1. Twierdzenie o 3-ciÄ…gach, o ciÄ…gu monotonicznym i ograniczonym
Twierdzenie o 3-ciagach: Jeśli dane są trzy ciągi liczb rzeczywistych an, bn i cn takie, \
e dla
prawie wszystkich n oraz
Wówczas .
Twierdzenie o ciÄ…gu monotonicznym i ograniczonym:
a. Jeśli jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on zbie\
ny.
b. Jeśli jest ciągiem malejącym i ograniczonym z dołu, to jest on zbie\
ny.
c. CiÄ…g monotoniczny jest zbie\
ny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony.
2. Tw. O dwóch ciągach, o arytmetyce granic nieskończonych, podstawowe wyra\
enia
nieoznaczone, niektóre granice specjalne.
a)Twierdzenie o dwóch ciągach
Jeśli {an},{bn} ą" R są ciągami takimi, \
e oraz to sÄ…
prawdziwe implikacje:
1)
2)
3)
4)
b)Twierdzenie o arytmetyce granic nieskończonych:
Jeśli {an},{bn} ą" R są ciągami liczbowymi zbie\
nymi oraz c Ä…" R , to:
1)
2)
3)
4) (o ile dla oraz )
5) (o ile działania po obu stronach są wykonalne)
6)
7)
c) podstawowe wyra\
enia nieoznaczone
, , , , , 00 ,
1
d)niektóre granice specjalne(mogę kilka jeszcze wpisać, które u\
ywaliśmy z Kubusiową, no
ale mo\
e te tutaj wystarczÄ…, bo to wa\
niak, a nie wiem co pliczko mówił)
1) jeśli a>0 i to
2) jeśli to
3)jeśli a>0 to
4)jeśli a>0
5)
6)
7) gdzie jest dowolnym ciÄ…giem takim, \
e
3. Szereg liczbowy, n-ty wyraz, n-ta suma częściowa, zbie\
ność, rozbie\
ność do
nieskończoności, n-ta reszta. Twierdzenie o zbie\
ności kombinacji liniowej szeregów.
Szereg geometryczny. Warunek konieczny zbie\
ności szeregu
" Szereg liczbowy
Niech będzie ciągiem liczbowym.
Szeregiem o wyrazach ( ) nazywamy ciÄ…g zwany ciÄ…giem sum
częściowych, gdzie dla
Szereg oznaczamy przez
" n-ty wyraz
Ka\
dy  an nazywamy n-tym wyrazem szeregu
" suma
Sumą szeregu nazywamy granicę ciągu sum częściowych i oznaczamy tym samym
symbolem co szereg, to znaczy
" n-ta suma częściowa
Sn = a1 + a2 + & + an  nazywamy n-tą sumą częściową szeregu
" zbie\
ność
Szereg nazywamy zbie\
nym, jeśli ciąg sum częściowych jest zbie\
ny.
2
" rozbie\
ność do nieskończoności
Jeśli ciąg sum częściowych jest rozbie\
ny do to mówimy, \
e szereg jest rozbie\
ny do
(lub, \
e ma sumę niewłaściwą ) i piszemy
" n-ta reszta
" "
n-tÄ… resztÄ… szeregu nazywamy wyra\
enie Rn = xn+1 + xn+2 + ... =
"an "ak
n=1 k =n+1
" twierdzenie o kombinacji liniowej szeregów
" "
Jeśli szeregi , są zbie\
ne odpowiednio do liczb A i B , to dla dowolnych liczb
n n
"a "b
n=1 n=1
"
rzeczywistych a , b zbie\
ny jest równie\
szereg
n
"(aa + bbn ) przy czym suma tego
n=1
szeregu wynosi aA + bB .
" szereg harmoniczny
"
1
Szereg zwany szeregiem harmonicznym rzędu p jest zbie\
ny wtedy i tylko wtedy
"
p
n
n=1
gdy p > 1.
" szereg geometryczny
"
n
Szereg zwany szeregiem geometrycznym o podstawie q jest zbie\
ny wtedy i tylko
"q
n=1
wtedy gdy q < 1.
" warunek konieczny zbie\
ności szeregu
"
Jeśli szereg jest zbie\
ny to lim an = 0 .
n
"a
n"
n=1
4. Kryteria zbie\
ności szeregów (porównawcze, ilorazowe, d'Alamberta, Cauchy'ego).
Kryterium porównawcze zbie\
ności szeregów:
Mamy 2 ciÄ…gi 0 d" an d" bn dla n e" n0 . Wtedy:
" "
1. Jeśli szereg zbie\
ny Ò! zbie\
ny
"bn "an
n=0 n=0
" "
2. Jeśli szereg rozbie\
ny Ò! rozbie\
ny
"an "bn
n=0 n=0
Kryterium ilorazowe (limesowe) zbie\
ności szeregów:
an
an > 0,bn > 0"n oraz "lim = c i 0bn
Wtedy szeregi an i bn sÄ… zbie\
ne lub rozbie\
ne równocześnie.
Kryterium d Alamberta zbie\
ności szeregów:
an+1
Niech lim = c wtedy szereg an jest zbie\
ny gdy c<1 i rozbie\
ny gdy c>1
an
Kryterium Cauchy ego zbie\
ności szeregów:
n
Niech lim an = c wtedy szereg an jest zbie\
ny gdy c<1 i rozbie\
ny gdy c>1
3
5.KRYTERIUM LEIBNIZA ZBIEśNOŚCI SZEREGÓW.
"
un
"
Je\
eli w szeregu przemiennym począwszy od pewnego miejsca N bezwzględne
n= 1
wartośći wyrazów szeregu dą\
Ä… monotonicznie do zera, to znaczy, dla ka\
dego n>N spelnione
sÄ… warunki:
1)|un+1|<=|un|
lim un= 0
2)
nŚą "
"
un
"
to szereg jest zbie\
ny.
n= 1
ZBIEśNOŚCI BEZWZGL
DNA SZEREGÓW.
" "
Śą un
unŚą
" "
Je\
eli szereg , którego wyrazy są równe wartościom bezwzględnym wyrazów ,
n= 1 n= 1
"
un
"
jest zbie\
ny, to i szerego jest zbie\
ny.
n= 1
" "
un Śą
unŚą
" "
Szereg nazywamy szeregiem bezwzględnie zbie\
nym, je\
eli szereg
n= 1 n= 1
jest zbie\
ny.
Szereg zbie\
ny, który nie jest bezwzględnie zbie\
ny, nazywamy szeregiem
warunkowo zbie\
nym
6.
Funkcje cyklometryczne:
y = arcsin x
x " - 1;1
Ä„ Ä„
y " - ;
2 2
y = arccos x
x " -1;1
4
y " 0;Ä„
y = arctgx
x " 1

Ä„ Ä„
öÅ‚
y "ëÅ‚ - ;
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
x " 1

y = arcctgx
y " 0;Ä„
( )
Funkcje Hiperboliczne:
ex - e- x
y = sinh x =
2
x " 1

y " 1

5
ex + e- x
y = cosh x =
2
x " 1

y " 1

ex - e- x
y = tanh x =
ex + e- x
x " 1

y " 1

ex + e- x
y = ctghx =
ex - e- x
x " 1
-{ }
0
y " 1

6
Dla funkcji hiperbolicznych:
cosh2 x - sinh2 x = 1
arcsin hx = ln x + x2 +1
( )
arccos hx = ln x + x2 -1
( )
1 1+ x
arctghx = ln
2 1- x
1 x +1
arcctghx = ln
2 x -1
Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje stałe, potęgowe, wykładnicze,
logarytmiczne, trygonometryczne oraz cyklometryczne. Funkcje, które mo\
na otrzymać z
podstawienia funkcji za pomocą skończonej liczby działań elementarnych oraz operacji
zło\
enia funkcji nazywamy funkcjami elementarnymi. Np.
y =| x |= x2
Funkcje nieelementarne to takie które nie są elementarnie i nie dają sie wyrazić w skończonej
formie za pomocą elementarnych , np funkcja gamma, sinus całkowy, funkcje eliptyczne itp.
7. SÄ…siedztwo
SÄ…siedztwem //lewostronnym, prawostronnym// punktu x0 nale\
Ä…cego do zbioru liczb
rzeczywistych o promieniu r>0 nazywamy
(x0-r , x0) w sumie z (x0 , x0+r) //(x0-r , x0) , (x0 , x0+r)//
Definicja Heinego
Niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na sąsiedztwie S punktu x0.
LiczbÄ™ g nazywamy granicÄ… funkcji f w punkcie x0,
je\
eli dla ka\
dego ciÄ…gu (xn)->x0 o wyrazach xn "S, zachodzi:
f(xn)->g
Lim (przy x->x0) f(x) =g
Definicja Cauchy'ego
Niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na sąsiedztwie S punktu x0. Liczbę g
nazywamy granicÄ… funkcji f w punkcie x0, je\
eli dla ka\
dego µ > 0 istnieje takie ´ > 0, \
e dla
ka\
dego x"S spełniającego nierówność:
0 < |x - x0| < ´
jest spełniona nierówność:
|f(x) - g| < µ.
7
Granica lewostronna
Niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na sąsiedztwie lewostronnym S punktu x0.
LiczbÄ™ g nazywamy granicÄ… lewostronnÄ… funkcji f w punkcie x0, je\
eli dla ka\
dego ciÄ…gu
(xn)->x0- o wyrazach xn "(0;S(x0-)), zachodzi:
F(xn)->g
Lim (przy x->x0-) f(x) =g
->Analogicznie dla granicy prawostronnej<-
Granica nieskończona
Niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na sąsiedztwie S punktu x0.
Ma granicÄ™ +" w punkcie x0, je\
eli dla ka\
dego ciÄ…gu (xn)->x0 o wyrazach xn "S, zachodzi:
f(xn)-> +"
->Podobnie definiuje siÄ™ granicÄ™ -" oraz granice lewo i prawo stronne +" i -"<-
Granica w nieskończoności
Sąsiedztwem -" nazywamy zbiór S(-")=(-";b) b nale\
y do rzeczywistych
Sąsiedztwem +" nazywamy zbiór S(+")=(+";b) b nale\
y do rzeczywistych
Niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na sąsiedztwie S(+"). Liczbę g nazywamy
granicÄ… funkcji f w +" je\
eli dla ka\
dego ciÄ…gu (xn)-> +" zachodzi:
F(xn)->g
Lim (przy x->+") f(x) =g
Podobnie definiujemy granicę funkcji w -" oraz nieskończone granice w nieskończoności.
WKW istnienia granicy
Funkcja f ma w punkcie x0 granicÄ™ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica
Lim(przy x->x0+)f(x) i lim(przy x->x0-)f(x)
oraz (przy x->x0+)f(x)= (przy x->x0-)f(x)
8.Twierdzenia o arytmetyce granic:
Je\
eli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcie x0, to
1.
