REPETYTORIUM MATEMATYKI
ELEMENTARNEJ
SPIS TREÅšCI
1. Zbiory & & & & & & & & & & & & & & & 2
2. Przekształcanie wyra\eń & & & & & & & & 5
3. Równania i nierówności & & & & & & & & . 8
4. Potęgi & & & & & & & & & & & & & & & 11
5. Logarytmy & & & & & & & & & & & & & 14
6. Funkcje argumenty, wartości & & & & & 16
7. Funkcje własności & & & & & & & & & .. 20
8. Funkcje odwracanie, składanie funkcji & & . 25
ż 1. Zbiory
Oznaczenia:
R zbiór liczb rzeczywistych,
R + zbiór liczb rzeczywistych dodatnich,
Q zbiór liczb wymiernych,
Z zbiór liczb całkowitych,
N zbiór liczb naturalnych; przyjmujemy, \e 0 jest liczbą naturalną,
" zbiór pusty.
W rozwiązaniach zadań wykorzystuje się następujące pojęcia i ich własności:
" zbiór, element zbioru, element nale\y (nie nale\y) do zbioru, suma mnogościowa zbiorów,
iloczyn mnogościowy (część wspólna) zbiorów, ró\nica mnogościowa zbiorów,
" przedział liczbowy, przedział otwarty, przedział domknięty, przedział jednostronnie
otwarty (domknięty), przedział nieskończony.
Warunek x " A czytamy x nale\y do zbioru A lub x jest elementem zbioru A , zaÅ›
x " A czytamy x nie nale\y do zbioru A lub x nie jest elementem zbioru A .
Zapis A = {x " R: 2x +5 d" 0} odczytujemy: A jest zbiorem wszystkich liczb
rzeczywistych x, które spełniają nierówność 2x +5 d" 0 .
Zauwa\, \e 5 " A, bo 2 Å" 5 + 5 jest mniejsze lub równe 0, ale 1 " A.
Zadanie 1.1
Wymień po kilka elementów podanych zbiorów; wska\ choć jeden element, który do
danego zbioru nie nale\y:
A = { x " R: 2x +5 d" 0}, B = { x " R: x2 24x 25 e" 0},
D = { k " N: k2 + 8k + 9 < 0 }, K = { x " Z: (x 4) (x -25) d" 0}.
Sumą mnogościową zbiorów A i B (symbol A *" B ) nazywamy zbiór tych elementów,
które nale\ą do zbioru A lub nale\ą do zbioru B.
Iloczynem mnogościowym zbiorów A i B (symbol A )" B ) nazywamy zbiór tych
elementów, które nale\ą do zbioru A i nale\ą do zbioru B.
Ró\nicą mnogościową zbiorów A i B (symbol A \ B ) nazywamy zbiór tych elementów,
które nale\ą do zbioru A i nie nale\ą do zbioru B.
Zauwa\, \e je\eli: A = { x " N: 2x + 12 d" 0} i B = { x " R: 5 4x > 35}, to:
8 " A )" B, bo 8 " B i 8 " B, ale 3 " A )" B;
3 " A *" B, bo 3 " B, ale 14,5 " A *" B;
3 " B \ A, bo 3 " B i 3 " A, ale 12 " B \ A.
Zadanie 1.2
Wyznacz sumę, iloczyn i obie ró\nice (tzn. K \ S, S \ K) zbiorów K, S, gdy:
a) K = { x " N: x < 2}, S = { x " N: x d" 14},
b) K = { x " R: 4x 1 < 2}, S = { x " R: x2 = 4},
c) K = { x " Z: x2 > 0 }, S = { x " Z: (x + 3)(x 7) e" 0},
d) K = { x " R: x2 9 d" 0}, S = { x " R: x2 + 3x e" 0}.
2
Zadanie 1.3
x - 1
a) Zauwa\, \e nierówność < 0 jest równowa\na nierówności (x 1)(x+2) < 0.
x + 2
Przedstaw na osi liczbowej zbiory A, B, C i określ jakimi figurami są te zbiory:
x - 1 2x - 1 x(x + 1)
A = { x " R: < 0}, B = {x " R: > 0}, C = { x " R: d" 0 }.
x - 2 2 - x x - 5
b) Wyznacz zbiory: (b1) (A *" B) )" C, (b2) (A )" B) *" C.
Zadanie 1.4
Zapis {x " R: x = 3n 1, n " N} odczytujemy: zbiór wszystkich liczb x, które mo\na
otrzymać podstawiając w wyra\eniu 3n 1 w miejsce n liczbę naturalną .
98
Zbadaj, która z liczb: 4; 0 ; 2, ; 25 nale\y do zbioru A, B, C:
7
A = { x " R: x = 3n 1, n " N}, B = { x " R: x = (3n 1)2 , n " N},
C = { x " R: x = (3n + 16) : (5n +1), n " N}.
Zadanie 1.5
Wyznacz sumę, iloczyn i obie ró\nice zbiorów A, B, gdy:
a) A = { x " R: x = n2 , n " N}, B = { x " R: x = 2n - 1, n " N},
b) A = { x " R: x = 2n 1, n " N }, B = { x " R: x = 2n , n " N },
c) A = { x " Z: x = n : 3 , n " N }, B = { x " Z: x = n , n " N },
1 n + 3
d) A = { x " R: x = 1+ , 0 < n " N }, B = { x " R: x = , n " N }.
n n + 1
Zadanie 1.6
Symbol R2 oznacza zbiór wszystkich par liczb rzeczywistych.
Przedstaw w tym samym układzie współrzędnych na płaszczyznie zbiory punktów
których współrzędne nale\ą do zbioru A oraz zbioru B:
a) A = { (x, y) " R2: x+ y d" 0}, B = { (x, y) " R2: y > x 5},
b) A = { (x, y) " R2: x2+ y2 = 16}, B = { (x, y) " R2: y= x },
c) A = { (x, y) " R2: x2+ y2 < 16}, B = { (x, y) " R2: x2+ y2 e" 9},
Zaznacz w ka\dym przypadku zbiory A *" B, A )" B, A \ B, B \ A.
Zadanie 1.7
a) Przedziałem obustronnie domkniętym (symbol < a, b >, gdy a < b) nazywamy zbiór
{x " R: a d" x d" b}; przedziałem nieskończonym ( ", a) nazywamy zbiór {x " R : x < a}.
Określ przedziały <-3, 5>; (-3, 7>; (1, 13); ( ", -4), <5, "). Ka\dy z tych zbiorów
przedstaw na osi liczbowej.
b) Zaznacz na osi przedziały, ich sumy, iloczyny lub ró\nice mnogościowe:
b1 ) < 0, 2) *" (1, 5 > , b2 ) < 0, 2) )" (1, 5 > , b3 ) < 0, 2) \ (1, 5 > ,
b4 ) ( ", 2) *" ( 1, 3 > , b5 ) ( ", 2) )" < 0, ") , b6 ) (11, ") \ < 8, ").
3
Zadanie 1.8
Ka\dy zbiór zapisz jako przedział lub jako sumę przedziałów.
3x - 1
a) A = {x " R: 2x 1 e" 3x +5}, b) A = {x " R: > 0},
5 + 2x
x2
c) A = { x " R: d" 0 }, d) A = { x " R: 5x 1d" 3x d" 4+ 7x }.
2x - 7
Odpowiedzi:
Zad. 1.1 : np. 3 " A, 17 " A, 0 " A, -4 " A , -3 " B, -1 " B, 6 " B, 0 " B, 10 "D,
2 " D, 20 " D, 8 " D, 4 " K, 0 " K, 6 " K, - 2 " K.
Zad. 1.2 : a) K *" S = K, K )" S = S, K\ S = {x " N: x > 15}, S \ K = ".
b) K *" S = K *" {-2}, K )" S = {2}, K\ S = {x " R: x > 0,75 i x `" 2}, S\ K = {-2}.
c) K *" S = K, K )" S = S, K\ S = {-2,-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, S \ K = ".
d) K *" S = R, K )" S = {-3} *" < 3, "), K\ S = (-3,3), S \ K = (- ", -3) *" (3, ").
Zad.1.3 : a) A odcinek otwarty (bez końców), którego końcami są punkty o współrzędnych
1 i 2; B odcinek bez końca prawego , którego końcami są punkty o
współrzędnych 0,5 i 2; C figura utworzona z odcinka bez końca
prawego (jego końcami są punkty o współrzędnych 0 i 5) oraz półprostej,
której początkiem jest punkt o współrzędnej -1 zaś inne jej punkty poprzedzają
jej poczÄ…tek.
b) b1) B, b2) C.
Zad. 1.4 : -4 " A, -4 " B, -4 " C, 0 " A, 0 " B, 0 " C, 2 " A, 2 " B, 2 " C, 25 " A,
98 98 98
25 " B, 25 " C, " A, " B, " C.
7 7 7
Zad. 1.5 : a) A *" B jest zbiorem kwadratów liczb naturalnych oraz liczb nieparzystych,
A )" B jest zbiorem kwadratów liczb nieparzystych, A \ B jest zbiorem
kwadratów liczb naturalnych, B \A jest zbiorem liczb naturalnych, które nie są
kwadratami liczb naturalnych.
b) A *" B = N, A )" B = ", A \ B = A, B \ A = B,
c) A *" B = A, A )" B = B, A \ B jest zbiorem ułamków postaci n:3, które nie są
liczbami naturalnymi, B \ A = ",
d) A *" B = B , A )" B = A, = A \ B = ", B \ A jest zbiorem ułamków postaci
(n+3): (n+1), gdy 0 < n jest liczbÄ… parzystÄ….
Zad. 1.6 : a) A jest półpłaszczyzną, której krawędzią jest prosta o równaniu y = -x
przechodząca przez punkt P = (0,-1), B jest półpłaszczyzną, której krawędzią jest
prosta o równaniu y = x 5 (bez tej krawędzi) przechodząca przez punkt P = (0,
1),
b) A jest okręgiem o promieniu długości 4, którego środkiem jest punkt
P = (0, 0), B jest prostą o równaniu y = x,
c) A jest wnętrzem koła o promieniu długości 4, którego środkiem jest punkt
P = (0, 0), B jest zewnętrzem koła o promieniu długości 3, którego środkiem
jest punkt P = (0, 0).
