NIEZAWODNOŚĆ SYSTEMÓW
Niezawodność systemów
ð Niezawodność R(t) elementu systemu 
prawdopodobieństwo, że element będzie
pracował poprawnie od chwili uruchomienia co
najmniej do chwili t.
R(t)=P(T>t) - T czas poprawnej pracy.
R(t)
R(t)  jest funkcjÄ… nierosnÄ…cÄ…
t
Niezawodność systemów
" Współczynnik gotowości (przyjmowana czasami
praktycznie jako miara niezawodności)
Niezawodność systemu
ð Konfiguracja równolegÅ‚a 
R1
system działa bez awarii aż
do momentu, gdy
uszkodzeniu ulegnÄ…
R2
wszystkie jego elementy.
Niezawodność układu nie
jest mniejsza niż
...
niezawodność najbardziej
niezawodnego z elementów.
Rn
Rezerwowanie
ð Podnoszenie niezawodnoÅ›ci elementów przez
poprawę jakości jest możliwe do pewnych granic.
ð ZwiÄ™kszenie niezawodnoÅ›ci systemu można
osiągnąć przez wbudowanie elementów
rezerwowych.
ð W przypadku awarii elementu podstawowego
element rezerwowy przejmuje jego funkcje.
Rezerwowanie
ð Oczekiwany zysk
ZN=ZB·RS
ZB  zysk uzyskany z procesu, który zakończył się
bez awarii
ZN- oczekiwany zysk z uwzględnieniem
niezawodności
ð Koszt budowy instalacji rezerwowej
(Ki +Kp)m
Ki  koszty inwestycyjne instalacji rezerwowych
Kp  koszty produkcyjne instalacji rezerwowych
m  liczba elementów rezerwowych
Z=ZB·R S- (Ki +Kp)m -> maksymalizacja
R S- niezawodność systemu po uwzględnieniu rezerwy
Niezawodność systemu
ð Konfiguracja szeregowa  awaria
jakiegokolwiek elementu powoduje awarię całego
systemu. Niezawodność systemu nie jest większa
niż niezawodność  najsłabszego elementu.
ð Niezawodność ukÅ‚adu:
R1 R2 R3 Rn
...
Niezawodność systemu
ð Konfiguracja szeregowo-równolegÅ‚a
Dekompozycja na podsystemy o strukturze
równoległej bądz
szeregowej.
R5 R8 R9
R1 R3
R6
R2 R4
R7 R10
RC
RA R5 R8 R9
R1 R3
R6
R2 R4 RD
RB
R7 R10
RA=R1R3
RC R9
RC=R5R8
RA
R6
RB
RD=R7R10
RB=R2R4 RD
RF
RE
RC R9
RA
R6
RB
RD
RF R9
RE
RD
RF=1-[(1-R6)(1-RC)]
RE=1-[(1-RA)(1-RB)]
RG
RF R9
RE
RD
RG=RFR9
RH
RG
RE RE RH
RD
RH=1-[(1-RG)(1-RD)]
RS=RERH
RE RH RS
RS=RERH=
={1-[(1-RA)(1-RB)]}·{1-[(1-RG)(1-RD)]}=
={1-[(1-R1R3)(1-R2R4)]}·{1-[(1-RFR9)(1-R7R10)]}= ....