2.
3.
4. , o ile
5.
o granicy funkcji zło\
onej
je\
eli: ,
dla ka\
dego , gdzie S to otoczenie,
,
to:
o 3-ch funkcjach
je\
eli f,g,h: dla ka\
dego ,
,
to:
8
0 2-ch funkcjach
je\
eli f i g: : dla ka\
dego ,
to:
twierdzenia o granicach niewłaściwych funkcji
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
granice podstawowych wyra\
eń nieoznaczonych
9.Otoczenie, otoczenie jednostronne, ciągłość jednostronna, na przedziałach
*Otoczeniem o promieniu r>0 punktu x0 nale\
ącym do R nazywamy zbiór:
O(x0,r)=(x0-r,x0+r)
*Otoczeniem lewostronnym o promieniu r>0 punktu x0 nale\
ącym do R nazywamy zbiór:
O(x0-,r)=(x0-r,x0)
*Otoczeniem prawostronnym o promieniu r>0 punktu x0 nale\
ącym do R nazywamy zbiór
O(x0+,r)=(x0,x0+r)
*Niech x0 nale\
y do R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x0).
Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy gdy lim(x x0)f(x)=f(x0)
Obrazowo funkcja jest ciągła w punkcie gdy jej wykres nie  przerywa się w tym punkcie.
*Niech x0 nale\
y do R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu
O(x0-). Funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy gdy
lim(x x0-)f(x)=f(x0) Podobnie definiujemy prawostronnie ciągłą.
*Funkcja jest ciągła na zbiorze w ka\
dym punkcie tego zbioru. Obrazowo funkcja jest ciągła
na zbiorze gdy jej wykres mo\
na narysować bez odrywania ręki od rysunku.
9
10. nieciągłość
niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x0). Mówimy, \
e funkcja f jest
nieciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje granica właściwa
albo, gdy .
rodzaje nieciągłości:
1 rodzaju
istniejÄ… ,
oraz zachodzi lub
luka gdy
skok gdy
2 rodzaju
je\
eli nie istnieje lub jest niewłaściwa, co najmniej jedna z granic
,
11. Twierdzenia o arytmetyce ciągłości, ciągłość funkcji zło\
onej, odwrotnej,
elementarnej.
Arytmetyka ciągłości
Je\
eli:
funkcje i są ciągłe w punkcie x
f (x) h(x)
0
to wówczas:
Suma + jest funkcją ciągłą w punkcie x
f (x) h(x)
0
Ró\
nica jest funkcją ciągłą w punkcie x
f (x)-h(x)
0
Iloczyn · jest funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… w punkcie x
f (x) h(x)
0
f ( x )
x0
Iloraz jest funkcją ciągłą w punkcie gdy g(x0 ) `" 0
g ( x )
Twierdzenie o ciągłości funkcji odwrotnej
Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej i rosnącej (malejącej)
jest ciągła i rosnąca (malejąca).
10
Przykład
x
" Funkcja a (0 < a < 1) jest ciągła i malejąca, a więc funkcja loga x, odwrotna
do niej, jest tak\
e ciągła i malejąca.
Ä„ Ä„
" Funkcja sin x jest w dziedzinie ciągła i rosnąca, a zatem funkcja
- ;+
2 2
arc sin x odwrotna do niej, jest tak\
e ciągła i rosnąca.
Twierdzenie o ciągłości funkcji zło\
onej
Je\
eli:
" funkcja f (x) jest ciągła w punkcie x
0
" funkcja h(u) jest ciągła w punkcie u0 = f (x0),
x
h ( f (x ))
to: funkcja zło\
ona jest ciągła w punkcie .
0
Przykład:
Funkcja zło\
ona sin(cos x) jest ciągła w ka\
dym punkcie.
Przykład (wykorzystanie ciągłości w liczeniu granic)
sin x sin x
lim
x x 0 x
lim e = e = e1 = e
x 0
sin x sin x
lim
1
x x 0 - x
-1
lim e = e = e =
x 0-
e
Ä„ 1 Ä„ 1 Ä„
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
lim cos + = cos lim +
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷łśł = cos = 0
ïÅ‚
x +" x +"
2 x 2 x 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Wykorzystano tutaj ciągłość funkcji ex i cos x.
f& Ciągłość funkcji elementarnych
" Funkcja stała f (x ) = C jest ciągła w ka\
dym punkcie
x " R
0
I(x) = x
" funkcja to\
samościowa jest ciągła w ka\
dym punkcie
x0 "R
Dowód:
lim f (x + h ) = lim k = k = f (x )
0 0
h 0 h 0
lim g (x0 + h ) = lim (x0 + h ) = x0 = g (x0 )
h 0 h 0
11
Wniosek
Ka\
dy wielomian W (x) jest funkcją ciągłą dla ka\
dego x " R .
n
Przykład
Funkcje: y = x3 - 2x +1, y = -2x5 - x3 + 5
są to funkcje ciągłe w ka\
dym punkcie swej dziedziny naturalnej.
Definicja
FunkcjÄ™ nazywamy wymiernÄ…, je\
eli mo\
na ją przedstawić jako iloraz dwóch wielomianów.
Funkcja wymierna jest więc ciągła w ka\
dym punkcie swej dziedziny naturalnej, którą jest
zbiór R z wyjątkiem pierwiastków wielomianu znajdującego się w mianowniku.
Przykład (funkcje wymierne ciągłe):
3
x
" , jest ciągła dla x " R \{-1}
f (x) =
x + 1
x
" , jest ciągła dla x " R \{1}
f (x ) =
3
x - 1
3
2 x - x + 7
, jest ciągła dla x " R \{-1,2}
f (x ) =
2
x - x - 2
12. 1.Pochodne
Niech f(x) będzie okreslona przynajmniej na otoczniu 0(x0) punktu x0 pochodna f(x) w
x0 nazywamy taka granice:f (x0)limx x0 (f(x)-f(x0))/(x-x0) , niech "x=x-x0 a
"y=f(x0+"x)-f(x0) wówczas pochodna f (x0)=lim"x 0 "y/"x pochodną oznaczamy
df/dt(x0) lub f (x)
2. Interpretacja geometrycznaNiech funkcja ciagła będzie okreslona przynajmniej
na otoczeniu punktu x0, prosta jest styczna do funkcji f w punkcie (x0,fx0) je\
eli jest
granicznym poło\
eniem siecznych funkcji f przechodzÄ…cych przez punkt (x,f(x)) gdy
x x0. Graniczne połozenie rozumiemy tak,ze gdy x x0 to kąt miedzy odpowiednia
sieczna i styczna dazy do 0
Interpretacja fizyczna:mówimy ze funkcja ma pochodna na przedziale otwartym
gdy ma ona pochodna w ka\
dym punkcie tego przedziału, funkcjia okreslona na
przedziale, której wartości w punktach x tego przedziału SA równe nazywamy
pochodna funkcji w przedziale.
13. Twierdzenia o arytmetyce pochodnej, pochodnej funkcji zło\
onej,
odwrotnej
Twierdzenia o arytmetyce pochodnej:
Niech f, g: [a,b] R będą ró\
niczkowalne (posiadajÄ…ce pochodne) w x T (a,b). Wtedy
funkcji f Ä… g, f · g, f/g sÄ… ró\
niczkowalne w x oraz:
a. ( f Ä… g ) (x) = f  (x) Ä… g (x);
b. ( f · g ) (x) = f  (x)g(x) + f(x)g (x)
c. (f/g) = [ f  (x)g(x)  f(x)g (x) ] / (g(x))2 oraz g(x) `" 0.
12
Twierdzenie o pochodnej funkcji zło\
onej:
Jeśli istnieje pochodna i istnieje pochodna , gdzie , to istnieje
pochodna zło\
enia i jest równa iloczynowi pochodnych,
tzn.
Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej:Niech będzie funkcją odwrotną do
funkcji . Niech . Jeśli istnieje pochodna , to funkcja g jest
ró\
niczkowalna w punkcie i zachodzi równość:
14.Ró\
niczka, pochodna n-go rzędu, interpretacja fizyczna pochodnej 2-go
rzędu.
a) ró\
niczka funkcji
Niech funkcja f ma pochodną skończoną w x0. Ró\
niczkÄ… funkcji f w tym punkcie x0
nazywamy funkcję df zmiennej "x=x-x0 określoną wzorem.
df("x)=f (x0)* "x df("x)= tgÄ…* "x
b) pochodna n-ego rzędu
Pochodną skończoną n-tego rzędu f w punkcie x0 definiujemy indukcyjnie:
f(n)(x0)= f(n-1) (x0)
Przyjmujemy, \
e f(0)(x0)= f(x0)
Funkcję, której wartości są równe f(n)(x0) nazywamy pochodną n-tego rzędu funkcji f i
oznaczamy f(n)
Piszemy tak\
e f  , f   , fIV zamiast odpowiednio f(2) , f(3), f(4).
n
Do oznaczenia pochodnej n-tego rzędu stosujemy tak\
e
d f
(x0 )
dxn
c) interpretacja fizyczna pochodnej 2-go rzędu
v(t) - v(t0) => v (t0)=(s ) (t0)=s  (t0)
a(t0) = lim(t t0)
t - t0
a(t0)=v (t0)=s  (t0)
15. Twierdzenia Rolle'a, Lagrange'a, wnioski o monotoniczności,
to\
samościach, nierównościach. Twierdzenie Cauchy'ego, reguły de
L'Hospitala. Wielomian Taylora. Wzór Taylora z resztą Lagrange'a.
" twierdzenie Rolle a
Niech będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym i
ró\
niczkowalną wewnątrz tego przedziału. Jeśli na końcach przedziału funkcja
przyjmuje równe wartości , to istnieje punkt , w którym zeruje się
pochodna funkcji .
" twierdzenie Lagrange a
Jeśli funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym i ró\
niczkowalna w
ka\
dy punkcie przedziału otwartego (a,b), to istnieje punkt taki, \
e
" wniosek o monotoniczności
f (x) < 0 funkcja malejÄ…ca
f (x) <= 0 funkcja
nierosnÄ…ca
f (x) > 0 funkcja rosnÄ…ca
f (x) >= 0 funkcja
niemalejÄ…ca
13
" wniosek o to\
samościach
niech f i g będą określone na przedziale jeśli spełnione SA warunki:
1.f(x0)=g(x0)
2. f (x)=g (x) dla ka\
dego x z przedzialu
Wynika z tego \
e f(x)=g(x) dla ka\
dego x z
" wniosek o nierównościach
" niech f i g będą określone na przedziale Jeśli:
1. f(x0)d"g(x0)
2. f (x)d"g (x) dla ka\
dego xe"x0
wynika stÄ…d,ze f(x)d"g(x) dla ka\
dego xe"x0
" twierdzenie Cauchy ego
Niech będą funkcjami ciągłymi w przedziale domkniętym i
ró\
niczkowalnymi w przedziale otwartym . Wówczas istnieje punkt taki, \
e
" reguły de L Hospitala
Niech będą funkcjami ró\
niczkowalnymi w przedziale(a,b), przy czym
. Załó\
my, \
e istnieje granica ilorazu pochodnych i jest równa
. Jeśli istnieją granice funkcji
to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie i jest równa granicy ilorazu pochodnych
w tym punkcie, tj.