Zad. 1.7 : a) {x " R: -3 d" x d" 5}; {x " R: -3 < x d" 7}; {x " R: 1 < x < 13};
{x " R: x < -4}; {x " R: 5 d" x }.
b) b1) < 0, 5 > ; b2) (1, 2); b3) < 0, 1 > ; b4) ( ", 3 > ; b5) < 0, 2 ) ; b6) ".
1
Zad. 1.8 : a) < 1,2 ; " ); b) ( - "; -2,5) *" ( ; " ) ; c) ( - "; 3,5) *" {0} ; d) <-1; 0,5 >.
3
4
ż 2. Przekształcanie wyra\eń
W rozwiązaniach zadań wykorzystuje się:
" własności działań określonych w zbiorze liczb rzeczywistych, regułę kolejności
działań oraz wzory skróconego mno\enia,
" pojęcie i własności wartości bezwzględnej,
" pojęcie silni.
Reguła kolejności działań
Przyjmuje się następującą hierarchię działań: potęgowanie i pierwiastkowanie (działania
pierwszej rangi), mno\enie i dzielenie (drugiej rangi), dodawanie i odejmowanie (trzeciej
rangi).
W wyra\eniu bez nawiasów:
a) działania wykonujemy w kolejności od najwy\szej do najni\szej rangi,
b) działania tej samej rangi wykonujemy w kolejności od lewej do prawej.
W wyra\eniu z nawiasami, obliczenia wykonujemy poczynajÄ…c od najbardziej
wewnętrznego nawiasu.
Zadanie 2.1
Równość (a + b) c = ac + bc odczytywana z lewa na prawo informuje nas, \e iloczyn
sumy wyra\eń a i b przez wyra\enie c mo\na przekształcić na sumę iloczynów wyra\eń
ac i bc oraz - odczytywana z prawa na lewo \e sumę iloczynów wyra\eń ac i bc
mo\na przekształcić na iloczyn sumy wyra\eń a i b przez wyra\enie c.
a) Przedstaw w postaci sumy:
a1) (2a2 5ab 1) Å" ( ab2), a2) (x 2y)(x2 +4xy + 4y2),
a3) (x 1)( x4 + x3 +x2 + x + 1), a4) (x2 + 2x+ 3)(3 2x x2 ) + x.
b) Przedstaw w postaci iloczynu:
b1) x2 2xy , b2) 1 x2 2x2 y +2y ,
b3) 8ax + 4x + (1 2a), b4) (x+3)2 + (x 3)(x+3).
Reguła praktyczna
Mniej popełnisz błędów, gdy u\yjesz nawiasów przy przekształcaniu (odejmowaniu)
wyra\eń, przy podstawianiu w wyra\eniu liczb w miejsce liter.
Zadanie 2.2
Oblicz wartość wyra\enia:
a) a b + c a : b Å" c dla: a = 3,4; b = 1,7; c = 0,3.
a - b Å" c + a Å" c 1 3
b) dla: a = 3, b = 2 , c = .
a Å" b + c : a 3 7
1
c) ( a2 + b2) : ( a + b)2 , dla: a = 3, b = 1 .
2
3n -1 3(n + 1) - 1
d) dla: n = 27; n = k 5.
7 + 2n 7 + 2(n + 1)
5
1 1 1
e) ( - ) : dla: n = 3; n = k 1; n = 3k +1.
2n + 1 2n n
Zadanie 2.3
Równość (x y) (x + y) = x2 y2 odczytywana z lewa na prawo informuje nas, \e iloczyn
sumy wyra\eń przez ich ró\nicę mo\na zastąpić ró\nicą kwadratów tych wyra\eń oraz
odczytywana z prawa na lewo \e ró\nicę kwadratów dwu wyra\eń mo\na przekształcić
na iloczyn sumy tych wyra\eń przez ich ró\nicę.
Wyjaśnij, jaką informuję o wyra\eniach x, y, z podają równości:
a) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2, (x y)2 = x2 2xy + y2,
b) (x + y) z = xy + yz, (x+ y) = x y,
x + y x y x Å" z x
c) = + , = (Uwaga: tę własność wykorzystuje się skracając
z z z y Å" z y
wyra\enia).
Zadanie 2.4
Przekształć wyra\enia:
a2 - b2 (a + b)2 x y(x - y)2
a) , b) ,
a - b a + b x2 + y2 x4 - y4
5(n + 1) + 1 5n + 1 (2x + 1)(3x - 5) - 3(2x2 + x - 1)
c) : , d) ,
3(n + 1) - 2 3n - 2 3x - 5
5 - n 5n2 + 2 2 12x -16x2
e) , f) (1 - ) (1 ): (1 16x2).
2n + 1 4n2 - 1 1 - 4x 4x + 1
Zadanie 2.5
Uprość wyra\enia:
3x + x2 2(1 + x)
a) (1 + ), b) ,
3 + x x2 + x - 2ax - 2a
a2 - b2 b2 - a2 (a - b)2 (b + a)2
c) , d) ,
a - b a + b a - b a + b
1 1
e) a2 - 2ab + b2 , f) + ,
b - a b + a
n + 2 + n2 - 4 n + 2 - n2 - 4
g) ( 3n2 + 2n - 3n2 - 2n ) : 4n, h) + .
n + 2 - n2 - 4 n + 2 + n2 - 4
Zadanie 2.6
Przyjmuje siÄ™, \e 0! = 1, 1! = 1 , dla 1 < n " N: n! = 1 Å" 2 Å"3 Å"4 Å" & Å"(n 1)Å" n.
Zapisz prościej:
a) 6! Å"7 ; 9 Å"10 Å" 8! ; 11!Å" 12 Å"13! Å" 14 Å" 15; b) n! (n+1) ; n! (n+1) (n+2);
(n + 1)! (n + 3)!
c) ; d) ;
n + 1 (n + 2)(n + 3)
6
n! (n - 2)! 1
e) ; f) Å" , dla n > 2,
(n - 1)! (n - 3)! n2 - 4
(2n + 3)! (2n)!
g) ; h) .
(2n)! n!
Zadanie 2.7
Wartość bezwzględną liczby x (czyli |x| ) interpretujemy jako odległość na osi liczbowej
liczby x od liczby 0 .
a) Podaj wartości bezwzględne liczb: 5; 2,075 ; ( 4); Ą ; 1 5 ; 11 3.
b) Wybierz na osi liczbowej jakiś punkt o współrzędnej x. Zaznacz na tej osi punkty
o współrzędnych: |x| ; | x| ; |x| ; | x|; |0,3x| ; | 0,7x|.
c) Wybierz na osi liczbowej jakiś punkt o współrzędnej x. Zaznacz na tej osi punkty,
które mają współrzędne: większe od |x| ; mniejsze od |x| ; mniejsze lub równe | x|.
Odpowiedzi:
Zad. 2.1 : a1) ab2 2a3b3 + 5a2b3 ; a2) x3 + 2yx2 4xy2 8y3 ; a3) x5 1 ;
a4) x4 4x3 4x2 + x + 9 ; b1) x(2y +x) ; b2) (1 x2)(1 + 2y) ;
b3) (1 2a) (1 + 4x) ; b4) 2x (x + 3).
1 23 55 - 18k
Zad. 2.2 : a) 2 ; b) 3,75 ; c) ; d) ; ;
3 3843 (2k + 3)(2k - 1)
1 1 1
e) ; ; .
14 2(1 - 2k) 6(1 - 2k)
1 15n2 + 8n - 12 -10x - 2 - 7n2 + 11n - 7 1
Zad. 2.4 : a) 0 ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .
x + y 15n2 + 8n + 1 3x - 5 4n2 -1 4x + 1
2 2b
Zad. 2.5 : a) 1 + x; b) ; c) 2a ; d) -2b ; e) |a b|; f) ;
x - 2a b2 - a
1
g) ; h) n.
3n2 + 2n + 3n2 - 2n
Zad. 2.6 : a) 7! ; 10! ; 12! Å"15! ;
b) (n + 1)! ; (n +2)! ;
c) n! ;
d) (n +1)! ;
e) n ;
1
f) ;
n + 2
g) (2n +1) (2n +2) (2n +3) ;
h0 (n +1) (n +2) Å"Å"Å" (2n-1) 2n .
7
Zad. 2.7 : a) 5; 2,075 ; 4 ; Ä„ ; 5 1 ; 11 3;
b) wez pod uwagÄ™, \e: |x| = | x| ; |x| = | x|; |0,3x| = 0,3|x| ; | 0,7x| = 0,7|x|;
|x| = x dla x e" 0 oraz \e punkty o współrzędnych x i x są poło\one
symetrycznie względem początku osi.
c)
x 0 |x| a > |x|
0 x = |x| a > |x|
a < |x| x 0 |x|
ż 3. Równania i nierówności
W rozwiązaniach zadań wykorzystuje się:
" pojęcie równania, nierówności,
" algorytmy rozwiązywania równań ( nierówności).
Rozwiązaniem równania (nierówności) nazywamy zbiór utworzony z tych liczb, które
spełniają równanie (nierówność).
Rozwiązując równanie (nierówność) staramy się je przekształcić wg ustalonych reguł
w taki sposób, aby otrzymać równanie (nierówność) równowa\ne wyjściowemu i takie, z
którego ju\ łatwo mo\na odczytać rozwiązania.
Reguł przekształcania równań (nierówności) jest wiele; najczęściej stosujemy:
redukcję wyrazów podobnych, posługiwanie się znanymi wzorami, przenoszenie
wyra\enia na drugą stronę równania (nierówności) zmieniając jednocześnie znak
wyra\enia na przeciwny, mno\enie - dzielenie ka\dej strony równania (nierówności)
przez liczbÄ™ dodatniÄ….
Uwaga: Mno\enie dzielenie ka\dej strony nierówności przez liczbę ujemną
wymaga zmiany zwrotu nierówności na zwrot przeciwny ( < na > ; > na < ;
d" na e" ; e" na d" ).
Zadanie 3.1
Rozwią\ równania i nierówności
a) 3x + 2 = 5(x 6) , b) 2(x 3)2 + 3x = (1 2x )( x + 4) -10,
c) 7 3(x 4) < 2x + 5, d) (2 x)(x + 2) 3x > - (x + 5)2 +1,
e) 3y 14 d" 7(2 y) , f) (2,5 + x) x +3 e" 4x x2 + 9,5 ,
g) 5 < 6x +13 < 1, h) 3 d" 2(3 4x) + 9 < 3.
