6 8 - 1 4
M e t o d a e l i m i n a c j i G a u s s a - p r z y k Ba d
( 2 )
2 6 1 1 1
0 0 1 . 5 - 7 . 5
[ ]
0 - 6 6 - 3 6
2 6 1 1 1
0 - 6 6 - 3 6
[ ]
0 0 1 . 5 - 7 . 5
R o z k Ba d L U
A = L U
1 u i j ñ" 0
îø ùø îø ùø
ïø úø ïø úø
1 ñ"
ïø úø ïø úø
U =
L =
ïø úø ïø úø
ñ" ñ"
ïø ïø úø
0 1 úø l i j
ïø úø
ðø ûø
ðø ûø
M a c i e r z t r ó j k t n a g ó r n a
M a c i e r z t r ó j k t n a d o l n a
Z a s t o s o w a n i e r o z k Ba d u L U
( a )
A x = L U x = ¼
L y = ¼
Ó!
( b )
U x = y U x = y
A l g o r y t m C r o u t a
a 1 1 a 1 2 a 1 3 l 1 1 0 0 1 u 1 2 u 1 3
îø ùø îø ùø îø ùø
ïø ïø úø ïø
a 2 1 a 2 2 a 2 3 úø = l 2 1 l 2 2 0 0 1 u 2 3 úø
ïø úø ïø úø ïø úø
ïø úø ïø úø ïø úø
a 3 1 a 3 2 a 3 3 ûø ðø l 3 1 l 3 2 l 3 3 ûø ðø 0 0 1
ðø ûø
Q = L + U - 1
l 1 1 u 1 2 u 1 3
îø ùø
ïø
Q = l 2 1 l 2 2 u 2 3 úø
ïø úø
ïø úø
l 3 1 l 3 2 l 3 3 ûø
ðø
A l g o r y t m C r o u t a
2
îø ùø
ïø úø
1 4
ïø úø
Q =
ïø úø
3
ïø
5 ï"úø
ðø ûø
i - 1
ëø öø
u i j = a i j - l i k u k j l i i d l a i < j
ìø ÷ø
"
íø k = 1 øø
j - 1
l i j = a i j - l i k u k j d l a i e" j
"
k = 1
R o z k Ba d L U - p r z y k Ba d
2 6 1
A =
1 2 2
[ ]
4 6 8
2 6 1
Q =
1 2 2
[ ]
4 6 8
R o z k Ba d L U - p r z y k Ba d
2 3 1 / 2
Q =
1 2 2
[ ]
4 6 8
R o z k Ba d L U - p r z y k Ba d
2 3 1 / 2
Q =
1 - 1 2
[ ]
4 - 6 8
R o z k Ba d L U - p r z y k Ba d
2 3 1 / 2
Q =
1 - 1 - 3 / 2
[ ]
4 - 6 8
R o z k Ba d L U - p r z y k Ba d
2 3 1 / 2
Q =
1 - 1 - 3 / 2
[ ]
4 - 6 - 3
R o z k Ba d L U - p r z y k Ba d
2 0 0
L =
1 - 1 0
[ ]
4 - 6 - 3
R o z k Ba d L U - p r z y k Ba d
1 3 1 / 2
U =
0 1 - 3 / 2
[ ]
0 0 1
R o z k Ba d L U - p r z y k Ba d
2 0 0
1 3
Å"y =
1 - 1 0
3
[ ]
[ ]
4 - 6 - 3 8
R o z k Ba d L U - p r z y k Ba d
2 0 0
1 3
Å"y =
1 - 1 0
3
[ ]
[ ]
4 - 6 - 3 8
2 0 0 1 3
1 - 1 0 3
[ ]
4 - 6 - 3 8
R o z k Ba d L U - p r z y k Ba d
1 0 0 1 3 / 2
1 - 1 0 3
[ ]
4 - 6 - 3 8
1 0 0 1 3 / 2
0 - 1 0 - 7 / 2
[ ]
0 - 6 - 3 - 1 8
R o z k Ba d L U - p r z y k Ba d
1 0 0 1 3 / 2
0 1 0 7 / 2
[ ]
0 - 6 - 3 - 1 8
1 0 0 1 3 / 2
0 1 0 7 / 2
[ ]
0 0 - 3 3
R o z k Ba d L U - p r z y k Ba d
1 0 0 1 3 / 2
0 1 0 7 / 2
[ ]
0 0 1 - 1
1 3 1 / 2
1 3 / 2
Å"x =
0 1 - 3 / 2
7 / 2
[ ]
[ ]
0 0 1 - 1
R o z k Ba d L U - p r z y k Ba d
1 3 1 / 2 1 3 / 2
0 1 - 3 / 2 7 / 2
[ ]
0 0 1 - 1
1 3 0 7
0 1 0 2
[ ]
0 0 1 - 1
R o z k Ba d L U - p r z y k Ba d
1 0 0 1
0 1 0 2
[ ]
0 0 1 - 1
1
x =
2
[ ]
- 1
A l g o r y t m D o o l i t t l e a r o z k Ba d u L U
D a n a j e s t m a c i e r z A . W y z n a c z a m y Q :
1 . P r z e p i s z d o Q p i e r w s z k o l u m n z A
2 . W 1 - s z y m w i e r s z u d z i e l e l . n i e d i a g o n a l n e p r z e z d i a g .
3 . O d e l e m e n t u o w s k . ( i , j ) { d l a i > 1 , j > 1 } o d e j m i j
i l o c z y n e l e m e n t ó w o w s k . ( i , 1 ) i ( 1 , j )
4 . J e |e l i l i c z b a _ k o l u m n ( w i e r s z y ) > = 2 o z n a c z t
p o d m a c i e r z j a k o A , i d z d o 1
5 . S T O P
A l g o r y t m D o o l i t t l e a r o z k Ba d u L U -
p r z y k Ba d
2 2 - 4 2 1 - 2 2 1 - 2 2 1 - 2
îø ùø îø ùø îø ùø îø ùø
k r . 1 i 2 k r . 3
ïø ïø ïø ïø
A = 4 6 - 1 2 úø Ò! 4 6 - 1 2 úø Ò! 4 6 - 4 Å"1 - 1 2 + 4 Å" 2 úø = 4 2 - 4 úø
ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø
ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø
4 3 2 4 3 2 4 3 - 4 Å"1 2 + 4 Å" 2 4 - 1 1 0
ðø ûø ðø ûø ðø ûø ðø ûø
2 1 - 2 2 1 - 2 2 1 - 2
îø ùø îø ùø îø ùø
k r . 1 i 2 k r . 3
ïø ïø úø ïø
Ò! 4 2 - 2 úø Ò! 4 2 - 2 = 4 2 - 2 úø = Q
ïø úø ïø úø ïø úø
ïø úø ïø úø ïø úø
4 - 1 1 0 4 - 1 1 0 - 2 Å"1 ûø ðø 4 - 1 8
ðø ûø ðø ûø
M e t o d a i t e r a c j i p r o s t e j
( m e t o d a p u n k t u s t a Be g o )
1
D l a r ó w n a n i a
x = 4 - 2 x 3 = F ( x ) s z u k a m y x = x *
s p e Bn i a j c e g o t o r ó w n a n i e
( x * = 1 , 6 4 1 )
O g ó l n a p o s t a :
F ( x ) = x
P r z y j m u j c n p . x 0 = 1 0 m a m y F ( x 0 ) = - 0 , 3 0 8 9 `" x 0 , a l e j e s t t o
b l i |e j s z u k a n e g o r o z w i z a n i a . P r z y j m u j c x 1 = F ( x 0 ) m a m y
F ( x 1 ) = 5 , 3 5 1 9 = x 2 . D a l e j F ( x 2 ) = 0 , 5 0 1 6 = x 3 i t d . :
x 4 = 2 , 4 1 0 9 x 8 = 1 , 6 7 8 5 x 1 2 = 1 , 6 4 3 0 x 1 6 = 1 , 6 4 1 1
x 5 = 1 , 3 1 8 2 x 9 = 1 , 6 2 3 1 x 1 3 = 1 , 6 4 0 0 x 1 7 = 1 , 6 4 0 9
x 6 = 1 , 8 0 7 1 x 1 0 = 1 , 6 4 9 6 x 1 4 = 1 , 6 4 1 4 x 1 8 = 1 , 6 4 1 0
x 7 = 1 , 5 6 3 9 x 1 1 = 1 , 6 3 6 9 x 1 5 = 1 , 6 4 0 8 x 1 9 = 1 , 6 4 1 0
M e t o d a i t e r a c j i p r o s t e j
( m e t o d a p u n k t u s t a Be g o )
A l g o r y t m :
W y b i e r z w a r t o [ p o c z t k o w x 0
x 1 = F ( x 0 )
x 2 = F ( x 1 )
x 3 = F ( x 2 )
î"
x n + 1 = F ( x n )
J e |e l i S T O P
x n + 1 - x n d" µ
M e t o d a i t e r a c j i p r o s t e j -
i n t e r p r e t a c j a g e o m e t r y c z n a
y
y = x
F ( x )
x 0
x 1 = y 1 x
x 2
x *
y 1
M e t o d a i t e r a c j i p r o s t e j - b r a k
z b i e |n o [c i
y
y = x
x 0
x * x
F ( x )
M e t o d a i t e r a c j i p r o s t e j - p u n k t
n i e o s i g a l n y
C
y
F ( x )
B
x *
A
x
x 0 2
x 0 1
x 0 3
y = x
M e t o d a i t e r a c j i p r o s t e j
d l a u k Ba d u r ó w n a D
x = F ( x )
x k + 1 = F ( x k ) , k = 0 , 1 , 2 , ï"
l i m x = x *
k ’! "
M e t o d a N e w t o n a - R a p h s o n a
C h c e m y r o z w i z a r ó w n a n i e :
( a )
f ( x ) = 0
P o t r z e b u j e m y t a k i e g o F ( x ) , d l a k t ó r e g o r o z w i z a n i e x *
r ó w n a n i a F ( x ) = x j e s t j e d n o c z e [n i e r o z w i z a n i e m ( a )
M e t o d a N e w t o n a - R a p h s o n a
M o |n a n p . p r z y j :
( b )
F ( x ) = x - K ( x ) f ( x )
g d z i e K ( x ) j e s t d o w o l n m a c i e r z n x n
W t e d y r ó w n a n i e m a p o s t a :
x - K ( x ) f ( x ) = x
K a |d e x * , k t ó r e j e s t r o z w i z a n i e m r ó w n a n i a ( a ) , j e s t p u n k t e m
s t a By m F ( x ) , p o n i e w a |:
*
L =
P = L = P
F ( x * ) = x * - K ( x * ) 0 = x * X
M e t o d a N e w t o n a - R a p h s o n a
J e d n o c z e [n i e , j e |e l i x = x * j e s t p u n k t e m s t a By m d l a
F ( x ) i j e |e l i K ( x ) j e s t m a c i e r z n i e o s o b l i w d l a
d o w o l n e g o p u n k t u s t a Be g o F ( x ) , t o x * j e s t
r o z w i z a n i e m r ó w n a n i a f ( x ) = 0
x * = x * - K ( x * ) f ( x * )
K ( x * ) f ( x * ) = 0 " K - 1 ( x * ) Ò! f ( x * ) = 0
M e t o d a N e w t o n a - R a p h s o n a
P r o c e s z b i e |n o [c i z a l e |e b d z i e o d p r z y j t e j m a c i e r z y K .
M o |n a n p . p r z y j :
K ( x ) = J - 1 ( x )
" f 1 ( x ) " f 1 ( x ) " f 1 ( x )
îø ùø
ï"
ïø
" x 1 " x 2 " x n úø
ïø úø
" f 2 ( x ) " f 2 ( x ) " f 2 ( x )
ïø úø
ï"
J ( x ) =
ïø úø
" x 1 " x 2 " x n
ïø úø
ï" ï" ï" ï"
ïø
" f n ( x ) " f n ( x ) " f n ( x ) úø
ï"
ïø úø
" x 1 " x 2 " x n ûø
ðø
M e t o d a N e w t o n a - R a p h s o n a
R ó w n a n i e ( b ) w p o s t a c i i t e r a c y j n e j :
( ) ( ) ( )
F x = x - K x f x = x
j j j j j + 1
J e s t t o r ó w n a n i e m e t o d y N e w t o n a - R a p h s o n a
M e t o d a N e w t o n a - R a p h s o n a
f ( x )
1
x ( 1 ) = x ( 0 ) - Å" f ( x ( 0 ) )
f ' ( x ( 0 ) )
f ( x ( 0 ) )
x *
x
±
x ( 0 )
[ f ( x ( 0 ) ) ] - 1 f ( x ( 0 ) )
x ( 1 )
x ( 0 )
M e t o d a N e w t o n a - R a p h s o n a
f ( x )
x 4 ( 0 )
x
x 1 ( 0 )
x 2 ( 0 )
x 3 ( 0 )
M e t o d a N e w t o n a - R a p h s o n a -
p r z y k Ba d
2 x 1 2 Ĉx 2
F žà x Ÿà=
F žà x Ÿà= 0
[ ]
x 1 Ĉ3 x 2 2
- 1
1
a b d - b
=
[ ] [ ]
a d - b c
c d - c a
M e t o d a N e w t o n a - R a p h s o n a -
p r z y k Ba d
2 x 1 2 Ĉx 2
F žà x Ÿà=
F žà x Ÿà= 0
[ ]
x 1 Ĉ3 x 2 2
4 x 1 1 1 6 x 2 - 1
J žà x Ÿà= J žà x Ÿà- 1 =
[ ] [ ]
2 4 x 1 x 2 - 1
1 6 x 2 - 1 4 x 1
1 6 x 2 - 1
x 1 - 2 x 1 2 Ĉx 2
x =
n a s t
[ ]
2 4 x 1 x 2 - 1
[ ] - 1 4 x 1 x 1 Ĉ3 x 2 2
x 2 [ ]
M e t o d a N e w t o n a - R a p h s o n a -
p r z y k Ba d
1
x 2 žà1 2 x 1 2 - 3 x 2 Ÿà
x =
n a s t
2 4 x 1 x 2 - 1
[ ]
x 1 žà1 2 x 2 2 - 2 x 1 Ÿà
- 0 . 5 8 7 6 2
- 0 . 4 3 6 7 9
- 1 0
x 5 =
x 0 = x 1 0 =
[ ] [ ] [ ]
- 1 0
- 0 . 5 2 5 2 2 - 0 . 3 8 1 5 7
- 5 . 1 2 7 1 4
- 0 . 4 6 8 8 3
x 1 =
x 6 =
[ ]
[ ]
- 5 . 0 8 5 4 5
- 0 . 4 1 1 3 8
- 2 . 6 9 1 8 5
- 0 . 4 3 8 9 2
- 5 . 5 5 1 1 e - 1 7
x =
x 7 =
2
F žà x 1 0 Ÿà=
[ ]
[ ]
- 2 . 6 3 0 9 5
[ ]
- 0 . 3 8 3 5 2
0
- 1 . 4 7 6 7 9
- 0 . 4 3 6 8 0
x =
x 8 =
3
[ ]
[ ]
- 1 . 4 0 9 0 3 - 0 . 3 8 1 5 8
- 0 . 8 7 5 1 8 - 0 . 4 3 6 7 9
x 9 =
x 4 =
[ ]
[ ]
- 0 . 3 8 1 5 7
- 0 . 8 0 8 0 3
A l g o r y t m N e w t o n a - R a p h s o n a d l a
u k Ba d u n r ó w n a D
f i ( x 1 , x 2 ï"x n ) = 0 i = 1 , 2 , ï" n
T
( (
p u n k t w j - t e j i t e r a c j i
[
x ( j ) = x 1 ( j ) x 2 j ) x n j ) ]
A l g o r y t m N e w t o n a - R a p h s o n a d l a
u k Ba d u n r ó w n a D
R o z w i j a m y f u n k c j w i e l u z m i e n n y c h
w s z e r e g T a y l o r a w o k ó B p u n k t u x ( j ) :
" f i ( x )
( ( (
f i ( x 1 , x 2 ï"x n ) = f i ( x 1 j ) , x 2 j ) , ï"x n j ) ) + ( x 1 - x 1 ( j ) ) +
j )
" x 1 x = x (
" f i ( x ) " f i ( x )
( (
+ ( x 2 - x 2 j ) ) + ï" + ( x n - x n j ) ) +
j ) j )
" x 2 x = x ( " x n x = x (
2
2
1 " f i ( x )
+ ( x 1 - x 1 ( j ) ) ï" d l a i = 1 , 2 , ï" n
2
x = x ( j )
2 ! " x 1
A l g o r y t m N e w t o n a - R a p h s o n a d l a
u k Ba d u n r ó w n a D
P o d s t a w i a m y x = x ( j + 1 ) :
" f i ( x )
( ( ( ( (
f i ( x 1 ( j + 1 ) , x 2 j + 1 ) ï"x n j + 1 ) ) = f i ( x 1 j ) , x 2 j ) , ï"x n j ) ) + ( x 1 ( j + 1 ) - x 1 ( j ) ) +
j )
" x 1 x = x (
" f i ( x ) " f i ( x )
( ( ( (
+ ( x 2 j + 1 ) - x 2 j ) ) + ï" + ( x n j + 1 ) - x n j ) ) +
j ) j )
" x 2 x = x ( " x n x = x (
2
2
1 " f i ( x )
+ ( x 1 ( j + 1 ) - x 1 ( j ) ) ï" d l a i = 1 , 2 , ï" n
2
x = x ( j )
2 ! " x 1
A l g o r y t m N e w t o n a - R a p h s o n a d l a
u k Ba d u n r ó w n a D
J e |e l i j e s t e [m y b l i s k o r o z w i z a n i a , p o m i j a m y
w y r a z y w y |s z y c h r z d ó w :
" f i ( x )
f i ( x ( j + 1 ) ) H" f i ( x ( j ) ) + ( x 1 ( j + 1 ) - x 1 ( j ) ) +
j )
" x 1 x = x (
" f i ( x ) " f i ( x )
( ( ( (
+ ( x 2 j + 1 ) - x 2 j ) ) + ï" + ( x n j + 1 ) - x n j ) )
j ) j )
" x 2 x = x ( " x n x = x (
d l a i = 1 , 2 , ï" n
A l g o r y t m N e w t o n a - R a p h s o n a d l a
u k Ba d u n r ó w n a D
J e |e l i x ( j + 1 ) j e s t j u | r o z w i z a n i e m n a s z e g o r ó w n a n i a ,
c z y l i f ( x ( j + 1 ) ) = 0 , t o :
J ( x ( j ) ) ( x ( j + 1 ) - x ( j ) ) = - f ( x ( j ) )
S y m u l a c j a i e k s p e r y m e n t
k o m p u t e r o w y
Ï%
S y m u l a c j a k o m p u t e r o w a - m e t o d a o d t w a r z a n i a
z j a w i s k z a c h o d z c y c h w [w i e c i e r z e c z y w i s t y m
( l u b i c h n i e k t ó r y c h w Ba [c i w o [c i i p a r a m e t r ó w )
z a p o m o c i c h z m a t e m a t y z o w a n y c h m o d e l i ,
d e f i n i o w a n y c h i o b s Bu g i w a n y c h p r z y u |y c i u
p r o g r a m ó w k o m p u t e r o w y c h ; w y k o r z y s t y w a n a
d o w n i o s k o w a n i a o p r z e b i e g u t y c h z j a w i s k i
p r o c e s ó w , k t ó r y c h b e z p o [r e d n i a o b s e r w a c j a
j e s t n i e m o |l i w a l u b z b y t k o s z t o w n a . -
E n c y k l o p e d i a P W N
Z a l e t y s y m u l a c j i k o m p u t e r o w e j
Ï%
K o s z t - n i e m a p o t r z e b y b u d o w y r z e c z y w i s t e g o
u k Ba d u , n i c n i e m o |e u l e c z n i s z c z e n i u
Ï%
C z a s - s y m u l a c j a j e s t m e t o d s z y b s z n i |
k o n s t r u k c j a u k Ba d u ( c h o s a m p r o c e s s y m u l a c j i
m o |e b y d Bu g o t r w a By )
Ï%
M o d y f i k o w a l n o [ - z a s y m u l o w a n y u k Ba d Ba t w o
j e s t z m i e n i
Ï%
Aa t w o [ i r ó |n o r o d n o [ a n a l i z - n i e k t ó r y c h
a n a l i z w r c z n i e d a s i s e n s o w n i e z r e a l i z o w a
w u k Ba d z i e r z e c z y w i s t y m
Z a l e t y s y m u l a c j i k o m p u t e r o w e j
Ï%
W i e d z a - m o |l i w o [ w s z e c h s t r o n n e g o z b a d a n i a
u k Ba d u w r ó |n y c h w a r u n k a c h p r a c y ,
z r o z u m i e n i a j e g o d z i a Ba n i a , m o |l i w o [
[l e d z e n i a z m i a n n o r m a l n i e z b y t s z y b k i c h d o
u c h w y c e n i a , Ba t w i e j s z e z n a j d o w a n i e b Bd ó w
Ï%
A l t e r n a t y w a d l a r o z w i z a D a n a l i t y c z n y c h - w
d u |y c h s y s t e m a c h m o g b y o n e n i e o s i g a l n e
Ï%
P o s t p r o c e s s i n g - w y g o d n a p r e z e n t a c j a
w y n i k ó w , n p . w p o s t a c i g r a f i c z n e j
W a d y s y m u l a c j i k o m p u t e r o w e j
Ï%
P o p r a w n o [ w y n i k ó w [c i [l e z a l e |y o d
p o p r a w n o [c i m o d e l u
m o d e l e o m a Be j z Bo |o n o [c i ( n p .