" twierdzenie Taylora
Niech będzie funkcją krotnie ró\
niczkowalnÄ… w przedziale .
Wówczas dla dowolnych punktów , takich, \
e i stnieje punkt
taki, \
e
gdzie
" wzór Taylora z resztą Lagrange a
" wielomian Taylora rzędu n funkcji f o środku w punkcie a.
14
16. Ekstrema lokalne. Twierdzenie Fermata, wniosek. I i II warunek
wystarczający istnienia ekstremum. Wartość najmniejsza funkcji na zbiorze.
Algorytm szukania ekstrema globalnych.
Funkcja. F ma w x0 maximum lokalne jeÅ›li "´ > 0 \
e dla "x " S(x0,´ ) zachodzi
nierówność f(x)TW Fermata (o warunku koniecznym istnienia extremum)
Jeśli funkcja f ma extremum lokalne w x0 i pochodną f ( x0 ) to pochodna ta f ( x0 ) =0
Wniosek: Funkcja mo\
e mieć extrema lokalne tylko w punktach zerowania się
pochodnej albo w których jej pochodna nie istnieje.
I warunek wystarczajÄ…cy istnienia extremum
Ä… m
JeÅ›li f ( x0 )=0 oraz "´ > 0 , \
e f(x)>0 "x " S(x0 ,´ ) i f (x)<0 "x " S(x0 ,´ ) to f ma w
x0 maximum lokalne.
II warunek wystarczajÄ…cy istnienia extremum
Jeśli f ( x0 )=0 a f  ( x0 )>0 to w x0 funkcja ma minimum lokalne.
Wartość najmniejsza funkcji na zbiorze.
Liczba m jest wartością najmniejszą funkc. f na zbiorze A jeśli "x0 " A \
e f( x0 )=m
oraz f(x)>=m.
Algorytm szukania extremów globalnych dla f określonej na [a,b]:
1. Znajdujemy punkty c1,c2& cn, w których funkc. f nie ma skończonej
pochodnej oraz d1,d2& dn w której pochodna=0.
2. Obliczamy wart. Funkc. w punktach krańcowych a i b oraz c1& cn i d11& dn.
3. Spośród liczb f(a), f(b), f(c1)& f(cn), f(d1)& f(dn) wybieramy największą M i
najmniejszÄ… n.
17. Funkcje wypukłe i wklęsłe-warunek wystarczajacy:
Je\
eli funkcja f(x) jest w przedziale ró\
niczkowalna, a jej pochodna jest
w tym przedziale funkcja rosnÄ…cÄ…, to funkcja f(x) jest w przedziale funkcja
wypukłą.
Je\
eli funkcja f(x) jest w przedziale dwukrotnie ró\
niczkowalna, a jej
druga pochodna przyjmuje w tym przedziale stałe wartści dodatnie, to funkcja f(x)
jest w przedziale funkcja wypukłą.
Je\
eli funkcja f(x) posiada w przedziale pierwszÄ… pochodnÄ… malejÄ…cÄ…
lub drugą pochodną ujemną, to jest w tym przedziale funkcją wklęsłą
18.Punkty przegięcia warunek konieczny:
Def. Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu x0 i ma w
tym punkcie pochodną. Punkt (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia p.p. wykresu funkcji g
gdy istnieje ´>0, \
e f jest wypukÅ‚a na sÄ…siedztwie lewostronnym S(x0-,´) i f jest
wklÄ™sÅ‚a na sÄ…siedztwie prawostronnym S(x0+,´) albo odwrotnie.
Tw. (warunek konieczny punktu przegięcia)
Je\
eli (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f i istnieje f  (x0), to f  (x0)=0.
Wniosek: funkcja mo\
e mieć punkty przegięcia jedynie w punktach zerowania się jej
drugiej pochodnej albo w punktach, w których ta pochodnia nie isnieje.
I warunek wystarczający punktu przegięcia):
Je\
eli funkcja f ma pochodnÄ… w punkcie x0 oraz istnieje ´>0, \
e f  (x)<0 dla ka\
dego x
nale\
Ä…cego do S(x0-,´), a f  (x)>0 dla ka\
dego x nale\
Ä…cego do S(x0+,´), to punkt
(x0,f(x0)) jest punktem przegięcia p.p.
II warunek wystarczający punktu p1zegięcia:
Je\
eli f  (x0)=0 a f   (x0)`"0 to punkt (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia p.p.
15
Tabela zwiÄ…zku pochodnej z wykresem funkcji:
Warunki dla pochodnych Własności
f f  f   f
f (x)>0 f  (x)>0 rosnÄ…ca
wypukła
f (x)>0 f  (x)<0 rosnÄ…ca
wklęsła
f (x)<0 f  (x)>0 malejÄ…c
wypukła
f (x)<0 f  (x)<0 malejÄ…ca
wklęsła
f (x0)=0 f  (x0)>0 minimum
lokalne
f (x0)=0 f  (x0)<0 maksimum
lokalne
f  (x0)=0 f   (x0)`"0 punkt
przegięcia
19. Asymptota pionowa jednostronna
Prosta x=x0 to asymptota pionowa lewostronna f je\
eli lim(przy x->x0-)f(x)=+" lub
lim(przy x->x0-)f(x)=-".
->Analogicznie definiujemy asymptotÄ™ prawostronnÄ…<-
Asymptota pionowa obustronna
Prosta x=x0 to asymptota pionowa obustronna lub asymptota pionowa funkcji f je\
eli
Jest to jej asymptota pionowa lewostronna i prawostronna.
Asymptota ukośna
Prosta y=Ax+B jest asymptotą ukośną funkcji f w +" gdy:
lim(przy x->+"-)[f(x)-Ax-B]=0
Asymptota pozioma
Je\
eli A=0 to asymptotę ukośną nazywamy poziomą.
Warunek istnienia asymptoty ukośnej
Prosta y=Ax+B jest asymptotą ukośną f w +" wtedy i tylko wtedy gdy:
A = lim(x->Ä…") [f(x)/x], a
B = lim(x->Ä…") [f(x)-Ax]
Warunek istnienia asymptoty poziomej
Prosta y=B jest asymptotÄ… poziomÄ… f w Ä…" wtedy i tylko wtedy gdy:
Lim(x->Ä…")[f(x)-B]= 0
16
20.Schemat badania przebiegu zmienności funkcji:
-Df, , punkty przecięcia z osiami układu
-granica na końcach przedziałów
-parzystosc, nieparzystość
-asymptoty
-1 pochodna, ekstrema
-2 pochodna, punkty przegięcia
-tabela znaków
-wykres
21. Funkcja pierwotna, wniosek z twierdzenia Lagrange a, warunek
wystarczający istnienia, całka nieoznaczona, twierdzenie o pochodnej całki i o
całce pochodnej. Wa\
niejsze całki.
*Funkcja pierwotna Niech będzie przedziałem oraz niech będzie
funkcjÄ….
Funkcję nazywamy pierwotną funkcji jeśli jest ró\
niczkowalna i
*Warunkiem wystarczającym istnienia dla funkcji f funkcji pierwotnej jest ciągłość
funkcji f.
*Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego - wyra\
a fakt, \
e podstawowe
operacje rachunku ró\
niczkowego i całkowego - ró\
niczkowanie i całkowanie - są
operacjami odwrotnymi. Dokładniej, je\
eli dana jest funkcja ciągła f, to pochodna jej
całki nieoznaczonej jest równa f. Bezpośrednią konsekwencją twierdzenia jest
mo\
liwość wykorzystania funkcji pierwotnej do obliczania całki oznaczonej danej
funkcji.
*Całką nieoznaczoną funkcji nazywamy zbiór jego pierwotnych i oznaczamy
17
22. twierdzenie o liniowości całki, o całkowaniu przez części, przez
podstawianie:
Twierdzenie o liniowości całki:
Jeśli są funkcjami, dla których istnieją całki nieoznaczone, to
1: +" (f Ä…g)(x)dx = +" f(x)dx Ä… +"g(x)dx
2: +" (f)(x)dx =  +"f(x)dx
W przypadku liczenia pochodnej funkcji mieliśmy tak\
e do dyspozycji wzór na
pochodną iloczynu i ilorazu. Pozwalało to w praktyczny sposób policzyć
pochodnÄ… dowolnej funkcji elementarnej.
W przypadku całki nieoznaczonej nie mamy do dyspozycji takiego narzędzia.
Okazuje siÄ™ nawet, \
e dla pewnych funkcji elementarnych nie istnieje funkcja
pierwotna elementarna (mimo, \
e pierwotna na pewno istnieje, bo funkcja jest
na przykład ciągła).
Twierdzenie o całkowaniu przez części:
Jeśli jest przedziałem, są funkcjami ró\
niczkowalnymi oraz istnieje
całka nieoznaczona dla funkcji to istnieje tak\
e całka nieoznaczona dla funkcji
oraz :
+"f ' gdx = fg - +" fg'dx
dowód:
Poniewa\
funkcje f i g są ró\
niczkowalne, więc ró\
niczkowalny jest tak\
e iloczyn f * g
oraz zachodzi wzór:
(fg)' = f 'g + fg'
zatem
f 'g = (fg)'  fg'
Poniewa\
funkcja po prawej stronie jest całkowalna, więc funkcja po lewej stronie
tak\
e jest całkowalna i mamy :
+"f 'gdx = +"[(fg)'dx  fg'] = +"(fg)'dx - +"fg'dx = fg - +"fg'dx
Całkowanie przez podstawienie:
Jeśli są przedziałami, jest funkcją ró\
niczkowalnÄ… oraz jest
funkcją, dla której istnieje pierwotna to istnieje całka nieoznaczona dla
funkcji oraz :
+"(gć%f) f'dx= Gć%f
dowód:
Poniewa\
funkcje g i f są ró\
niczkowalne, więc ich zło\
enie tak\
e oraz mamy :
(Gć%f)' = (G'ć%f)f ' = (gć%f)f '
Całkując obie strony, dostajemy tezę naszego twierdzenia.
