Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 1
Metody numeryczne (analiza numeryczna)
- nauka zajmująca się rozwiązywaniem problemów matematycznych
metodami arytmetycznymi
- sztuka doboru spośród wielu możliwych procedur takiej, która jest
 najlepiej dostosowana do rozwiÄ…zania danego zadania
Mathematics + Computer Science + Engineering = Scientific
Computing
b
Oszacowanie błędu numerycznego obliczenia f ( x ) dz przy n+1
+"
a
obliczeniach wartości f(x)
Metoda trapezów
( b - a )3 f '' (¾1 )
12n2
( 4 )
Metoda Simpsona
( b - a )5 f (¾2 )
180 n4
W1 - 1
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 1
1. Odpowiednie sformułowanie zadania
2. Metoda numeryczna + analiza błędu
3. Algorytm
4. Implementacja
1. Błąd danych wejściowych
2. Błąd zaokrągleń w czasie obliczeń
3. Błąd metody (obcięcia)
4. BÅ‚Ä…d wnoszony przez uproszczenia modelu matematycznego
5. Błąd człowieka
~
a jest przybliżeniem wartości dokładnej a
~
Błąd bezwzględny:"a = a - a
~
"a a - a
BÅ‚Ä…d wzglÄ™dny: µa = = , a `" 0
a a
~
"a ~ - a a
a
~
a = a + "a = a + µaa = (1 + µa )a µa = = = -1, a `" 0
a a a
uogólnienie na wartości wektorowe
szacowanie modułów błędów
W1 - 2
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 1
Przenoszenie się błędów w obliczeniach numerycznych
1. Analiza bezpośrednia krok po kroku  analiza przedziałowa:
~
y = 4.4 poprawnie zaokrąglona, więc 4.35 < y < 4.45
" < 0.05
y
0.05
µ < = 0.0115
y
4.35
~
y = 2.0976 2.0857 < y < 2.1095
" < 0.0119
y
µ < 0.0057
y
~
x =10.3 poprawnie zaokrąglona, więc 10.25 < x <10.35
"x < 0.05
0.05
µ < = 0.049
x
10.25
.....................................................................
~ ~ ~)
z = ln( x + y = 2.5175 2.5125 < ln(x + y) < 2.5225
"z < 0.005
µz < 0.0020
W1 - 3
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 1
2. Wykorzystanie podstawowych wzorów
~1, ~2
x1, x µ1, x2 , x , µ2
Iloczyn: y = x1x2
~1~2
x x x1(1 + µ1 )x2(1 + µ2 )
µ = -1 = -1 = (1 + µ1 )(1 + µ2 ) -1 H" µ1 + µ2 wiÄ™c µ < µ1 + µ2
y y
x1x2 x1x2
Pierwiastek: y = x
~
x(1 + µ )
x 1 1 1 1
2
µ = -1 = -1 = (1 + µ ) -1 = 1 + µ - µ + ..... -1 H" µ wiÄ™c µ < µ
y y
x x 2 8 2 2
x1
Iloraz: y =
x2
~1x2
x x1(1 + µ1 )x2 (1 + µ1 ) ( µ1 - µ2 )
µ = -1 = -1 = -1 = H" µ1 - µ2 wiÄ™c µ < µ1 + µ2
y y
x1~2 x1x2(1 + µ2 ) (1 + µ2 ) (1 + µ2 )
x
Suma: y = x1 Ä… x2
~1 Ä… ~2
x x x1(1 + µ1 ) Ä… x2(1 + µ2 ) x1µ1 x2µ2
µ = -1 = -1 = Ä… wiÄ™c
y
x1 Ä… x2 x1 Ä… x2 x1 Ä… x2 x1 Ä… x2
x1 x2
µ < µ1 + µ2
y
x1 Ä… x2 x1 Ä… x2
W1 - 4
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 1
3. Metoda przybliżona  metoda różniczki zupełnej
~ ~1,~2 x ~
x = ( x1,x2 ,...,xn ) x = ( x x ,...,~n ) y( x ), " = y( x ) - y( x )
y
n
"y
~
" H" ( x )"xi
"
y
"xi
i=1
n
"y
~
" < ( x ) "xi
"
y
"xi
i=1
n n
"xi
"
xi "y xi "y
y
~ ~
µ = H" ( x ) = ( x )µ
" "
y xi
y y "xi xi y "xi
i=1 i=1
n
xi "y
~
µ < ( x ) µ
"
y xi
y "xi
i=1
metodÄ… przybliżonÄ… µz < 0.0024
W1 - 5