a p r o k s y m u j c e d z i a Ba n i e p r z y r z d u
p a r a m e t r y z o w a n y m i r ó w n a n i a m i ) m o g :
Ï%
n i e u w z g l d n i a p e w n y c h z j a w i s k , a w r e z u l t a c i e d a w a
d u |e b Bd y w n i e t y p o w y c h s y t u a c j a c h
Ï%
b y n i e p r a w d z i w e p o z a z a Bo |o n y m o b s z a r e m p r a c y
Ï%
b y t r u d n e w m o d y f i k a c j i p r z y m o d y f i k a c j i p r z y r z d u
( p o s t p i e t e c h n o l o g i c z n y m i t p . )
Ï%
b e z p o d s t a w n i e z a k Ba d a |e w y s t a r c z a j c a j e s t s y m u l a c j a
j e d n o d o m e n o w a
Ï%
m i e p r o b l e m y z e s t a b i l n o [c i
W a d y s y m u l a c j i k o m p u t e r o w e j
m o d e l e o d u |e j z Bo |o n o [c i ( n p . w i e l o d o m e n o w e
m o d e l e w y k o r z y s t u j c e m e t o d e l e m e n t ó w
s k o Dc z o n y c h ) m o g :
Ï%
b y z b y t s k o m p l i k o w a n e a b y u m o |l i w i s y m u l a c j
u k Ba d ó w w r o z s d n y m c z a s i e
Ï%
m i e o g r o m n e w y m a g a n i a p a m i c i o w e
Ï%
b y b a r d z o p r a c o i c z a s o c h Bo n n e w p r z y g o t o w a n i u
Ï%
m i e p r o b l e m y z e s t a b i l n o [c i
Ï%
P r a w i d Bo w e z a p r o j e k t o w a n i e s y m u l a c j i m o |e
b y t r u d n e
Ï%
R o z r z u t p a r a m e t r ó w m o |e p o d w a |y w y n i k i
s y m u l a c j i
W a d y s y m u l a c j i k o m p u t e r o w e j
Ï%
I n t e r p r e t a c j a w y n i k ó w o s t a t e c z n i e j e s t
p o z o s t a w i o n a c z y n n i k o w i l u d z k i e m u
Ï%
O g r a n i c z e n i a s y s t e m ó w k o m p u t e r o w y c h ( n p .
o g r a n i c z o n a p r e c y z j a l i c z b ) m o g p r z e k Ba d a
s i n a o g r a n i c z e n i a s y m u l a c j i
E k s p e r y m e n t k o m p u t e r o w y
Ï%
E k s p e r y m e n t k o m p u t e r o w y - e k s p e r y m e n t
p r z e p r o w a d z a n y w c a Bo [c i p r z y u |y c i u
s y m u l a c j i k o m p u t e r o w e j
Ï%
M o |e s Bu |y n p . :
t e s t o w a n i u h i p o t e z
p r z y g o t o w y w a n i u b d z a n a l i z i e r z e c z y w i s t y c h
e k s p e r y m e n t ó w
w e r y f i k o w a n i u r o z w i z a D u p r o s z c z o n y c h
p r o j e k t o w a n i u b d z p r z e p r o j e k t o w y w a n i u u r z d z e D
i u k Ba d ó w
P o d z i a B m o d e l i
Ï%
M o d e l e m o |n a d z i e l i n p . n a :
l i n i o w e i n i e l i n i o w e
d e t e r m i n i s t y c z n e i p r o b a b i l i s t y c z n e
s t a t y c z n e i d y n a m i c z n e
c i g Be i d y s k r e t n e
o p a r a m e t r a c h s k u p i o n y c h b d z r o z Bo |o n y c h
j e d n o i w i e l o d o m e n o w e
O p r o g r a m o w a n i e
Ï%
M o d e l e t w o r z y s i i s y m u l u j e z w y k o r z y s t a n i e m
o p r o g r a m o w a n i a
Ï%
O p r o g r a m o w a n i e m o |e b y :
j z y k i e m p r o g r a m o w a n i a ( n p . S i m u l a )
o g ó l n e g o p r z e z n a c z e n i a z e l e m e n t a m i
s p e c j a l i z o w a n y m i ( n p . M a t l a b )
o p r a c o w a n e p o d k t e m k o n k r e t n e j d z i e d z i n y , n p .
s y m u l a c j i u k Ba d ó w e l e k t r o n i c z n y c h :
Ï%
S p i c e
Ï%
E l d o
Ï%
S a b e r
K o m p u t e r o w e o p r a c o w y w a n i e
w y n i k ó w p o m i a r ó w
Ï%
O p r ó c z s y t u a c j i g d y s y m u l a c j e s
p r z e p r o w a d z a n e c a Bk o w i c i e p r z y u |y c i u
k o m p u t e r a , c z s t o z a c h o d z i p o t r z e b a
w p r o w a d z e n i a r z e c z y w i s t y c h d a n y c h
p o m i a r o w y c h
Ï%
A b y m a k s y m a l n i e w y k o r z y s t a z a w a r t e w n i c h
i n f o r m a c j e , p r a k t y c z n i e z a w s z e k o n i e c z n a j e s t
j a k a [ f o r m a w s t p n e g o p r z e t w o r z e n i a
K o m p u t e r o w e o p r a c o w y w a n i e
w y n i k ó w p o m i a r ó w
Ï%
M o |e o n o z a w i e r a n p . :
u s u w a n i e w a r t o [c i b Bd n y c h
u z u p e Bn i a n i e w a r t o [c i b r a k u j c y c h
f i l t r o w a n i e ( n p .
g ó r n o / d o l n o / p a s m o w o w p r z e p u s t o w e )
w y g Ba d z a n i e
p r z e w i d y w a n i e w a r t o [c i p r z y s z By c h , o d t w a r z a n i e
h i s t o r y c z n y c h
d e c y m a c j
d y s k r e t y z a c j
A p r o k s y m a c j a i i n t e r p o l a c j a
Ï%
S m e t o d a m i p r z y u |y c i u k t ó r y c h z n a j d u j e s i
k r z y w f ( x ) , o p i s a n r ó w n a n i e m ( r ó w n a n i a m i )
a n a l i t y c z n y m , n a p o d s t a w i e z b i o r u p u n k t ó w
Ï%
P u n k t y m o g p o c h o d z i n p . z p o m i a r u
r z e c z y w i s t e g o p r o c e s u
Ï%
C e l e m m o |e b y n p . Ba t w o [ d a l s z e j
a n a l i z y / p r z e t w a r z a n i a , w e r y f i k a c j a h i p o t e z
d o t y c z c y c h c h a r a k t e r u z j a w i s k a , w y g Ba d z a n i e ,
p r z e w i d y w a n i e , u z u p e Bn i a n i e w a r t o [c i
b r a k u j c y c h i t d .
A p r o k s y m a c j a i i n t e r p o l a c j a
Ï%
A b y p r z e p r o w a d z i a p r o k s y m a c j b d z
i n t e r p o l a c j , n a l e |y p r z y j j a k [ p o s t a f u n k c j i ,
m o |l i w d o p a r a m e t r y z a c j i ( n p . w i e l o m i a n ,
w i e l o m i a n u o g ó l n i o n y )
Ï%
R ó |n i c a m i d z y a p r o k s y m a c j a i n t e r p o l a c j
p o l e g a n a w y m a g a n i u d o t y c z c y m
p r z e c h o d z e n i a k r z y w e j p r z e z d a n e p u n k t y :
a p r o k s y m a c j a n i e w y m a g a p r z e j [c i a p r z e z d a n e
p u n k t y
i n t e r p o l a c j a w y m a g a p r z e j [c i a p r z e z d a n e p u n k t y
A p r o k s y m a c j a
Ï%
Z a d a n i e :
m a j c n p u n k t ó w ( p a r w a r t o [c i ) ( x i , y i ) d l a i = 1 , . . . , n
z n a l e z f u n k c j p o s t a c i f ( x , ²) , g d z i e ² j e s t
w e k t o r e m m p a r a m e t r ó w , m < n
n
S = r i 2
t a k a b y z m i n i m a l i z o w a b Bd , g d z i e
"
i - 1
‘à
j e s t b Bd e m a p r o k s y m a c j i d l a
r i = y i - f žà x i , ¸àŸà
p o j e d y n c z e g o p u n k t u
A p r o k s y m a c j a
Ï%
Z a d a n i e t o m o |n a r o z u m i e j a k o p r ó b
p r z y b l i |o n e g o r o z w i z a n i a r ó w n a n i a o p o s t a c i
X ¸à= y
p r z y c z y m l i c z b a w i e r s z y X j e s t w i k s z a n i |
l i c z b a k o l u m n
Ï%
k a |d y w i e r s z X o d p o w i a d a j e d n e m u
n a r z u c o n e m u p u n k t o w i
Ï%
k o l e j n e w a r t o [c i w w i e r s z u t o w a r t o [c i
k o l e j n y c h s k Ba d o w y c h w i e l o m i a n u
A p r o k s y m a c j a
Ï%
J e s t t o m e t o d a n a j m n i e j s z y c h k w a d r a t ó w ( L S Q )
Ï%
Z a d a n i a a p r o k s y m a c y j n e m o |n a p o d z i e l i n a
d w i e k a t e g o r i e :
l i n i o w e
n i e l i n i o w e
Ï%
Z a d a n i e l i n i o w e m a r o z w i z a n i e a n a l i t y c z n e ,
z a d a n i e n i e l i n i o w e r o z w i z u j e s i n u m e r y c z n i e ,
m e t o d a m i i t e r a c y j n y m i
L i n i o w a m e t o d a n a j m n i e j s z y c h
k w a d r a t ó w ( L L S Q )
Ï%
L i n i o w o [ n i e o z n a c z a , |e m e t o d a n a d a j e s i
j e d y n i e d o l i n i o w y c h f u n k c j i , a t y l k o |e f u n k c j a
j e s t l i n i o w a w z g l d e m p a r a m e t r ó w ²
m
Ï%
f žà x , ¸àŸà= X ¸à
F u n k c j a m a w i c p o s t a : " ,
j j
j = 1
g d z i e X j j e s t f u n k c j x ( w t y m f u n k c j n i e l i n i o w ,
s t a B i t d . )
L i n i o w a m e t o d a n a j m n i e j s z y c h
k w a d r a t ó w ( L L S Q )
Ï%
A b y z n a l e z m i n i m u m f u n k c j i b Bd u , n a l e |y
z n a l e z p u n k t d l a k t ó r e g o p o c h o d n e c z s t k o w e
p o w s z y s t k i c h p a r a m e t r a c h m a j w a r t o [ 0
Ï%
P o c h o d n e c z s t k o w e w y r a |a j s i w z o r e m
n
ºà r i
ºà S
= 2 r i
"
ºà ¸à ºà ¸à
i = 1
j j
m
Ï%
r i = y i - X ¸à
"
P o n i e w a | p o c h o d n a w e
i j j
j = 1
ºà r i
= - X
w z o r z e p o w y |e j m a p o s t a
i j
ºà ¸à
j
L i n i o w a m e t o d a n a j m n i e j s z y c h
k w a d r a t ó w ( L L S Q )
Ï%
P o d s t a w i a j c d o w z o r u n a p o c h o d n c z s t k o w
f u n k c j i b Bd u i p r z y r ó w n u j c d o 0 m a m y
n n m
ºàr i
ºà S
= 2 r i = - 2 y i - X ¸àk X = 0
" " "
i k i j
žà Ÿà
ºà ¸à ºà ¸à
j i = 1 j i = 1 k = 1
Ï%
P o u p o r z d k o w a n i u o t r z y m u j e m y
n m n
X X ¸àk = X y i
"" "
i j i k i j
i = 1 k = 1 i = 1
L i n i o w a m e t o d a n a j m n i e j s z y c h
k w a d r a t ó w ( L L S Q )
Ï%
W p o s t a c i m a c i e r z o w e j :
T T
žà X X Ÿà ¸à= X y
Ï%
R o z w i z a n i e w z g l d e m ² d a j e p o s z u k i w a n e
w s p ó Bc z y n n i k i
L i n i o w a m e t o d a n a j m n i e j s z y c h
k w a d r a t ó w ( L L S Q ) - p r z y k Ba d
Ï%
Z n a l e z w s p ó Bc z y n n i k i f u n k c j i a p r o k s y m u j c e j
n a s t p u j c e p u n k t y :
1 , 2 ; 2 , 4 ; 3 , 8 ; 4 , 1 8 ; 5 , 2 7
Ï%
P r z y j f u n k c j p o s t a c i f ( x ) = ²3 x 2 + ²2 x + ²1
L i n i o w a m e t o d a n a j m n i e j s z y c h
k w a d r a t ó w ( L L S Q ) - p r z y k Ba d
Ï% Ï%
U k Ba d r ó w n a D: O d p o w i a d a j c a m u
m a c i e r z X :
²3 1 2 + ²2 1 + ²1 = 2
1 1 1
²3 2 2 + ²2 2 + ²1 = 4
4 2 1
²3 3 2 + ²2 3 + ²1 = 8
9 3 1
1 6 4 1
²3 4 2 + ²2 4 + ²1 = 1 8
2 5 5 1
²3 5 2 + ²2 5 + ²1 = 2 7
L i n i o w a m e t o d a n a j m n i e j s z y c h
k w a d r a t ó w ( L L S Q ) - p r z y k Ba d
Ï%
L e w a s t r o n a : X T X =
9 7 9 2 2 5 5 5
2 2 5 5 5 1 5
5 5 1 5 5
Ï%
P r a w a s t r o n a : X T y =
1 0 5 3
2 4 1
5 9
Ï%
R o z w i z u j c o t r z y m u j e m y ²=
1 . 4 2 8 6
- 2 . 1 7 1 4
2 . 6
L i n i o w a m e t o d a n a j m n i e j s z y c h
k w a d r a t ó w ( L L S Q ) - p r z y k Ba d
Ï%
P o s z u k i w a n e r ó w n a n i e m a w i c p o s t a
f ( x ) = 1 . 4 2 8 6 x 2 - 2 . 1 7 1 4 x + 2 . 6
L i n i o w a m e t o d a n a j m n i e j s z y c h
k w a d r a t ó w ( L L S Q ) - p r z y k Ba d
Ï%
W M a t l a b i e a p r o k s y m a c j w i e l o m i a n e m
d o w o l n e g o s t o p n i a m o |n a p r z e p r o w a d z i
p r z y p o m o c y f u n k c j i p o l y f i t
Ï%
A r g u m e n t a m i s w s p ó Br z d n e x p u n k t ó w ,
w s p ó Br z d n e y p u n k t ó w , s t o p i e D w i e l o m i a n u
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 7 > x = [ 1 2 3 4 5 ] ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 8 > y = [ 2 4 8 1 8 2 7 ] ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 9 > p = p o l y f i t ( x , y , 2 )
p =
1 . 4 2 8 6 - 2 . 1 7 1 4 2 . 6 0 0 0
L i n i o w a m e t o d a n a j m n i e j s z y c h
k w a d r a t ó w ( L L S Q )
Ï%
P r z y s t o s o w a n i u a p r o k s y m a c j i n a l e |y
d o b r a s t o p i e D z Bo |o n o [c i f u n k c j i
a p r o k s y m u j c e j ( n p . s t o p i e D w i e l o m i a n u ) :
s k o m p l i k o w a n a f u n k c j a m o |e z a p e w n i
m n i e j s z y b Bd a p r o k s y m a c j i ( b d z i e p r z e b i e g a
b l i |e j p u n k t ó w ) , a l e
m o |e m i e d u |o z a f a l o w a D i m a m n i e j s z
z d o l n o [ u o g ó l n i a n i a ( n p . i g n o r o w a n i a
b Bd n y c h p o m i a r ó w )
I n t e r p o l a c j a
Ï%
I n t e r p o l a c j a m o |e z o s t a u |y t a d o z n a l e z i e n i a
w a r t o [c i ( f u n k c j i , h i p o t e t y c z n e g o p o m i a r u ) d l a
a r g u m e n t u d l a k t ó r e g o n i e p o s i a d a m y t e j
w a r t o [c i
Ï%
I n t e r p o l a c j a d o t y c z y z n a j d o w a n i a w a r t o [c i d l a
a r g u m e n t u z n a j d u j c e g o s i p o m i d z y
a r g u m e n t a m i d l a k t ó r y c h w a r t o [c i s z n a n e
Ï%
J e [l i s z u k a m y w a r t o [c i d l a a r g u m e n t u p o z a t y m
p r z e d z i a Be m , j e s t t o e k s t r a p o l a c j a
Ï%
C z s t o i n t e r e s u j c y n a s o b s z a r d z i e l i s i n a
m n i e j s z e i i n t e r p o l u j e o s o b n o
I n t e r p o l a c j a l i n i o w a
Ï%
N a j p r o s t s z a ( n i e l i c z c i n t e r p o l a c j i o d c i n k a m i
s t a Be j ) m e t o d a
Ï%
P o l e g a n a p r z e p r o w a d z e n i u p r o s t e j p r z e z d w a
n a j b l i |s z e z n a n e p u n k t y
Ï%
W a r t o [c i d l a d o w o l n e g o a r g u m e n t u o d c z y t u j e
s i j a k o w a r t o [ f u n k c j i l i n i o w e j
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 1 2 > x = [ 1 2 4 6 8 9 ] ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 1 3 > y = [ 2 4 5 3 - 1 - 6 ] ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 1 4 > p l o t ( x , y )
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 1 5 > p l o t ( x , y , ' - o ' )
I n t e r p o l a c j a l i n i o w a
I n t e r p o l a c j a w i e l o m i a n o w a
Ï%
K o n c e p c j a b a r d z o p o d o b n a d o a p r o k s y m a c j i ,
t y l e , |e l i c z b a p u n k t ó w j e s t r ó w n a s t o p n i o w i
w i e l o m i a n u p o m n i e j s z o n e m u o 1 :
l i n i o w a : 2 p u n k t y - 2 r ó w n a n i a , w i e l o m i a n 1
s t o p n i a , 2 n i e w i a d o m e
k w a d r a t o w a : 3 p u n k t y - 3 r ó w n a n i a , w i e l o m i a n 2
s t o p n i a , 3 n i e w i a d o m e
s z e [c i e n n a : 4 p u n k t y - 4 r ó w n a n i a , w i e l o m i a n 3
s t o p n i a , 4 n i e w i a d o m e
i t d .