18
23. Funkcja wymierna, ułamek prosty 1-go i 2-go rodzaju, ich całkowanie. Algorytm
t ( x )
całkowania funkcji wymiernych.
w ( x ) =
m ( x )
Definicja: FunkcjÄ… wymiernÄ… nazywamy funkcje w postaci , gdzie t i m
sÄ… wielomianami. Je\
eli stopnie wielomianów t i m spełniaja warunek st. t(x)< st. m(x), to
funkcję wymierną w(x) nazywany właściwą, w przeciwnym razie niewłaściwą.
Twiedzenie; Ka\
dą funkcję wymierną właściwą rzeczywistą mo\
na przedstawić w postaci
sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.
Wystarczy skorzystać z twierdzenia o rozkładzie wielomianów i zapisać funkcję t(x) w
postaci; t(x)=m(x)q(x)+r(x) , gdzie st. r(x)< st. m(x)
Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste.
Twierdzenie: Ka\
da funkcja wymierna właściwa rzeczywista daje się w sposób
jednoznaczny przedstawić w postaci sumy ułamków prostych. Funkcja wymierna właściwa
jest sumą k1+k2+& +kn ułamków prostych pierwszego rodzaju oraz l1+l2+& +ln , ułamków
prostych drugiego rodzaju, przy czym:
Czynnikowi (x-xi)k odpowiada suma ki ułamków pierwszego rodzaju postaci:
1.
Ai1 Ai 2 Aik
+ + ... +
x - xi (x - xi )2 (x - xi )k
gdzie: Ai1 , Ai2, & & .,Aik  |R dla i  {1,2,& ,r}:
2. Czynnikowi odpowiada suma lj ułamków prostych drugiego rodzaju w postaci:
Bj1x + C Bj 2x + C Bjt x + C
j1 j2 jt
+ + ... +
x2 + bj x + c (x2 + bj x + c )2 (x2 + bj x + c )t
j j j
gdzie: Bj1, Bj2,& ,Bjt, Cj1,Cj2,& Cjt  |R dla j  {1,2,& ,s}
Algorytm całkowania funkcji wymiernych:
1. Je\
eli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to funkcje wymierną
niewłaściwą zapisujemy w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.
2. Mianownik funkcji wymiernej właściwej rozkładamy na czynniki liniowe i nierozkładalne
kwadratowe.
3. Zapisujemy teoretyczny rozkład funkcji wymiernej właściwej na ułamki proste pierwszego
i drugiego rodzaju.
4. Znajdujemy nieznane współczynniki tego rozkładu.
5. Obliczamy całki poszczególnych składników rozkładu funkcji tzn. wielomianu i ułamków
prostych.
24.Całkowanie funkcji trygonometrycznych i niewymiernych
1.trygonometryczne, podstawienie ogólne
podstawiamy
otrzymujemy:
19
czyli ogólnie
2.
I -
II -
III -
3. Całki niewymierne
I. Funkcja
gdzie
ma pierwotną elementarną wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jeden z przypadków:
(1) (robimy podstawienie gdzie jest wspólnym mianownikiem ułamków i
);
(2) (robimy podstawienie gdzie jest mianownikiem ułamka );
(3) (robimy podstawienie gdzie jest mianownikiem ułamka
).
II. metoda współczynników nieoznaczonych
gdzie jest wielomianem stopnia
III. Podstawienie Eulera
Do policzenia całki postaci
gdzie jest funkcjÄ… wymiernÄ…, mo\
na zastosować następujące
podstawienia (tak zwane podstawienia Eulera):
" Niech Podstawiamy
" Niech Podstawiamy
Niech trójmian kwadratowy ma dwa ró\
ne pierwiastki to znaczy
Podstawiamy
20
25. Przestrzenie liniowe. Własności, przykłady. Liniowa niezale\
ność wektorów.
Kombinacja liniowa. Warunek liniowej zale\
ności wektorów.
Niech X będzie zbiorem elementów oznaczonych x,y,z i nazywanych wektorami. Niech R
będzie zbiorem liczb rzeczywistych.
Zbiór X nazywamy przestrzenią liniową gdy dla dowolnych elementów x,y,z "X określona
jest suma x+y "X oraz dla ka\
dej liczby a"R oraz " x"X określony jest ich iloczyn ax.
Przy czym działania te spełnia muszą następujące warunki:
1. (x+y)+z=x+(y+z)
2. x+y=y+x
3. " 0"X \
e x+0=x " x" X ( 0- element zero )
4. "x " X "(-x) \
e x + (-x) = 0
5. "x " X 1* x = x
6. a * (b * x) = (a * b) * x , "a, b " R , "x " X
7. (a + b) * x = a * x + b * x , a(x + y) = a * x + a * y "x, y " X "a, b " R
Uwaga!!
Nie nale\
y mylić 0 przestrzeni X z zerem zbioru R
Nie nale\
y myli dodawania w przestrzeni X i dodawania liczb
Własności przestrzeni liniowych
1. 0 * x = 0 (pierwsze zero to liczba a drugie to element przestrzeni linowej) "x " X
2. a*0=0 "a " R
3. a*x=0 Ò! a=0 lub x=0
4. a*x=b*x oraz x `" 0 Ò! a = b
5. ( a)*x = -(a*x)
6. a*x=a*y oraz a `" 0 Ò! x = y
Liniowa niezale\
ność wektorów
Def.
Niech X będzie przestrzenią liniową. Mówimy \
e elementy x1, x2 ,....xn " X sÄ… liniowo
niezale\
ne jeśli dla dowolnych liczb a1, a2 ,...a " R z warunku
n
a1 * x1 + a2 * x2 + ...an * xn = 0 wynika równość a1 = a2 = an = 0 w przeciwnym wypadku
mówimy \
e x1, x2 ,...xn sÄ… liniowo zale\
ne.
Elementy x1, x2 ,....xn " X sÄ… liniowo zale\
ne jeśli istnieją liczby a1, a2 ,...a " R nie
n
wszystkie równe 0 takie \
e a1 * x1 + a2 * x2 + ...an * xn = 0
Liniowa kombinacja elementów
Def.
Niech X będzie przestrzenia liniową. Kombinacją liniową elementów x1, x2 ,...xn przestrzeni
X o współczynnikach a1, a2 ,...a " R nazywamy taki wektor a1 * x1 + a2 * x2 + ...an * xn
n
21
Tw I
Wektory x1, x2 ,...xn sÄ… liniowo zale\
ne Ô! gdy co najmniej jeden z nich jest kombinacjÄ…
liniową pozostałych.
Tw II
(Problem z odczytaniem : / )
Def.
Nieskończony zbiór wektorów w przestrzeni liniowej jest liniowo niezale\
ny jeśli ka\
dy jego
skończony podzbiór jest liniowo niezale\
ny.
26. Baza i wymiar przestrzeni liniowej. Własności operacji generowania. Przykłady
bazy.
a) Bazy
DEF:Mówimy, \
e podzbiór (lub układ, lub ciąg) A przestrzeni wektorowej jest bazą tej
przestrzeni V, jeśli jest liniowo niezale\
ny i generuje V.
Bazą przestrzeni zerowej jest zbiór pusty.
TW. :Załó\
my, \
e wektory v1,& ,vn generują przestrzeń wektorową V . Z wektorów v1,& ,vn
mo\
na wybrać bazę przestrzeni V.
b)wymiar przestrzeni liniowej
Skończona wymiarowość
DEF:Mówimy, \
e przestrzeń wektorowa jest skończenie wymiarowa, jeśli ma skończony
układ generujący.}
TW: Przestrzeń skończenie wymiarowa V ma bazę.
TW: W przestrzeni skończenie wymiarowej wszystkie bazy są równoliczne, czyli mają tyle
samo elementów.
27. Macierz, wymiar, zerowa, kwadratowa, stopień, trójkątna, diagonalna,
jednostkowa, blokowa.
" macierz
Niech ustalone będzie ciało i dwie liczby naturalne , .
Macierzą o wyrazach z ciała i wymiarach na nazywamy ka\
dÄ… funkcjÄ™
Macierz takÄ… zapisujemy w postaci tabelki
22
" wymiar macierzy
m  liczba wierszy, n  liczba kolumn
" macierz zerowa
Macierz, której wszystkie elementy są zerami.
" macierz kwadratowa
Macierz nazywamy kwadratową, jeśli .
" stopień macierzy
Wymiar macierzy kwadratowej, jest liczba wierszy bÄ…dz
kolumn.
" macierz trójkątna
Macierz kwadratowa, która ponad swoją przekątną, lub pod nią ma wszystkie elementy równe
zeru.
" macierz diagonalna
Macierz kwadratowa, której wszystkie elementy z wyjątkiem tych le\
Ä…cych na przekÄ…tnej
równają się zeru.
" macierz jednostkowa
I  macierz diagonalna, na której przekątnej stoją same jedynki
" macierz blokowa
Macierz, którą utworzono z macierzy Aij , gdzie 1 d" i d" m oraz 1 d" j d" n ustawionych w m
wierszach i n kolumnach
28. Suma i ró\
nica macierzy. Iloczyn macierzy przez liczbę. Własności.
Sumą (ró\
nicą) macierzy A i B nazywamy macierz C, w której elementy Określone są
wzorem cij = aij Ä… bij
Iloczyn przez liczbÄ™: m*A=B, gdzie bij = m * aij
Własności:
1. A+B=B+A 5. (a+b)*C=a*C+b*C
2. (A+B)+C=A+(B+C) 6. A+0=A
3. (a*b)A=a*(b*A) 7. A+(-A)=0
4. a*(B+C)=a*B+a*C 8. 1*A=A
29. Iloczyn macierzy, schemat obliczania. Własności, macierz transponowana
Niech macierz A=[aij] ma wymiar m x n a macierz B = [bij] wymiar n x k. Iloczynem
macierzy A i B nazywamy macierz C = [cij] wymiaru m x k, której elementy określone są
wzorem:
Wprowadzając oznaczenie , dla wektorów
(odpowiadajÄ…ce dla n=2 i n=3 iloczynowi
skalarnemu) iloczyn AB macierzy mo\
na zapisać w postaci:
gdzie
oznaczajÄ… wektory
wierszowe macierzy A,
zaÅ› wektory
kolumnowe macierzy B.
23
WA
ASNOÅšCI:
1. Niech macierz A ma wymiar m x n, a macierze B i C wymiar n x k. Wtedy
A(B+C)=AB+AC.
2. Niech macierze A, B majÄ… wymiar m x n, a macierz C wymiar n x k wtedy (A+B)C=AC
+BC.
3. Niech macierz A ma wymiar m x n, a macierz B wymiar n x k oraz niech ą będzie liczbą
rzeczywistÄ… lub zespolonÄ…. Wtedy A(Ä…B)= (Ä…A)B= Ä…(AB).