Zadanie 3.2
Warunek f(x) " (a, b) jest równowa\ny układowi nierówności a < f(x) < b, zaś
warunek f(x) " (- " , b] jest równowa\ny nierówności f(x) d" b .
Wyznacz takie x, aby:
a) 2x + 5 " ( 1, 2) , b) 3x 5 " (7, 9) , c) 5(x + 2) " ( 3, 5) ,
8
d) 5 4x " < 1, 7) , e) 5 (4 3x ) " < 7, 0 > , f) 3 2(x 5) " ( 11, 11> ,
g) 3 2x " ( ", 2) , h) 4 8(x 5) " (0, ") , i) 7( 2x 5) " ( ", ") .
Zadanie 3.3
Dla dowolnych liczb x, y wartość bezwzględna |x y| jest równa odległości liczb x i y
na osi liczbowej. A zatem równanie |x 3| = 5 informuje nas, \e odległość liczby x od 3
jest równa 5. Czyli x 3 musi być równe 5 lub x 3 musi być równe 5. Stąd
wnioskujemy, \e x jest liczbÄ… 8 lub liczbÄ… 2.
Wyznacz liczbÄ™ x wiedzÄ…c, \e:
a) |x 7| = 1 , b) |x 2| = 8 , c) |x 5| = 0 ,
d) |8 x| = 12 , e) |x + 6| = 7 , f) |4 + x | = 3 ,
g) |3x 7| = 2 , h) |4 x + 3| = 11 , i) | 8 7x| = 6.
Zadanie 3.4
Nierówność |x 3| < 5 informuje nas, \e odległość liczby x od 3 jest mniejsza od 5. Stąd
wnioskujemy, \e x 3 musi być większe od 5 i jednocześnie mniejsze od 5, czyli
5 < x 3 < 5 (zinterpretuj to rozumowanie na osi liczbowej).
Dodając 3 do ka\dej ze stron nierówności 5 < x 3 < 5 otrzymujemy 2 < x < 8.
Ostatecznie: rozwiązaniem nierówności |x 3| < 5 jest przedział ( 2; 8).
Rozumując podobnie stwierdzimy, \e nierówność |x 3| > 5 spełniają te liczby x,
których odległość od 3 jest większa 5, czyli są to liczby takie, \e x 3 > 5 lub x 3 <
5. StÄ…d mamy x > 8 lub x < 2 (zinterpretuj to rozumowanie na osi liczbowej).
Ostatecznie: rozwiązaniem nierówności |x 3| > 5 jest suma przedziałów
( "; 2) *" (8, ").
Rozwią\ nierówności:
a) |x 7| < 1 , b) |x 2| > 8 , c) |x 5| d" 0 ,
d) |4 + x | e" 3 , e) 2|x + 6| e" 14 , f) 5|8 x| > 12 ,
g) 5 |3x 7| d" 3 , h) 8(3 2|4 x + 3|) > 16 , i) | 8 7x| < x.
Zadanie 3.5
Rozwią\ równania:
a) 3x2 5x +2 = 0 , b) (2x+1)2 + 6x 7 = 0, c) 3x2 x 4 = x + 1,
d) (x 3)(x +4) = 0, e) 3x2 8 x = 0, f) 3(x2 9) = 0.
Zadanie 3.6
Rozwiązując nierówność kwadratową ax2 + bx + c > 0 ( odpowiednio: < , d" , e" )
wygodnie postępować następująco: przedstawiamy w układzie współrzędnych schemat
wykresu funkcji f(x) = ax2 + bx + c; wykorzystujÄ…c ten schemat odczytujemy
rozwiązania nierówności w taki sposób: wyznaczamy pierwsze współrzędne punktów
wykresu:
- le\ących poni\ej osi x; one są rozwiązaniami nierówności ax2 + bx + c < 0,
- le\ących poni\ej oraz na osi x; one są rozwiązaniami nierówności ax2 + bx + c d" 0,
- le\ących powy\ej osi x; one są rozwiązaniami nierówności ax2 + bx + c > 0,
- le\ących powy\ej oraz na osi x; one są rozwiązaniami nierówności ax2 + bx + c e" 0.
Rozwią\ nierówności:
a) x2 3x 28 < 0, b) 3x2 10x +3 > 0, c) - 6x2 +13x 28 e" 0,
d) (x 3)(x 8) d" 0, e) 3(x + 4)( x 3) > 0, f) 6( x2 25) d" 0,
9
g) x2 3(x 2) + 8 < 0, h) 10x x2 e" 2x2 + 3 , i) (2x 4)2 d" -x2 +1.
Zadanie 3.7
f (x)
Nierówność < 0 jest równowa\na nierówności f(x) g(x) < 0, zaś nierówność
g(x)
f (x)
d" 0 jest równowa\na nierówności f(x) g(x) d" 0 i g(x) `" 0.
g(x)
Rozwią\ nierówności:
x + 4 2x - 4 4 - x
a) < 0 , b) > 0 , c) d" 0 ,
x - 3 x + 5 2x - 3
3x + 5 2(x - 4) + 1 4(-x + 3x) - 7
d) e" 0 , e) e" 0 , f) d" 0 .
4x - 3 - x + 1 - 2(5x - 3) - 4x
Zadanie 3.8
Wyznacz sumę i iloczyn zbiorów A, B, gdy:
a) A = { x " R: |x | > 2}, B = { x " N: |x + 5| d" 8},
b) A = { x " R: |x - 1| < 2}, B = { x " R: |x + 3| = 4},
c) A = { x " C: (x - 2)2 < 3 }, B = { x " C: |x + 5 | e" 1},
d) A = { x " R: x2 4 d" 0}, B = { x " R: x2 + 4x e" 0}.
Odpowiedzi:
Zad. 3.1 : a) { 4} ; b) { 2 } ; c) (3, " ) ; d) ( 4, " );
e) < 0, " ) ; f) ( ", 1 > ; g) (2, 3); h ) (1,5 ; 2,25 > ,
14
Zad. 3.2 : a) 3 < x < 1,5 ; b) < x < 4 ; c) 3 < x < 1,4 ;
3
d) 0,2 < x d" 1,5 ; e) 2 d" x d" 2,7 ; f) 1 d" x d" 12 ;
g) x > 0,5 ; h) x < 5,5 ; i) x " R ,
Zad. 3.3 : a) x = 6 lub x = 8 , b) x = 6 lub x = 10 , c) x = 5 ,
d) x = 4 lub x = 20 , e) x = 1 lub x = 13 , f) x = 1 lub x = 7 ,
5 2
g) x = 3 lub x = , h) x = 2 lub x = 3,5 , i) x = 2 lub x = ,
3 7
Zad. 3.4 : a) (6, 8) ; b) ( " , 6) *" (10, " ) ; c) {5} ;
d) ( " , 7 > *" < 1, " ) ; e) ( " , 13 > *" < 1, " ) ; f) " ;
5 4
g) ( " , > *" < 3 , " ) ; h) ( 0,875 ; 0,625); i) (1, ),
3 3
1 5
Zad. 3.5 : a) { 2, }; b) { 0,5 ; 3} ; c) { 1, };
3 3
8
d) {3, 4 }; e) {0, }; f) {3, 3},
3
1
Zad. 3.6 : a) ( 4, 7) ; b) ( " , ) *" < 3, " ) ; c) " ;
3
d) < 3, 8 >; e) ( 4, 3) ; f) ( " , 5 > *" < 5, " ) ;
1
g) " ; h) ( " , > *" < 3, " ) ; i) " ,
3
10
Zad. 3.7 : a) (-4, 3) ; b) ( " , -5) *" ( 2, " ) ; c) ( " ; 1,5) *" < 4, " ) ;
5 6 7
d) ( " , - > *" < 0,75; " ); e) (1; 3,5) ; f) ( " , ) *" < , " ),
3 14 8
Zad. 3.8 : a) A *" B = A *" {0, 1, 2} = ( " , 2) *" < 2, " ) *" {0, 1} ; A )" B = { 3 };
b) A *" B = ( 1 , 3) *" { 7} ; A )" B = { 1 };
c) A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = C \ { 5}, A *" B = B , A )" B = A;
d) A *" B = ( " , 4 > *" < 2, ") , A )" B = < 0, 2 > .
ż 4. Potęgi
W zadaniach wykorzystujemy:
a0 = 1, gdy a `" 0,
określenie
a1 = a,
potęgi
an = a Å" a Å" a Å" & Å" a, gdy n > 1 oraz n jest liczbÄ… naturalnÄ…,
o wykładniku
całkowitym
1
a-n = , gdy a `" 0 oraz n jest liczbÄ… naturalnÄ….
an
1
n
a jest to taka liczba b > 0, która spełnia warunek bn = a,
określenie
gdy a > 0 oraz n jest liczbą naturalną ró\ną od 0,
potęgi
m
m 1
o wykładniku
ëÅ‚ öÅ‚
n n
ìÅ‚ ÷Å‚
a = , gdy m jest liczbą całkowitą.
wymiernym
ìÅ‚a ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1
n n
n n
Liczbę a zapisujemy te\ następująco a ; czyli a = a .
Twierdzenia: dla a > 0 i b > 0 oraz dowolnych liczb x, y zachodzi:
iloczyn potęg o tej samej podstawie
ax Å" ay = a x + y
ax : ay = a x - y iloraz potęg o tej samej podstawie
potęga iloczynu liczb
(a Å" b)x = a x Å" b y
(a : b)x = a x : b x potęga ilorazu liczb
(a x)y = a x y potęga potęgi
11
Zadanie 4.1
Oblicz:
3Å" 220 - 5 Å" 219 (512 + 58 ) Å" 220 - 59 Å" 219
a) , b) ,
410 410 Å" 510
27x5 9x4 9a6b5 12a4b7
c) : , d) ( : )3 .
20y3 12y4 10x4 y3 5x2 y5
Zadanie 4.2
Wykonaj obliczenia:
2 2
a) [(1,5)-1 2-2]-3 , b) [(- ) - 3 + 3 Å"2 -3] -2 , c) [4-1 3 Å" ( ) -2]:[5 (0,5)-1],
3 3
x-3 a5b-4 x4 y-7 x6 y-1
d) , e) , f) : ,
x-5 a-3b-2 x-2b y6b-2
g) (4x 2 + 3x 5 2x3) Å" 2x 4 , h) (a -2 + b-3 )( a -2 - b-3) .