Obliczanie niezawodności systemu
przy użyciu twierdzenia Bayesa
P(B)  prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia, które może zachodzić w wyniku
realizacji jednego ze zdarzeń rozłącznych A1, A2 ... Am
- prawdopodobieństwo zdarzenia Ai,
-prawdopodobieństwo zdarzenia B w przypadku zajścia
zdarzenia Ai
Przykład
W przypadku awarii pompy 1 lub 2 rolÄ™ jednej lub drugiej
R1 R2
może przejąć pompa 3. Dane są niezawodności R1=0,9;
R2=0,9, R3=0,95
B  zdarzenie, że cały system będzie sprawny
R3
A1  zdarzenie, że pompa 1 nie działa, pompa 2 działa
A2  zdarzenie, że pompa 1 działa, pompa 2 nie działa
A3  zdarzenie że obie pompy są sprawne
P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)
P(A1)=(1-R1)R2=0,1·0,9=0,09
P(A2)=R1(1-R2)=0,9·0,1=0,09
P(A3)=R1R2=0,9·0,9=0,81
P(B|A1)=R3=0,95
Z rezerwÄ…
P(B|A2)=R3=0,95
P(B)=RS =0,95·0,09+0,95·0,09+1·0,81=0,981
P(B|A3)=1
Gdy nie ma rezerwy
RS=R1·R2=0,9·0,9=0,81
Ćwiczenie N4
Oblicz niezawodność systemu
A C
E
U1 U2 H
B D F
U3
G
TIS 5
15
Ćwiczenie
Urządzenie Niezawodność
U1, U2, U3 0,92
A,C 0,95
B,D 0,96
E0,94
F0,97
G0,93
H0,98
TIS 5
16
RozwiÄ…zanie
A C
E
U1 U2 H
B D F
U3
G
A C
E
H
U
B D F
U  zdarzenie że podsystem U działa
A1  U1 nie działa, U2 działa
G
A2  U1 działa, U2 nie działa
A3  U1 działa i U2 działa
P(U |A1)=R(U3)=0,92
P(A1)=(1-R(U1))R(U2)=0,08·0,92=0,0736
P(A2)=(1-R(U2))R(U1)=0,08·0,92=0,0736 P(U |A2)=R(U3)=0,92
P(A3)=R(U1) R(U2)=0,92·0,92=0,8464
P(U |A3)=1
RozwiÄ…zanie
A C
E
H
U
B D F
G
P(U )=R(U )=0,92·0,0736+0,92·0,0736+1·0,8464=0,982
RozwiÄ…zanie
A C
E
H
U
B D F
G
ACE
H
U
B D F
G
R(ACE)=R(A)·R(C)·R(E)=0,95·0,95·0,94=
=0,8484
RozwiÄ…zanie
ACE
H
U
B D F
G
ACE
H
U
BD F
G
R(BD)=R(B)·R(D)=0,96·0,96=0,9216
RozwiÄ…zanie
ACE
H
U
BD F
G
ACE
H
U
BD FG
R(FG)=1-((1-R(F))·(1-R(G)))=
=1-(1-0,97)(1-0,93)=0,9979
RozwiÄ…zanie
ACE
H
U
BD FG
ACE
H
U
BDFG
R(BDFG)=R(BD)·R(FG)=0,9216·0,9979=0,9197
RozwiÄ…zanie
ACE
H
U
BDFG
S H
U
R(S )=1- (1-R(ACE)) ·(1-R(BDFG))=
=1-(1-0,8484)·(1-0,9197)=0,9878
RozwiÄ…zanie
S H
U
R(S)=R(U )·R(S )·R(H)=0,982·0,9878·0,98 =
= 0,9506
Czułość modułowa systemu
Jak wzrośnie niezawodność systemu RS przy wzroście niezawodności modułu Ri?
Przykład  połączenie szeregowe dwóch elementów R1=0,8 i R2=0,2
R1 R2
Lepiej zwiększać niezawodność
RS=R1R2=0,8·0,2=0,16 moduÅ‚u 2 gdyż system jest bardziej czuÅ‚y
na zmiany jego niezawodności niż modułu 1
Czułość modułowa systemu
Jak wzrośnie niezawodność systemu RS przy wzroście niezawodności modułu Ri.
Przykład  połączenie równoległe dwóch elementów R1=0,8 i R2=0,2
R1
R2
Lepiej zwiększać niezawodność
RS=R1+R2-R1R2=0,84
modułu 1 gdyż system jest bardziej czuły
na zmiany jego niezawodności niż modułu 2
Przykład
ð Dla systemu przedstawionego na schemacie
oblicz niezawodność oraz określ co jest
najbardziej i najmniej opłacalne:
- zmniejszenie czasu naprawy pompy P4
- zmniejszenie czasu naprawy każdego z urządzeń
U3,U4,U5
- zmniejszenie czasu naprawy każdej z pomp P1,
P2, P3
- zmniejszenie czasu naprawy pompy P1
Założyć, że zmniejszenie czasu naprawy w każdym
z przypadków wiąże się z porównywalnymi
kosztami.