4. Niech macierz A ma wymiar m x n, macierz B ma wymiar n x k, a macierz C ma wymiar k
x l Wtedy: (AB)C=A(BC).
5. Niech macierz A ma wymiar m x n. Wtedy AInA=ImA=A
Macierz transponowana:
Niech A = [aij] będzie macierzą wymiaru m x n. Macierzą transponowaną do macierzy A
nazywamy macierz B = [bij] wymiaru n x m, któ®ej elementy sÄ… okreÅ›lone wzorem. bij=aij.
Gdzie 1d"id"n oraz 1d"jd"m. Macierz transponowanÄ… do macierzy A oznaczamy przez AT.
WA
ASNOÅšCI transponowanej macierzy:
1. Niech A i B będą macierzami wymiaru m x n. Wtedy (A+B)T= AT+ BT.
2. Niech A będzie macierzą wymiaru m x n oraz niech ą będzie liczbą rzeczywistą lub
zespolonÄ…. Wtedy (AT)T = A oraz (Ä…A)T= Ä…AT.
3. Niech A będzie macierzą wymiaru m x n. a B macierzą wymiaru n x k. Wtedy (AB)T = BT
AT
4. Niech A będzie macierzą kwadratową oraz niech r nale\
y do N. Wtedy (Ar)T=(AT)r
30. Odwzorowanie liniowe, jego macierz
Niech dane będą przestrzenie wektorowe i nad ciałem oraz odwzorowanie liniowe
.
Niech będzie bazą przestrzeni wektorowej , zaś bazą przestrzeni . Dla
odwzorowania liniowego mamy:
dla pewnych skalarów , , . Inaczej zapisując
dla ka\
dego .
Otrzymaliśmy więc macierz , która całkowicie opisuje odwzorowanie
liniowe . Istotnie, jeśli znamy wartości odwzorowania liniowego na bazie, to znamy to
odwzorowanie. Macierz tÄ™ nazywamy macierzÄ… odwzorowania przy bazach i
.
24
31. Działania na odwzorowaniach liniak
Niech S i T będą odwzorowaniami linowymi z linowych X->Y.
Suma
Suma odwzorowań S i T nazywamy odwzorowanie:
(S+T): X->Y
Określone wzorem:
(S+T)(x) = S(x) + T(x) dla ka\
dego x nale\
Ä…cego do X
Iloczyn
Niech T będzie odwzorowaniem linowym X->Y oraz niech a nale\
y do rzeczywistych.
Iloczynem liczby a i odwzorowania T nazywamy odwzorowanie:
aT: X->Y
dane wzorem:
(aT)(x) = a(T(x)) dla ka\
dego x nale\
Ä…cego do X
Suma odwzorowań linowych i iloczyn odwzorowania liniowego przez liczbę są tak\
e
odwzorowaniami linowymi.
Składanie
ZÅ‚o\
eniem odwzorowań linowych S: X->Y i T: Y-Z
nazywamy odwzorowanie
(T S): X->Z
określone wzorem:
(T S)(x)=T(S(x)) dla ka\
dego x nale\
Ä…cego do X
ZÅ‚o\
enie odwzorowań linowych jest tak\
e odwzorowaniem linowym.
Twierdzenie o macierzach działań na odwzorowaniach linowych
Suma
Niech S,T: X->Y maja w ustalonych bazach przestrzeni X i Y odpowiednio macierze AS i AT.
Wtedy macierz AS+T sumy S+T ma w tych bazach postać:
AS+T = AS + AT
Iloczyn
Niech T: X->Y ma w ustalonych bazach X i Y macierz AT i niech a nale\
y do rzeczywistych.
Wtedy macierz AaT odwzorowania aT ma w tych bazach postać AaT =aAT
Składanie
Niech odwzorowania S: X->Y T: Y->Z majÄ… w ustalonych bazach tych przestrzeni
macierze AS i AT.
Wtedy macierz zło\
enia: ATºS = AT · AS .
32. Wyznacznik 2-go stopnia, n-tego stopnia, schemat obliczania wyznacznika 3-go
stopnia.
Wyznacznik drugiego stopnia obliczamy według łatwego wzoru, wynikającego wprost z
definicji permutacyjnej wyznacznika:
25
Wyznacznik trzeciego stopnia obliczamy według tzw. reguły Sarrusa:
W przypadku macierzy wy\
szych stopni, a tak\
e niejednokrotnie w przypadku macierzy
stopnia trzeciego, wygodniej jest stosować twierdzenie Laplace'a.
33. Interpretacja geometryczna wyznaczników 2-go i 3- stopnia
Interpretacja geometryczna wyznaczników 2-go i 3-go stopnia
r r
1. Niech D oznacza równoległobok rozpięty na wektorach u = (a,b), v = (c,d). Pole D
tego równoległoboku wyra\
a siÄ™ wzorem:
a b
îÅ‚ Å‚Å‚
D = detïÅ‚
ðÅ‚c dśł
ûÅ‚
r r
2. Niech V oznacza równoległościan rozpięty na wektorach u = (a,b,c), v = (d,e, f ),
r
w = (g,h,i). Objętość V tego równoległościanu wyra\
a siÄ™ wzorem:
a b c
îÅ‚ Å‚Å‚
śł
V = detïÅ‚d e f
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ðÅ‚g h i śł
ûÅ‚
34. Dopełnienie algebraiczne, rozwinięcie Laplace a,
Dopełnienie algebraiczne elementu aij macierzy kwadratowej
stopnia n to wyznacznik macierzy powstałej z A poprzez skreślenie jej i-tego wiersza i j-tej
kolumny, pomno\
ony przez ( - 1)i + j.
Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy A oznacza się często symbolem , a macierz
zło\
oną z dopełnień algebraicznych, nazywa się macierzą dopełnień algebraicznych macierzy
A.
Rozwinięcie Laplace'a - wzór rekurencyjny określający wyznacznik n-tego stopnia macierzy
kwadratowej o wymiarach . Wyznacznik detA macierzy znajduje się z następującego
wzoru:
gdzie:
i jest ustalone i określa wiersz macierzy, względem którego następuje rozwinięcie
- element macierzy w i-tym wierszu i j-tej kolumnie
- dopełnienie algebraiczne elementu powstałe z przemno\
enia czynnika ( - 1)i + j przez
minor elementu aij
26
35. Własności wyznaczników. Algorytm Gaussa.
Własności wyznaczników
1. Zamiana wierszy na kolumny i kolumn na wiersze nie zmienia wartości wyznacznika,
o ile zachowamy niezmienioną kolejność ich elementów.
2. Wyznacznik, w którym wszystkie elementy jednego wiersza (kolumny) są równe
zeru, jest równy zeru.
3. Wyznacznik mno\
ymy przez stałą, mno\
Ä…c elementy jednego wiersza (kolumny)
przez tę stałą.
4. Wyznacznik, w którym dwa wiersze (kolumny) są proporcjonalne jest równy zeru.
5. Do elementów dowolnego wiersza (kolumny) mo\
na dodać elementy innego wiersza
(kolumny) pomno\
one przez dowolną liczbę ró\
nÄ… od zera. Nie zmieniamy przy tym
wartości wyznacznika.
Algorytm Gaussa
Metoda eliminacji Gaussa pozwala nam obliczyć układ n równań z n niewiadomymi Ax=b.
Przekształcamy w niej macierz współczynników A do macierzy trójkątnej górnej R, z której
następnie obliczamy ostateczne rozwiązanie - czyli wektor x. Macierz trójkątną górną R
otrzymujemy w następujący sposób: (Przez macierz (A,b) rozumieć będziemy macierz
współczynników A z dodaną na końcu kolumną wyrazów wolnych b)
1. W macierzy (A,b) szukamy elementu ar1 różnego od zera i przechodzimy do następnego
punktu. Jeżeli natomiast nie istnieje taki element to znaczy, że macierz jest osobliwa i nie
możemy rozwiązać tego układu.
2. Zamieniamy wiersz r-ty i pierwszy.
3. Odejmujemy od i-tego wiersza macierzy li krotność wiersza i-tego i pierwszego. Można to
przedstawić za pomocą wzorów: (i=2,3,...,n j=2,3,...,n)
4. Następnie wywołujemy tą procedurę od punktu pierwszego rekurencyjnie dla macierzy
(A',b') - czyli macierz (A,b) pomniejszonÄ… o pierwszÄ… kolumnÄ™ i pierwszy wiersz.
Wybór częściowy elementu podstawowego uzyskamy wybierając za element, a w punkcie
pierwszym |ar1|=max|ai1| i=1,2,...,n
Pełny wybór elementu podstawowego poprzez |ars|=max|aij| i=1,2,...,n j=1,2,...,n Musimy
przestawić wiersz r-ty i pierwszy oraz kolumnę s-tą i pierwszą (zmiany kolumn nale\
y
zapamiętać gdy\
powoduje ona zamianÄ™ niewiadomych!).
Gdy przekształcimy ju\
macierz współczynników A do macierzy trójkątnej górnej R, oraz
wektor b do wektora c mo\
emy ju\
wyznaczyć ostateczne rozwiązanie ze wzoru: (i=n,n-
1,...,1)
27
Przykład, niech będzie dana macierz A oraz wektor b, z których tworzymy macierz (A,b)
Poniewa\
ostatniej macierzy nie mo\
emy ju\
rekurancyjnie wywołać (po odcięciu górnego
wiersza i prawej kolumny zostanie wektor), zatem otrzymaliśmy szukaną macierz R i wektor
c, z których wyznaczamy ostateczne rozwiązanie
x[3]=0.25 x[2]=0.75 x[1]=-0.25
36. Macierz odwrotna i jej wyznacznik. Własności
Niech A będzie macierzą kwadratową ustalonego stopnia. Macierz A jest odwracalna, jeśli
istnieje taka macierz B, \
e zachodzi
AB = BA = I,
gdzie I jest macierzÄ… jednostkowÄ….
Je\
eli taka macierz B nie istnieje, to macierz A nazywamy nieodwracalnÄ…, w przeciwnym
wypadku macierz B nazywa się macierzą odwrotną do macierzy A i oznacza się ją wówczas
przez A - 1. Macierz jest odwracalna tylko wtedy gdy jej wyznacznik jest ró\
ny od 0
Własności
" Macierz odwrotna do macierzy odwracalnej jest odwracalna, operacja odwracania
macierzy jest inwolucjÄ…:
.
" Iloczyn macierzy odwracalnych jest macierzÄ… odwracalnÄ…,
(kolejność macierzy jest istotna, gdy\
mno\
enie macierzy nie
jest przemienne!).
" Macierz transponowana do macierzy odwracalnej jest odwracalna,
.
28
37. Układ równań liniowych. Układ jednorodny, niejednorodny, Cramera. Wzór
Cramera.