Zadanie 4.3
Oblicz:
a) (-1)7 , b) (-1)-3 , c) (-1)-5 : (-1)4 , d) (-1)211 Å" (-1)-123: (-1)-31 ,
e) - (-1)14 , f) (-1)2n , g) -(-1)-2n+1 +(-1)0, h) [(-1)-n]-2 : [(-1)-3]n+1 .
Zadanie 4.4
Oblicz:
1
2 1 3 4 3 5 1 1
ëÅ‚ - - öÅ‚ ëÅ‚ - öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
4
ëÅ‚
3 2 2 3 2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
a) a-4b6 öÅ‚2 , b) x y z x y z , c) x + 2x + 1÷Å‚ x -1÷Å‚ ,
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ìÅ‚
9
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
23 x2 - 34 x 1 + 33 x-3 - 74 x3 53 x2 - 83 x
d) , e) , f) .
3
x 5x x
x2 Å" 23 x
Zadanie 4.5
W pewnych zadaniach wygodnie ró\nicę pierwiastków dwóch wyra\eń przedstawić w
a2 - b2
postaci ilorazu wyra\eń; w tym celu korzysta się ze wzoru: a b = .
a + b
Przedstaw w postaci ilorazu wyra\eń:
a) n2 + 3 n2 + 5 , b) n2 -1 n , c) n2 + 7n + 1 n2 + 7n ,
d) n n2 + n + 6 , e) n + n2 - 4n + 6 , f) n2 - 3n + 10 n2 + 3n .
Zadanie 4.6
Skróć ułamek dzieląc jego licznik i mianownik przez najwy\szą potęgę w jakiej
występuje n:
n3 + 2n2 - 1 (2n - 3)(2 - n) 3 - n 3n2 - n
a) , b) , c) + ,
n - n3 5 + n - n2 2n - 1 4n2 + 5
7 - n 3n (1 - n ) n - 1 ( n - 1)2
d) + , e) .
4n + 3 n + 1
n + 1
4n n + 5 n3
12
Zadanie 4.7
n
2
ëÅ‚1 öÅ‚
W pewnych zadaniach wygodnie zapisać potęgę + jako iloczyn potęg
ìÅ‚ ÷Å‚
n + 3Å‚Å‚
íÅ‚
2
n + 3
îÅ‚ Å‚Å‚ -3
2
ëÅ‚1 öÅ‚
ïÅ‚ëÅ‚1 2 öÅ‚ 2 śł
w nastÄ™pujÄ…cy sposób: + Å" + .
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚íÅ‚ n + 3Å‚Å‚ śł n + 3Å‚Å‚
íÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Napisz w postaci iloczynu potęg w analogiczny sposób:
n 3n + 1 n n - 3
2 1 1 1
ëÅ‚1 öÅ‚ ëÅ‚1 öÅ‚ ëÅ‚1 öÅ‚ ëÅ‚1 öÅ‚
a) + , b) + , c) - , d) - ,
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
n n n n
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
n 2n 3-2n n
1 n n + 4 1
ëÅ‚1 öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚1 öÅ‚
e) - , f) , g) , h) - .
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
n + 5 n + 1Å‚Å‚ n + 3 2n
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Odpowiedzi:
9xy 45a2
Zad. 4.1 : a) 0,5 ; b) 24,94 ; c) ; d) .
5 120b2x2 y
3
12 1 13
ëÅ‚ öÅ‚
Zad. 4.2 : a) ; b) ; c) - ; d) x2 ;
ìÅ‚ ÷Å‚
5 9 6
íÅ‚ Å‚Å‚
a8 8 6
e) ; f) b -3 ; g) + - 4x-1 ; h) a -4 b - 6.
b2 x6 x9
Zad. 4.3 : a) 1 ; b) 1 ; c) -1 ; d) 1 ;
e) 1 ; f) 1 ; g) 2 ; h) ( 1)n+1 .
2
Zad. 4.4 : a) a - 2 b3 ; b) x2 y -2 ; c) x x0,5 + x1,5 1 ;
3
1 1 3 5 3 1 2
- - - - - -
6 4 2 2 4 3 3
d) 2 x 3 x ; e) 0, 2 x 0,6 x 1,4 x ; f) 2,5 x 4 x .
- 2 - 1 1
Zad. 4.5 : a) ; b) ; c) ;
n2 + 3 + n2 + 5 n2 - 1 + n n2 + 7n + 1 + n2 + 7n
- 6 - n 4n - 6 10 - 6n
d) ; e) ; f) .
n + n2 + n + 6 n + n2 - 4n + 6 n2 - 3n + 10 + n2 + 3n
2 1 3 2 3 1
1 + - (2 - )( - 1) - 1 + 3 -
n n3 ; b) n n n n
Zad. 4.6 : a) ; c) + ;
1 5 1 1 5
- 1 + - 1 2 - 4 -
n2 n2 n n n2
7 1 1 1 1
- -1 + 1 - (1 - )2
n
n n n n
d) + ; e) .
3 1 1
3
4 - 1 + 1 +
n n
n
13
2
n
3
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ëÅ‚ 1 öÅ‚n Å‚Å‚
1
ëÅ‚1 + öÅ‚
ïÅ‚ëÅ‚1 2 öÅ‚2 śł
Zad. 4.7 : a) + ; b) + ;
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚1 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚íÅ‚ n śł
Å‚Å‚
ïÅ‚
ðÅ‚íÅ‚ n Å‚Å‚ śł íÅ‚ n Å‚Å‚
ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 -1
-3
îÅ‚ëÅ‚ 1 öÅ‚-n Å‚Å‚ îÅ‚ëÅ‚ 1 öÅ‚-n Å‚Å‚
ëÅ‚1 - 1
öÅ‚
c) - ; d) - ;
ìÅ‚1 ÷Å‚ ìÅ‚1 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ ïÅ‚
ðÅ‚íÅ‚ n Å‚Å‚ śł ðÅ‚íÅ‚ n Å‚Å‚ śł íÅ‚ n Å‚Å‚
ûÅ‚ ûÅ‚
-1 -2
-5 -2
îÅ‚ëÅ‚ 1 öÅ‚-(n+5) Å‚Å‚ îÅ‚ëÅ‚ 1 öÅ‚-(n + 1) Å‚Å‚
ëÅ‚1 - 1
öÅ‚ ëÅ‚1 - 1
öÅ‚
e) - ; f) - ;
ìÅ‚1 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚1 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ ïÅ‚
ðÅ‚íÅ‚ n + 5Å‚Å‚ śł íÅ‚ n + 5 Å‚Å‚ ðÅ‚íÅ‚ n + 1Å‚Å‚ śł íÅ‚ n + 1Å‚Å‚
ûÅ‚ ûÅ‚
-1 - 0,5
9
îÅ‚ëÅ‚ 1 öÅ‚n + 3) Å‚Å‚ îÅ‚ëÅ‚ 1 öÅ‚-2n Å‚Å‚
1
ëÅ‚1 + öÅ‚
g) + ; h) .
ìÅ‚1 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚1- ÷Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ ïÅ‚
ðÅ‚íÅ‚ n + 3Å‚Å‚ śł íÅ‚ n + 3Å‚Å‚ ðÅ‚íÅ‚ 2n Å‚Å‚ śł
ûÅ‚ ûÅ‚
ż 5. Logarytmy
W zadaniach wykorzystujemy:
Zakładamy, \e a > 0, b > 0 i b `" 1.
określenie
Logarytmem liczby a przy podstawie b nazywamy
logarytmu
wykładnik potęgi do której nale\y podnieść podstawę b, aby
liczby przy
otrzymać liczbę a; symbolicznie:
danej podstawie
logb a = c Ô! bc = a
Piszemy log a zamiast log10 a .
Twierdzenia: dla b > 0 i b `" 1 oraz dowolnych dodatnich liczb x, y zachodzi:
logb b = 1 ; logb 1 = 0
b
blog x = x
logb x + logb y = logb xy suma logarytmów; logarytm iloczynu
x
logb x logb y = logb
ró\nica logarytmów; logarytm ilorazu
y
logb xa = a logb x logarytm potęgi, dla ka\dej liczby a
logbx = loga x Å" logba zamiana podstawy logarytmu, dla 0 < a `" 1
14
Zadanie 5.1
Oblicz:
1
a) log2 16 , b) log3 , c) log27 3 , d) log100 0,1 , e) log0,5 2 ,
9
3
f) log 100 , g) log 0,01 , h) log 1 , i) 3log 7 , j) 23 - log2 9 .
Zadanie 5.2
Oblicz x:
1 2 3 4 1 1 2
a) x = log + log + log + log , b) x = ( log5 - log5 ) : log5 ,
2 3 4 5 2 3 3
c) log2 7 log5 2 = log5 x , d) x log 9 11 = log3 11.
W wielu problemach oraz w zastosowaniach matematyki wa\nÄ… rolÄ™ odgrywa
liczba niewymierna oznaczana literą e ; w przybli\eniu jest ona równa 2,72.
Ta liczba jest wykorzystywana jako podstawa tzw. logarytmów naturalnych.
Wtedy zamiast loge x piszemy ln x ; czyli ln x = loge x.
Zadanie 5.3
Oblicz:
a) ln e , b) ln 1 , c) ln e2 , d) ln2 (e3)
1 4
e) ln , f) eln 5 , g) e3 ln 10 , h) ln2 .
e e-1
Zadanie 5.4
PrzyjmujÄ…c, \e x jest danÄ… liczbÄ… wyznacz y, gdy:
a) ln y = 2+x , b) ln y = 2 x2 , c) ln y = ln (1 + x) + ln (1 x) ,
d) ln y = 1+ ln x , e) ln y = 5 + 5ln x f) ln y = ln (1 + x) ln (1 x) .
Zadanie 5.5
Oblicz x:
a) ln x = 1 , b) ln x = -2 , c) ln x = 2 , d) ln x = -0,5 ,
e) ln x = 12 , f) ln (3 + x) = -1 , g) ln (- 3 + x2) = 0 , h) ln (3 + x x2 ) = 0.