I n t e r p o l a c j a w i e l o m i a n o w a
Ï%
L i c z b a r ó w n a D o d p o w i a d a l i c z b i e
n i e w i a d o m y c h , j e [l i w [r ó d p r z y j t y c h p u n k t ó w
n i e m a p u n k t ó w o i d e n t y c z n y c h o d c i t y c h ,
u k Ba d r ó w n a D j e s t o z n a c z o n y i m o |n a o t r z y m a
w s p ó Bc z y n n i k i w i e l o m i a n u i n t e r p o l u j c e g o
I n t e r p o l a c j a w i e l o m i a n o w a -
p r z y k Ba d
Ï%
Z n a l e z w i e l o m i a n i n t e r p o l u j c y d l a z b i o r u
p u n k t ó w :
1 , 2 ; 2 , - 3 ; 3 , - 5 ; 4 , 9
Ï%
4 p u n k t y , c z y l i w i e l o m i a n 3 s t o p n i a :
f ( x ) = ²4 x 3 + ²3 x 2 + ²2 x + ²1
Ï%
R ó w n a n i a :
²4 1 3 + ²3 1 2 + ²2 1 + ²1 = 2
²4 2 3 + ²3 2 2 + ²2 2 + ²1 = - 3
²4 3 3 + ²3 3 2 + ²2 3 + ²1 = - 5
²4 4 3 + ²3 4 2 + ²2 4 + ²1 = 9
I n t e r p o l a c j a w i e l o m i a n o w a -
p r z y k Ba d
Ï%
M a c i e r z o w o :
X ²= y
Ï%
X = 1 1 1 1
8 4 2 1
2 7 9 3 1
6 4 1 6 4 1
Ï%
R o z w i z u j c w z g l d e m ² o t r z y m u j e m y :
²1 = - 3 , ²2 = 1 4 . 3 3 3 3 , ²3 = - 1 1 . 5 , ²4 = 2 . 1 6 6 7
I n t e r p o l a c j a w i e l o m i a n o w a -
p r z y k Ba d
I n t e r p o l a c j a w i e l o m i a n o w a -
p r o b l e m y ( e f e k t R u n g e g o )
Ï%
Z a d a n i e :
p r z e p r o w a d z i i n t e r p o l a c j w i e l o m i a n o w f u n k c j i
1 / ( 1 + 2 5 x 2 ) w p r z e d z i a l e < - 1 ; 1 >
j a k o p u n k t y i n t e r p o l a c y j n e p r z y j k o l e j n o 6 , 1 0 i 2 0
r ó w n o m i e r n i e r o z Bo |o n y c h p u n k t ó w
Ï%
W e f e k c i e p r z e p r o w a d z o n a z o s t a n i e
i n t e r p o l a c j a w i e l o m i a n a m i 5 , 9 i 1 9 s t o p n i a
I n t e r p o l a c j a w i e l o m i a n o w a -
p r o b l e m y ( e f e k t R u n g e g o )
I n t e r p o l a c j a f u n k c j a m i s k l e j a n y m i
( s p l i n e )
Ï%
S : [ a , b ] Έ !
F u n k c j a s k l e j a n a :
s k Ba d a s i z w i e l o m i a n ó w
P i : , t i Ĉ1
[ t وΈ !
i
g d z i e
a = t 0 „àt 1 „àï"t k - 2 „àt k - 1 = b
Ï%
P u n k t y t n a z y w a n e s w z Ba m i
Ï%
I n a c z e j :
S žàt Ÿà= P 0 žàt Ÿà , t 0 †àt „àt 1
S žàt Ÿà= P 1 žàt Ÿà , t 1 †àt „àt 2
î"
S žàt Ÿà= P k - 2 žàt Ÿà , t k - 2 †àt „àt k - 1
I n t e r p o l a c j a f u n k c j a m i s k l e j a n y m i
( s p l i n e )
Ï%
J e [l i w s z y s t k i e w i e l o m i a n y s s t o p n i a c o
n a j w y |e j n , f u n k c j a s k l e j a n a j e s t s t o p n i a c o
n a j w y |e j n
Ï%
W w z Ba c h w a r t o [c i f u n k c j i w c z e [n i e j s z e j i
p ó zn i e j s z e j s s o b i e r ó w n e
Ï%
Z w y k l e w y m a g a s i t e | r ó w n y c h w a r t o [c i
p o c h o d n y c h
I n t e r p o l a c j a s z e [c i e n n y m i f u n k c j a m i
s k l e j a n y m i
Ï%
F u n k c j e s f u n k c j a m i s z e [c i e n n y m i
Ï%
W w z Ba c h w y m a g a n a j e s t r ó w n o [ f u n k c j i o r a z
p i e r w s z e j i d r u g i e j p o c h o d n e j
Ï%
J e [l i m a m y n + 1 p u n k t ó w ( n w i e l o m i a n ó w ) t o :
p o t r z e b u j e m y 4 n p a r a m e t r ó w ( p o 4 d l a k a |d e g o
s z e [c i e n n e g o w i e l o m i a n u )
m a m y n + 1 w a r u n k ó w z w Ba s n o [c i i n t e r p o l a c y j n e j
( p r z e c h o d z e n i e f u n k c j i p r z e z d a n e p u n k t y )
m a m y 3 ( n - 1 ) w a r u n k ó w z r ó w n o [c i f u n k c j i i
p o c h o d n y c h d l a p u n k t ó w w e w n t r z n y c h ( b e z
p u n k t ó w s k r a j n y c h )
I n t e r p o l a c j a s z e [c i e n n y m i f u n k c j a m i
s k l e j a n y m i
Ï%
W s u m i e m a m y n + 1 + 3 ( n - 1 ) = 4 n - 2 w a r u n k ó w i
4 n p a r a m e t r ó w - b r a k u j e 2 w a r u n k ó w
Ï%
M o |n a p r z y j n p . S ' ' ( x 0 ) = S ' ' ( x n ) = 0 - j e s t t o t z w .
n a t u r a l n a s z e [c i e n n a f u n k c j a s k l e j a n a
I n t e r p o l a c j a s z e [c i e n n y m i f u n k c j a m i
s k l e j a n y m i - M a t l a b
Ï%
W M a t l a b i e i n t e r p o l a c j m o |n a u z y s k a f u n k c j
i n t e r p 1 ( X , Y , X I , M E T H O D )
Ï%
A r g u m e n t a m i s :
X : d a n e a r g u m e n t y
Y : w a r t o [c i f u n k c j i d l a d a n y c h a r g u m e n t ó w
X I : a r g u m e n t y w k t ó r y c h m a b y w y z n a c z o n a
f u n k c j a
M E T H O D : s p o s ó b i n t e r p o l a c j i , n p . l i n e a r , s p l i n e
I n t e r p o l a c j a s z e [c i e n n y m i f u n k c j a m i
s k l e j a n y m i - M a t l a b
x f = [ 0 : 0 . 0 5 : 1 0 ] ; % g d z i e o k r e s l i c f u n k c j e
x p = [ 0 : 1 0 ] ; % g d z i e z n a m y w a r t o [c i f u n k c j i
y p = s i n ( 2 * p i * x p / 5 ) ; % z n a n e w a r t o [c i
l i n = i n t e r p 1 ( x p , y p , x f ) ; % i n t e r p o l a c j a l i n i o w a
s p l = i n t e r p 1 ( x p , y p , x f , ' s p l i n e ' ) ; % s k l e j a n a
y f = s i n ( 2 * p i * x f / 5 ) ; % d l a p o r o w n a n i a
p l o t ( x f , y f , " r " , x f , l i n , " g " , x f , s p l , " b " ) ;
I n t e r p o l a c j a s z e [c i e n n y m i f u n k c j a m i
s k l e j a n y m i - M a t l a b
M o d e l
Ï%
M o d e l j e s t u p r o s z c z e n i e m r z e c z y w i s t o [c i
Ï%
U p r o s z c z e n i e p o z w a l a p o m i n n i e i s t o t n e ( w
d a n y m m o m e n c i e , a s p e k c i e ) s z c z e g ó By
Ï%
J e d n o c z e [n i e p o m a g a u w y p u k l i k w e s t i e
i s t o t n e
W s t r o n U M L
Ï%
P r a c e n a d U M L r o z p o c z By s i w 1 9 9 4 , k i e d y
R u m b a u g h i B o o c h , o b a j z a t r u d n i a n i p r z e z
R a t i o n a l S o f t w a r e C o r p o r a t i o n , r o z p o c z l i p r a c e
n a d u n i f i k a c j O M T i O O A D . R e z u l t a t , U n i f i e d
M e t h o d ( U M ) 0 . 8 , z o s t a B z a p r e z e n t o w a n y w ' 9 5 .
W t y m s a m y m r o k u , J a c o b s o n d o Bc z y B d o
R a t i o n a l S o f t w a r e C o r p o r a t i o n i w z b o g a c i B U M
e l e m e n t a m i w Ba s n e g o O O S E , c o z a o w o c o w a Bo
U M 0 . 9 i U M 0 . 9 1 ( o b a w ' 9 6 ) . O d t e g o
m o m e n t u j z y k t e n j e s t z n a n y j a k o U M L .
R o z w ó j U M L
Ï%
W y s i Bk i R a t i o n a l S o f t w a r e C o r p o r a t i o n z o s t a By
s z y b k o w s p a r t e p r z e z i s t o t n e f i r m y , m i d z y
i n n y m i : I B M , D E C , H P , O r a c l e , U n i s y s ,
M i c r o s o f t . D o p r o w a d z i Bo t o d o d a l s z e g o r o z w o j u
- w e r s j i 1 . 0 w 1 9 9 7 . W e r s j a t a z o s t a Ba p ó zn i e j
p r z e k a z a n a d o O b j e c t M a n a g e m e n t G r o u p
( O M G ) . W e r s j a 1 . 1 p o w s t a Ba w t y m s a m y m
r o k u . B y Ba t o w e r s j a o f i c j a l n a d o 2 0 0 1 ( w e r s j a
1 . 4 ) . W e r s j a 1 . 5 s t a Ba s i o f i c j a l n a w 2 0 0 3 .
D i a g r a m y U M L
Ï%
M o d e l w U M L j e s t g r a f i c z n r e p r e z e n t a c j
s y s t e m u
Ï%
R e p r e z e n t a c j a s k Ba d a s i z l o g i c z n i e
p o Bc z o n y c h d i a g r a m ó w
Ï%
W e r s j a 2 . 0 z a w i e r a 1 3 t y p ó w d i a g r a m ó w
Ï%
I s t o t n y m p o j c i a m i s p o j e c i a k l a s y f i k a t o r a
( c l a s s i f i e r ) a b s t r a k c y j n e j k a t e g o r i i k t ó r a
u o g ó l n i a k o l e k c j w y s t p i e D m a j c y c h t e s a m e
c e c h y , o r a z w y s t p i e n i a ( i n s t a n c e )
e g z e m p l i f i k a c j i k l a s y f i k a t o r a
D i a g r a m y p r z y p a d k ó w u |y c i a
Ï%
U m o |l i w i a j :
I d e n t y f i k a c j i d o k u m e n t a c j w y m o g ó w
A n a l i z z a k r e s u a p l i k a c j i
K o m u n i k a c j p o m i d z y t w ó r c a m i , w Ba [c i c i e l a m i ,
k l i e n t a m i i t d .
O p r a c o w a n i e p r o j e k t u p r z y s z Be g o s y s t e m u ,
o r g a n i z a c j i
O k r e [l e n i e p r o c e d u r t e s t o w y c h d l a s y s t e m u
Ï%
S d w a t y p y d i a g r a m ó w p r z y p a d k u u |y c i a :
b i z n e s o w e
s y s t e m o w e
D i a g r a m y p r z y p a d k ó w u |y c i a
Ï%
Z a w i e r a j :
P r z y p a d k i u |y c i a
A k t o r ó w
Z w i z k i ( r e l a c j e )
P r z y p a d k i u |y c i a
Ï%
S p e c y f i k a c j a s e k w e n c j i a k c j i ( i i c h w a r i a n t ó w )
k t ó r e s y s t e m m o |e w y k o n a p o p r z e z i n t e r a k c j
z a k t o r a m i t e g o s y s t e m u
Ï%
P r z y p a d e k u |y c i a j e s t s p ó j n y m f r a g m e n t e m
f u n k c j o n a l n o [c i s y s t e m u
Ï%
N a z w j e s t r o z k a z w y p e Bn i e n i a o k r e [l o n e j
f u n k c j i . N a z w a j e s t u m i e s z c z o n a w o w a l u
S p r a w d z h a s Bo
Z w e r y f i k u j u |y t k o w n i k a
A k t o r
Ï%
A k t o r j e s t s p ó j n y m z b i o r e m r ó l o d g r y w a n y c h
p r z e z u |y t k o w n i k ó w p o d c z a s i n t e r a k c j i z
p r z y p a d k a m i u |y c i a
Ï%
A k t o r a m i m o g b y :
O s o b y ( p o j e d y n c z a o s o b a , g r u p a , o r g a n i z a c j a i t p . )
Z e w n t r z n e s y s t e m y ( p r o g r a m o w e b d z s p r z t o w e )
C z a s
Ï%
N a z w a t o r z e c z o w n i k o d z w i e r c i e d l a j c y r o l
o d g r y w a n w s y s t e m i e
Ï%
A k t o r m o |e u z y w a w i e l u p r z y p a d k ó w u |y c i a ,
p r z y p a d e k u |y c i a m o |e b y u |y w a n y
p r z e z w i e l u a k t o r ó w
S t e r e o t y p y a k t o r ó w
Ï%
K l a s y c z n y s y m b o l a k t o r a m o |e b y
s t e r e o t y p o w a n y a b y r o z r ó |n i m i d z y r ó |n y m i
t y p a m i a k t o r ó w
k l a s y c z n y / c z Bo w i e k
u r z d z e n i e
s y s t e m z e w n t r z n y c z a s
Z w i z e k ( r e l a t i o n s h i p )
Ï%
W i e z e s o b e l e m e n t y d i a g r a m u ( n p . a k t o r ó w i
p r z y p a d k i u |y c i a )
Ï%
S 4 r o d z a j e z w i z k ó w :
A s o c j a c j a ( a s s o c i a t i o n )
U o g ó l n i e n i e ( g e n e r a l i s a t i o n )
Z a l e |n o [ ( d e p e n d e n c e )
R e a l i z a c j a ( r e a l i s a t i o n )
A s o c j a c j a
Ï%
A s o c j a c j a o p i s u j e z w i z e k p o m i d z y ( d w i e m a
l u b w i c e j ) w y s t p i e n i a m i k l a s y f i k a t o r ó w
Ï%
W d i a g r a m i e p r z y p a d k ó w u |y c i a r e p r e z e n t u j e
d w u k i e r u n k o w k o m u n i k a c j p o m i d z y a k t o r e m
i p r z y p a d k i e m u z y c i a
Ï%
J e j r e p r e z e n t a c j g r a f i c z n j e s t c i g Ba l i n i a
Ï%
Z a z w y c z a j n i e s n a z y w a n e
A s o c j a c j a
Z n a j d z p r o d u k t
u |y t k o w n i k
Z a l e |n o [ ( d e p e n d e n c y )
Ï%
Z a l e |n o [ j e s t z w i z k i e m p o m i d z y d w o m a
e l e m e n t a m i m o d e l u g d z i e z m i a n a w j e d n y m
e l e m e n c i e ( n i e z a l e |n y m o n e ) m a w p By w n a
d r u g i e l e m e n t ( z a l e |n y )
Ï%
J e s t o b r a z o w a n a j a k o l i n i a p r z e r y w a n a
z a k o Dc z o n a o t w a r t s t r z a Bk
Ï%
W d i a g r a m a c h p r z y p a d k ó w u z y c i a z a l e |n o [
j e s t s t e r e o t y p o w a n a w :
Z a l e |n o [ < < i n c l u d e > >
Z a l e |n o [ < < e x t e n d > >
Z a l e |n o [ < < i n c l u d e > >
Ï%
Z w i z e k m i d z y p r z y p a d k i e m z a w i e r a j c y m i
z a w i e r a n y m
Ï%
P r z y p a d e k z a w i e r a n y j e s t w y k o n y w a n y z a w s z e
g d y w y k o n y w a n y j e s t p r z y p a d e k z a w i e r a j c y i
t y l k o w t e d y
Ï%
J e s t p r z y d a t n a g d y k i l k a p r z y p a d k ó w u |y c i a
z a w i e r a t s a m a w s p ó l n c z [
Ï%
S t r z a Bk a s k i e r o w a n a j e s t o d p r z y p a d k u
z a w i e r a j c e g o d o z a w i e r a n e g o
Z a l e |n o [ < < i n c l u d e > >
Z n a j d z p r o d u k t
< < i n c l u d e > >
Z a l o g u j d o b a z y
< < i n c l u d e > >
D o d a j p r o d u k t
Z a l e |n o [ < < e x t e n d > >
Ï%
Z a l e |n o [ m i d z y p r z y p a d k i e m p o d s t a w o w y m i
p r z y p a d k i e m k t ó r y o p c j o n a l n i e m o |e
w p r o w a d z i d o d a t k o w f u n k c j o n a l n o [ d o
p r z y p a d k u p o d s t a w o w e g o
Ï%
J e s t p r z y d a t n a g d y p r z y p a d e k m o |e , w
p e w n y c h w a r u n k a c h , b y u z a l e |n i o n y o d
i n n y c h p r z y p a d k ó w
Ï%
S t r z a Bk a w s k a z u j e o d r o z s z e r z e n i a d o
p r z y p a d k u p o d s t a w o w e g o
Z a l e |n o [ < < e x t e n d > >
Z n a j d z p r o d u k t Z w e r y f i k u j h a s Bo
< < e x t e n d > >
< < i n c l u d e > >
Z a l o g u j d o b a z y
< < e x t e n d > >
< < i n c l u d e > >
P o Bc z z s i e c i
D o d a j p r o d u k t
P u n k t y r o z s z e r z e n i a
Ï%
J e s t m o |l i w e o k r e [l e n i e s y t u a c j i ( w a r u n k ó w ) w
k t ó r y c h m u s i n a s t p i d o Bc z e n i e p r z y p a d k ó w
r o z s z e r z a j c y c h
Ï%
S o n e w y s z c z e g ó l n i o n e w r o z s z e r z a n y m
p r z y p a d k u , p o d p o z i o m l i n i
P u n k t y r o z s z e r z e n i a
Z n a j d z p r o d u k t Z w e r y f i k u j h a s Bo
< < i n c l u d e > >
< < e x t e n d > >
Z a l o g u j d o b a z y
E x t e n s i o n p o i n t s
w y m a g a n e h a s Bo
s i e c i o w a b a z a
< < e x t e n d > >
P o Bc z z s i e c i
< < i n c l u d e > >
D o d a j p r o d u k t
U o g ó l n i e n i e
Ï%
U o g ó l n i e n i e j e s t t a k s o n o m i c z n r e l a c j
p o m i d z y o g ó l n y m i s p e c j a l i z o w a n y m
k l a s y f i k a t o r e m
Ï%
S p e c j a l i z o w a n y k l a s y f i k a t o r d z i e d z i c z y
w s z y s t k i e c e c h y k l a s y f i k a t o r a o g ó l n e g o
Ï%
J e s t o b r a z o w a n a l i n i z a k o Dc z o n z a m k n i t
s t r z a Bk , w s k a z u j c w s t r o n k l a s y f i k a t o r a
o g ó l n e g o
U o g ó l n i e n i e
Z n a j d z p r o d u k t Z w e r y f i k u j h a s Bo
< < e x t e n d > >
< < i n c l u d e > >
Z a l o g u j d o b a z y
< < e x t e n d > >
< < i n c l u d e > >
P o Bc z z s i e c i
D o d a j p r o d u k t
Z a l o g u j d o M y S Q L
L i c z e b n o [
Ï%
U m o |l i w i a o k r e [l e n i e l i c z b y e l e m e n t ó w
b i o r c y c h u d z i a B w t e j a s o c j a c j i , n a k a |d y m j e j
k o Dc u
Ï%
M o |l i w e p r z y p a d k i :
n ( n > 0 ) d o k Ba d n i e n
n . . * ( n e" 0 ) n l u b w i c e j
n . . m ( m > n e" 0 ) o d n d o m
* w i e l e ( n i e z n a n a l i c z b a )
n , m , o . . p , q ( q > p . . . ) l i s t a w a r t o [c i
L i c z e b n o [
D o k u m e n t o w a n i e p r z y p a d k ó w
u |y c i a
Ï%
D i a g r a m p r z y p a d k ó w u |y c i a s a m w s o b i e j e s t
b a r d z o o g ó l n i k o w y
Ï%
A b y p r e c y z y j n i e o k r e [l i p o |d a n e z a c h o w a n i e
s y s t e m u , k a z d y p r z y p a d k e k u z y c i a p o w i n i e n
p o s i a d a d o d a t k o w a i n f o r m a j , t z w . s c e n a r i u s z
Ï%
S c e n a r i u s z j e s t s e k w e n c j a k c j i , o k r e s l a j c a
z a c h o w a n i e
Ï%
D l a z Bo |o n y c h p r z y p a d k ó w m o |n a z d e f i n i o w a
g Bó w n y o r a z a l t e r n a t y w n e s c e n a r i u s z e
Ï%
S c e n a r i u s z m o z e z o s t a z a p i s a n y w j e z y k u
n a t u r a l n y m , p s e u d o - k o d z i e , t a b e l i i t p .