Układ równań liniowych to układ równań, w którym występuje dowolna liczba równań
liniowych i jednocześnie nie występują w nim \
adne równania wy\
szego rzędu. Ogólnie
dla równań, w których występuje niewiadomych układ równań liniowych mo\
na
przedstawić następującym wzorem:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + & + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + & + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + & + a3nxn = b3
& & .. & & & . & & & .. & . & .
am1x1 + am2x2 + am3x3 + & + amnxn = bm
Układ równań liniowych nazywamy jednorodnym, gdy wszystkie wyrazy wolne tego układu
są równe zeru:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + & + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + a23x3 + & + a2nxn = 0
a31x1 + a32x2 + a33x3 + & + a3nxn = 0
& & .. & & & . & & & .. & . & .
am1x1 + am2x2 + am3x3 + & + amnxn = 0
Układ niejednorodny: układ postaci jak układ jednorodny lecz, wyrazy wolne nie są równe
ZERU!!.
Układ Cramera: Układ n równań liniowych o n niewiadomych nazywa się układem
Cramera, je\
eli macierz A współczynników tego układu jest macierzą nieosobliwą,
tzn. det A `" 0.
Wzór Cramera: Układ równań Cramera posiada dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami
Cramera, tzn: x1 = det A1 / det A ; x2 = det A2 / det A ; x3 = det A3 / det A ; xn = det An / det A
gdzie: Ai :=
a11 a12 & a1i-1 b1 a1i+1 & a1n
a21 a22 & a2i-1 b2 a2i+1 & a2n
& & & & & & & &
an1 an2 & ani-1 bn ani+1 & ann
(i = 1,& ..,n) oraz powstaje z macierzy A przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną wyrazów
wolnych.
38. Metoda macierzy odwrotnej. Metoda eliminacji Gaussa.
a) Macierz odwrotna
DEF: Niech A-macierz kwadratowa stopnia n, macierz odwrotna macierzy A do A-1, która
spełnia warunek A* A-1= A-1*A=In (to jest du\
e  i a nie małe  L )
Nie ka\
da macierz ma macierz odwrotnÄ…
Def: Macierz która ma macierz odwrotną nazywamy odwracalną, nieosobliwą
Metoda macierzy odwrotnej:
TW. Rozwiązaniem układu Cramera AX=B jest określone wzorem X= A-1 *B
b) Metoda eliminacji Gaussa
AX=B  układ Cramera, A-macierz stopnia n, rozwiązanie tego układu znajdujemy w sposób
algorytmu Gaussa .
29
39. Podmacierz, minor, macierz rozszerzona. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego
" podmacierz
Macierz kwadratowa, którą mo\
emy uzyskać z macierzy A w wyniku skreślenia w niej
pewnej liczby wierszy lub kolumn.
" minor
Minorem wyznacznika przynale\
nym do elementu aik macierzy A nazywamy podwyznacznik
danego wyznacznika, który otrzymamy usuwając z macierzy wiersz oraz kolumnę, na
przecięciu których znajduje się ten element.
" macierz rozszerzona (uzupełniona)
Macierzą uzupełnioną U macierzy W (utworzonej ze współczynników układu) nazywamy
macierz powstałą przez dopisanie do macierzy w kolumny utworzonej z wyrazów wolnych
układu.
" twierdzenie Kroneckera-Capelliego
Warunkiem koniecznym i wystarczającym rozwiązalności ogólnego układu równań liniowych
jest równość rzędu macierzy W współczynników układu i rzędu macierzy uzupełnionej U:
r=r(W)=r(U)
40. Wartości i wektory własne odwzorowań liniowych. Twierdzenia o podprzestrzeni
wektorów własnych, o liniowej niezale\
ności, o bazie wektorów własnych.
Niech T-odwzorowanie liniowe X X:
1.  - wartość własna odwzorowania liniowego T jeśli "x " X , x `" 0 (niezerowy wektor x)
taki \
e Tx = x (1)
2. Ka\
dy wektor x `" 0 spełniający równość (1) nazywamy wektorem własnym
odwzorowania T odpowiadającym wartości 
TW (o podprzestrzeni wektorów własnych):
Niech  jest wartością własną odwzorowania liniowego T:X X wtedy:
1. X = {x " X : Tx - x} jest podprzestrzeniÄ… liniowÄ… przestrzeni X niezmienniczo dla

odwzorowania T
2. X = {x " X : Tx - I)x = 0}

TW (o liniowej niezale\
ności)
Wektory własne odpowiadające ró\
nym wartościom własnym odwzorowania liniowego T są
liniowo niezale\
ne.
TW (o bazie wektorów własnych)
Niech T:X X wtedy:
1. Jeśli odwzorowanie T ma n ró\
nych wartości własnych to odpowiadające im wektory
własne stanowią bazę przestrzeni X.
30
2. Jeśli wektory własne x1,& ,xn odwzorowania T stanowią bazę przestrzeni X przy czym
1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
2
ïÅ‚ śł
Txi = i xi to macierz odwzorowania T w tej bazie ma postać:
ïÅ‚ śł
...
ïÅ‚ śł
n ûÅ‚
ðÅ‚
41.Wartości i wektory własne macierzy
Niech A jest macierzÄ… kwadratowÄ… stopnia n , a I  macierzÄ… jednostkowÄ… tego samego
stopnia. Macierzą charakterystyczną nazywa się następującą macierz:
(A - I) = od wyznaczników znajdujących się na głównej przekątnej odejmujemy  . Gdzie 
jest zmiennÄ… niezale\
nÄ….
Wyznacznik powy\
szej macierzy w postaci rozwiniętej jest wiolmianem zmiennej  stopni n:
n
det Śą  I Śą Śą 1ŚąŚą n- 1Śą...ŚąĆn- 1 ŚąĆnŚą
A = - nŚąĆ1
.
Wielomian ten nazywa się wielomianem charakterystycznym macierzy A. Współczynniki Ći
mo\
na wyrazić za pomocą elementów macierzy A. W szczególności:
Ć1 = (a11 + a22 + ... + ann)
Ćn = (-1)n det(A)
Równanie det(A - I) = 0 jest równaniem charakterystycznym macierzy A , a jego
pierwiastki  wartościami własnymi ( liczbami charakterystycznymi) macierzy A.
42.Wektory
Wektory współliniowe (kolinearne)
Wektory o tym samym kierunku, czyli do siebie równoległe (mogą te\
le\
eć na jednej
prostej).Wektory te tworzÄ… wiÄ™c kÄ…t 0° albo 180° (zale\
nie od ich zwrotów). Korzystając z
definicji iloczynu wektorowego, stwierdzić mo\
na, i\
warunkiem kolinearności dwóch
wektorów jest zerowanie się ich iloczynu wektorowego.
a ×b = 0
Wektory współpłaszczyznowe
Trzy wektory są współpłaszczyznowe jeśli ich iloczyn mieszany jest równy zero.
a o b×c = 0
( )
43.Długość wektora i jego własności
Długość wektora mo\
e być obliczona za pomocą normy euklidesowej,
Okazuje siÄ™, \
e jest ona równa pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu skalarnego wektora
przez siebie:
31
.
Własności:
44. Iloczyn skalarny i jego własności
Iloczyn skalarny dwóch wektorów (z rozwa\
anej przestrzeni euklidesowej)
oraz wynosi z definicji
Następujące własności są prawdziwe dla dowolnych wektorów oraz dowolnego
skalara r:
" przemienność:
,
" rozdzielność względem dodawania:
,
" dwuliniowość:
.
Przy mno\
eniu przez wartość skalarną zachodzi następująca równość:
.
Ostatnie dwie własności wynikają z dwóch pierwszych.
Dwa niezerowe wektory oraz są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy .
Je\
eli jest wektorem jednostkowym, to iloczyn skalarny określa wartość rzutu w kierunku
, ze znakiem ujemnym, je\
eli kierunek jest przeciwny. Często przydatne jest rozkładanie
wektorów w celu ich wygodnego dodawania, np. obliczania siły wypadkowej w mechanice.
W przeciwieństwie do mno\
enia liczb, gdzie je\
eli , to o ile to , dla
iloczynu skalarnego nie zachodzi prawo skracania. Je\
eli , to korzystajÄ…c z
prawa rozdzielności mo\
emy zapisać równowa\
ną równość . Jest ona
spełniona, gdy czynniki są ortogonalne, czyli zachodzi dowolna kombinacja warunków:
" pierwszy wektor jest zerowy: , lub
" drugi wektor jest zerowy: , czyli , lub
" wektory są prostopadłe: .
Spełnienie trzeciego warunku prowadzi więc do spełnienia równości , nawet
gdy i .
32
45. Orientacja układu współrzędnych w przestrzeni, iloczyn wektorowy.
*Orientacja układu współrzędnych. W zaleznosci od wzajemnego połozenia osi Ox, Oy, Oz
wyrózniamy dwie orientacje układu współrzednych Oxyz: układ prawoskretny i układ
lewoskretny.
*Niech V będzie -wymiarową przestrzenią euklidesową o zadanej orientacji. Iloczynem
wektorowym wektorów nazywamy wektor taki, \
e
1. Jeśli są liniowo zale\
ne, to jest wektorem zerowym.
2. Jeśli są liniowo niezale\
ne, to
" (ortogonalne dopełnienie podprzestrzeni, czyli
podprzestrzeń prostopadła do ka\
dego z wektorów ),
" (pierwiastek z wyznacznika Grama),
" Baza jest zorientowana dodatnio.
Działanie to oznaczamy lub
46. - Własności iloczynu mieszanego:
Jeśli iloczyn mieszany 3 wektorów u,v,z oznaczymy symbolem: (u,v,z) to własności tego
iloczynu są następujące:
1) (u, v, z ) = (z, u, v) = (v, z, w)
2) (u, v, z ) = - (u, z, v) = - (v, u, z) = -(z, v, u)
3) (u + q, v, z) = (u, v, z) + (q, v, z)
4) (tu, v, z ) = t (u, v, z )
5) wektory u, v, z le\
ą na jednej płaszczyz
nie wtedy i tylko wtedy, gdy (u, v, z) = 0
6) |(u, v, z)|< |u| |v| |z|
47. Własności iloczynu wektorowego
Iloczyn wektorowy ma następujące własności:
- nie jest przemienny a x b = -b x a
- łączność (1.47)
- rozdzielność (1.48)
48. Wzory do obliczania iloczynu wektorowego.
33
49. Iloczyn mieszany, interpretacja geometryczna. Wzory do obliczania iloczynu
mieszanego.
Iloczyn mieszany: def. Iloczynem mieszanym nazywa siÄ™ odwzorowanie: E3 x E3 x E3 R,
które uporządkowanej trójce wektorów (a,b,c) przyporządkowuje liczbę rzeczywistą
 a ć% (b x c) .