Zadanie 5.6
W miejsce ðð wstaw znak odpowiedniego dziaÅ‚ania:
6
a) ln (3 x) = ln 3 ðð ln x , b) ln (7 5 ) = ln 7 ðð ln 5 , c) ln ( ) = ln 6 ðð ln xy ,
xy
d) ln (9 ðð x) = 2 ln 3 - ln x , e) ln (7 ðð 5 ) = ln 7 + ln 5 ,
f) ln (8 x ðð z ) = 3 ln 2 + ln x ln z , g) ln (k ðð 49 ðð z ) = ln k (2 ln 7+ ln z) .
15
Odpowiedzi:
1
Zad. 5.1 : a) 4 ; b) -2 ; c) ; d) - 0,5 ; e) 0,5 ;
3
8
f) 2 ; g) -2 ; h) 0 ; i ) 7 ; j) .
9
Zad. 5.2 : a) - log 5 ; b) -1 ; c) 7 ; d) 2.
Zad. 5.3 : a) 1 ; b) 0 ; c) 2 ; d) 9 ;
e) -1 ; f) 5 ; g) 10 e3 ; h) (1 + ln 4)2 .
2
Zad. 5.4 : a) e2+x ; b) e2-x ; c) 1 x2 ;
1 + x
d) xe-1 ; e) (xe)5 ; f) .
1 - x
1 1
Zad. 5.5 : a) e ; b) ; c) e2 ; d) ;
e2
e
e) e12 ; f) e-1 - 3 ; g) 2 ; -2 ; h) 3 ; -1 .
Zad. 5.6 : a) + ; b) + ; c) - ; d) : ; e) Å" ; f) : ; g) : , Å" .
ż 6. Funkcje argumenty, wartości
W rozwiązaniach zadań wykorzystuje się następujące pojęcia i ich własności:
" funkcja ze zbioru A w (na ) zbiór B,
" argument funkcji, dziedzina funkcji, wartość funkcji dla danego argumentu,
" miejsce zerowe funkcji,
" wartość najmniejsza, największa funkcji.
Zapis f: A B oznacza, \e f jest funkcją ze zbioru A w zbiór B, a więc, \e ka\demu
elementowi zbioru A przyporządkowano dokładnie jeden element zbioru B.
Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji f : A B; elementy dziedziny nazywamy
argumentami funkcji, natomiast elementy zbioru B przyporzÄ…dkowane argumentom
nazywamy wartościami funkcji f.
Element przyporzÄ…dkowany argumentowi x w funkcji f oznaczamy symbolem f(x); a
więc, np. zapis f(2) = 3 oznacza, \e liczba 3 jest wartością funkcji f przyporządkowaną
liczbie 2. Ogólnie: zapis y = f(x) oznacza, \e y zostało przyporządkowane argumentowi
x w funkcji f.
Zapis f: x a f(x) oznacza, \e w funkcji f elementowi (argumentowi) x
przyporzÄ…dkowano element f(x).
Zadanie 6.1
Oblicz wartość funkcji f odpowiadającą argumentowi 5 wiedząc, \e f(x) równa się:
a) 3 7x , b) x3 + 3 , c) 8 - x , d) - (x - 3)2 , e) 7, f) (x 3)2 x0 ( 1)x .
16
Zadanie 6.2
Wska\ te argumenty, którym przyporządkowano liczbę 5 w funkcji f , której dziedziną jest
zbiór liczb ujemnych, gdy f(x) równa się:
a) 9 7x , b) x3 + 3 , c) 8 - x , d) (x - 3)2 , e) 5, f) (x 3)2 x0 +1.
Mówiąc funkcja dana jest wzorem f(x) = x2 + 3(2 x) myślimy o funkcji f, w której
argumentowi x przyporzÄ…dkowujemy liczbÄ™ x2 + 3(2 x), inaczej x a x2 + 3(2 x).
Np. f( 3) = 6 , bo ( 3)2 + 3[ 2 ( 3)] = 9 + 15 = 6.
Zadanie 6.3
WiedzÄ…c, \e f(x) = x2 + 3(2 x) wyznacz:
a) f(2) , b) f(0) , c) f(-1) ,
d) f( a) , e) f(1 a) , f) 5 [f( 4) + 2 f(1)],
g) f(n +2), h) f(3+x) , i) [f(x+1) + f(1 x)] + 3.
Zadanie 6.4
Funkcja f dana jest wzorem:
x - 1
a) f(x) = , oblicz f(0), f(1) + 1, f(a 1), f( a2 ),
x + 1
b) f(x) = log x2 , oblicz f( 1), f(100), f(-0,001), f(a) + f(-a),
c) f(x) = ln x , oblicz f(1) , f(e), f(e3) , 3 [f(e2) f(2e)],
1 + x dla - " < x < 2
Å„Å‚
d) f(x) = , oblicz f( 2), f(0), f(2), [f(1) + f(3)] f( 1).
òÅ‚
2x dla x e" 2
ół
Gdy funkcja liczbowa jest zadana wzorem i nie wskazano wprost jej dziedziny, to
przyjmujemy, \e dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich takich liczb, dla których
działania u\yte we wzorze funkcji mają sens. Np. dziedziną funkcji danej wzorem
2 - x
f(x) = jest zbiór takich liczb x, \e 2 x e" 0 (wyra\enie pod pierwiastkiem musi
x + 1
być nieujemne) i jednocześnie x + 1 `" 0 (mianownik nie mo\e być zerem).
Stąd 2 e" x i x `" 1, czyli zbiór ( ", 2 > \ { 1}.
Zadanie 6.5
Wyznacz dziedzinÄ™ funkcji f danej wzorem:
x x
a) f(x) = , b) f(x) = , c) f(x) = 3x - x3 ,
1 + x 2 + x - x2
5
2
1 + x x
d) f(x) = , e) f(x) = , f) f(x) = log (x 4) + log (x + 4),
1 - x
7 - x
g) f(x) = log (x2 4), h) f(x) = log(x + 1) , i) f(x) = x Å" (8 2x+1 ) -1 .
Zadanie 6.6
Wyznacz dziedzinę naturalną (czyli będącą podzbiorem zbioru liczb naturalnych)
funkcji f danej wzorem:
1
a) f(x) = x , b) f(x) = - x2 , c) f(x) = 5 (7 x)2 ,
d) f(x) = x - x2 , e) f(x) = x2 + 2x -15 , f) f(x) = - x Å" x + 4 ,
17
g) f(x) = log (2 x), h) f(x) = log2 (x2 2) , i) f(x) = log2(8 |x|),
j) f(x) = ln (25 x) , k) f(x) = - ln x , l) f(x) = ln x2 -13x + 30 .
Miejsce zerowe funkcji to ten argument, dla którego wartość funkcji jest 0.
Aby znalezć miejsca zerowe funkcji f danej wzorem y = f(x) wystarczy: (1) wyznaczyć
rozwiązania równania f(x) = 0; (2) ustalić, które z tych rozwiązań nie nale\ą do
dziedziny funkcji f; (3) pozostałe rozwiązania równania są miejscami zerowymi funkcji
f.
Miejsce zerowe funkcji jest pierwszą współrzędną punktu wspólnego wykresu tej
funkcji oraz osi x.
Zadanie 6.7
Wyznacz miejsca zerowe funkcji danej wzorem:
a) f(x) = 7x 3, b) f(x) = 11x +3(x+5) +1, c) f(x) = ( 1)3 (5 6x),
d) f(x) = (x 3)(5 + x), e) f(x) = 4x(x 7), f) f(x) = x2 (3x 1),
g) f(x) = 2x2 3x + 1, h) f(x) = 2x2 3x + 4, i) f(x) = (x2 1)(1+ x2).
Zadanie 6.8
Wyznacz miejsca zerowe funkcji danej wzorem:
a) f(x) = |x +5|, b) f(x) = |2x 5|, c) f(x) = |x2 +5x|,
d) f(x) = log3 (3x + 13), e) f(x) = ln |10 x2|, f) f(x) = | ln (x 1)|,
3 5
-
2
g) f(x) = 4x - x2 , h) f(x) = x(6 2 x)2 , i) f(x) = (x2 8)(2 x) .
Zadanie 6.9
Wska\ te argumenty, dla których wartość funkcji f jest równa a, gdy:
a) f(x) = x2 1 ; a = 24, b) f(x) = 3x2 1 ; a = 26,
c) f(x) = log2 (x 1) , a = 3, d) f(x) = ln (x2 1) , a = 0,
e ) f(x) = x2 + 3x + 9, a = 1, f) f(x) = 3x2 - 7 , a = 2 ,
g) f(x) = | x -2 4| , a = 5, h) f(x) = | 5 x - 2 | , a = 2.
Zadanie 6.10
Wyznacz te argumenty, dla których wartość funkcji f nale\y do przedziału < a, b >, gdy:
a) f(x) = 3x + 5, a = 2, b = 4, b) f(x) = 3(x + 5), a = 15, b = 9,
c) f(x) = x2 + 5, a = 4, b = 21, d) f(x) = 5 - x , a = 2, b = 2 5 ,
e) f(x) = ln x, a = 1, b = e, f) f(x) = ln (1 x2) , a = 1, b = 2.
Funkcja kwadratowa dana wzorem f(x) = a x2 + bx + c ma wartość najmniejszą, gdy
a > 0, a wartość największą, gdy a < 0.
" b
Wartość największą (najmniejszą) równą przyjmuje dla argumentu x = .
4a 2a
Zadanie 6.11
Wyznacz te argumenty, dla których wartość funkcji f jest największa (najmniejsza).
Wyznacz te wartości.
18
a) f(x) = x2 + 6x 1, b) f(x) = 2x2 8x + 1, c) f(x) = 8x x2 ,
d) f(x) = (3 x)2 + 6x, e) f(x) = 2(x 8)( 1 x), f) f(x) = 5( x 1)(5 x).
Odpowiedzi:
Zad. 6.1 : a) 32 ; b) 122 ; c) 3 ;
d) 2 ; e) 7 ; f) 5.
3
Zad. 6.2 : a) 2; b) 2 ; c) 17 ;
d) 2 ; e) ka\da liczba ujemna ; f) nie ma takiego argumentu.