P r z y k Ba d o w e d i a g r a m y
P r z y k Ba d o w e d i a g r a m y
D i a g r a m y k l a s
Ï%
Z a w i e r a i n f o r m a c j e o s t a t y c z n y c h z w i z k a c h
m i d z y e l e m e n t a m i ( k l a s a m i )
Ï%
S [c i [l e p o w i z a n e z t e c h n i k a m i
p r o g r a m o w a n i a z o r i e n t o w a n e g o o b i e k t o w o
Ï%
S j e d n y m i z i s t o t n i e j s z y c h d i a g r a m ó w w U M L
S y m b o l k l a s y
Ï%
S y m b o l e m k l a s y j e s t p r o s t o k t , z w y k l e
p o d z i e l o n y p o z i o m y m i l i n i a m i n a t r z y s e k c j e :
n a z w y
a t r y b u t ó w
o p e r a c j i
Ï%
W r a z i e p o t r z e b y m o |e z o s t a u z u p e Bn i o n y
d o d a t k o w y m i s e k c j a m i ( n p . w y j t k ó w )
S y m b o l k l a s y
Ï%
P r z y z Bo |o n y c h k l a s a c h w y s w i e t l e n i e
w s z y s t k i c h a t r y b u t ó w i o p e r a c j i m o |e z a b r a
z b y t d u |o m i e j s c a
Ï%
M o |l i w e r o z w i z a n i a t o :
W y [w i e t l e n i e t y l k o n a z w y k l a s y , b e z s e k c j i
a t r y b u t ó w i o p e r a c j i
W y [w i e t l e n i e t y l k o n a z w y k l a s y , z p u s t y m i s e k c j a m i
a t r y b u t ó w i o p e r a c j i
W y [w i e t l e n i e t y l k o c z [c i a t r y b u t ó w l u b o p e r a c j i ,
z a z n a c z j c k o n t y n u a c j p o p r z e z w i e l o k r o p e k
U k r y c i e n i e k t ó r y c h a t r y b u t ó w l u b o p e r a c j i
K o n t r o l a d o s t p u
Ï%
M o |n a o k r e [l i m o d y f i k a t o r y d o s t e p u d l a
s k Ba d o w y c h
Ï%
S o n e [c i [l e p o w i z a n e z k o n c e p c j a m i
p r o g r a m o w a n i a z o r i e n t o w a n e g o o b i e k t o w o
Ï%
M o |l i w e r o d z a j e d o s t p u :
¢'
+ p u b l i c z n y
¢'
- p r y w a t n y
¢'
# c h r o n i o n y
¢'
~ p a k i e t u
S k Ba d n i k i s t a t y c z n e
Ï%
S k Ba d n i k i m o z n a z a d e k l a r o w a j a k o s t a t y c z n e
d z i a Ba j c e n a r z e c z k l a s y , n i e o b i e k t u
Ï%
K o n c e p c j a i d e n t y c z n a j a k w j z y k a c h
z o r i e n t o w a n y c h o b i e k t o w o
Ï%
R e p r e z e n t a c j g r a f i c z n j e s t p o d k r e [l e n i e
S p e c y f i k a c j a s k Ba d n i k ó w
Ï%
A t r y b u t y m o g m i e o k r e [l o n e :
T y p . T y p j e s t u m i e s z c z a n y p o n a z w i e , o d d z i e l o n y
d w u k r o p k i e m
L i c z e b n o [
W a r t o [ p o c z t k o w
Ï%
O p e r a c j e m o g m i e o k r e [l o n e :
T y p z w r a c a n y . T y p j e s t u m i e s z c z a n y p o n a z w i e ,
o d d z i e l o n y d w u k r o p k i e m
A r g u m e n t y . K a |d y a r g u m e n t m o |e b y o k r e [l o n y
t a k j a k a t r y b u t , z d o d a t k o w y m o z n a c z e n i e m
k i e r u n k u p r z e k a z y w a n i a w a r t o [c i ( d o m y [l n i e i n )
S p e c y f i k a c j a s k Ba d n i k ó w
Z w i z k i
Ï%
W s z y s t k i e 4 t y p y z w i z k ó w s u |y w a n e
Ï%
G Bó w n y m t y p e m j e s t a s o c j a c j a
Ï%
M o |e m i e n a s t p u j c e c e c h y ( p o g r u b i o n o
n o w e w s t o s u n k u d o d i a g r a m ó w p r z y p a d k ó w
u |y c i a ) :
n a z w a
r o l e
k i e r u n e k n a w i g a c j i
l i c z e b n o [
a g r e g a c j a
N a z w a
Ï%
M o |n a n a z w a a s o c j a c j a b y d o p r e c y z o w a j e j
z n a c z e n i e
Ï%
N a z w a m o |e z a w i e r a k i e r u n e k
R o l e
Ï%
I n n y s p o s ó b d o p r e c y z o w a n i a a s o c j a c j i
Ï%
R o l a k l a s y j e s t o k r e [l o n a p r z e z t e k s t
u m i e s z c z o n y w p o b l i |u t e j k l a s y
Ï%
M o |n a o k r e [l i j e d n o c z e [n i e n a z w i r o l e
K i e r u n e k n a w i g a c j i
Ï%
D o m y [l n i e a s o c j a c j a j e s t d w u k i e r u n k o w a
Ï%
A b y b y Ba j e d n o k i e r u n k o w a , d o d a j e s i s t r a Bk
Ï%
O z n a c z a t o |e k o m u n i k a c j a j e s t
j e d n o k i e r u n k o w a ( i n a c z e j n i | d i a g r a m y
p r z y p a d k ó w u |y c i a )
L i c z e b n o [
Ï%
Z n a c z e n i e i d e n t y c z n e j a k w d i a g r a m a c h
p r z y p a d k ó w u |y c i a
A g r e g a c j a
Ï%
O k r e [l a z w i z e k m i d z y c a Bo [c i i c z [c i
Ï%
S d w a t y p y :
c a Bk o w i t a ( k o m p o z y c j a , s i l n a a g r e g a c j a )
c z [c i o w a ( a g r e g a c j a , s Ba b a a g r e g a c j a )
Ï%
J e s t o b r a z o w a n a p r z e z r o m b u m i e s z c z o n y p r z y
s y m b o l u o k r e [l a j c y m c a Bo [
Ï%
S i l n a a g r e g a c j a j e s t z o b r a z o w a n a p r z e z p e Be n
r o m b , s Ba b a p r z e z p u s t y
S i l n a i s Ba b a a g r e g a c j a
Ï%
W p r z y p a d k u s i l n e j a g r e g a c j i c z [c i s k Ba d o w e n i e
m o g i s t n i e j e [l i s y m b o l o k r e [l a j c y c a Bo [ j e s t
u s u n i t y
Ï%
W p r z y p a d k u s Ba b e j a g r e g a c j i j e s t t o m o |l i w e .
J e d e n o b i e k t m o |e b y t e | z a w i e r a n y p r z e z w i e l e
i n n y c h .
S i l n a i s Ba b a a g r e g a c j a
A s o c j a c j a w i e l o k r o t n a
Ï%
D w i e k l a s y m o g b y w o d m i e n n y s p o s ó b
z w i z a n e z e s o b w r ó |n y c h k o n t e k s t a c h
Ï%
W e f e k c i e m o |e b y w i c e j n i | j e d n a a s o c j a c j a
m i d z y k l a s a m i
Ï%
W t a k i m w y p a d k u k a |d a p o w i n n a b y n a z w a n a
M u l t i p l e a s s o c i a t i o n s
Z a l e |n o [
Ï%
O z n a c z a |e j e d n a k l a s a ( k l i e n t ) w j a k i [ s p o s ó b
u |y w a i n n e j k l a s y ( d o s t a w c a )
Ï%
J e s t o b r a z o w a n a l i n i p r z e r y w a n z a k o Dc z o n
s t r z a Bk w s k a z u j c n a d o s t a w c
U o g ó l n i e n i e
P r z y k Ba d o w e d i a g r a m y
P r z y k Ba d o w e d i a g r a m y
D i a g r a m y c z y n n o [c i ( a c t i v i t y )
Ï%
O p i s u j d y n a m i k s y s t e m u ( k l a s - s t a t y k )
Ï%
P r e z e n t u j a p r z e p By w d a n y c h i s t e r o w a n i a
Ï%
M o g b y s t o s o w a n e d o m o d e l o w a n i a :
P r o c e s ó w b i z n e s o w y c h
S c e n a r i u s z y p r z y p a d k ó w u |y c i a
A l g o r y t m ó w
E l e m e n t y s k Ba d o w e
Ï%
C z y n n o [
Ï%
A k c j a
Ï%
P r z e p By w s t e r o w a n i a
Ï%
P o c z t e k
Ï%
K o n i e c
Ï%
Z a k o Dc z e n i e p r z e p By w u
C z y n n o [
Ï%
R e p r e z e n t u j e z Bo |o n y p r o c e s
Ï%
M o |e z o s t a ( n a o s o b n y m d i a g r a m i e )
d o p r e c y z o w a n a , p o p r z e z k o l e j n y d i a g r a m
c z y n n o [c i , o p i s u j c y j e j w n t r z e - p o w s t a j e
s t r u k t u r a h i e r a r c h i c z n a
Ï%
D e k o m p o z y c j a m o |e p r z e b i e g a d o p o z i o m u
a k c j i n a j m n i e j s z e j , n i e p o d z i e l n e j j e d n o s t k i
C z y n n o [ i a k c j a
Ï%
S y m b o l e m j e s t p r o s t o k t z z a o k r g l o n y m i
r o g a m i
Ï%
C z a s e s m c z y n n o [c i p o s i a d a j c e p o w i z a n e z
n i m i p o d d i a g r a m y p o s i a d a j s p e c j a l n y z n a c z n i k
L o g i n P a y x : = y + 5 * z
P r z e p By w s t e r o w a n i a
Ï%
J e s t t o z w i z e k m i d z y d w i e m a
c z y n n o [c i a m i / a k c j a m i m ó w i a c y , |e p o
z a k o Dc z e n i u j e d n e j s t e r o w a n i e b d z i e
p r z e k a z a n e d o d r u g i e j
Ï%
S y m b o l e m j e s t s t r z a Bk a
P o c z t e k , k o n i e c , z a k o Dc z e n i e
p r z e p By w u
Ï%
P o c z t e k o k r e [l a p o c z t e k p r z e p By w u
s t e r o w a n i a . Z w y k l e j e d e n n a d i a g r a m .
S y m b o l e m j e s t p e Bn e k ó Bk o
Ï%
K o n i e c o z n a c z a z a k o Dc z e n i e w s z y s t k i c h
p r z e p By w ó w w d i a g r a m i e . M o |e b y w i c e j n i |
j e d e n . S y m b o l e m j e s t m a Be p e Bn e k ó Bk o
w e w n t r z w i k s z e g o p u s t e g o
Ï%
Z a k o Dc z e n i e p r z e p By w u o z n a c z a k o n i e c
j e d n e g o p r z e p By w u . M o |e b y w i c e j n i | j e d n o .
S y m b o l e m j e s t k ó Bk o z k r z y |y k i e m ( X )
P r o s t y d i a g r a m
D e c y z j a i z Bc z e n i e
Ï%
A l t e r n a t y w n e [c i e |k i p r z e p Bw u s t e r o w a n i a m o g
z o s t a o p i s a n e p r z y p o m o c y w z Bó w d e c y z j i i
z Bc z n i a
Ï%
W z e B d e c y z j i m a j e d e n p r z e p By w w e j [c i o w y i
w i e l e w y j [c i o w y c h . T y l k o j e d n o w y j [c i e m o |e b y
w y b r a n e w d a n e j c h w i l i
Ï%
W z e B z Bc z e n i a m a w i e l e w e j [ i j e d n o w y j [c i e
Ï%
S y m b o l e m o b u w z Bó w j e s t r o m b
D e c y z j a
Ï%
W y b ó r w y j [c i a n a s t p u j e n a p o d s t a w i e w a r u n k u
Ï%
W a r u n e k j e s t u m i e s z c z a n y p r z y w y j [c i u , w
n a w i a s a c h k w a d r a t o w y c h
Ï%
W s z y s t k i e w a r u n k i m u s z s w z a j e m n i e
w y k l u c z a
Ï%
J e d e n z w a r u n k ó w m o |e z o s t a z a s t p i o n y
s Bo w e m k l u c z o w y m e l s e
Z Bc z e n i e
Ï%
K a |d y p r z e p By w p o j a w i a j c y s i n a w e j [c i u
z o s t a n i e n a t y c h m i a s t p r z e k a z a n y n a w y j [c i e
b r a k s y n c h r o n i z a c j i
P r z y k Ba d o w y d i a g r a m
P r z e p By w y r ó w n o l e g Be
Ï%
P r z e p By w y m o g b y w y k o n y w a n e r ó w n o l e g l e
Ï%
U m o |l i w i a j t o w z By r o z w i d l e n i a i s c a l e n i a
Ï%
R o z w i d l e n i e m a j e d n o w e j [c i e i w i e l e w y j [
p r z e p By w w c h o d z c y j e s t r o z d z i e l a n y
Ï%
S c a l e n i e m a w i e l e w e j [ i j e d n o w y j [c i e .
P r z e p By w z o s t a n i e p r z e k a z a n y d o w y j [c i a t y l k o
j e [l i p r z e p By w y d o t a r By d o w s z y s t k i c h w e j [
n a s t p u j e s y n c h r o n i z a c j a
S a m p l e d i a g r a m
P r z e p By w o b i e k t ó w
Ï%
J a k o u z u p e Bn i e n i e m o |n a z a z n a c z y p r z e p By w
o b i e k t ó w
Ï%
M o |e b y p r z y d a t n y n p . k i e d y o b i e k t j e s t
t w o r z o n y i p r z e k a z y w a n y d a l e j d o
p r z e t w a r z a n i a
Ï%
O b i e k t m u s i b y p o Bc z o n y z c z y n n o [c i / a k c j
Ï%
S y m b o l e m j e s t p r o s t o k t z n a z w
Ï%
M o |n a t e | u |y t z w . p r z e k a zn i k ó w d a n y c h
P r z e p By w o b i e k t ó w
P a r t y c j e
Ï%
E l e m e n t y d i a g r a m u
m o g b y
p o g r u p o w a n e w
p a r t y c j e
O b s z a r p r z e r w a n i a
Ï%
U m o |l i w i a w y z n a c z e n i e f r a g m e n t u d i a g r a m u
k t ó r e g o w y k o n y w a n i e m o |e z o s t a n a t y c h m i a s t
p r z e r w a n e p r z y w y s t p i e n i u z e w n t r z n e g o
z d a r z e n i a . Z o s t a j e w t e d y w y k o n a n y p r z e p By w
p r z e r w a n i a
Ï%
W s z y s t k i e p r z e p By w y w r e g i o n i e s p r z e r y w a n e ,
z w y j t k i e m p r z e p By w u p r z e r w a n i a
Ï%
P r z e p By w p r z e r w a n i a z a w s z e z a c z y n a s i w
o b s z a r z e p r z e r w a n i a , k o Dc z y p o z a
Ï%
U |y t e c z n e s s y m b o l e s y g n a Bó w
S y g n a By
Ï%
M o g s Bu |y d o o p i s u p r z e t w a r z a n i a
a s y n c h r o n i c z n e g o
Ï%
M o |n a :
W y s Ba s y g n a B
O d e b r a s y g n a B
O b s z a r p r z e r w a n i a
P r z y k Ba d o w e d i a g r a m y
D i a g r a m s e k w e n c j i ( s e q u e n c e )
Ï%
O p i s u j e i n t e r a k c j e m i d z y o b i e k t a m i p r z y
p o m o c y s e k w e c j i w i a d o m o [c i
Ï%
D o b r z e n a d a j e s i d o d o k u m e n t o w a n i a
p r z y p a d k ó w u |y c i a
Ï%
D i a g r a m j e s t z o r i e n t o w a n y w d w u w y m i a r a c h :
O [ p o z i o m a z w i z a n j e s t z k o l e j n y m i o b i e k t a m i
b i o r c y m i u d z i a B w w y m i a n i e w i a d o m o [c i
O [ p i o n o w a z w i z a n a j e s t z u p By w e m c z a s u
G Bó w n e e l e m e n t y
Ï%
O b i e k t
Ï%
L i n i a |y c i a
Ï%
W i a d o m o [
O b i e k t
Ï%
O b i e k t y k l a s s p o d s t a w o w y m i e l e m n t a m i w
d i a g r a m i e s e k w e n c j i
Ï%
D i a g r a m m o |e r ó w n i e | z a w i e r a i n s t a n c j
i n n y c h k l a s y f i k a t o r ó w : p r z y p a d k ó w u |y c i a ,
a k t o r ó w , s y g n a Bó w i t p .