Wzory:
1. a ć% (b x c) = 0 a,b,c są liniowo zale\
ne
2. a ć% (b x c) = -a ć% (c x b) = -b ć% (a x c) = -c ć% (b x a)
3. a ć% (b x c) = b ć% (c x a) = c ć% (a x b)
4. a ć% (b x c) = (a x b) ć% c
5. Iloczyn mieszany jest trójliniowym odwzorowaniem E3 x E3 x E3 R
50. Własności iloczynu mieszanego.
u,v,w,r to wektory a a nale\
y do R
1) (u,v,w)=(v,w,u)
2)(u,v,w)=-(v,u,w)
3) (u+r,v,w)=(u,v,w) +(r,v,w)
4) (au,v,w) =a(u,v,w)= (u,av,w)= (u,v,aw)
5) |(u,v,w)| d" |u|*|v|*|w|
6) u,v,w le\
ą w jednej płaszczyz
nie wtedy i tylko wtedy, gdy ten iloczyn mieszany (u,v,w)=0
51. Równanie normalne płaszczyzny
Ä…x + ²y + Å‚z + ´ = 0.
Liczby Ä…, ², Å‚ interpretujemy jako cosinusy kierunkowe prostej prostopadÅ‚ej do pÅ‚aszczyzny.
SpeÅ‚niajÄ… one równość: Ä…2 + ²2 + Å‚2 = 1.
52. Równanie ogólne płaszczyzny.
ax+by+cz=d
d d d
A gdy d `" 0 to A = , B = , c =
a b c
53. Równanie odcinkowe płaszczyzny
jest równaniem odcinkowym gdy\
liczba a jest pierwsza wspólrzędną punktu przecięcia
płaszczyzny z osia x-ów, b jest drugą wspólrzeędną punktu przecięcia płaszczyzny z osia y-
ów, c jest trzecią współrzędną punktu przecięcia płaszczyzny z osią z-ów.
54. Płaszczyzna przechodząca przez 3 niewspółliniowe punkty:
Istnieje tylko jedna płaszczyzna w przechodząca przez trzy niewspółliniowe punkty,
dlatego mo\
na jednoznacznie wyznaczyć tą płaszczyznę, czyli je\
eli płaszczyzna przechodzi
przez trzy punkty: , i jest
określona następującym równaniem:
34
lub:
55.Równanie parametryczne płaszczyzny
Płaszczyzna przechodząca przez punkt P0(x0,y0,z0) o wektorze wodzącym i rozpięta na
niewspółlinowych wektorach ma postać:
w formie jawnej:
x = x0 + a1s + a2t
y = y0 + b1s + b2t
z = z0 + c1s + c2t
56 Równania prostej
1)Równanie parametryczne
Prosta o (niezerowym) wektorze kierunkowym , przechodzÄ…ca przez punkt
to zbiór punktów , takich \
e
dla dowolnych .
Innymi słowy:
.
W nowoczesnej geometrii analitycznej oznacza siÄ™ to:
.
Rozpisując poszczególne składowe mo\
emy to samo równanie przedstawić za pomocą układu
równań postaci:
Ilustracja równania parametrycznego i równania prostej przechodzącej przez zadane punkty
Przy tym i sÄ… dowolnymi liczbami rzeczywistymi, natomiast i sÄ… tak\
e liczbami
rzeczywistymi, które jednak nie mogą być jednocześnie równe zeru. Wówczas bowiem układ
równań opisywałby tylko pojedynczy punkt , a nie całą prostą.
2) Równanie w postaci kierunkowej
Jeśli prosta nie jest równoległa do osi rzędnych (Oy), równanie prostej mo\
na zapisać w tzw.
postaci kierunkowej:
,
gdzie i to liczby rzeczywiste.
" , tzw. współczynnik kierunkowy, jest równe tangensowi kąta między prostą a osią
odciętych (OX). Czasem ten współczynnik jest oznaczany literą . Dwie proste o
35
tym samym współczynniku kierunkowym są równoległe. Czerwona i niebieska prosta
na wykresie mają ten sam współczynnik kierunkowy.
" , tzw. wyraz wolny, jest rzędną punktu, w którym prosta przecina oś rzędnych.
Proste czerwona i zielona na wykresie majÄ… ten sam wyraz wolny.
3)Równanie odcinkowe
Równanie prostej, przecinającej oś w punkcie , gdzie i oś w punkcie
, gdzie :
.
57. Rzut prostokątny punktu na płaszczyznę (prosta) Odległośc pkt od płaszczyzny,
odległośc miedzy płaszczyznami równoległymi
*Rzut prostokątny na płaszczyznę  odwzorowanie przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej
na daną płaszczyznę w ten sposób, \
e ka\
demu punktowi przestrzeni przypisany jest punkt
przecięcia się prostej prostopadłej do płaszczyzny, która przechodzi przez dany punkt, z
płaszczyzną.
*Odległość punktu od płaszczyzny. Odległość punktu P o współrzędnych (xP, yP, zP) od
pÅ‚aszczyzny m zadanej równaniem ogólnym Ax + By + Cz + D = 0 lub normalnym Ä…x + ²y +
Å‚z + ´ = 0 przedstawia wzór:
58. Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny. Kąt między prostymi. Kąt między
płaszczyznami.
a) Prostą l nazywamy równoległą do płaszczyzny Ą, je\
eli nie ma z nią punktów wspólnych
lub zawiera siÄ™ w niej. Je\
eli prosta nie jest równoległa do płaszczyzny, to mówimy, \
e prosta
przebija
płaszczyznę.
b) Prostą l nazywamy prostopadłą do płaszczyzny Ą, je\
eli l jest prostopadła
do ka\
dej prostej zawartej w Ä„.
c) Jeśli prosta l nie jest równoległa i nie jest prostopadła do płaszczyzny Ą, to kątem
nachylenia prostej l do płaszczyzny Ą nazywamy kąt ostry między
prostą l i jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę Ą.
d) Prostymi równoległymi nazywamy dwie proste zawarte w jednej płaszczyz
nie, które są
rozłączne albo pokrywają się.
e) Prostymi skośnymi nazywamy dwie proste nie zawarte w jednej płaszczyz
nie.
f) Proste k, l nazywamy prostopadłymi, je\
eli:
- zawarte są w jednej płaszczyz
nie i w tej płaszczyz
nie są do siebie prostopadłe,
- są skośne i istnieje prosta m i płaszczyzna Ą takie, \
e prosta m le\
y w płaszczyz
nie
ą i jest równoległa do prostej k oraz prosta l le\
y w płaszczyz
nie Ä„ i jest
prostopadła do prostej m.
g) Dwie ró\
ne płaszczyzny mogą przecinać się według prostej, którą nazywamy krawędzią
przecięcia.
h) Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi, je\
eli nie mają punktów wspólnych lub
pokrywajÄ… siÄ™.
i) Płaszczyzny, które nie są równoległe, nazywamy przecinającymi się.
j) Dwie płaszczyzny nazywamy prostopadłymi, je\
eli istnieje taka prosta, która zawiera się w
jednej z tych płaszczyzn i jest prostopadła do drugiej płaszczyzny.
36
59. Krzywe sto\
kowe
Krzywa sto\
kowa  zbiór punktów powstałych na przecięciu sto\
ka (ściślej powierzchni
sto\
kowej, której kierującą jest okrąg) i płaszczyzny
" W przypadku, gdy kąt pomiędzy płaszczyzną przecinającą a osią sto\
ka jest większy
od kąta między tworzącą a osią sto\
ka, wówczas krzywą sto\
kowÄ… jest elipsa.
" Szczególnym przypadkiem elipsy jest okrąg, który powstaje, gdy wspomniany kąt jest
prosty, czyli płaszczyzna tnąca jest prostopadła do osi sto\
ka.
" Je\
eli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią sto\
ka jest równy kątowi pomiędzy osią
sto\
ka a jego tworzącą, czyli tworząca jest równoległa do płaszczyzny tnącej, to krzywą
sto\
kowÄ… jest parabola.
" W szczególnym przypadku, gdy płaszczyzna tnąca pokrywa się z tworzącą, otrzymuje
siÄ™ prostÄ… (parabola zdegenerowana).
" Je\
eli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią sto\
ka jest mniejszy od kąta pomiędzy
osiÄ… sto\
ka a jego tworzÄ…cÄ…, to otrzymana sto\
kowa jest hiperbolÄ….
" Hiperbola powstaje równie\
, gdy płaszczyzna tnąca jest równoległa do osi sto\
ka, ale
nie obejmuje tej osi. W szczególnym przypadku, gdy oś sto\
ka jest zawarta w płaszczyz
nie
tnącej, otrzymuje się parę przecinających się prostych, będącą zdegenerowanym przypadkiem
hiperboli.
60A. Liczby zespolone, ich dodawanie i mno\
enie, Własności, odejmowanie i dzielenie,
jedynka urojona, postać algebraiczna, część rzeczywista i urojona, moduł, liczba
sprÄ™\
ona, potęga liczby zespolonej, wzór Eulera, postać wykładnicza liczby zespolonej
1.Liczby zespolone  liczby uzyskane jako rozszerzenie ciała liczb rzeczywistych o jednostkę
urojoną i od której wymaga się, aby spełniała warunek i2 = - 1. Ka\
da z nich mo\
e być
zapisana jako a + bi, gdzie a,b są liczbami rzeczywistymi nazywanymi odpowiednio częścią
rzeczywistą oraz częścią urojoną.
2.
.
3. Jedynka urojona to i2 = - 1
4. a + bi nazywa siÄ™ postaciÄ… algebraicznÄ… liczby zespolonej
5. Dla liczb zespolonych postaci z = a + bi mamy:
" nazywane częścią rzeczywistą,
" nazywane częścią urojoną.
6. Moduł Zauwa\
my, i\
długość wektora jest równa z twierdzenia Pitagorasa
. Dla liczby z moduł definiujemy jako . Moduł
liczby zespolonej ma analogiczne własności do wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej
spełniając przy tym definicję normy.
7.sprzÄ™\
one z = a + Bi oraz
37
8. Niech , zaś i jest jednostką urojoną. Wzór Eulera ma postać
.