Zad. 6.3 : a) 4 ; b) 6 ; c) 8 ;
d) a2 + 3(2 a) ; e) a2 + 5a + 4 ; f) 30 ;
g) n2 + n + 4 ; h) 12 3x x2 ; i) 2 x2 1 .
a - 2 | a | -1 a2 + 1
Zad. 6.4 : a) 1 ; 1 ; ; ; b) 0 ; 4 ; 6 ; 2 ;
a | a | +1 a2 - 1
c) 0 ; 1; 3 ; 3 ln8; d) 1 ; 1 ; 4 ; 0.
Zad. 6.5 : a) R \ { 1} ; b) R \ {1 , 2} ; c) ( " , 3 > *" < 0, 3 > ;
d) < 1, 1> ; e) < 0, 7) ; f) (4 , " );
g) ( 2 , 2) ; h) < 0, " ) ; i) R \ {2}.
Zad. 6.6 : a) N; b) { 0}; c) N ; d) {0, 1};
e) {0, 1,2,3,4,5}; f) {0}; g) {0, 1} ; h) N \ {0, 1} ;
i) {0,1, 2, & , 6, 7} ; j) {0, 1,2, & , 23, 24} ; k) {1} ; l) {4, 5, 6, 7, 8, 9}.
3 5
Zad. 6.7 : a) ; b) 2 ; c) ; d) 3 , 5 ; e) 0 , 7:
7 6
1
f) 0 , ; g) 1, 0,5 ; h) nie ma miejsc zerowych; i) 1, 1.
3
Zad. 6.8 : a) 5 ; b) 2,5 ; c) 0 , 5 ; d) 4 ; e) 3 , 3 ;
f) 2 ; g) 0, 4 ; h) 0 , 3 ; i) 2 2 , 2 2 .
Zad. 6.9 : a) 5 , 5 ; b) nie istniejÄ… ; c) 9 ; d) 2 , 2 ;
1 1
e) 5, 2 ; f) 3 , 3 ; g) , ; h) nie istniejÄ….
3 3
1 7
Zad. 6.10 : a) < , > ; b) < 2 , 0 > , c) < 4, 4 > ;
3 3
e -1 e -1
d) < 15, 5 > ; e) < e , ee > ; f) < , >.
e e
Zad. 6.11 : a) x0 = 3 , f( 3) = 10 ; b) x0 = 2 , f( 2) = 9 ;
c) x0 = 4 , f(4) = 16 ; d) x0 = 0 , f(0) = 9 ;
e) x0 = 4,5 , f(4,5 ) = 24,5 ; f) x0 = 2 , f(2) = 45.
19
ż 7. Funkcje własności
W rozwiązaniach zadań wykorzystuje się następujące pojęcia i ich własności:
" wykres funkcji liczbo-liczbowej, równanie zbioru punktów,
" funkcja ró\nowartościowa, funkcja rosnąca (malejąca, stała) w zbiorze.
Wykres funkcji liniowej danej wzorem f(x) = ax + b (a, b sÄ… danymi liczbami; jej
dziedziną jest zbiór R) jest prostą. Prosta ta ma równanie y = ax + b.
7.1 Wykres funkcji określonej wzorem wielonormowym, jak np. w przykładach d) f),
składa się z wykresów funkcji cząstkowych określonych w ich własnych dziedzinach.
Naszkicuj wykres funkcji f danej wzorem. Na podstawie tego wykresu omów jej
własności (monotoniczność, miejsca zerowe, czyli rozwiązania równania f(x) = 0).
a) f(x) = -3x + 5, b) f(x) = 2 (1 x) +3x -1,
Å„Å‚- x + 2, dla x e" 1
c) f(x) = 4(5 x) + 2(2x - 12), d) f(x) = ,
òÅ‚
2x + 1, dla x < 1
ół
3
Å„Å‚ - x, dla x < -3 4x + 1, dla x < 2
Å„Å‚
ôÅ‚2x ôÅ‚
e) f(x) = + 12, dla - 3 d" x < 0 , f) f(x) = 12, dla x = 2 .
òÅ‚ òÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
- 3x + 1, dla x e" 0 1, dla x > 2
ół ół
Wykres funkcji kwadratowej danej wzorem f(x) = ax2 + bx + c (a, b, c sÄ… danymi
liczbami, a `" 0; jej dziedziną jest zbiór R) jest parabolą o równaniu y = ax2 + bx + c.
- b - "
Punkt W = ( , ) nazywa się wierzchołkiem paraboli.
2a 4a
Zadanie 7.2
Naszkicuj wykres funkcji f określonej wzorem. Na podstawie tego wykresu omów jej
własności (monotoniczność, miejsca zerowe, wartość największa, najmniejsza).
a) f(x) = -x2 + 5x - 2, b) f(x) = -2 (1 x)2 - 4x - 1, c) f(x) = (2 x)2 + (2+ x)2,
d) f(x) = -3x2 + 9x, e) f(x) = (1 2x)( 4 + x) , f) f(x) = 3x (2 x),
Å„Å‚ - 2 - x, dla x < 0
x2
Å„Å‚- x2 + 2, dla x e" -1
ôÅ‚
g) f(x) = , h) f(x) = 2x2 + 1, dla 0 d" x < 3 .
òÅ‚ òÅ‚-
ół- 2x -1, dla x < -1
ôÅ‚
x2 -1, dla x e" 3
ół
Zadanie 7.3
Naszkicuj wykres funkcji f danej wzorem, wyznacz jej miejsca zerowe, wartość
największą, najmniejszą (o ile istnieją), gdy:
Å„Å‚- 2x - 1 dla x " (- ",3 > x + 1 dla x "(- ",0 >
Å„Å‚
a) f(x) = , b) f(x) = ,
òÅ‚ òÅ‚
x - 10 dla x " (3, ") 2x - 3 dla x " (0, ")
ół ół
20
Å„Å‚ - x2 dla x " (-2,4) 4
Å„Å‚ - x2 dla x " (-2,4)
ôÅ‚ ôÅ‚
c) f(x) = 4 dla x " (- ",-2) , d) f(x) = - 4 dla x "{-2,4,6} .
òÅ‚- òÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
4 dla x " (4, ") 3x -1 dla x " (4,6)
ół ół
Wykres funkcji g danej wzorem g(x) = | f(x) | jest figurą, którą otrzymujemy z
wykresu funkcji f danej wzorem y = f(x) następująco:
(1) pozostawiamy bez zmian tę część wykresu funkcji f, która le\y powy\ej lub
na osi x,
(2) odbijamy symetrycznie względem osi x pozostałą część wykresu funkcji f,
(3) wykres funkcji g tworzymy z figur otrzymanych w (1) i (2).
Zadanie 7.4
Naszkicuj wykres funkcji f określonej wzorem. Na podstawie tego wykresu omów jej
własności (monotoniczność, miejsca zerowe).
a) f(x) = |2x 4| , b) f(x) = |-3x + 4| , c) f(x) = |4 x2| ,
d) f(x) = |- x2 + 4x - 3| , e) f(x) = | ln x| , f) f(x) = |ex 3| .
ax + b
Wykres funkcji danej wzorem f(x) = (a, b, c, d sÄ… danymi liczbami oraz
cx + d
ad `" bc ) jest hiperbola.
Zadanie 7.5
Naszkicuj wykres funkcji f określonej wzorem. Na podstawie tego wykresu omów jej
własności (monotoniczność, miejsca zerowe).
1 1 1 - x
a) f(x) = , b) f(x) = - +3, c) f(x) = ,
x x x
x + 3 1 2x - 1
d) f(x) = , e) f(x) = | - 5 |, f) f(x) = | | .
2 - x x x + 3
Zadanie 7.6
WychodzÄ…c z wykresu funkcji f sporzÄ…dz wykres funkcji g, gdy:
a) f(x) = x2 oraz
a1) g(x) = - x2 , a2) g(x) = 4 x2 , a3) g(x) = |x2 5|, a4) g(x) = (x+1)2,
b) f(x) = ln x oraz
b1) g(x) = -ln x, b2) g(x) = |ln x| , b3) g(x) = ln (x 2), b4) g(x) = 4 -ln x.
c) f(x) = ex oraz
c1) g(x) = 3 + ex , c2) g(x) = -2 ex , c3) g(x) = 4 + 2 ex , c4) g(x) = e x .
Zadanie 7.7
Przedstaw w układzie współrzędnych figurę o podanym równaniu:
a) y = 2x 5 (prosta) , b) 4y 12x + 8 = 0, c) 5x + 3y 1 = 0,
d) y = x2 -2x + 2 (parabola) e) y = 3x(x+2), f) y = 2(x 1)(3 x),
x + 1 3x - 4
g) y = (hiperbola) , h) y = , i) (5 x) y = 2 + x,
3 - x 7 - x
21
j) y = ln x (krzywa logarytmiczna) , k) y = 2 + ln x, m) y = 1 + ln(x - 3) ,
n) y = ex (krzywa wykładnicza), o) y = 4 e x , p) y = 3 - e x .
Funkcja f jest ró\nowartościowa na zbiorze A (podzbiorze jej dziedziny), gdy
ró\nym argumentom ze zbioru A odpowiadają ró\ne wartości funkcji.
Badanie, czy funkcja f jest ró\nowartościowa mo\na prowadzić dwojako -
sprawdzić, czy dla dowolnych elementów x1, x2 ze zbioru A:
a) z nierówności x1 `" x2 wynika nierówność f (x1) `" f(x2), albo czy
b) z równości f (x1) = f(x2) wynika równość x1 = x2 .
Dla uzasadnienia, \e funkcja f nie jest ró\nowartościowa wystarczy wskazać ró\ne
elementy x1, x2 zbioru A i takie, \e f (x1) = f(x2).
Zadanie 7.8
Zbadaj ró\nowartościowość funkcji f danej wzorem:
a) f(x) = 2x 7, b) f(x) = x -1, c) f(x) = x2 3, d) f(x) = x2 3x + 2 , e) f(x) = x |x|.
Zadanie 7.9
Uzasadnij, \e funkcja f jest ró\nowartościowa na zbiorze A, gdy
a) f(x) = 2 x -1 , A= R \{0}; b) f(x) = x 2 +3, A= < 0, "); c) f(x) = x 3 , A = R;
d) f(x) = x , A= <0, "); e) f(x) = 1 - x2 , A = <-1, 0>, f) f(x) = 3 + ex, A = R_.