Ï%
O b i e k t j e s t p r z e d s t a w i a n y j a k o p r o s t o k t z
n a z w ( n i e k i e d y p o d k r e [l o n )
Ï%
W p r o s t y c h d i a g r a m a c h w s z y s t k i e o b i e k t y
u m i e s z c z o n e s p r z y g ó r n e j k r a w d z i d i a g r a m u
L i n i a |y c i a
Ï%
R e p r e z e n t u j e p r z e d z i a B c z a s u w k t ó r y m o b i e k t
i s t n i e j e
Ï%
J e s t z o b r a z o w n a p r z e z p r z e r y w a n a p i o n o w
l i n i , z a c z y n a j c s i n a o b i e k c i e i i d c w d ó B
W i a d o m o [c i
Ï%
W i a d o m o [c i r e p r e z e n t u j p r z e p By w i n f o r m a c j i
m i d z y o b i e k t a m i . W i a d o m o [ j e s t p o l e c e n i e m
d l a o b i e k t u a b y w y k o n a p e w n e o p e r a c j e
Ï%
N a j w a |n i e j s z y m ( i k o n i e c z n y m ) s k Ba d n i k i e m
o p i s u w i a d o m o [c i j e s t s y g n a t u r a
W i a d o m o [ - s y g n a t u r a
Ï%
M o |e s k Ba d a s i z :
N a z w y ( o b o w i z k o w a )
L i s t y a r g u m e n t ó w
W a r t o [c i z w r a c a n e j
S p e c y f i k a c j a w y k o n a n i a
Ï%
O b r a z u j e o k r e s a k t y w a n o [c i o b i e k t u
( o b l i c z e n i a , p r z e k a z y w a n i e w i d o m o [c i z / d o )
Ï%
J e s t p r z e d s t a w i a n y j a k o p r o s t o k t u m i e s z c z o n y
n a l i n i i |y c i a , j e g o w y s o k o [ o k r e [l a o k r e s
a k t y w n o [c i
Ï%
P o c z t e k j e s t z w i z a n y z a k t y w a c j o b i e k t u
( z w y k l e w i a d o m o [c i p r z e k a z a n o d i n n e g o
o b i e k t u )
P r z y k Ba d o w y d i a g r a m
R o d z a j e w i a d o m o [c i
Ï%
S y n c h r o n i c z n a
Ï%
A s y n c h r o n i c z n a
Ï%
Z w r o t n a
Ï%
Z g u b i o n a
Ï%
Z n a l e z i o n a
W i a d o m o [ s y n c h r o n i c z n a
Ï%
S t e r o w a n i e j e s t p r z e k a z a n e d o o b i e k t u
w y w o By w a n e g o
Ï%
P r z e t w a r z a n i e w o b i e k c i e w y w o Bu j c y c m j e s t
w s t r z y m y w a n e d o m o m e n t u z a k o Dc z e n i a
w y w o Ba n e j c z y n n o [c i
Ï%
J e s t o b r a z o w a n e p e Bn s t r z a Bk
Ï%
J e s t o d p o w i e d n i k i e m w y w o Ba n i a f u n k c j i
W i a d o m o [ a s y n c h r o n i c z n a
Ï%
P r z e t w a r z a n i e w o b i e k c i e w y w o Bu j c y m n i e j e s t
p r z e r w a n e
Ï%
J e s t o b r a z o w a n e o t w a r t s t r z a Bk
W i a d o m o [ z w r o t n a
Ï%
O b r a z u j e o d d a n i e s t e r o w a n i a d o o b i e k t u
w y w o Bu j c e g o
Ï%
J e s t o p c j o n a l n a
Ï%
J e s t p r z e d s t a w i o n a j a k o s t r z a Bk a z l i n i
p r z e r y w a n
T w o r z e n i e i n i s z c z e n i e o b i e k t ó w
Ï%
T w o r z e n i e i n i s z c z e n i e s p o w o d o w a n e p r z e z
o d p o w i e d n i e w i a d o m o [c i
Ï%
W i a d o m o [c i t e m a j s t e r e o t y p y , o d p o w i e d n i
c r e a t e i d e s t r o y
Ï%
N a k o Dc u w i a d o m o [c i c r e a t e u m i e s z c z a s i
t w o r z o n y o b i e k t ( c o p o w o d u j e |e z n a j d u j e s i
o n p o n i |e j i n n y c h o b i e k t ó w )
Ï%
P o o t r z y m a n i u w i a d o m o [c i d e s t r o y l i n i a |y c i a
o b i e k t u k o Dc z y s i . J e s t t o d o d a t k o w o
w y r ó |n i o n e u m i e s z c z e n i e m z n a k u X n a k o Dc u
l i n i i .
P r z y k Ba d o w e t w o r z e n i e i n i s z c z e n i e
F r a g m e n t y z Bo |o n e
Ï%
S t o w y b r a n e f r a g m e n t y d i a g r a m u s e k w e n c j i , d o
k t ó r y c h o d n o s i s i o d p o w i e d n i o p e r a t o r i n t e r a k c j i
Ï%
S z o b r a z o w a n e r a m o t a c z a j c w y b r a n y r e g i o n .
R a m a m a n a g Bó w e k w l e w y m g ó r n y m r o g u
z a w i e r a j c y o p e r a t o r i n t e r a k c j i
Ï%
N i e k t ó r e o p e r a t o r y w y m a g a j w y o d r b n i e n i a
p o d f r a g m e t ó w r e g i o n u . S o n e w y o d r b n i a n e l i n i
k r o p k o w o - k r e s k o w
W y b r a n e o p e r a t o r y
Ï%
A l t
Ï%
O p t
Ï%
L o o p
Ï%
P a r
O p e r a t o r a l t - a l t e r n a t y w a
Ï%
O z n a c z a , |e t y l k o j e d e n z p o d o b s z a r ó w
( o p e r a n d ó w ) o b s z a r u o b j t e g o r a m m o |e b y
w y b r a n y
Ï%
W y b ó r t e n z a l e |y o d o d w a r u n k ó w
u m i e s z c z o n y c h w p o d f r a g m e n t a c h
Ï%
P o d o b s z a r b e z w a r u n k u j e s t w y b o r e m
d o m y [l n y m
P r z y k Ba d o p e r a t o r a a l t
O p e r a t o r o p t f r a g m e n t o p c j o n a l n y
Ï%
C z [ d i a g r a m u z o s t a n i e w y k o n a n a t y l k o j e [l i
s p e Bn i o n y b d z i e w a r u n e k
Ï%
O d p o w i a d a o p e r a t o r o w i a l t z p u s t y m
d o m y s l n y m o p e r a n d e m
P r z y k Ba d o p e r a t o r a o p t
O p e r a t o r l o o p - i t e r a c j a
Ï%
U m o |l i w i a w i e l o k r o t n e p o w t ó r z e n i e w y b r a n e g o
f r a g m e n t u
Ï%
L i c z b a i n t e r a c j i m o z e z o s t a o k r e [l o n a
O p e r a t o r p a r w y k o n a n i e
r ó w n o l e g Be
Ï%
O z n a c z a , |e p o d f r a g m e n t y f r a g m e n t u o b j e t e g o
r a m s w y k o n y w a n e r ó w n o l e g l e
S y g n a By
Ï%
S y g n a B - d o w o l n a w i e l k o [ z m i e n i a j c a s i w
c z a s i e l u b p r z e s t r z e n i
Ï%
W p r a k t y c e w s z y s t k o c o j e s t m i e r z a l n e m o |e
b y p o t r a k t o w a n e j a k o s y g n a B
Ï%
W c e l u p r z e t w a r z a n i a s y g n a By s z w y k l e
k o n w e r t o w a n e n a i n n e s y g n a By , Ba t w o
p o d d a j c e s i o b r ó b c e , n p . s y g n a By e l e k t r y c z n e
Ï%
O s t a t e c z n i e c z s t o s y g n a B p r z y b i e r a f o r m
r e p r e z e n t a c j i m a t e m a t y c z n e j
P o d z i a B s y g n a Bó w
Ï%
Z c z a s e m c i g By m b d z d y s k r e t n y m
Ï%
Z w i e l k o [c i a m i c i g By m i b d z s k w a n t o w a n y m i
Ï%
A n a l o g o w e , d y s k r e t n e
K w a n t y z a c j a
Ï%
P r o c e s p r z y b l i |e n i a w a r t o [c i c i g By c h p o p r z e z
s k o Dc z o n l i c z b w a r t o [c i
Ï%
M o |e r ó w n i e | s Bu |y d o p r z y b l i |a n i a w a r t o [c i
r e p r e z e n t o w a n y c h p r z e z s k o Dc z o n , a l e d u |,
l i c z b w a r t o [c i p o p r z e z m n i e j s z l i c z b
w a r t o [c i
Ï%
Z a w s z e p r o w a d z i d o s t r a t y i n f o r m a c j i
Ï%
P o j a w i a s i b Bd , z w a n y b Bd e m k w a n t y z a c j i
D y s k r e t y z a c j a ( p r ó b k o w a n i e )
Ï%
P r ó b k o w a n i e j e s t p r z e p r o w a d z a n e p o p r z e z
p o m i a r s y g n a Bu c i g Be g o w r ó w n o m i e r n y c h
o d s t p a c h c z a s u - c o T
Ï%
T j e s t o k r e s e m p r ó b k o w a n i a
Ï%
f = 1 / T t o c z s t o t l i w o [ p r ó b k o w a n i a
Ï%
M u s i b y s p e Bn i o n e t w i e r d z e n i e N y q u i s t a -
S h a n n o n a
T w i e r d z e n i e N y q u i s t a - S h a n n o n a
Ï%
S y g n a B a n a l o g o w y m o |e b y i d e a l n i e
o d t w o r z o n y z p r ó b e k ( s y g n a Bu s p r ó b k o w a n e g o )
j e [l i c z s t o t l i w o [ p r ó b k o w a n i a p r z e k r a c z a Ba
d w u k r o t n m a k s y m a l n c z s t o t l i w o [ s y g n a Bu
w e j [c i o w e g o
Ï%
S y g n a B m o |e b y o d t w o r z o n y p r z y p o m o c y
w z o r u i n t e r p o l a c y j n e g o W h i t t a k e r a - S h a n o n a :
"
t - n T
x žàt Ÿà= x [ n ] Å"s i n c
"
žà Ÿà
T
n = - "
g d z i e
s i n žàÆà x Ÿà
s i n c žà x Ÿà=
Æà x
P r ó b k o w a n i e
Ï%
T w i e r d z e n i e t o o z n a c z a , |e t y l k o s y g n a By o
o g r a n i c z o n e j c z s t o t l i w o [c i m o g b y i d e a l n i e
s p r ó b k o w a n e
Ï%
{a d e n s y g n a B o o g r a n i c z o n y m c z a s i e t r w a n i a
n i e m a o g r a n i c z o n e j c z s t o t l i w o [c i
Ï%
J e [l i t w i e r d z e n i e N y q u i s t a - S h a n n o n a n i e j e s t
s p e Bn i o n e , m a m y d o c z y n i e n i a z a l i a s i n g i e m
Ï%
W p r a k t y c e s t o s u j e s i f i l t r y d o l n o p r z e p u s t o w e
p r z e d p r ó b k o w a n i e m s y g n a Bu
K w a n t y z a c j a
Ï%
D o p u s z c z a l n y z a k r e s w a r t o [c i w e j [c i o w y c h
d z i e l i s i n a s k o Dc z o n l i c z b p r z e d z i a Bó w N
Ï%
G r a n i c e m i d z y p r z e d z i a Ba m i t o p o z i o m y
d e c y z y j n e , j e s t i c h N - 1
Ï%
W a r t o [ w e j [c i o w a n a l e |c a d o d a n e g o
p r z e d z i a Bu j e s t z a s t p o w a n a p r z e z t z w . p o z i o m
r e p r e z e n t a c j i - m o |e b y t o n p . :
g ó r n a w a r t o [ p r z e d z i a Bu
d o l n a w a r t o [ p r z e d z i a Bu
w a r t o [ [r o d k a p r z e d z i a Bu
K w a n t y z a c j a
Ï%
T y p o w y m p r z y k Ba d e m j e s t k w a n t y z a c j a l i n i o w a
Ï%
M o |e b y o p i s a n a r ó w n a n i e m
Q žà x Ÿà= g žà f l o o r žà f žà x ŸàŸàŸà
Ï%
i = f l o o r žà f žà x ŸàŸà
W a r t o [ j e s t n a z y w a n a
i n d e k s e m k w a n t y z a c j i i t o w Ba [n i e o n a j e s t
z w y k l e w y n i k i e m p r o c e s u k w a n t y z a c j i
K w a n t y z a c j a
Ï%
T y p o w y m i p r z y k Ba d a m i k w a n t y z a c j i l i n i o w e j j e s t :
k w a n t y z a c j a s t a Ba w z e r z e
k w a n t y z a c j a z e s k o k i e m w z e r z e
K w a n t y z a c j a
Ï%
P r z y j m u j c r e p r e z e n t a c j n a M b i t a c h w a r t o [c i
w e j [c i o w e j z p r z e d z i a Bu o d - 1 d o 1 o t r z y m u j e m y
w z o r y n a k w a n t y z a c j :
f l o o r žà2 M - 1 x ƒà0 . 5 Ÿà
Q žà x Ÿà=
s t a B w z e r z e
2 M - 1
f l o o r žà2 M - 1 x Ÿàƒà0 . 5
Q žà x Ÿà=
z e s k o k i e m w z e r z e
2 M - 1
P r ó b k o w a n i e i k w a n t y z a c j a w
p r a k t y c e
Ï%
W p r a k t y c e s t o s u j e s i p r z e t w o r n i k i a n a l o g o w o -
c y f r o w e
Ï%
R e a l i z a c j e p r a k t y c n e o d b i e g a j o d z a Bo |e D
t e o r e t y c z n y c h :
b r a k i d e a l n y c h f i l t r ó w a n t y a l i a s i n g o w y c h
n i e z e r o w y c z a s p r ó b k o w a n i a
n i e s t a Bo [ o k r e s u ( c z s t o t l i w o [c i ) p r ó b k o w a n i a
o g r a n i c z o n e s z y b k o [c i n a r a s t a n i a
n i e l i n i o w o [c i u k Ba d ó w
D r o g a
D e f i n i c j a 1 : D r o g a
Z b i ó r k r a w d z i b 1 , b 2 , . . . , b n w g r a f i e n i e z o r i e n t o w a n y m G n
j e s t n a z y w a n y d r o g m i d z y w i e r z c h o Bk a m i V j i V k j e |e l i
k r a w d z i e t e m o g b y u p o r z d k o w a n e w t e n s p o s ó b , |e :
Ï%
k r a w d z i e k o l e j n e b i i b i + 1 m a j z a w s z e w s p ó l n y
w i e r z c h o Be k
Ï%
|a d e n w i e r z c h o Be k w G n n i e j e s t w i e r z c h o Bk i e m w i c e j n i | 2
k r a w d z i z b i o r u
Ï%
V j j e s t w i e r z c h o Bk i e m d o k Ba d n i e j e d n e j k r a w d z i z b i o r u o r a z
V k j e s t r ó w n i e | w i e r z c h o Bk i e m d o k Ba d n i e j e d n e j k r a w d z i
z b i o r u .
G r a f s p ó j n y
D e f i n i c j a 2 : G r a f s p ó j n y
N i e z o r i e n t o w a n y g r a f G n j e s t g r a f e m s p ó j n y m , j e |e l i i s t n i e j e
d r o g a m i d z y d o w o l n y m i d w o m a w i e r z c h o Bk a m i g r a f u . S i e N
l u b g r a f z o r i e n t o w a n y G d s s p ó j n e , j e |e l i z w i z a n y z n i m i
g r a f G n j e s t s p ó j n y .
C y k l
D e f i n i c j a 3 : C y k l ( o b w ó d )
P o d g r a f G s g r a f u G n j e s t n a z y w a n y c y k l e m , j e |e l i :
Ï%
G s j e s t s p ó j n y
Ï%
k a |d y w i e r z c h o Be k w G s m a d o k Ba d n i e d w i e p o w i z a n e z
n i m k r a w d z i e
D r z e w o
D e f i n i c j a 4 : D r z e w o
P o d g r a f G s g r a f u s p ó j n e g o G n j e s t n a z y w a n y d r z e w e m T ,
j e |e l i :
Ï%
G s j e s t s p ó j n y
Ï%
G s z a w i e r a w s z y s t k i e w i e r z c h o Bk i G n
Ï%
G s n i e z a w i e r a c y k l i
Ï%
K r a w d z i e k t ó r e n a l e | d o d r z e w T n a z y w a n e s
k r a w d z i a m i d r z e w a , p o z o s t a Be - k r a w d z i a m i
p r z e c i w d r z e w a ( c i c i w a m i )
Ï%
W n i o s e k : j e [l i G n z a w i e r a n w i e r z c h o Bk ó w , t o d r z e w o
z a w i e r a d o k Ba d n i e n - 1 k r a w d z i .
M a c i e r z i n c y d e n c j i
D e f i n i c j a 5 : M a c i e r z i n c y d e n c j i A a
D l a g r a f u z o r i e n t o w a n e g o G d z a w i e r a j c e g o n w i e r z c h o Bk ó w i
b k r a w d z i d e f i n i u j e m y m a c i e r z i n c y d e n c j i j a k o m a c i e r z o
w y m i a r z e n x b A a = [ a i j ] , p r z y c z y m :
Ï%
a i j = 1 j e |e l i k r a w d z j j e s t p o Bc z o n a ( i n c y d e n t n a ) z i - t y m
w i e r z c h o Bk i e m i s k i e r o w a n a o d w i e r z c h o Bk a
Ï%
a i j = - 1 j e |e l i k r a w d z j j e s t p o Bc z o n a ( i n c y d e n t n a ) z i - t y m
w i e r z c h o Bk i e m i s k i e r o w a n a d o w i e r z c h o Bk a
Ï%
a i j = 0 j e |e l i k r a w d z j n i e j e s t j e s t p o Bc z o n a ( i n c y d e n t n a )
z i - t y m w i e r z c h o Bk i e m .
1
c
a
f
3
e
2
d
b
a b c d e f
4
1 1 0 1 0 0 - 1
2 - 1 1 0 0 1 0
A a =
3 0 0 - 1 1 - 1 0
[ ]
4 0 - 1 0 - 1 0 1
I p r a w o K i r c h h o f f a
Ï%
i - w e k t o r p r d ó w o w y m i a r z e b x 1 , k o l e j n o [ p r d ó w w
t y m w e k t o r z e o d p o w i a d a k o l e j n o [c i k o l u m n w m a c i e r z y A a
Ï%
I p r a w o K i r c h h o f f a w o d n i e s i e n i u d o w s z y s t k i c h w z Bó w m a
p o s t a A a · i = 0 .
Ï%
T e n u k Ba d r ó w n a D j e s t l i n i o w o z a l e |n y , k a |d e r ó w n a n i e
w y n i k a z n - 1 p o z o s t a By c h r ó w n a D.
T w i e r d z e n i e 1
Ï%
M a k s y m a l n y u k Ba d n i e z a l e |n y c h r ó w n a D w y n i k a j c y c h z
I p r a w a K i r c h h o f f a d l a w z Bó w s p ó j n e j s i e c i N m o |e b y
p r z e d s t a w i o n y w p o s t a c i A · i = 0 , g d z i e A t o z r e d u k o w a n a
m a c i e r z i n c y d e n c j i
a b c d e f
i a
i b
1 1 0 1 0 0 - 1
2 - 1 1 0 0 1 0
i c
Å" = 0
3 0 0 - 1 1 - 1 0
i d
[ ]
4 0 - 1 0 - 1 0 1
i e
[ ]
i
f
T r a n s f o r m a c j a w z Bo w a
W y b i e r a j c n - t y w i e r z c h o Be k g r a f u j a k o
w i e r z c h o Be k o d n i e s i e n i a , m o |n a z a p i s a w e k t o r
p o t e n c j a Bó w w z Bo w y c h j a k o :
u n = [ u 1 n u 2 n . . . u ( n - 1 ) n ] T
w ó w c z a s u = A T u n - z a l e |n o [ Bc z c a n a p i c i a
g a Bz i o w e i p o t e n c j a By w z Bo w e .
