Metody numeryczne  laboratorium nr 2
Wprowadzenie teoretyczne
Zagadnienie  wyznaczyć numerycznie przybliżoną wartość następującej całki
oznaczonej:
b
f śą x źądx ,
+"
a
f śą xźą [ a ,b]
gdzie - funkcja podcałkowa, - przedział całkowania.
W praktyce wartość szukanej całki przybliża się przy użyciu następującego
wyrażenia:
b
n
f śą x źądxH" Ai f ƒÄ…Rnśą f źą .
+" "
i
i=0
a
W zależności tej branych jest pod uwagę n+1 punktów z przedziału całkowania, dla
Ai
których oblicza się wartość całkowanej funkcji ze współczynnikami . Różnica
Rn
pomiędzy wartością rzeczywistą, a przybliżoną jest określona przez - błąd
f
oszacowania, który może zależeć od wartości pochodnych funkcji , liczby punktów
i szerokości przedziału.
Najczęściej korzysta się ze wzorów Newtona-Cotesa (zwanych kwadraturami
Newtona), w których zakłada się równomierne rozmieszczenie w odstępach h
wszystkich uwzględnianych węzłów. Postać ogólna całki określona jest jako:
b
n
f śą x źądx= śą b-a źą H f śą xi źąƒÄ… Rśą f źą ,
+" "
i
i=0
a
n
śą1 źąn-i
qnƒÄ…1 dq .
gdzie H =
+"
i
ni !śąn-iźą!
q-1
0
Wzór trapezów stopnia pierwszego:
x1
h
f śą x źądxH" f śą x0źąƒÄ… f śą x1źą
+"
śą źą
2
x
0
Wzór parabol (Simpsona) dla trzech węzłów:
x1
h
f śą x źądxH" f śą x0źąƒÄ…4f śą x1źąƒÄ… f śą x2źą
+"
śą źą
3
x0
Ogólna postać wzoru prostokątów dla n+1 węzłów:
xn
n
f śą x źądxH"h f śą xi źą
+" "
i=1
x
0
Ogólna postać wzoru trapezów dla n+1 węzłów:
xn
n-1
h
f śą x źądxH" f śąxi źąƒÄ… f śą xiƒÄ…1źą f ƒÄ… f ƒÄ… f ƒÄ… f ƒÄ… f ƒÄ…. ..ƒÄ… f ƒÄ… f ƒÄ… f
+" "
śą źą=h śą źą
0 1 1 2 2 n-1 n-1 n
2 2
i=0
x0
n-1
=h f ƒÄ…2 f ƒÄ… f
"
0 i n
śą źą
2
i=1
Ogólna postać wzoru Simpsona:
xn
n / 2 n/ 2-1
h
f ( x)dx H" f +4 f + 2 f + f
+" " "
0 2i-1 2i n
( )
3
i=1 i=1
x0
Zadania:
1. Stosując ogólne wzory prostokątów, trapezów i parabol oblicz wartości całek
następujących funkcji:
a) f(x) = 4x3 + 3x2,
b) f(x) = 3 sin(x2),
c) f(x) = 2 exp(-x),
na przedziale [-1, 1]. Porównaj poszczególne wyniki między sobą, a tam, gdzie jest to
możliwe, również z wynikami otrzymanymi drogą analityczną.
2. Przy pomocy ogólnych wzorów trapezów i parabol oblicz wartości całek z zadania
nr 1 dla kilku różnych liczb podprzedziałów, a co za tym idzie, węzłów. Zaprezentuj
zależność błędu od liczby węzłów na wykresach. Omów wpływ owej liczby na
uzyskane wyniki.
3. Wykorzystując regułę Monte Carlo napisz program obliczający wartość całki
oznaczonej. Oblicz wartość dowolnej całki dla różnych ilości losowanych punktów.