Badanie, czy funkcja f jest rosnÄ…ca w zbiorze A (podzbiorze jej dziedziny) prowadzimy
następująco:
sprawdzamy, czy dla dowolnych elementów x1, x2 ze zbioru A z nierówności
x1 < x2 wynika nierówność f (x1) < f(x2), mówiąc inaczej, czy z tego, \e ró\nica
x1 - x2 jest ujemna wynika, \e ró\nica f (x1) - f(x2) jest ujemna.
Dla uzasadnienia, \e funkcja f nie jest rosnąca wystarczy wskazać takie elementy
x1, x2 zbioru A, by ró\nica była ujemna, natomiast ró\nica f (x1) - f(x2) ujemna nie
była.
Zadanie 7.10
Uzasadnij, \e funkcja f jest rosnÄ…ca w zbiorze A, gdy:
a) f(x) = 3x -7 ; A = R, b) f(x) = - 3(1 x) + 4 ; A = < -5, 7 >,
c) f(x) = - 3x2 ; A = R_, d) f(x) = x2 5x + 8; A = { 3, 6, 7, 10, 135 },
3x -1
e) f(x) = 4 - 3 x-1; A = R \{0} , f) f(x) = ; A = R + .
x + 4
Badanie, czy funkcja f jest malejÄ…ca w zbiorze A (podzbiorze jej dziedziny)
prowadzimy następująco:
Sprawdzamy, czy dla dowolnych elementów x1, x2 ze zbioru A z nierówności
x1 < x2 wynika nierówność f (x1) > f(x2), mówiąc inaczej, czy z tego, \e ró\nica
x1 - x2 jest ujemna wynika, \e ró\nica f (x1) - f(x2) jest dodatnia.
Dla uzasadnienia, \e funkcja f nie jest malejąca wystarczy wskazać takie elementy
22
x1, x2 zbioru, A, by ró\nica była ujemna, natomiast ró\nica f (x1) - f(x2) dodatnia nie
była.
Zadanie 7.11
Uzasadnij, \e funkcja f jest malejÄ…ca w zbiorze A, gdy:
a) f(x) = -5x +7 ; A = R, b) f(x) = 3(1 x) + 4 ; A = <1, 12>,
c) f(x) = - 2x2 ; A = R + , d) f(x) = 3x2 2x - 1; A = (- ", 1),
3x + 1
e) f(x) = - 2 + 5 x-1; A = R \{0} , f) f(x) = ; A = R_ .
x - 4
Odopwiedzi:
5
Zad. 7.1 : a) malejÄ…ca ; miejsce zerowe x0 = ; b) rosnÄ…ca; miejsce zerowe x0 = -1 ;
3
c) stała ; nie ma miejsc zerowych ;
d) malejÄ…ca w < 1, " > ; rosnÄ…ca w ( - " , 1) ; miejsca zerowe x0 = -0,5 , x1 = 2;
e) malejąca w przedziałach < 0, " ) , ( - " , -3) ; rosnąca w przedziale < - 3, 0),
1
miejsce zerowe x0 = ;
3
f) rosnąca w przedziale ( - " , 2) ; stałą w przedziale (2, " ), miejsce
zerowe x0 = - 0, 25 .
Zad. 7.2 : a) malejąca w przedziale < 2,5 ; " ) , rosnąca w przedziale ( - " ; 2,5> ; wartość
5 - 17 5 + 17
największa w 2,5 równa 4,25; miejsca zerowe: ; ,
2 2
b) malejąca w przedziale < 0 ; " ) , rosnąca w przedziale ( - " ; 0 > ; wartość
największa w 0 równa -3 ; nie ma miejsc zerowych,
c) malejąca w przedziale ( - " ; 0 > , rosnąca w przedziale < 0 ; " ) ; wartość
najmniejsza w 0 równa 8; brak miejsc zerowych,
d) malejąca w przedziale < 1,5 ; " ) , rosnąca w przedziale ( - " ; 1,5> ; wartość
największa w 1,5 równa 6,75; miejsca zerowe: x0 = 0 , x1 = 3,
e) malejÄ…ca w przedziale < - 1,75 ; " ) , rosnÄ…ca w przedziale ( - " ; - 1,75 > ;
wartość największa w -1,75 równa 10, 125; miejsca zerowe: x0 = 0,5 , x1 = -4,
f) malejÄ…ca w przedziale < 1 ; " ) , rosnÄ…ca w przedziale ( - " ; 1 > ;
wartość największa w 1 równa 3; miejsca zerowe: x0 = 0 , x1 = 2,
g) malejąca w przedziałach < 0 ; " ), ( - " ; -1 >, rosnąca w przedziale< -1, 0 > ;
nie ma ani wartości największj, ani najmniejszej; miejsce zerowe: x0 = 2 ,
h) malejąca w przedziałach ( - " ; 0 > , < 0 , 3 >, rosnąca w przedziale < 3 ; " ) ,
nie ma ani wartości największj, ani najmniejszej; miejsca zerowe: x0 = 0,5 2 ,
x1 = -1,
Zad. 7.3 : a) wartość najmniejsza w 3 równa -7; miejsca zerowe: x0 = - 0,5 ; x1 = 3,
b) nie ma ani wartości największj, ani najmniejszej; miejsca zerowe: x0 = 1,5,
x1 = -1,
c) wartość największa równa 4 dla x > 4; wartość najmniejsza w 4 równa -16;
miejsca zerowe: x0 = 0 ,
23
d) nie ma ani wartości największj, ani najmniejszej; miejsca zerowe: x0 = 2,
x1 = -2 .
Zad. 7.4 : a) malejÄ…ca w przedziale ( - " ; 2 > , rosnÄ…ca w przedziale < 2 ; " ), miejsce
zerowe: x0 = 2,
4 4
b) malejÄ…ca w przedziale ( - " ; > , rosnÄ…ca w przedziale < ; " ), miejsce
3 3
4
zerowe: x0 = ,
3
c) malejąca w przedziałach ( - " ; - 2 > , < 0 , 2 > rosnąca w przedziałach
< 2 ; " ), < - 2 , 0 > ; miejsca zerowe : x0 = 2, x1 = - 2,
d) malejąca w przedziałach ( - " ; 1 > , < 2 , 3 > rosnąca w przedziałach
< 3 ; " ), < 1, 2 > ; miejsca zerowe : x0 = 1, x1 = 3,
e) malejÄ…ca w przedziale ( 0 , 1 > rosnÄ…ca w przedziale < 1 ; " ), miejsce
zerowe x0 = 1,
f) malejÄ…ca w przedziale ( - " ; ln 3 ) , rosnÄ…ca w przedziale (ln 3; " ), miejsce
zerowe x0 = ln 3.
Zad. 7.5 : a) malejąca w przedziałach ( - " ; 0) , ( 0 ; " ); brak miejsc zerowych,
1
b) rosnąca w przedziałach ( - " ; 0) , ( 0 ; " ); miejsce zerowe x0 = ,
3
c) malejąca w przedziałach ( - " ; 0) , ( 0 ; " ); miejsce zerowe x0 = 1
d) rosnąca w przedziałach ( - " ; 2) , ( 2 ; " ); miejsce zerowe x0 = -3 ,
e) rosnąca w przedziałach ( - " ; 0) , ( 0,2 ; " ); malejąca (0; 0,2), miejsce
zerowe x0 = 0,2,
f) rosnąca w przedziałach ( - " ; -3) , ( 0,5 ; " ); malejąca (- 3; 0,5), miejsce
zerowe x0 = 0,5.
Zad. 7.8 : a) ró\nowartościowa , b) ró\nowartościowa , c) nie ró\nowartościowa ,
d) nie ró\nowartościowa , e) ró\nowartościowa .
24
ż 8. Funkcje odwracanie, składanie funkcji
W rozwiązaniach zadań wykorzystuje się następujące pojęcia i ich własności:
" odwracanie funkcji, funkcja f -1 odwrotna do funkcji f,
" składanie funkcji, funkcja będąca zło\eniem danych funkcji.
Je\eli f: A B jest funkcją ró\nowartościową oraz f(a) = b, to funkcję f-1 : B A
takÄ…, \e f -1( b) = a nazywamy odwrotnÄ… do funkcji f. Np. funkcje f: x a x2 oraz
f-1: x a x określone w zbiorze liczb nieujemnych są wzajemnie odwrotne.
Wykresy funkcji danej i odwrotnej są wzajemnie symetryczne względem prostej
o równaniu y = x.
Zadanie 8.1
Określ, która z funkcji f dana wzorem ma funkcję odwrotną, je\eli:
a) f(x) = 4x 2, b) f(x) = x2 , c) f(x) = 2,
d) f(x) = |x|, e) f(x) = ln x , f) f(x) = 2x .
Zadanie 8.2
Wiadomo, \e f-1 jest funkcjÄ… odwrotnÄ… do f, czyli zachodzi zwiÄ…zek f(a) = b Ô! f-1(b) = a.
Wyznacz: f-1 (0) , f-1 ( 1 ) , f-1 ( 1) , f-1 ( 13) , f-1 ( 6) , f-1 ( k ), gdy:
a) f(x) = 4x 3, b) f(x) = x3 + 2, c) f(x) = (x+2) -3 ,
d) f(x) = 2x : (x 7), e) f(x) = 14 ex , f) f(x) = ( x)-5 +2.
Zadanie 8.3
Naszkicuj wykres funkcji f-1 odwrotnej do funkcji f podanej wzorem:
a) f(x) = 2x, b) f(x) = 4x, c) f(x) = 3x + 2, d) f(x) = 2x 1,
e) f(x) = x3 , f) f(x) = 2x 3 , g) f(x) = x -1 , h) f(x) = 2x .
Aby wyznaczyć wzór funkcji f-1 odwrotnej do funkcji f (ró\nowartościowej w
pewnym zbiorze) danej wzorem y = f(x) wystarczy:
(1) w równaniu y = f(x) zamienić literę x na y oraz y na x; otrzymamy x = f(y),
(2) z równania x = f(y) wyznaczyć y traktując x jako parametr; otrzymamy y = g(x),
(3) przyjąć, \e f - 1 (x) = g(x) .
Zadanie 8.4
Wyznacz wzór funkcji f - 1 odwrotnej do funkcji f , gdy:
a) f(x) = 3x + 1, b) f(x) = (2x 1) : (x +3), c) f(x) = x3 8 , d) f(x) = 3x ,
e) f(x) = x2 w przedziale < 0, ") , f) f(x) = x2 6x + 8 w przedziale ( ", 3 >.