T r a n s f o r m a c j a w z Bo w a
u 1 n - u 2 n u a
1 - 1 0
u 2 n u b
0 1 0
u 1 n
1 0 - 1 u 1 n - u 3 n = u c
Å"
A T · u n =
u 2 n =
0 0 1
u 3 n u d
u 3 n
0 1 - 1
[ ] [ ]
u 2 n - u 3 n u e
[ ] [ ]
- 1 0 0
- u 1 n u
f
M e t o d a p o t e n c j a Bó w w z Bo w y c h
i k
i k
b k
u k
u k
J k
k - t a g a Bz
E k
M e t o d a p o t e n c j a Bó w w z Bo w y c h
k i
y c
u c g m u c
J c J l
E c E l
m
j
M e t o d a p o t e n c j a Bó w w z Bo w y c h
T
T
'" '" '" '"
'" '" '" '"
îøu u 2 ï" u b ùø
îø ùø
=
u
i = i 1 i 2 ï" i
b
1
ïø úø
ïø úø
ðø ûø
ðø ûø
T T
E = [ E 1 E 2 ï" E b ] J = [ J 1 J 2 ï" J b ]
T T
u = [ u 1 u 2 ï" u b ] i = [ i 1 i 2 ï" i b ]
M e t o d a p o t e n c j a Bó w w z Bo w y c h
'"
( 1 )
u = u - E
'"
( 2 )
i = i - J
'"
( 3 )
=
A i 0
( A = [ a i j ] )
n x b
( 4 )
A ( i - J ) = 0 A i = A J
M e t o d a p o t e n c j a Bó w w z Bo w y c h -
o p i s e l e m e n t ó w
1
i k = u j
R k `" 0
R k
i k = g k j u
j
M e t o d a p o t e n c j a Bó w w z Bo w y c h -
o p i s e l e m e n t ó w
i 1 y 1 1 y 1 2 ï" y 1 b u 1
îø ùø îø ùø îø ùø
ïø úø ïø
i 2 y 2 1 y 2 2 ï" y 2 b úø ïø u 2 úø
ïø úø ïø úø ïø úø
=
ïø úø ïø úø ïø úø
î" î" î" î" î" î"
ïø úø ïø úø ïø úø
i b y b 1 y b 2 ï" y b b ûø ðø u b ûø
ðø ûø ðø
R e z y s t a n c j e : yr ó d Ba s t e r o w a n e :
0 d l a ± `" k
ñø
0 d l a ± `" j
ñø
ôø
1
y k ± =
y k ± =
òø
òø
d l a ± = k
g k j d l a ± = j
óø
ôø
R k
óø
M e t o d a p o t e n c j a Bó w w z Bo w y c h -
r ó w n a n i e
( 5 )
i = Y b u
A Y b u = A J
'"
p o n i e w a |
u = u - E
'"
A Y b ëø u + E öø = A J
ìø ÷ø
íø øø
'"
c z y l i ( 6 )
A Y b u = A ( J - Y b E )
M e t o d a p o t e n c j a Bó w w z Bo w y c h -
r ó w n a n i e
'"
u = A T u n
T r a n s f o r m a c j a w z Bo w a :
( 7 )
( A Y b A T ) u n = A ( J - Y b E )
( 8 )
Y n u n = J n
M e t o d a p o t e n c j a Bó w w z Bo w y c h -
p r z y k Ba d
2 &!
8 u r u r
1 / 3 &!
6 V
0 , 1 &!
1 A
4 u r
0 , 5 &!
2 A
7 A
0 , 2 &!
5 V
M e t o d a p o t e n c j a Bó w w z Bo w y c h -
p r z y k Ba d
2 &!
8 u r u r
1 / 3 &!
6 V
0 , 1 &!
1 A
4 u r
0 , 5 &!
2 A
7 A
0 , 2 &!
5 V
M e t o d a p o t e n c j a Bó w w z Bo w y c h -
p r z y k Ba d
1 0 0 1 1 0 1
îø ùø
ïø úø
A = 0 1 0 - 1 - 1 1 0
ïø úø
7
ïø úø
0 0 1 0 0 - 1 - 1 ûø
ðø
2
6
4
1 3
5
2
3
1
M e t o d a p o t e n c j a Bó w w z Bo w y c h -
p r z y k Ba d
2 0 0 0 0 0 0
îø ùø
ïø úø
0 5 0 0 0 0 0
ïø úø
ïø úø
0 0 0 0 0 4 0
ïø úø
Y b =
0 0 0 0 0 8 0
ïø úø
ïø úø
0 0 0 0 1 0 0 0
ïø úø
0 0 0 0 0 3 0
ïø úø
ïø
0 0 0 0 0 0 0 , 5 úø
ðø ûø
M e t o d a p o t e n c j a Bó w w z Bo w y c h -
p r z y k Ba d
5
îø ùø
2
îø ùø
ïø úø
ïø úø
0
7
ïø úø
ïø úø
ïø úø
0
ïø úø
- 1
ïø úø
ïø úø
E =
0
J =
0
ïø úø
ïø úø
ïø úø
ïø úø 0
0
ïø úø
ïø úø
- 6 úø
ïø
0
ïø úø
ïø úø
ïø úø
0
0 ðø ûø
ðø ûø
M e t o d a p o t e n c j a Bó w w z Bo w y c h -
p r z y k Ba d
M e t o d a p o t e n c j a Bó w w z Bo w y c h :
s i e c i l i n i o w e , w y m u s z e n i a
s i n u s o i d a l n e
R e z y s t o r R I m p e d a n c j a Z
K o n d u k t a n c j a G A d m i t a n c j a Y
C e w k a : Z L = j ÉL
K o n d e n s a t o r : Z C = 1 / j ÉC
F u n k c j a c z a s u u ( t ) W s k a z U ( É)
F u n k c j a c z a s u i ( t ) W s k a z I ( É)
R , G , u , i s l i c z b a m i Z , Y , V , I s l i c z b a m i z e s p o l o n y m i
r z e c z y w i s t y m i
M P W : s i e c i l i n i o w e , w y m u s z e n i a
s i n u s o i d a l n e
( A Y b A T ) U n = A ( J - Y b E )
Y n U n = J n
I n d u k c y j n o [c i s p r z |o n e
M
k = d" 1
U L = j É L I L
L 1 L 2
d i 1 d i 2 d i 2 d i 1
u L 1 = L 1 , u L 2 = L 2 , u M 1 = M , u M 2 = M
d t d t d t d t
1
I L = “U L
“ = L - 1
j É
M P W : w y m u s z e n i a s i n u s o i d a l n e -
p r z y k Ba d
2
1
3
5
6
3
2
1
4
1
Y C = j É C , Y L =
j É L
M P W : w y m u s z e n i a s i n u s o i d a l n e -
p r z y k Ba d
1 0 0 0 1 0
îø ùø
ïø úø
A = 0 1 0 0 - 1 1
ïø úø
ïø úø
0 0 1 1 0 - 1 ûø
ðø
5 6 5 6
- 1
4 6 2 , 5 - 1 , 5
5 5
îø ùø îø ùø
“ = L - 1 = =
ïø ïø úø
6 6
6 1 0 úø - 1 , 5 1
ðø ûø ðø ûø
1
É = 0 , 5 r a d s
= - 2 j “
j É L
M P W : w y m u s z e n i a s i n u s o i d a l n e -
p r z y k Ba d
1 2 3 4 5 6
1 0 0 0 0 0 - 1
1 îø ùø îø ùø
ïø úø ïø úø
0 j 3 0 0 0 0 0
2
ïø úø ïø úø
ïø úø ïø úø
0 8 0 0 0 0 0
3
Y b = E =
ïø úø J = 0
ïø úø
4
0 0 0 2 0 0 0
ïø úø ïø úø
ïø úø ïø úø
5
0 0 0 0 - j 5 j 3
0
ïø úø
ïø úø
6
0 0 0 0 j 3 - j 2 ûø
0
ïø úø
ïø úø
ðø
ðø ûø
1
1 - j 5 j 8 - j 3
îø ùø
îø ùø
ïø
ïø úø
J n = 0 úø
Y n = j 8 - j 1 0 j 5
ïø úø
ïø úø
ïø úø
0 ûø
ïø úø
- j 3 8 + j 5 2 - j 2 ûø
ðø
ðø
B e z p o [r e d n i e w y z n a c z a n i e
r ó w n a n i a w z Bo w e g o
Y n = A Y b A T
J n = A ( J - Y b E )
B e z p o [r e d n i e w y z n a c z a n i e
r ó w n a n i a w z Bo w e g o
i j
i
y l - y l
îø ùø
Y n =
ïø
j
- y l y l úø
ðø ûø
i
( J l - y l E l )
îø ùø
J n =
ïø
j
- ( J l - y l E l ) úø
ðø ûø
B e z p o [r e d n i e w y z n a c z a n i e
r ó w n a n i a w z Bo w e g o
k i
y c
u c g m u c
J c J l
E c E l
m
j
o d k d o m
o d i i
( J l - g m E c )
g m - g m
îø ùø îø ùø
Y n = J n =
ïø ïø
d o j j
- g m g m úø - ( J l - g m E c ) úø
ðø ûø ðø ûø
M e t o d a p o t e n c j a Bó w w z Bo w y c h -
p r z y k Ba d
7
2
6
4
1 3
2 &!
5
2
8 u r u r
3
1
1 / 3 &!
6 V
0 , 1 &!
1 A
4 u r
0 , 5 &!
2 A
7 A
0 , 2 &!
5 V
B e z p o [r e d n i e w y z n a c z a n i e
r ó w n a n i a w z Bo w e g o - p r z y k Ba d
2 + 1 0 + 0 , 5 1 0 + 8 0 , 5 8
Y N =
1 0 5 + 1 0 + 3 8 3 + 8
0 , 5 3 + 4 3 + 0 , 5 4
2 1 0 + 4 8
J N =
7 + 1 8 4 8
1 + 2 4 1 8
A n a l i z a s i e c i n i e l i n i o w y c h m e t o d
p o t e n c j a Bó w w z Bo w y c h
i k
i k
i k = g k ( u k )
b k
u k
u k
J k
E k
( )
i k = g k u
j
A n a l i z a s i e c i n i e l i n i o w y c h m e t o d
p o t e n c j a Bó w w z Bo w y c h
g 1 ( u ± )
i 1 îø ùø
îø ùø
ïø
ïø úø
( ) úø = g ( u )
g 1 u ² úø
i 2
ïø
ïø úø
i = =
ïø úø
ïø úø î"
î"
ïø
ïø úø
( ) úø
g 1 u ¶ úø
i b
ïø
ðø ûø
ðø ûø
d o w o l n e n a p i c i e g a Bz i o w e
u ± , u ± ï" u 1 , u 2 , ï" u b
J e |e l i n i e m a zr ó d e B
s t e r o w a n y c h :
± = 1 , ² = 2 , ï" ¶ = b
A n a l i z a s i e c i n i e l i n i o w y c h m e t o d
p o t e n c j a Bó w w z Bo w y c h
'" '"
A i = A J
A i = 0 i = i - J
'"
A g ( u ) = A J
u = u - E
'"
u = A T u n
A n a l i z a s i e c i n i e l i n i o w y c h m e t o d
p o t e n c j a Bó w w z Bo w y c h
f ( x ) = 0
( ) ( )
f x = f u n = A g ° ( A T u n + E ) - A J
S i e c i n i e l i n i o w e - p r z y k Ba d
0 , 5
2 b
2
1
1
1
c
d
4 i = u d 2
a
2
S i e c i n i e l i n i o w e - p r z y k Ba d
a b c d
1 - 1 1 0 0
A =
[ ]
2 0 - 1 1 1
a 2
b 0
E =
J = 0
c 0
[ ]
d 0
S i e c i n i e l i n i o w e - p r z y k Ba d
1 Å"u a
a
2 Å"u b
b
g ( u ) =
c 0 . 2 5 Å"u c
[ ]
d
u d 2
S i e c i n i e l i n i o w e - p r z y k Ba d
A g ° žà A T u n ƒàE Ÿà- A J
- 1 0
2
- 1 1 0 0 1 - 1 u 1 Ĉ
0
g ° - 0
[ ]
0 - 1 1 1 0 [ ]
1
0
u 2
[ ]
[ ]
žà Ÿà
0 1 0
S i e c i n i e l i n i o w e - p r z y k Ba d
- u 1
2
- 1 1 0 0
u 1 - u 2 Ĉ
0
g °
[ ]
0 - 1 1 1 0
u 2
[ ]
[ ]
žà Ÿà
0
u 2
- u 1 Ĉ2
- 1 1 0 0
u 1 - u 2
g °
[ ]
0 - 1 1 1
u 2
[ ]
žà Ÿà
u 2
S i e c i n i e l i n i o w e - p r z y k Ba d
- u 1 Ĉ2
2 žàu 1 - u 2 Ÿà
- 1 1 0 0
[ ]
0 - 1 1 1
0 . 2 5 u 2
[ ]
žà Ÿà
u 2 2
u 1 - 2 Ĉ2 u 1 - 2 u 2 3 u 1 - 2 u 2 - 2
=
[ ] [ ]
- 2 u 1 Ĉ2 u 2 Ĉ0 . 2 5 u 2 Ĉu 2 2 - 2 u 1 Ĉ2 . 2 5 u 2 Ĉu 2 2
Z m o d y f i k o w a n a m e t o d a p o t e n c j a Bó w
w z Bo w y c h
I d e a :
I . D o u k Ba d u r ó w n a D w z Bo w y c h u z y s k a n y c h z p r d o w e g o
p r a w a K i r c h h o f f a d o Bc z a m y d o d a t k o w e r ó w n a n i a , n a p i s a n e
d l a n a s t p u j c y c h g a Bz i :
- z a w i e r a j c y c h zr ó d Ba n a p i c i o w e : n i e z a l e |n e i s t e r o w a n e ,
- g a Bz i w p o s t a c i z w a r c i a ,
- z a w i e r a j c e e l e m e n t y u z a l e |n i o n e p r d o w o ( o d p r d u
p By n c e g o p r z e z t s a m l u b i n n g a Bz)
Z m o d y f i k o w a n a m e t o d a p o t e n c j a Bó w
w z Bo w y c h
I I . P r d y g a Bz i z p . I . s t r a k t o w a n e j a k o d o d a t k o w e
z m i e n n e p i e r w o t n e n a r ó w n i z p o t e n c j a Ba m i w z Bo w y m i
Y n B u n J n
îø ùø îø ùø
îø ùø
=
ïø
i d F d
C D úø ïø úø ïø úø
ðø ûø
ðø ûø ðø ûø
Z m o d y f i k o w a n a m e t o d a p o t e n c j a Bó w
w z Bo w y c h
2
1
G 1 ( u 1 - u 2 ) - i 1 = 0
G 1
- G 1 ( u 1 - u 2 ) + u 2 G 2 = 0
E
G 2
i 1
u 1 = E
1 2 i 1
1
-
G 1 - G 1 1 u 1 0
îø ùø îø ùø îø ùø
2
ïø ïø úø
- G 1 G 1 + G 2 0 úø ïø u 2 úø = 0
i 1
ïø úø ïø úø ïø úø
ïø úø ïø úø ïø úø
- 1 0 0 ûø ðø i 1 ûø ðø - E 1 ûø
ðø
yr ó d Bo n a p i c i o w e n i e z a l e |n e
u i - u + E k = Z k i k
j
E k
Z k
i k
c z y l i :
i
j
u i - u - Z k i k = - E k
j
yr ó d Bo n a p i c i o w e s t e r o w a n e
n a p i c i o w o
i m
i k
u s
A u s
J s
E s
j
n
yr ó d Bo n a p i c i o w e s t e r o w a n e
n a p i c i o w o
i j m n i k
i
1
îø ùø u i
îø ùø
îø ùø
j ïø
úø
- 1 úø ïø j úø ïø
u
ïø úø
ïø úø
ïø úø
m
u m
ïø úø
=
ïø úø
ïø úø
n
ïø úø
ïø úø
ïø úø
u n
i k ïø úø
ïø úø
ïø úø
ïø1 - 1 A - A úø - A E s ûø
ïø i k úø ïø úø
ðø
ðø ûø
ðø ûø
yr ó d Bo n a p i c i o w e s t e r o w a n e
p r d o w o
i m
i s
i k
u s
y s
K i s
J s
E s
j
n
'
y s `" " , i s = y s u s , K i s = K y s u s = K u s
'
g d z i e :
K = K y s
yr ó d Bo p r d o w e s t e r o w a n e p r d o w o
i m
i s
i k
u s
y s
A i s
J s
E s
j
n
y s `" " , i s = y s u s , A i s = A y s u s = G ' u s
g d z i e :
G ' = A y s
Z m o d y f i k o w a n a m e t o d a p o t e n c j a Bó w
w z Bo w y c h - p r z y k Ba d
1 / 2
4 u f
1 2 3
c
d 1 c 2 d 3
a
e
b
4 b e
2 i e
1 / 4
2
u f
f
a
f
4
Z m o d y f i k o w a n a m e t o d a p o t e n c j a Bó w
w z Bo w y c h - p r z y k Ba d
1 2 3
1
2 2 2 2 0
2 =
- 2 2 - 2 2 0
Y N =
3
4 + 1 / 4 0 0 4 . 2 5
1
0
2
0
J N =
0
3
Z m o d y f i k o w a n a m e t o d a p o t e n c j a Bó w
w z Bo w y c h - p r z y k Ba d
a : 2 i a + 4 = u 1 ’! u 1 - 2
b : i b = - 2 i e i e = 4 u 3 ’! i b = - 8 u 3 ’! i b + 8 u 3 = 0
d : u 3 - u 2 = 4 u f u f = u 3 ’! u 3 - u 2 = 4 u 3 ’! u 3 - 4 u 3 - u 2
Z m o d y f i k o w a n a m e t o d a p o t e n c j a Bó w
w z Bo w y c h - p r z y k Ba d
1 2 3 i a i b
2 2 0 1
i d
u 1
1
0
1
u 2
2
0
- 2 2 0
u 3
3
0
1
=
i a i a
4
0 0 4 . 2 5
i b
i b
0
- 1
i d
i d
0
1 - 2
8
1
- 1 1 - 4
Z m o d y f i k o w a n a m e t o d a p o t e n c j a Bó w
w z Bo w y c h - p r z y k Ba d
2 2 0 1
1 0
1 2 3 i a i b
i d
u 1
- 2 2 0 0
1
0
0 1
u 2
2
0
0 0 4 . 2 5 0
u 3
3
0
0 - 1 =
i a i a
4
1 0 0 - 2
i b
i b
0
0 0
i d
i d
0
0 0 8 0
1 0
0 - 1 - 3 0
0 0
Z m o d y f i k o w a n a m e t o d a p o t e n c j a Bó w
w z Bo w y c h - p r z y k Ba d
u 1
0 . 4 1 7 9
u 2
1 . 4 3 2 8
u 3
- 0 . 4 7 7 6
=
i a
- 1 . 7 9 1 0
i b
3 . 8 2 0 9
i d
- 2 . 0 2 9 9
M e t o d y m a c i e r z y r z a d k i c h
x x 0 0 x x x x
îø ùø îø ùø
ïø ïø
x x x 0 úø x x x x úø
ïø úø ïø úø
A = A - 1 =
ïø úø ïø úø
0 x x x x x x x
ïø úø ïø úø
0 0 x x ûø x x x x ûø
ðø ðø
x 0 0 0 1 x 0 0
îø ùø îø ùø
ïø ïø
x x 0 0 úø 0 1 x 0 úø
ïø úø ïø úø
L = U =
ïø úø ïø úø
0 x x 0 0 0 1 x
ïø úø ïø úø
0 0 x x ûø 0 0 0 1 ûø
ðø ðø
Z a Bo |e n i a o d n o [n i e m a c i e r z y A
m a c i e r z s t r u k t u r a l n i e
x 0 x 0
îø ùø
s y m e t r y c z n a
ïø
0 x x 0 úø
a i j = 0 a j i = 0
ïø úø
1 .