Przykład
U1 U2 P1 U3
P2 U4 P4
U6
U5
P3
W przypadku uszkodzenia
R1 lub R2 możemy zastąpić którykolwiek
GorÄ…ca rezerwa P1 GorÄ…ca rezerwa R3
z nich przez R6 (rezerwa zimna)
UrzÄ…dzenie Åšredni czas Åšredni czas naprawy
bezawaryjnej pracy [h]
[h]
U1, U2, U6 9000 1000
P4 980 20
U3, U4, U5 8000 2000
P1, P2, P3 950 50
Przykład
ð Niezawodność wyrażona jako współczynniki
gotowości
R(U1)=R(U2)=R(U6)=Äz/(Äz+ ÄR)=
9000/(9000+1000)=0,9
R(U3)=R(U4)=R(U5)=Äz/(Äz+ ÄR)=
9000/(9000+1000)=8000/(8000+2000)=0,8
R(P4)=980/(980+20)=0,98
R(P1)=R(P2)=R(P3)=950/(950+50)=0,95
Przykład
U1 U2 P1 U3
P2 U4 P4
U6
U5
P3
U1 U2 P U P4
U6
R(P)=1-[(1-R(P1)) (1-R(P2)) (1-R(P3))]=1-(1-0,95)3=0,9999
R(U)=1-[(1-R(U3)) (1-R(U4)) (1-R(U5))]=1-(1-0,8)3=0,992
Przykład
U1 U2 P U P4
U6
U P U P4
U  zdarzenie że podsystem U działa
A1  U1 nie działa, U2 działa
A2  U1 działa, U2 nie działa
P(U )=P(U |A1)P(A1)+ P(U |A2)P(A2)+ P(U |A3)P(A3)
A3  U1 działa i U2 działa
P(A1)=(1-R(U1))R(U2)=0,1·0,9=0,09 P(U |A1)=R(U6)=0,9
P(A2)=(1-R(U2))R(U1)=0,1·0,9=0,09 P(U |A2)=R(U6)=0,9
P(A3)=R(U1) R(U2)=0,9·0,9=0,81 P(U |A3)=1
P(U )=R(U )=0,9·0,09+0,9·0,09+1·0,81=0,972
Przykład
U P U P4
R(S)=R(U )·R(P)·R(U)·R(P4)=0,972·0,9999·0,992·0,98
=0,945
Przykład
ð R(S)=R(U )·R(P)·R(U)·R(P4)
1. Zmniejszenie czasu naprawy pompy P4 (wpływa
korzystnie na R(P4))
U P U P4
Przykład
2. Zmniejszenie czasu naprawy urządzeń U3, U4 i U5.
Zmniejszenie czasu naprawy każdego z elementów
podsystemu U powoduje zmianÄ™ czasu naprawy U.
U P U P4
Przykład
ð Zmniejszenie czasu naprawy każdej z pomp P1,
P2 i P3.
U P U P4
Przykład
ð Zmniejszenie czasu naprawy tylko pompy P1.
R(P)=1-[(1-R(P1)) (1-R(P2)) (1-R(P3))]
U P U P4
Przykład
Zmniejszenie czasu naprawy pompy P4  czułość 0,964
Zmniejszenie czasu naprawy urządzeń U3,U4,U5 - czułość 0,952
Zmniejszenie czasu naprawy każdej z pomp P1, P2, P3  czułość 0,945
Zmniejszenie czasu naprawy pompy P1 - 0,0024
Działania należy skoncentrować na poprawie niezawodności pompy P4.
Działania dotyczące samej pompy P1 mijają się z celem.
Ćwiczenie N4
1) Niezawodność, którego elementu  podzespołu U czy H - należy podnieść w
pierwszej kolejności aby wpłynąć istotnie na niezawodność całości
2) Niezawodność, którego podsystemu - {A,C,E} czy {B,D,F,G}  należy
podnieść w pierwszej kolejności aby wpłynąć na niezawodność całości
A C
E
U1 U2 H
B D F
U3
G
TIS 5
38
Ćwiczenie
Urządzenie Niezawodność
U1, U2, U3 0,92
A,C 0,95
B,D 0,96
E0,94
F0,97
G0,93
H0,98
TIS 5
39
RozwiÄ…zanie
R(S)=R(U )·R(S )·R(H)
Wpływ jest podobny
RozwiÄ…zanie
ACE
H
U
BDFG