9. Postać wykładnicza i potęga liczby zespolonej
Rozpatrzmy liczbÄ™ wyra\
ajÄ…c funkcje sin i cos za pomocÄ…
funkcji wykładniczej (zob. wzory Eulera):
Mamy
Zatem ostatecznie
Pierwiastki zespolone wyra\
ają się wówczas wzorem dla
61A. Płaszczyzna zespolona. Moduł, argument, argument główny
Liczby zespolone i działania na nich mo\
na interpretować geometrycznie
Liczbę zespoloną z= x + i*y interpretujemy jako punkt na płaszczyz
nie (x,y). Ka\
dej liczbie
zespolonej z odpowiada jeden punkt na płaszczyz
nie. Taką płaszczyznę nazywamy
płaszczyzną zespoloną. Liczbom zespolonym o części równej 0 czyli x odpowiadają punkty
le\
ące na osi X. Oś X-oś rzeczywista. Liczbom zespolonym o części rzeczywistej równej 0
odpowiadajÄ… punkty le\
Ä…ce na osi Y. OÅ› Y to oÅ› urojona. Ka\
demu punktowi z le\
Ä…cemu na
tej płaszczyz
nie będziemy przypisywać wektor wodzący OZ = Z
Moduł liczby z interpretujemy jako długość wektora wodzącego punktu odpowiadającego
tej liczbie. z = x2 + y2
Def.
Argumentem liczby z=x+i*y nazywamy ka\
dÄ… liczbÄ™ rzeczywistÄ… Õ speÅ‚niajÄ…cÄ… warunki :
x
1. cosÕ =
z
y
2.sinÕ =
z
Argument liczby zespolonej oznaczamy symbolem Arg z = Õ
Arg liczby zespolonej 0 nie jest określony.
Geometrycznie Arg liczby zespolonej jest kÄ…tem jaki tworzy wektor wodzÄ…cy punktu z z
dodatnim kierunkiem osi rzeczywistej.
Z własności funkcji trygonometrycznych wynika \
e gdy Õ jest Arg liczby zespolonej z to
Õ + 2kÄ„ k " Z to te\
będzie Arg liczby z . Dlatego spośród Arg liczby z wyró\
niamy ten
który nale\
y (-Ą ,Ą ] Wyró\
niony Arg nazywamy argumentem głównym liczby z i
oznaczamy arg z .
38
67. Ró\
niczka:
Niech "f , g mają znaczenie określone w punkcie P1, o(g)  funkcja nieskończenie mała,
rzędu wy\
szego ni\
g gdy g->0
Def: Funkcję f(x,y) nazywamy ró\
niczkowalnÄ… w punkcie P0 =(x0,y0) je\
eli istniejÄ… liczby A i
B, \
e w niektórym otoczeniu pkt P0 zachodzi równość: "f=A*"x+B*"y+o(g)
Tw + wniosek: Funkcja jest ró\
niczkowalna w punkcie P0 =(x0,y0) gdy "f=f x(x0,y0)*
"x+f y(x0,y0)* "y+o(g) (gdy ma pochodne czÄ…stkowe w tym punkcie)
62A. Postac trygonometryczna liczby zespolonej. Mno\
enie i dzielenie w postaci
trygonometrycznej. Wzór de Moivre a
Liczba zespolona mo\
e być zatem wyra\
ona przez długość jej wektora (moduł) oraz jego kąt
skierowany (argument):
Powy\
szą postać liczby zespolonej nazywa się postacią trygonometryczną (z powodu u\
ycia
funkcji trygonometrycznych), biegunowÄ… (jest przedstawieniem liczby zespolonej we
współrzędnych biegunowych) lub geometryczną (prowadzi do geometrycznej interpretacji
liczb zespolonych na płaszczyz
nie). Warto zauwa\
yć, \
e postać algebraiczna odpowiada
współrzędnym prostokątnym.
Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej są równe, gdy ich moduły i argumenty są
równe, tj. oraz są równe, gdy:
oraz (istotne tylko dla )
Wzory pozwalające na przejście od postaci trygonometrycznej do algebraicznej są oczywiste:
Wzór de Moivre a:
Mno\
enie:
Dzielenie:
39
59B. Pierwiastkowanie Liczb Zespolonych(obczaj sobie jak cos nastepne pkt)
Wzór de Moivre'a jest prawdziwy równie\
dla liczb wymiernych. Ka\
da liczba zespolona
posiada n ró\
nych pierwiastków n-tego stopnia:
gdzie, oraz
62. Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Postać trygonometryczna liczby zespolonej-przedstawienie punktu płaszczyzny
odpowiadającego licznie zespolonej zapisanej we współrzędnych biegunowych. Wa\
ne sÄ… tu
następujące twierdzenia:
1) Ka\
dÄ… liczbÄ™ zespolonÄ… i Zi`"O mo\
na przedstawic w postaci: Z=|Z|(cosÄ… + isinÄ…)
zwanej postaciÄ… trygonometrycznÄ… liczby zespolonej.
2) Je\
eli Z= r(cosą + isiną), gdzie r e" 0, to r jest modułem liczby z, a liczba ą jest jednym z
argumentów liczby Z.
Mno\
enie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej:
Z1*Z2 = |Z1|(cosÄ…1+ isinÄ…1) * |Z2|(cosÄ…2 + isinÄ…2 ) = |Z1|*|Z2|(cos(Ä…1 + Ä…2) + isin(Ä…1 + Ä…2))
Z1/Z2 = |Z1|(cosÄ…1 + isinÄ…1) / |Z2|(cosÄ…2 + isinÄ…2 ) = |Z1|/|Z2|(cos(Ä…1  Ä…2) + isin(Ä…1  Ä…2))
Wzór de Moivre a słu\
y do obliczania potęgi liczb zespolonych
|Z| = |Z| *(cosÄ… + isinÄ…) = |Z| *(cos(nÄ…) + isin(nÄ…))
63. Funkcje wielu zmiennych
Def. Funkcje n zmiennych x1,x2 ,..xn okreÅ›lonÄ… w zbiorze D ‚" Rn nazywamy
przyporzÄ…dkowanie ka\
demu punktowi P = (x1, x2 ,...xn ) dokładnie jednej liczby y " R
y = f (x1, x2,...xn )
y = f (P)
Liczby x1,x2 ,..xn oznaczajÄ… zmienne niezale\
ne a y to zmienna zale\
na. Zbiór D w tej
definicji nazywamy dziedzinÄ… funkcji f .
Je\
eli funkcja f jest określona wzorem i jej dziedzina nie jest podana to nale\
przyjmować
ze jest nią zbiór wszystkich punktów P dla których wzór ten ma sens.
W przypadku funkcji dwóch zmiennych zazwyczaj piszemy z = f (x, y) , w przypadku trzech
zmiennych u = f (x, y, z)
Wykres
Def.
Zbiór wszystkich punktów (x, y, f (x, y))" R3 gdzie (x, y) " D nazywamy wykresem funkcji
f .
64. Granica ciągu, funkcja ciagła n-zmiennych
Niech będzie dowolnym zbiorem. Ciągiem o wyrazach w zbiorze nazywamy dowolną
funkcjÄ™
CiÄ…g ten oznaczamy
40
 lub
gdzie
Niech będzie przestrzenią metryczną, ciągiem oraz
Mówimy, \
e jest granicą ciągu w metryce jeśli dla dowolnego wyrazy ciągu
sÄ… od pewnego momentu oddalone od o mnie ni\
, czyli
i piszemy
lub
Funkcja wielu zmiennych
Funkcja przyporzÄ…dkowujÄ…ca elementom przestrzeni R liczby rzeczywiste  funkcja n
zmiennych. DziedzinÄ… funkcji n zmiennych mo\
e być R lub podzbiór R .
Pochodna funkcji wielu zmiennych  pochodna czÄ…stkowa  pochodnÄ… czÄ…stkowÄ… funkcji
dwóch zmiennych f(x,y) względem zmiennej x, nazywamy pochodną funkcji f względem
argumentu x przy ustalonej wartości y. Analogicznie przedstawiamy pochodną funkcji
względem zmiennej y.
W podobny sposób mo\
na określic pochodną wielu zmiennych.
Działania arytmetyczne na funkcjach ciągłych
Suma, ró\
nica oraz iloczyn funkcji ciągłych w pewnym punkcie jest funkcją ciągłą w tym
punkcie. Ponadto, je\
eli funkcje y=f(x) i y=h(x) są ciągłe w punkcie xł i h(xł ) `" 0, to iloraz
f/h jest tak\
e funkcją ciągłą w tym punkcie. Wynika z tego, \
e ka\
dy wielomian, funkcja
wymierna, funkcje y= tgx i
y= ctg(x) są funkcjami ciągłymi w swoich dziedzinach.
65. Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu.
Pochodna cząstkowa pierwszego rzędu funkcji wielu zmiennych względem wybranej
zmiennej, to "zwykła" pochodna tej funkcji obliczona przy zało\
eniu, \
e pozostałe zmienne
mają ustalone wartości. Na przykład dla funkcji f(x,y) = x^3 + 3xy - y^2 mo\
na obliczyć
pochodne cząstkowe względem zmiennych x i y:
Np. pochodna czÄ…stkowa wzglÄ™dem "y" df/ðy=3x-2y
pochodna czÄ…stkowa wzglÄ™dem "x" df/ðx=3x^2+3x
66. Przyrost funkcji, wniosek o ciągłości
Zał: f(x,y) dwóch zmiennych x i y ma w pewnym otoczeniu O punktu P0(x0,y0) pochodne
cząstkowe f x, i f y, które są ciągłe w pkt P0 oraz (x0+"x,y0+"y)"O
Teza: Przyrost "f funkcji f jest równy:
"f=f(x0+"x,y0+"y)-f(x0,y0)
"f=f x(x0,y0)Å""x+f y(x0,y0)Å""y+5!Á; gdzie Á = (1
x)2 + (1
y)2 5!0 gdy Á0
Wniosek: Je\
eli funkcja f(x,y) ma w pewnym otoczeniu pkt P0 pochodne które są ciągłe w
tym pkt to jest ona ciągła w p P0
41
61B.Wielomiany zmiennej zespolonej. Zasadnicze twierdzenie algebry. Wniosek o
rozkładzie wielomianu rzeczywistego na czynniki rzeczywiste.
Jednym z głównych powodów tego, \
e liczby zespolone odgrywajÄ… tak wa\
nÄ… rolÄ™ jest
następujące twierdzenie zwane zasadniczym twierdzeniem algebry.
Twierdzenie. Wielomian zmiennej zespolonej stopnia  n ma  n pierwiastków zespolonych
(uwzględniając krotności). Przykładowo: wielomian
stopnia trzy mo\
na zapisać w postaci
co oznacza, \
e ma on jeden pierwiastek pojedyńczy, czyli o krotności jeden ( ) oraz
jeden pierwiastek podwójny, czyli o krotności dwa ( )..
Z faktu, \
e pierwiastki istniejÄ… nie wynika, \
e Å‚atwo je znalez
ć. Dla nas wa\
na jest
umiejętność znajdywania pierwiastków równania kwadratowego. Istotne jest to, \
e robi siÄ™ to
dokładnie tak samo jak w przypadku rzeczywistym tzn. stosując te same wzory na "deltę" itd.
42