A =
l u b
ïø úø
x x x x
a i j `" 0 a j i `" 0
ïø
0 0 x x úø
ðø ûø
2 .
a i i `" 0
3 .
l i i `" 0
4 .
l i j = 0 - 2 · ( - 6 ) - 3 · 4 = 0 - m i m o t o p r z y j m u j e m y |e
n p . l i j = 6 Å" 2 - 4 - 4 Å" 2 = 0
p o w s t a B n o w y e l e m e n t n i e z e r o w y - n i e r o z w a |a m y k o n k r e t n y c h w a r t o [c i
W p By w k o l e j n o [c i o p e r a c j i n a l i c z b
n o w y c h e l e m e n t ó w n i e z e r o w y c h
x 0 0 x x 0 0 x
îø ùø îø ùø
ïø ïø
0 x 0 x úø 0 x 0 x úø
ïø úø ïø úø
A = Q =
ïø úø ïø úø
0 0 x x 0 0 x x
ïø ïø
x x x x úø x x x x úø
ðø ûø ðø ûø
x x x x x x x x
îø ùø îø ùø
ïø ïø
x x 0 0 úø x x x x úø
ïø úø ïø úø
A = Q =
ïø úø ïø úø
x 0 x 0 x x x x
ïø ïø
x 0 0 x úø x x x x úø
ðø ûø ðø ûø
O k r e [l a n i e n o w y c h e l e m e n t ó w
n i e z e r o w y c h m e t o d g r a f u
W y s t p u j e a n a l o g i a m i d z y r o z k Ba d e m L U a m e t o d e l i m i n a c j i
G a u s s a . M o |n a d y s k u t o w a k o l e j n o [ e l i m i n a c j i z m i e n n y c h z r ó w n a D
A Å" x = ¼
ëø öø
n
ìø ÷ø
1
x i = - a i k Å" x k - µ
"
i ÷ø
a i i ìø k = 1
ìø ÷ø
k `" i
íø øø
E l i m i n a c j i j e j w p By w n a p o w s t a w a n i e n o w y c h e l e m e n t ó w n i e z e r o w y c h
m o |n a p r z e d s t a w i p o p r z e z o d p o w i e d n i g r a f o d p o w i a d a j c y m a c i e r z y A
O k r e [l a n i e l i c z b y n o w y c h
e l e m e n t ó w z u |y c i e m g r a f u
B u d u j e m y g r a f w t e n s p o s ó b , |e k a |d e j p a r z e n i e z e r o w y c h n i e d i a g o n a l n y c h
e l e m e n t ó w ( a i j , a j i ) o d p o w i a d a k r a w d z Bc z c a w i e r z c h o Bk i i o r a z j .
1 . W y b i e r a m y w i e r z c h o Be k i . D l a k a |d e j p a r y k r a w d z i ( i , j ) i ( i , k ) i n c y d e n t n y c h
z i , j e [l i j i k n i e s p o Bc z o n e k r a w d z i , t w o r z y m y k r a w d z j e Bc z c .
U t w o r z e n i e k r a w d z i o z n a c z a p o w s t a n i e n o w e g o e l e m e n t u n i e z e r o w e g o .
2 . U s u w a m y i o r a z k r a w d z i e d o n i e g o d o c h o d z c e . J e [l i g r a f j e s z c z e i s t n i e j e ,
w r a c a m y d o p u n k t u 1 .
j
j
k
i
k
i
m
m
O k r e [l a n i e l i c z b y n o w y c h
e l e m e n t ó w - p r z y k Ba d
x 1 b 1
x x 0 x 0
îø ùø îø ùø
îø ùø
1
2
ïø úø ïø úø
ïø úø
x 2 b 2
x x x 0 x úø ïø úø ïø úø
ïø
ïø ïø
ïø
0 x x 0 0 úø Å" x 3 úø = b 3 úø
ïø úø ïø úø
ïø úø
5
ïø
x 0 0 x 0 úø ïø úø ïø úø
x 4 b 4
ïø úø ïø úø
ïø úø
3
4
ïø úø ïø úø
ïø 0 x 0 0 x ûø ðø ûø ðø ûø
úø
x 5 b 5
ðø
O k r e [l a n i e l i c z b y n o w y c h
e l e m e n t ó w - p r z y k Ba d
1
2 2
( 4 , 2 i 2 , 4 )
5 5
3 3
4 4
( 4 , 2 i 2 , 4 )
( 5 , 3 i 3 , 5 )
( 4 , 3 i 3 , 4 )
5
5
5
3
4
4
O k r e [l a n i e l i c z b y n o w y c h
e l e m e n t ó w - p r z y k Ba d
4
1
1
2
2
2
5
5
5
4 = 1
3
3
4
3
1
2 2
1 = 2 3 = 3
2 = 4
5
5 = 5
3 3
A l g o r y t m p o r z d k o w a n i a p r a w i e
o p t y m a l n e g o
Ï%
B r a k j e s t a l g o r y t m ó w p o r z d k o w a n i a
o p t y m a l n e g o
Ï%
P r z e d s t a w i o n y a l g o r y t m w w i k s z o [c i
p r z y p a d k ó w d a j e o p t y m a l n y p o r z d e k
Ï%
P r z y j m u j e m y s t r u k t u r m a c i e r z y A
( w s p ó Bc z y n n i k ó w r ó w n a n i a ) t a k j a k p o p r z e d n i o
Ï%
T w o r z y m y n a p o d s t a w i e m a c i e r z y A g r a f
n i e s k i e r o w a n y t a k j a k p o p r z e d n i o
A l g o r y t m p o r z d k o w a n i a p r a w i e
o p t y m a l n e g o
Ï%
P o c z t k o w o G j e s t g r a f e m o r y g i n a l n y m o r a z
J = 1
0 . W G z n a j d z w i e r z c h o Be k i n c y d e n t n y z t y l k o
j e d n k r a w d z i . J e [l i j e s t , n a d a j m u n u m e r J ,
w y k o n a j 4 i w r ó d o 1 . J e [l i n i e m a , i d z d o 2 .
1 . W G z n a j d z w i e r z c h o Be k k t ó r e g o e l i m i n a c j a n i e
w p r o w a d z i n o w e j k r a w d z i . J e [l i j e s t , n a d a j m u
n u m e r J , w y k o n a j 4 i w r ó d o 1 . J e [l i n i e m a ,
i d z d o 3 .
A l g o r y t m p o r z d k o w a n i a p r a w i e
o p t y m a l n e g o
3 . D l a k a |d e g o w i e r z c h o Bk a w G o k r e [l l i c z b n
n o w y c h e l e m e n t ó w n i e z e r o w y c h p r z y
z a Bo |e n i u , |e t y l k o o n b d z i e w y e l i m i n o w a n y .
W y b i e r z t e n , k t ó r y m a n a j m n i e j s z e n ( j e [l i d l a
k i l k u n j e s t t a k i e s a m o , w y b i e r z t e n k t ó r y j e s t
i n c y d e n t n y z n a j w i k s z l i c z b k r a w d z i ) .
N a d a j m u n u m e r J , w y k o n a j 4 i w r ó d o 2 .
A l g o r y t m p o r z d k o w a n i a p r a w i e
o p t y m a l n e g o
4 . J e [l i z o s t a B t y l k o j e d e n n i e p r z e n u m e r o w a n y
w i e r z c h o Be k , n a d a j m u n u m e r J i k o n i e c
a l g o r y t m u . W p r z e c i w n y m p r z y p a d k u u s u D
n o w o p r z e n u m e r o w a n y w i e r z c h o Be k i k r a w d z i e
z n i m i n c y d e n t n e , d o d a j k r a w d z i e
o d p o w i a d a j c e n o w y m e l e m e n t o m n i e z e r o w y m
i z w i k s z J o 1 .
A l g o r y t m p o r z d k o w a n i a p r a w i e
o p t y m a l n e g o - p r z y k Ba d
6
8
1
7
9
1 0
1 1
3
2 5
1 2
4
1 4
1 3
A l g o r y t m p o r z d k o w a n i a p r a w i e
o p t y m a l n e g o - p r z y k Ba d
6
8
7
9
1 0
1 1
3
2 5
1 2
1 4
1 3
1 - > 1
4 - > 2
A l g o r y t m p o r z d k o w a n i a p r a w i e
o p t y m a l n e g o - p r z y k Ba d
6
8
7
9
1 0
1 1
2 5
1 2
1 3
1 - > 1 1 4 - > 3
4 - > 2 3 - > 4
A l g o r y t m p o r z d k o w a n i a p r a w i e
o p t y m a l n e g o - p r z y k Ba d
6
8
7
9
1 0
1 1
5
1 2
1 3
1 - > 1 1 4 - > 3 2 - > 5
4 - > 2 3 - > 4
A l g o r y t m p o r z d k o w a n i a p r a w i e
o p t y m a l n e g o - p r z y k Ba d
8
9
1 0
1 1
5
1 3
1 - > 1 1 4 - > 3 2 - > 5 6 - > 7
4 - > 2 3 - > 4 7 - > 6 1 2 - > 8
A l g o r y t m p o r z d k o w a n i a p r a w i e
o p t y m a l n e g o - p r z y k Ba d
8
9
1 0
1 1
1 3
1 - > 1 1 4 - > 3 2 - > 5 6 - > 7 5 - > 9
4 - > 2 3 - > 4 7 - > 6 1 2 - > 8
A l g o r y t m p o r z d k o w a n i a p r a w i e
o p t y m a l n e g o - p r z y k Ba d
1 0
1 - > 1 1 4 - > 3 2 - > 5 6 - > 7 5 - > 9 9 - > 1 1 1 1 - > 1 3
4 - > 2 3 - > 4 7 - > 6 1 2 - > 8 1 3 - > 1 0 8 - > 1 2
A l g o r y t m p o r z d k o w a n i a p r a w i e
o p t y m a l n e g o - p r z y k Ba d
1 0
1 - > 1 1 4 - > 3 2 - > 5 6 - > 7 5 - > 9 9 - > 1 1 1 1 - > 1 3
4 - > 2 3 - > 4 7 - > 6 1 2 - > 8 1 3 - > 1 0 8 - > 1 2 1 0 - > 1 4
O p r o g r a m o w a n i e d o o b l i c z e D i
s y m u l a c j i i n |y n i e r s k i c h
Ï%
M a t l a b
Ï%
O c t a v e
Ï%
S c i L a b
M a t l a b - p o d s t a w o w e i n f o r m a c j e
Ï%
S k r ó t o d M a t r i x L a b o r a t o r y
Ï%
O p r a c o w a n y p o d k o n i e c l a t 7 0 X X w . n a
u n i w e r s y t e c i e N e w M e x i c o
Ï%
W 1 9 8 4 p o w s t a j e f i r m a M a t h W o r k s ;
k o m e r c j a l i z a c j a p r o g r a m u
Ï%
W 2 0 0 4 u |y w a n y p r z e z p o n a d 1 0 0 0 0 0 0
u |y t k o w n i k ó w ; d e f a c t o s t a n d a r d d l a
n u m e r y c z n y c h o b l i c z e D i n |y n i e r s k i c h
Ï%
h t t p : / / w w w . m a t h w o r k s . c o m / p r o d u c t s / m a t l a b /
M a t l a b - p o d s t a w o w e i n f o r m a c j e
Ï%
D o k o n u j e j e d y n i e o b l i c z e D n u m e r y c z n y c h , c h o
m o |n a d o Bc z y i n t e r f e j s d l a o b l i c z e D
a l g e b r a i c z n y c h
Ï%
N i e m a l |e w s z y s t k o w M a t l a b i e j e s t m a c i e r z
Ï%
D o s t p n y c h j e s t b a r d z o w i e l e t z w . t o o l b o x ó w ,
r o z s z e r z a j c y c h f u n k c j o n a l n o [ p o d s t a w o w e g o
p r o g r a m u o n p . o p t y m a l i z a c j , o b l i c z e n i a
s t a t y s t y c z n e , o b l i c z e n i a A I , p r z e t w a r z a n i e
s y g n a Bó w
Ï%
I s t o t n y m d o d a t k i e m j e s t S i m u l i n k , s Bu |c y d o
w i e l o d o m e n o w e g o m o d e l o w a n i a s y s t e m ó w
M a t l a b - p o d s t a w y p r a c y
Ï%
M o |n a w y r ó |n i d w a p o d s t a w o w e t r y b y p r a c y :
i n t e r a k t y w n y
s k r y p t o w y
Ï%
O b a t r y b y s i n t e r p r e t o w a n e
Ï%
W o b u t r y b a c h m o |n a u |y w a t y c h s a m y c h
p o l e c e D
Ï%
S k r y p t y M a t l a b a m a j r o z s z e r z e n i e . m
Ï%
J e s t m o |l i w o [ s k o m p i l o w a n i a k o d u M a t l a b a
t a k , a b y u z y s k a o s o b n a p l i k a c j
M a t l a b - z m i e n n e
Ï%
Z m i e n n e n i e m u s z b y d e k l a r o w a n e p r z e d
p r z y p i s a n i e m w a r t o [c i ( a l e m u s z m i e p r z y p i s a n
w a r t o [ p r z e d u |y c i e m w w y r a |e n i u )
Ï%
W a r t o [c i p r z y p i s u j e s i o p e r a t o r e m =
Ï%
J e [l i n i e z o s t a B p r z y p i s a n y d o k o n k r e t n e j z m i e n n e j ,
o s t a t n i w y n i k o b l i c z e D j e s t z a p i s y w a n y w z m i e n n e j
a n s
Ï%
A b y o d c z y t a w a r t o [ z m i e n n e j , n a l e |y p o d a j e j
n a z w
Ï%
A b y w y n i k d z i a Ba n i a n i e b y B w y p r o w a d z a n y n a
e k r a n , p o l e c e n i e n a l e |y z a k o Dc z y [r e d n i k i e m ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 2 1 > m y v a l = 7
m y v a l = 7
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 2 2 > a n o t h e r v a l = 8
a n o t h e r v a l = 8
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 2 3 > m y v a l = a n o t h e r v a l
m y v a l = 8
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 2 4 > m y v a l = t h i r d v a l
e r r o r : ` t h i r d v a l ' u n d e f i n e d n e a r l i n e 2 4 c o l u m n 7
e r r o r : e v a l u a t i n g a s s i g n m e n t e x p r e s s i o n n e a r l i n e 2 4 , c o l u m n 6
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 2 4 > m y v a l
m y v a l = 8
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 2 5 > m y v a l = 9 ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 2 6 > m y v a l
m y v a l = 9
M a t l a b - p r o s t e o b l i c z e n i a
Ï%
M o |n a u |y w a t y p o w y c h o p e r a t o r ó w
a r y t m e t y c z n y c h , n a w i a s ó w i t d .
Ï%
K o l e j n o [ o b l i c z e D j e s t z g o d n a z k o l e j n o [c i
o p e r a t o r ó w a r y t m e t y c z n y c h
Ï%
m o |n a u |y w a o p e r a t o r ó w p o r ó w n a D: = = , < ,
> , < = , > = , ! = . W y n i k i e m p o r ó w n a D j e s t 1
( p r a w d a ) l u b 0 ( f a Bs z ) . M a t l a b t r a k t u j e z a w s z e
w a r t o [c i n i e - z e r o w e j a k o p r a w d
Ï%
m o |n a u |y w a o p e r a t o r ó w l o g i c z n y c h : & , I ,
~
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 0 > a n o t h e r v a l = 2 + m y v a l * 8
a n o t h e r v a l = 7 4
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 1 > 1 > 2
a n s = 0
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 2 > 5 ! = 6
a n s = 1
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 3 > a = 4
a = 4
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 4 > b = 3
b = 3
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 5 > c = 4 * ( a > b )
c = 4
M a t l a b - w y w o Ba n i e f u n k c j i
Ï%
F u n k c j e w M a t l a b i e m o g b y :
w b u d o w a n e
z a w a r t e w m - p l i k a c h
Ï%
F u n k c j w y w o Bu j e s i p o d a j c j e j n a z w i
a r g u m e n t y w n a w i a s a c h o k r g By c h
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 8 > x = s i n ( 3 . 1 4 )
x = 0 . 0 0 1 5 9 2 7
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 9 > y = c o s ( 1 )
y = 0 . 5 4 0 3 0
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 5 0 > a b s ( - 9 )
a n s = 9
M a c i e r z e i w e k t o r y
Ï%
N a w e t p o j e d y n c z a w a r t o [ w M a t l a b i e m o |e
b y t r a k t o w a n a j a k o m a c i e r z / w e k t o r
Ï%
M a t l a b z a w i e r a s z e r e g o p e r a t o r ó w
u m o |l w i a j c y c h b u d o w a n i e m a c i e r z y o r a z
o d w o By w a n i e s i d o p o s z c z e g ó l n y c h i c h
f r a g m e n t ó w
Ï%
N a j p r o s t s z m e t o d u t w o r z e n i a m a c i e r z y j e s t
p o d a n i e j e j w a r t o [c i w n a w i a s a c h
k w a d r a t o w y c h ; w a r t o [c i w r z d z i e r o z d z i e l a s i
s p a c j l u b p r z e c i n k i e m , w k o l u m n i e -
[r e d n i k i e m
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 5 3 > a = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ]
a =
1 2 3
4 5 6
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 5 4 > b = [ 1 2 ; 3 4 ; 5 6 ]
b =
1 2
3 4
5 6
M a c i e r z e i w e k t o r y
Ï%
D o s t p d o e l e m e n t u / e l e m e n t ó w m a c i e r z y
u m o |l i w i a o p e r a t o r ( ) ( n a w i a s y o k r g Be )
Ï%
W n a w i a s a c h p o d a j e s i w y m a g a n e i n d e k s y ,
b d z z a k r e s i n d e k s ó w - u |y w a j c o p e r a t o r a :
( d w u k r o p e k )
Ï%
J e [l i o d w o Ba n i e m a d o t y c z y w s z y s t k i c h
i n d e k s ó w w d a n y m w y m i a r z e , m o |n a u |y
s a m e g o d w u k r o p k a
Ï%
N a j p i e r w p o d a j e s i i n d e k s w i e r s z a , p o t e m
k o l u m n y
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 5 7 > a ( 1 , 1 )
a n s = 1
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 5 8 > a ( 2 , 1 )
a n s = 4
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 5 9 > a ( 1 , 2 : 3 )
a n s =
2 3
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 6 0 > a ( 1 , : )
a n s =
1 2 3
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 6 1 > a ( : , : )
a n s =
1 2 3
4 5 6
O d w o Ba n i e d o e l e m e n t u a
w y w o Ba n i e f u n k c j i
Ï%
M a t l a b s t o s u j e t e n s a m o p e r a t o r d o o d w o Ba n i a
d o f r a g m e n t u m a c i e r z y i d o w y w o Ba n i a f u n k c j i
Ï%
P o w o d u j e t o p r o b l e m y j e [l i n a z w a z m i e n n e j j e s t
i d e n t y c z n a z n a z w f u n k c j i
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 7 5 > s i n ( 1 )
a n s = 0 . 8 4 1 4 7
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 7 6 > s i n = 7
s i n = 7
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 7 7 > s i n ( 1 )
a n s = 7
K o n s t r u o w a n i e m a c i e r z y
Ï%
M a c i e r z e m o |n a k o n s t r u o w a n i e t y l k o z e
s k a l a r ó w , a l e t e | z i n n y c h m a c i e r z y
Ï%
S t o s u j e s i t e s a m e o p e r a t o r y c o p o p r z e d n i o ,
a l e z a m i a s t s k a l a r ó w w s t a w i a m a c i e r z e
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 8 0 > d = [ 1 2 ; 3 4 ]
d =
1 2
3 4
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 8 1 > e = [ 5 6 ; 7 8 ]
e =
5 6
7 8
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 8 2 > f = [ d e ]
f =
1 2 5 6
3 4 7 8
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 8 3 > g = [ d ; e ]
g =
1 2
3 4
5 6
7 8
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 8 4 > h = [ d ; - 1 - 2 ]
h =
1 2
3 4
- 1 - 2
O p e r a c j e n a m a c i e r z a c h
Ï%
W p r z y p a d k u m a c i e r z y d o s t p n y c h j e s t w i c e j
o p e r a c j i n i | w p r z y p a d k u s k a l a r ó w
Ï%
T e n s a m o p e r a t o r m o |e m i e n i e c o i n n e
d z i a Ba n i e w p r z y p a d k u k i e d y d z i a Ba n a
s k a l a r a c h , m a c i e r z a c h , b d z s k a l a r a c h i
m a c i e r z a c h j e d n o c z e [n i e
Ï%
R ó |n e m o |e b y t e | d z i a Ba n i e f u n k c j i w
z a l e |n o [c i c z y a r g u m e n t e m j e s t s k a l a r , w e k t o r
( m a c i e r z j e d n o w y m i a r o w a ) c z y m a c i e r z
( w i e l o w y m i a r o w a )
O p e r a c j e n a m a c i e r z a c h
Ï%
* m n o |e n i e m a c i e r z y
Ï%
/ m n o |e n i e p r z e z o d w r o t n o [ m a c i e r z y z
p r a w e j s t r o n y
Ï%
\ m n o |e n i e o d w r o t n o [c i m a c i e r z y z l e w e j
s t r o n y
Ï%
. * . / . \ m n o |e n i e i d z i e l e n i e t a b l i c o w e
Ï%
* / m n o |e n i e i d z i e l e n i e p r z e z s k a l a r
Ï%
+ - d o d a w a n i e i o d e j m o w a n i e m a c i e r z y
Ï%
+ - d o d a w a n i e i o d e j m o w a n i e m a c i e r z y i
s k a l a r a
Ï%
' t r a n s p o z y c j a
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 2 6 > a = [ 1 2 ; 3 4 ]
a =
1 2
3 4
