1. Ile wynosi wyznacznik macierzy osobliwej:
MacierzÄ… osobliwÄ… (zdegenerowanÄ…) nazywa siÄ™ macierz o
wyznaczniku nieodwracalnym (zerowym).
2. napisać wzór na iloraz różnicowy 1-szego rzędu
3. kiedy wielomian aproksymacyjny będzie równy interpolacyjnemu
Odp, wielomian interpolacyjny jest równy aproksymującemu gdy
jego stopień jest równy liczbie węzłów minus jeden.
4. jaka metoda jest metoda jordana.
Jest to metoda dokładna rozwiązywania układów równań
liniowych.
5. na jednym rysunku zaprezentowac aproksymacje i interpolacje dla
pięciu węzłów
Wielomian (czerwony) stopnia 6, interpolujÄ…cy 5 zadanych
wartości (zaznaczone na zielono) danej funkcji , aproksymacja
stopnia 1 funkcji f (kolor czarny)
6. napisac reprezentacje zmiennopozycyjna liczby x
x = m * 10c , gdzie 0.1<=|m|<1, c  liczba całkowita (c  cecha, m
 mantysa)
7. Testowe pytanie o norme dla wektora x=[x1 x2 x3 x4 x5...xn]^t
Norma euklidesowa jest nieujemna .
8. testowe pytanie o co otrzymamy po rozkladzie macierzy na macierze
L i U
Otrzymamy macierz górnotrójkątną (U) i dolnotrójkątną (L). Jedna
z nich musi mieć ustalone elementy na przekątnej.
9. testowe pytanie o to do czego nie użyjemy interpolacji, albo co nie
jest zadaniem interpolacji
interpolacja - metoda numeryczna polegajÄ…ca na wyznaczaniu w
danym przedziale tzw. funkcji interpolacyjnej, która przyjmuje w
nim z góry zadane wartości w ustalonych punktach, nazywanych
węzłami. Stosowana jest ona często w naukach doświadczalnych,
gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do
określenia zależności między wielkościami oraz w celu uproszczenia
skomplikowanych funkcji, np. podczas całkowania numerycznego.
DO CAA
EJ RESZTY NIE UŻYWAMY
10. testowe pytanie jesli mamy rownanie Ax=b to jak bedzie
wygladalo rozwiazanie po rozbicu macierzy A na macierze L i U :
X=L-1 * U-1 * b
Y = U * X
11. warunek ortogonalności
, gdzie In oznacza macierz
jednostkowÄ… wymiaru n.
Warunek ten mówi, że macierz jest ortogonalna gdy jej macierzą
odwrotnÄ… jest macierz do niej transponowana.
12. kryterium metody średniokwadratowej albo najmniejszych
kwadratów(nie pamiętam dokładnie o którą chodziło)
13. wyprowadzic wzor na pierwiastek z liczby ( C ) za pomoca
metody newtona
x=sqrt(c) => x^2=c => x^2-c =0
f(x) = x2  c
f (x)=2*x
xk+1=xk - f(xk) / f (xk)
xk+1 = xk - (xk2  c) / (2 * xk)
xk+1 = xk - xk2 / (2 * xk) + c / 2 * xk
xk+1 = xk - ½ * xk + ½ * c / xk
xk+1 = ½ (xk + c / xk)
14. jakie kryterium trzeba sprawdzic dla wszystkich metod
rozwiazujacyh rownania liniowe (lub nieliniowe, pamiec zawodzi
czasem)
Jak na mój gust chodziło tutaj o równania nieliniowe (dla liniowych
można co najwyżej sprawdzać, czy det(A)!+0, to wtedy układ jest
oznaczony  A to macierz współczynników danego układu), tak więc
dla wszystkich metod rozwiązywania układów nieliniowych należy
sprawdzić czy funkcja ma różne znaki na krańcach przedziału (np.
czy f(a) * f(b) < 0)
15. Co to jest rzad dokladnosci metody numerycznej?
Odp. Rząd dokładności metody numerycznej jest to ostatnia
potęga przy rozkładzie w szeregu Taylora, której odpowiada
rozwiÄ…zanie uzyskane za pomocÄ… danej metody.
16. ___ Która metoda potrzebuje pierwszej pochodnej - dotyczyło ukł.
Równań nieliniowych.
Odp. W metodzie stycznych (NEWTONA)
17. W wyniku jakiej OPERACJI powstaje NADMIAR?
Odp. Nadmiar może powstać w wyniku operacji która ma za dużą
cechÄ™, np. .
18. Oblicz iloraz różnicowy: punkty (1,2), (-1,2) (2,3)
Odp. Najpierw segregujemy punkty rosnąco według X.
X Y
19. Napisz macierz Vandermonde a. Podane były punkty:
(1,2),(2,3)(3,2)
V =
20. Czego dotyczy metoda Cauchego?
Różniczkowania z warunkami początkowymi.
21. Metoda Gausa Siedla to ?
Przybliżona metoda rozwiązywania układów równań liniowych.
22. Szereg Taylora dla cos(x), wypisać trzy pierwsze wyrazy
Odp. Wzór na szereg Taylora :
+ Rn(x,a)
gdzie Rn(x,a) spełnia warunek
23. QR co to jest
Odp. Q- macierz ortogonalna R- macierz nieosobliwa trójkątna
górna
24. ___ Wykres, i jakie to zjawisko
Odp. Zjawisko Rungego. charakteryzujące się dużym błędem
interpolacji przy końcach przedziału; jest typowe dla interpolacji za
pomocą wielomianów wysokich stopni przy stałych odległościach
węzłów.