Zadanie 8.5
Określ wzorem funkcję f - 1 odwrotną do funkcji f i naszkicuj jej wykres, gdy:
a) f(x) = x, b) f(x) = x , c) f(x) = 3 x, d) f(x) = 3x 4,
x + 1
e) f(x) = x2 w R+ , f) f(x) = x2 w R - , g) f(x) = , h ) f(x) = |x 2| w < 2, ").
x + 2
25
Zadanie 8.6
Wyznacz funkcje odwrotne do funkcji określonych wzorami:
a) f(x) = x3 3 , b) g(x) = 3 log x , c) h(x) = 1 2 x ,
d) p(x) = ex e x , e) q(x) = 1 - x , w < 0, 1 >, f) t(x) = x x , w < 0; 0,25).
Funkcję h = g ć% f określoną wzorem h(x) = (g ć% f)(x) = g [f(x)] , gdzie f: x a f(x) ,
g: x a g(x) nazywamy funkcją zło\oną.
Dziedziną funkcji zło\onej h jest zbiór tych argumentów dziedziny funkcji f, dla
których wartości f(x) nale\ą do dziedziny funkcji g.
Funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną, zaś g funkcją zewnętrzną funkcji zło\onej
h = g ć% f .
Zadanie 8.7
Dane sÄ… funkcje f: x a 3x2 1, g: x a 1 2x. Wyznacz:
a) h1 (x) = f [g(x)], b) h2 (x) = g [f(x)], c) h3 (x) = f[f(x)],
d) h4 (x) = g [g(x)], e) h5 (x) = g{f [f(x)]}, f) h6 (x) = {g[f(x)]}2.
Zadanie 8.8
Podaj wzór ka\dego ze zło\eń g ć% g, f ć% g, g ć% f, f ć% f wiedząc, \e:
a) f (x) = x +2, g(x) = x 5, b) f(x) = x2 , g(x) = x ,
2x
c) f (x) = 3x4 , g(x) = x , d) f (x) = , g(x) = x2 .
x2 + 1
Zadanie 8.9
Oblicz wartości funkcji h1 = g ć% g, h2 = f ć% g, h3 = g ć% f, h4 = f ć% f dla argumentów:
3; 5; 4; 2; 0; 1, gdy funkcje f, g określono wzorami:
a) f(x) = 3x , g(x) = 4x 3, b) f(x) = 3 (x +1), g(x) = 5x 7,
c) f(x) = x : (x +2) , g(x) = x2 , d) f(x) = 2 (x +5), g(x) = 3 x2.
Zadanie 8.10
Dobierz takie funkcje f i g, aby funkcja h określona wzorem była ich zło\eniem, gdy:
2 1
a) h(x )= 2x + 4 , b) h(x) = , c) h(x)= , d) h(x) = (1 2x)3.
3x - 4 x -1
Zadanie 8.11
1 2
Dane sÄ… funkcje f, g, h takie, \e: f(x) = x, g(x) = , h (x) = . Naszkicuj wykres
x x
funkcji:
a) f ć% g, b) h ć% g, c) f ć% f, d) f ć% h, e) g ć% g, f) h ć% h.
Zadanie 8.12
Wyznacz, o ile to mo\liwe, zło\enia f ć% g, g ć% f funkcji f i g , gdy:
a) f(x) = x2 , g(x) = x, b) f(x) = x2 +1, g(x) = (x + 1)2,
26
c) f(x) = 2x , g(x) = 3x 1, d) f(x) = sin x , g(x) = 2x 7,
e) f(x) = x2 3, g(x) = log2 x, f) f(x) = ex , g(x) = ln x.
Zadanie 8.13
Niech f(x) = x2 i g(x) = x + l. Wyraz jako zło\enie funkcji f i g podaną ni\ej funkcję h
określoną wzorem:
a) h(x) = x2 + l, b) h(x) = (x+1)2, c) h(x) = x4, d) h(x) = x + 2.
Zadanie 8.14
Funkcję h określoną podanym wzorem przedstaw jako zło\enie dwóch lub większej
liczby funkcji, gdy:
a) h(x) = (1 x2)10 , b) h(x) = x + x , c) h(x) = e2 (x -5) ,
1 - x2
d) h(x) = , e) h(x) = ln (x2 -3x + 5), f) h(x) = ln (8 + (1 - 3x)5 ) .
1 + x2
Odpowiedzi:
Zad. 8.1 : tak: a) , e), f).
3 + k
Zad. 8.2 : a) 0,75 ; 1 ; 0,5 ; 4 ; 0,75 ; ,
4
3 3 3 3
b) 2 ; 1 ; 3 ; 11 ; 2 ; k - 2 ,
3 3 3
c) 2 ; 1 ; 3 ; 13 2 ; 6 2 ; k 2 ,
7 91 7k
d) 0 ; 7 ; ; ; 5,25 ; ,
3 11 k - 2
e) ln 14 ; ln 13 ; ln 15 ; 0 ; ln 20 ; ln (14 k),
1 1 1 1
- - - -
5 5 5 5
f) 2 ; 1 ; 3 ; 11 ; 8 ; (2 - k) .
1
1 - x 3x + 1
Zad. 8.4 : a) f - 1(x) = ; b) f - 1(x) = ; c) f - 1(x) = (x + 8)3 ;
3 2 - x
d) f - 1(x) = ln x ; e) f - 1(x) = x ; f) f - 1(x) = 3 1 + x .
x + 4
Zad. 8.5 : a) f - 1(x) = x ; b) f - 1(x) = x ; c) f - 1(x) = 3 x ; d) f - 1(x) = ;
3
2x - 1
e) f - 1(x) = x ; f) f - 1(x) = x ; g) f - 1(x) = ; h) f - 1(x) = x+2 .
1 - x
3
Zad. 8.6 : a) f - 1(x) = x + 3 ; b) g - 1(x) = e3 - x ;
c) h - 1(x) = log2(1-x); d) p - 1(x) = 1 + ln (x + x2 + 4 ;
e) q - 1(x) = 1 x2 ; f) t - 1(x) = 0,5(1 1 - 4x ).
Zad. 8.7 : a) h1(x) = f [1 2x] = 12x2 12x + 2; b) h2(x) = g [3x2 1 ] = 3 6x2 ;
c) h3(x) = 9x2 + 2 ; d) h4(x) = 1 + 4x ;
e) h5(x) = 3 18x2 ; f) h6(x) = 9 36x2 + 36x4 .
Zad. 8.8 : a) g ć% g (x) = x , f ć% g (x) = x 3, g ć% f(x) = x 7, f ć% f (x) = x+4,
4
b) g ć% g (x) = x , f ć% g (x) = x w < 0, "), g ć% f(x) = x w < 0, "), f ć% f (x) = x4,
4
c) g ć% g (x) = x , f ć% g (x) = 3x2 , g ć% f(x) = 3 x2, f ć% f (x) = 35 x 16 ,
27
2x2 4x2
d) g ć% g (x) = x4, f ć% g (x) = , g ć% f(x) = ,
x4 + 1 (x2 + 1)2
2x32x
f ć% f (x) = .
x4 + 11x2 + 1
Zad. 8.9 : a) h1 (x) = g [4x 3] = 16x 15; h2 (x) = f [4x 3] = 12x + 9 ;
h3 (x) = g [ 3x] = 12x 3 ; h4 (x) = f [ 3x] = 9x,
b) h1 (x) = 25x 42; h2 (x) = 15x + 18 ; h3 (x) = 15x 22 ; h4 (x) = 9x + 6,
- x2 - x x
c) h1 (x) = x4 ; h2 (x) = ; h3 (x) = ( )2 ; h4 (x) = ,
x2 + 2 x + 2 x + 4
d) h1 (x) = 27 x4 ; h2 (x) = 6x2 10 ;
h3 (x) = 12x2 +120x + 300 ; h4 (x) = 4x + 10,
Zad. 8.10 : a) h(x) = f ć% g (x), gdzie g(x) = 2x + 4, f(x) = x ;
2
b) h(x) = f ć% g (x), gdzie g(x) = 3x - 4, f(x) = ;
x
1
c) h(x) = f ć% g (x), gdzie g(x) = , f(x) = x ;
x - 1
d) h(x) = f ć% g (x), gdzie g(x) = 1 2x , f(x) = x3 .
Zad. 8.12 : a) f ć% g (x) = x2 ; g ć% f (x) = x2 ;
b) f ć% g (x) = (x+1)4 +1 ; g ć% f (x) = (2 x2)2 ;
c) f ć% g (x) = 23x -1 ; g ć% f (x) = 3 Å" 2x 1 ;
d) f ć% g (x) = sin (2x 7) ; g ć% f (x) = 2 sin x 7 ;
e) f ć% g (x) = (log2 x)2 3 ; nie istnieje zło\enie f z g;
f) f ć% g(x) = x w R+ ; g ć% f (x) = x w R+ .
Zad. 8.13 : a) h = g ć% f ; b) h = f ć% g ; c) h = = f ć% f ; d) h = f ć% f .
Zad. 8.14 : a) h = f ć% (g ć% t) ; gdzie t(x) = x2 , g(x) = 1 x ; f(x) = x10 ,
b) h = f ć% (g ć% f) ; gdzie g(x) = 1 + x ; f(x) = x ,
c) h = t ć% (g ć% f) ; gdzie f(x) = x - 5 ; g(x) = 2x , t(x) = ex ,
1 - x
d) h = t ć% (g ć% f) ; gdzie t(x) = x , g(x) = ; f(x) = x2 ,
1 + x
e) h = g ć% f ; gdzie g(x) = ln x ; f(x) = x2 3x + 5 ,
f) h = t ć% {p ć% (z ć% [t ć% (g ć% f)])} ; gdzie f(x) = 1 3x , g(x) = x5 ; t(x) = x ;
z(z) = 8 + x : p(x) = ln x .
28
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
repetytorium z matematyki elementarnejRepetytorium MatematyczneIdentyfikacja modelu matematycznego elementuGewert M Analiza Matematyczna i Elementy Analizy Wektorowej ZadaniaElementy modelowania matematycznegoModele matematyczne układów elementarnych mod matwięcej podobnych podstron