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 2 7 > b = [ 5 6 ; 7 8 ] ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 2 8 > c = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ] ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 2 9 > a * b
a n s =
1 9 2 2
4 3 5 0
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 3 0 > a . * b
a n s =
5 1 2
2 1 3 2
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 3 1 > a * c
a n s =
9 1 2 1 5
1 9 2 6 3 3
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 3 2 > a . * c
e r r o r : p r o d u c t : n o n c o n f o r m a n t a r g u m e n t s ( o p 1 i s 2 x 2 , o p 2 i s 2 x 3 )
e r r o r : e v a l u a t i n g b i n a r y o p e r a t o r ` . * ' n e a r l i n e 3 2 , c o l u m n 2
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 3 2 > c * a
e r r o r : o p e r a t o r * : n o n c o n f o r m a n t a r g u m e n t s ( o p 1 i s 2 x 3 , o p 2 i s 2 x 2 )
e r r o r : e v a l u a t i n g b i n a r y o p e r a t o r ` * ' n e a r l i n e 3 2 , c o l u m n 2
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 3 4 > c ' * a
a n s =
1 3 1 8
1 7 2 4
2 1 3 0
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 3 5 > a + b
a n s =
6 8
1 0 1 2
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 3 6 > a + 5
a n s =
6 7
8 9
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 3 7 > a * 5
a n s =
5 1 0
1 5 2 0
F u n k c j e m a c i e r z y
Ï%
F u n k c j e n o r m a l n i e d z i a Ba j c e n a s k a l a r a c h p o
p o d a n i u m a c i e r z y o b l i c z s w o j w a r t o [ d l a
k a |d e g o e l e m e n t u m a c i e r z y ( n p . s i n )
Ï%
F u n k c j e z z a s a d y d z i a Ba j c e n a
m a c i e r z a c h / w e k t o r a c h m o g s i z a c h o w y w a
o d m i e n n i e ( n p . s u m )
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 3 > a = [ 0 . 1 0 . 2 ; 0 . 3 0 . 4 ] ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 4 > s i n ( a )
a n s =
0 . 0 9 9 8 3 3 0 . 1 9 8 6 6 9
0 . 2 9 5 5 2 0 0 . 3 8 9 4 1 8
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 5 > b = [ 1 2 3 ] ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 6 > s u m ( b )
a n s = 6
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 7 > s u m ( b ' )
a n s = 6
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 8 > s u m ( a )
a n s =
0 . 4 0 0 0 0 0 . 6 0 0 0 0
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 9 > s u m ( a ' )
a n s =
0 . 3 0 0 0 0 0 . 7 0 0 0 0
I n f o r m a c j e o m a c i e r z a c h
Ï%
F u n k c j a s i z e z w r a c a r o z m i a r m a c i e r z y , j a k o
w e k t o r n - e l e m e n t o w y
Ï%
s i z e ( x , 1 ) z w r ó c i l i c z b w i e r s z y m a c i e r z y
Ï%
s i z e ( x , 2 ) z w r ó c i l i c z b k o l u m n m a c i e r z y
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 5 2 > s i z e ( b )
a n s =
1 3
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 5 3 > s i z e ( b , 1 )
a n s = 1
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 5 4 > s i z e ( b , 2 )
a n s = 3
M a n i p u l a c j e m a c i e r z a m i
Ï%
M a c i e r z m o |n a r o z s z e r z y p o d a j c w a r t o [
n i e i s t n i e j c e g o e l e m e n t u
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 7 3 > a = [ 1 2 ]
a =
1 2
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 7 4 > a ( 9 ) = 8
a =
1 2 0 0 0 0 0 0 8
M a n i p u l a c j e m a c i e r z a m i
Ï%
M a c i e r z m o |n a z a w z i w p i s u j c m a c i e r z p u s t
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 8 0 > a
a =
1 2 0 0 0 0 0 0 8
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 8 1 > a ( 3 : 8 ) = [ ]
a =
1 2 8
M a n i p u l a c j e m a c i e r z a m i
Ï%
M a c i e r z m o |n a :
p r z e k s z t a Bc i w m a c i e r z o i n n e j l i c z b i e w i e r z y i
k o l u m n : r e s h a p e
o b r ó c i : r o t 9 0
o d b i w z d Bu | o s i : f l i p l r , f l i p u d
p r z e k s z t a Bc i w m a c i e r z o e l e m e n t a c h
p r z e s u n i t y c h k o Bo w o : c i r c s h i f t
s o r t o w a : s o r t , s o r t r o w s
m - p l i k i
Ï%
m - p l i k i m o g z a w i e r a
s k r y p t y
f u n k c j e
Ï%
S k r y p t y p r a c u j n a z m i e n n y c h a k t u a l n i e
i s t n i e j c y c h w [r o d o w i s k u
Ï%
F u n k c j e p r a c u j n a p r z e k a z a n y c h
a r g u m e n t a c h ; z m i e n n e t w o r z o n e w f u n k c j i s
l o k a l n e d l a t e j f u n k c j i
Ï%
W y w o Ba n i e s k r y p t u l u b f u n k c j i n a s t p u j e p o
p o d a n i u n a z w y m - p l i k u ( b e z r o z s z e r z e n i a ) o r a z
a r g u m e n t ó w ( t y l k o d l a f u n k c j i )
F u n k c j e
Ï%
m - p l i k o n a z w i e n a z w a _ f u n k c j i z a w i e r a j c y n a
p o c z t k u d e k l a r a c j :
f u n c t i o n [ r e z u l t a t 1 ,
r e z u l t a t 2 , . . . ] =
n a z w a _ f u n k c j i ( a r g u m e n t 1 , a r g u m e n t 2 ,
. . . )
i o p c j o n a l n i e k o Dc z c y s i i n s t r u k c j r e t u r n
F u n k c j e - p r z y k Ba d
Ï%
Z a w a r t o [ p l i k u c i r c l e . m
f u n c t i o n [ a r e a , c i r c u m f e r e n c e ] = c i r c l e ( r a d i u s )
a r e a = p i * r a d i u s ^ 2 ;
c i r c u m f e r e n c e = 2 * p i * r a d i u s ;
W y w o Ba n
i e
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 5 > [ a , c ] = c i r c l e ( 5 )
a = 7 8 . 5 4 0
c = 3 1 . 4 1 6
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 6 > x = c i r c l e ( 5 ) ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 7 > x
x = 7 8 . 5 4 0
F u n k c j e
Ï%
A b y f u n k c j a m o g Ba z o s t a w y w o Ba n a , m u s i b y
w a k t u a l n y m k a t a l o g u
w k a t a l o g u n a [c i e |c e d o s t p u M a t l a b a
Ï%
A k t u a l n y k a t a l o g m o |n a s p r a w d z i k o m e n d
p w d , z m i e n i k o m e n d c d
Ï%
Zc i e |k d o s t p u m o |n a s p r a w d z i k o m e n d
p a t h , m o d y f i k o w a k o m e n d a m i a d d p a t h ,
r m p a t h
Ï%
A k t u a l n y k a t a l o g j e s t z a w s z e p r z e s z u k i w a n y
p i e r w s z y
K o m e n t a r z e
Ï%
K o m e n t a r z m o |n a u m i e [c i z n a k i e m %
Ï%
T e k s t o d % d o k o Dc a l i n i i j e s t t r a k t o w a n y j a k o
k o m e n t a r z
Ï%
K o m e n t a r z z a w a r t y n a p o c z t k u p l i k u f u n k c j i
( p r z e d d e k l a r a c j ) m o |e b y w y [w i e t l a n y
k o m e n d h e l p
% f u n c t i o n c a l c u l a t i n g a r e a a n d c i r c u m f e r e n c e o f a c i r c l e
% i n p u t s : c i r c l e r a d i u s
f u n c t i o n [ a r e a , c i r c u m f e r e n c e ] = c i r c l e ( r a d i u s )
a r e a = p i * r a d i u s ^ 2 ; % c o m p u t e a r e a
c i r c u m f e r e n c e = 2 * p i * r a d i u s ; % c o m p u t e c i r c u m f e r e n c e
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 1 4 > [ a , c ] = c i r c l e ( 5 )
a = 7 8 . 5 4 0
c = 3 1 . 4 1 6
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 1 5 > h e l p c i r c l e
f u n c t i o n c a l c u l a t i n g a r e a a n d c i r c u m f e r e n c e o f a c i r c l e
i n p u t s : c i r c l e r a d i u s
I n s t r u k c j e s t e r u j c e
i f w a r u n e k 1
i n s t r u k c j e 1
e l s e i f w a r u n e k 2
i n s t r u k c j e 2
e l s e
i n s t r u k c j e 3
e n d
s w i t c h z m i e n n a
c a s e w a r t o [1
i n s t r u k c j e 1
c a s e w a r t o [2
i n s t r u k c j e 2
. . .
o t h e r w i s e
i n s t r u k c j e N
e n d
f u n c t i o n r e s u l t = t e s t i f ( f i r s t , s e c o n d )
i f f i r s t > s e c o n d
r e s u l t = f i r s t ;
e l s e
r e s u l t = s e c o n d ;
e n d
f u n c t i o n r e s u l t = t e s t s w i t c h ( c o n d i t i o n , f i r s t , s e c o n d , t h i r d )
s w i t c h c o n d i t i o n
c a s e 1
r e s u l t = f i r s t ;
c a s e 2
r e s u l t = s e c o n d ;
c a s e 3
r e s u l t = t h i r d ;
o t h e r w i s e
r e s u l t = 0 ;
e n d
P t l e
Ï%
M a t l a b p o z w a l a k o r z y s t a z p t l i t y p u f o r i w h i l e
f o r z m i e n n a = w a r t o [_ p o c z t k o w a : p r z y r o s t : w a r t o [_ k o Dc o w a
i n s t r u k c j e
e n d
w h i l e w a r u n e k
i n s t r u k c j e
e n d
f u n c t i o n r e s u l t = t e s t f o r ( s t a r t , s t o p )
r e s u l t = [ ] ;
f o r i = s t a r t : 1 : s t o p
r e s u l t = [ r e s u l t c i r c l e ( i ) ] ;
e n d
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 2 5 > t e s t f o r ( 5 , 1 0 )
a n s =
7 8 . 5 4 0 1 1 3 . 0 9 7 1 5 3 . 9 3 8 2 0 1 . 0 6 2 2 5 4 . 4 6 9 3 1 4 . 1 5 9
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 2 6 > x = t e s t f o r ( 5 , 1 0 ) ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 2 7 > x
x =
7 8 . 5 4 0 1 1 3 . 0 9 7 1 5 3 . 9 3 8 2 0 1 . 0 6 2 2 5 4 . 4 6 9 3 1 4 . 1 5 9
f u n c t i o n r e s u l t = t e s t w h i l e ( s t a r t , m a x )
r e s u l t = [ ] ;
r = s t a r t ;
a r e a = c i r c l e ( r ) ;
w h i l e a r e a < = m a x
r e s u l t = [ r e s u l t a r e a ] ;
r = r + 1 ;
a r e a = c i r c l e ( r ) ;
e n d
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 3 3 > t e s t w h i l e ( 5 , 1 0 0 0 )
a n s =
C o l u m n s 1 t h r o u g h 7 :
7 8 . 5 4 0 1 1 3 . 0 9 7 1 5 3 . 9 3 8 2 0 1 . 0 6 2 2 5 4 . 4 6 9 3 1 4 . 1 5 9
3 8 0 . 1 3 3
C o l u m n s 8 t h r o u g h 1 3 :
4 5 2 . 3 8 9 5 3 0 . 9 2 9 6 1 5 . 7 5 2 7 0 6 . 8 5 8 8 0 4 . 2 4 8 9 0 7 . 9 2 0
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 3 4 > t e s t w h i l e ( 5 0 , 1 0 0 0 )
a n s = [ ] ( 0 x 0 )
P t l e
Ï%
M a t l a b u m o |l i w i a s t o s o w a n i e s Bó w k l u c z o w y c h
b r e a k i c o n t i n u e
T y p y
Ï%
P o d s t a w o w y m t y p e m j e s t w a r t o [
z m i e n n o p r z e c i n k o w a
Ï%
F o r m a t w y p r o w a d z a n i a d a n y c h ( a l e n i e
p r e c y z j o b l i c z e D) m o |n a z m i e n i p o l e c e n i e m
f o r m a t
Aa Dc u c h y t e k s t o w e
Ï%
Aa Dc u c h y t e k s t o w e s t r a k t o w a n e j a k o w e k t o r y
Ï%
L i t e r a By t e k s t o w e u m i e s z c z a s i w
p o j e d y n c z y c h c u d z y s Bo w a c h
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 9 > t e x t = ' a l a m a k o t a '
t e x t = a l a m a k o t a
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 5 0 > t e x t ( 3 )
a n s = a
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 5 1 > t e x t ( 5 : 1 1 )
a n s = m a k o t a
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 5 2 > 2 * t e x t
a n s =
1 9 4 2 1 6 1 9 4 6 4 2 1 8 1 9 4 6 4 2 1 4 2 2 2 2 3 2
1 9 4
G r a f i k a
Ï%
W y k r e s w e w s p ó Br z d n y c h k a r t e z j a Ds k i c h
t w o r z y s i i n s t r u k c j p l o t
Ï%
J e [l i a r g u m e n t j e s t j e d e n , j a k o o d c i t e
p r z y j m u j e s i i n d e k s y w e k t o r a
Ï%
J e [l i a r g u m e n t y s d w a , p i e r w s z y t o w e k t o r
o d c i t y c h , d r u g i - r z d n y c h
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 5 9 > x = [ 1 2 3 7 8 9 ] ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 6 0 > y = x . ^ 2 ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 6 1 > p l o t ( x , y ) ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 6 2 > p l o t ( y ) ;
G r a f i k a
Ï%
A b y z m i e n i w y g l d l i n i i m o |n a u |y a r g u m e n t u
f o r m a t , n p .
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 7 1 > p l o t ( x , y , ' - o ' ) ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 7 2 > p l o t ( x , y , ' x ' ) ;
G r a f i k a 3 D
Ï%
W y k r e s w 3 w y m i a r a c h m o |n a u z y s k a
k o m e n d p l o t 3
Ï%
A r g u m e n t a m i s w e k t o r y z a w i e r a j c e
w s p ó Br z d n e ( x , y , z ) k o l e j n y c h p u n k t ó w
w y k r e s u
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 5 2 > z = [ 0 : 0 . 0 5 : 5 ] ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 5 3 > p l o t 3 ( c o s ( 2 * p i * z ) , s i n ( 2 * p i * z ) , z ,
" ; h e l i x ; " ) ;
G r a f i k a 3 D
Ï%
A b y w y k r e [l i p o w i e r z c h n i w t r z e c h
w y m i a r a c h , n a l e |y u |y i n s t r u k c j i m e s h
Ï%
A r g u m e n t a m i s :
w e k t o r i n d e k s ó w d l a o s i x ( r o z m i a r m )
w e k t o r i n d e k s ó w d l a o s i y ( r o z m i a r n )
m a c i e r z z a w i e r a j c a w a r t o [c i d l a w s z y s t k i c h
p a r i n d e k s ó w x i y ( r o z m i a r m n a n )
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 6 5 > x = [ 0 : 0 . 0 5 : 5 ] ' ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 6 6 > y = x ' ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 6 7 > z = s i n ( x * y ) ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 6 8 > m e s h ( x , y , z )
O p e r a c j e n a p l i k a c h
Ï%
M a t l a b m o |e c z y t a i z a p i s y w a w i e l e f o r m a t ó w
p l i k ó w
Ï%
P o d s t a w o w y m p l i k i e m j e s t p l i k b i n a r y , w k t ó r y m
z n a j d u j s i z m i e n n e ( m a c i e r z e )
Ï%
D o z a p i s u s Bu |y p o l e c e n i e s a v e , d o o d c z y t u -
l o a d
Ï%
s a v e n a z w a _ p l i k u z m i e n n a 1 z m i e n n a 2
z m i e n n a 3
Ï%
l o a d n a z w a _ p l i k u
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 1 7 > a = [ 1 2 ; 3 4 ] ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 1 8 > b = 7 ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 1 9 > s a v e t e s t . d a t a b
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 2 0 > c l e a r
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 2 1 > a
e r r o r : ` a ' u n d e f i n e d n e a r l i n e 2 1 c o l u m n 1
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 2 1 > b
e r r o r : ` b ' u n d e f i n e d n e a r l i n e 2 1 c o l u m n 1
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 2 1 > l o a d t e s t . d a t
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 2 2 > a
a =
1 2
3 4
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 2 3 > b
b = 7
O p e r a c j e n a p l i k a c h
Ï%
A l t e r n a t y w n i e m o |n a s t o s o w a z a p i s / o d c z y t w
f o r m a c i e t e k s t o w y m
Ï%
J e s t t o w y g o d n e p r z y i m p o r c i e d a n y c h z i n n y c h
zr ó d e B
Ï%
W p r z y p a d k u z a p i s u n i e s z a p i s y w a n e n a z w y
z m i e n n y c h , p o s z c z e g ó l n e z m i e n n e n i e s o d
s i e b i e o d d z i e l a n e
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 3 6 > s a v e - a s c i i t e s t . d a t a b
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 3 7 > c l e a r
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 3 8 > a
e r r o r : ` a ' u n d e f i n e d n e a r l i n e 3 8 c o l u m n 1
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 3 8 > b
e r r o r : ` b ' u n d e f i n e d n e a r l i n e 3 8 c o l u m n 1
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 3 8 > l o a d t e s t . d a t
e r r o r : l o a d : t e s t . d a t : i n c o n s i s t e n t n u m b e r o f
c o l u m n s n e a r l i n e 3
e r r o r : l o a d : u n a b l e t o e x t r a c t m a t r i x s i z e
f r o m f i l e ` t e s t . d a t '
1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 e + 0 0 0 2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 e + 0 0 0
3 . 0 0 0 0 0 0 0 0 e + 0 0 0 4 . 0 0 0 0 0 0 0 0 e + 0 0 0
7 . 0 0 0 0 0 0 0 0 e + 0 0 0
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 5 > a = [ 1 2 ; 3 4 ] ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 6 > c = [ 5 6 ; 7 8 ] ;
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 7 > s a v e - a s c i i t e s t . d a t a c
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 8 > c l e a r
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 9 > a
e r r o r : ` a ' u n d e f i n e d n e a r l i n e 4 9 c o l u m n 1
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 9 > c
e r r o r : ` c ' u n d e f i n e d n e a r l i n e 4 9 c o l u m n 1
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 4 9 > l o a d t e s t . d a t
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 5 0 > a n s
o c t a v e - 3 . 0 . 0 . e x e : 5 1 > t e s t
t e s t =
1 2
3 4
5 6
7 8
1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 e + 0 0 0 2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 e + 0 0 0
3 . 0 0 0 0 0 0 0 0 e + 0 0 0 4 . 0 0 0 0 0 0 0 0 e + 0 0 0
5 . 0 0 0 0 0 0 0 0 e + 0 0 0 6 . 0 0 0 0 0 0 0 0 e + 0 0 0
7 . 0 0 0 0 0 0 0 0 e + 0 0 0 8 . 0 0 0 0 0 0 0 0 e + 0 0 0
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