25. Podane było: y=x^2, h=1, przedział <-2,2> przedstawić
graficznie metodę prostokątów
26. Jaką własność wykorzystujemy macierzy ortogonalnych by
zrobić macierz odwrotną
QT = Q-1
27. czy można uzyskać równanie ogólne metodami numerycznymi
Odp. Nie można , ponieważ muszą być podstawione wartości ,czyli
będzie to równanie szczególne.
28. Norma euklidesowa
Odp. Nieujemna
29. Było rownanie rozniczkowe 2 rzedu i warunki poczatkowe
y(1)=1 oraz y. (1)=1 Jak będzie wyglądał ukł. rownan dla tego
równania.
.
Å„Å‚
.. . ôÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚y(0) = 0 h = 0.1
y+ 5 y+ 4y = 0
óły(0) = 1
Podstawiamy Otrzymujemy
.
y = y1
Å„Å‚y = y2
y1(0) = 1
Å„Å‚
ôÅ‚
1
. .
òÅ‚ òÅ‚
óły (0) = 0
.
y = y1 = y2
ôÅ‚y2 = -5y2 - 4y1 2
ół
.. .
y = y2 = -5y2 - 4y1
30. Blad bezwzgledny ?
Odp. Moduł różnicy między wielkością rzeczywistą, a wielkością
zmierzoną. Jeżeli wielkością mierzoną A, to błąd bezwzględny
pomiaru A wynosi: " A = | A zmierzone  A rzeczywiste |
31. Jakie zagadnienie wykorzystasz, by uzyskac przyblizony
wielomian o najmniejszym stopniu, którego wartosci w wezłach są
takie same jak wartosci przyblizanej funkcji?
Odp. Wykorzystam zagadnienie interpolacji gdyż wartości w
węzłach muszą być takie same jak wartości przybliżanej funkcji, w
przypadku aproksymacji funkcja aproksymujÄ…ca nie musi
przechodzić przez węzły.
32. Metoda całkowania numerycznego Simpsona, to metoda
wykorzystujÄ…ca:
Parabole.
33. Jak zmniejszy sie przedział poszukiwań w metodzie polowienia
?
Połowicznie  dwukrotnie.
34. Metody rozwiazywania rownan rozniczkowych (podział):
Odp. 1. Metody analityczne:
- rozwiązania ogólne
- rozwiązania szczególne
2. Metody numeryczne:
- rozwiązywania szczególne
3. Metody eksperymentalne
- rozwiązywania szczególne
35. Co jest wynikiem rozniczkowania metodami numerycznymi?
Zbiór punktów
36. Czy możliwy jest wykres aproksymacji 0  rzedu?
Odp. Tak. wynikiem jest po prostu funkcja stała.
37. Gdy dla zadanych punktow chcemy poprowadzic funkcje
przechodzaca przez te punkty z jakiego zadania skorzystasz:
Z interpolacji, gdyż funkcja interpolująca musi przechodzić przez
obrane punkty (węzły).
38. ??? Jakie dane trzeba posiadac aby rozwiazac równanie
rozniczkowe drugiego rzedu ( było podane)
wartość początkową dla y(0)
39. Kiedy wektor X = [x1, x2, ..., xn]^T nazywa siÄ™ forma
kwadratowa?
Kiedy dla symetrycznej macierzy A, x^T * A * x > 0
40. Wzor na trygonometryczny wielomian interpolacyjny.
Zadanie interpolacji trygonometrycznej polega na znalezieniu
wielomianu trygonometrycznego stopnia co najwyżej n
takiego, że Fn(xj) = f(xj) dla j = 0, 1, . . . , n.
41. Kryterium aproksymacji dla funkcji dyskretnej.
42. Do jakich metod zaliczamy metodÄ™ Adamsa?
do metod ekstrapolacyjno-interpolacyjnych
43. A na poprawce pewnie będzie:
- poprawianie rozwiązania (policzyć)
- wzorek (testowe) A*=(AT*A)^-1*AT
44. LU testowe:
x=U-1 * L-1 * b
45. ??? Jakie dane sÄ… potrzebne do rozwiÄ…zywania RR metodami
numerycznymi?
46. Na ile przedziałów dzielimy w metodzie prostokątów
przedział całkowania dzielimy na n równo odległych
punktów x1,x2,...,xn.
47. ??? Jaki stopień dokładności można uzyskać poprzez
rozwiązywanie równań różniczkowych metodami numerycznymi?
48. Czy można uzyskać równanie ogólne metodami numerycznymi
[odp: nie można, ponieważ musza być podstawione wartości
(używamy wartości do obliczania równań różniczkowych
wykorzystujemy konkretnej wartości) czyli będzie to równanie
szczególne]
49. W której metodzie rozwiązywanie równań nieliniowych  jest
potrzebna funkcja i pochodna funkcji do obliczeń
[odp: metoda Newtona]
50. Gdy dla zadanych punktów chcemy poprowadzić funkcje
przechodzÄ…cÄ… przez te punkty z jakiego zadania skorzystasz:
Interpolacji
50. Macierz dodatnio okreslona:
wyraz a1,1 musi być dodatni,
wyznacznik macierzy:
musi być dodatni i wyznacznik całej macierzy
musiał być dodatni.