Badanie dławika
opracował A
ukasz Głubisz
Opis stosowanej konwencji zapisu liczb zespolonych
Obliczanie obwodów prądu sinusoidalnego ulega znacznemu uproszczeniu przy zastosowaniu liczb
zespolonych. Oznaczymy jedność urojoną przez j; stosowane w matematyce oznaczenie jedności urojonej
symbolem i jest nie wygodne w elektrotechnice, ponieważ i oznacza wartości chwilowa prądu.
Liczbę zespoloną z przedstawia się w postaci:
z = a + jb , (4.1)
przy czym a = Re z jest częścią rzeczywistą, b = Im z częścią urojona liczby zespolonej.
Wyrażenie (4.1) nazywa się postacią algebraiczną liczby zespolonej.
Liczbę zespoloną można przedstawić w postaci wykładniczej
ją
z = z e (4.2)
lub trygonometrycznej
z = |z|(cosą + j siną ) (4.3)
przy czym moduł liczby zespolonej
z = a2 + b2 (4.4)
argument liczby zespolonej
b
ą = arg z = arctg (4.5)
a
Przejście od postaci wykładniczej do postaci trygonometrycznej liczby zespolonej lub odwrotnie umożliwia
wzór Eulera:
ją
e = cos ą + j sin ą (4.6)
Na podstawie wzoru (4.6) przy uwzględnieniu, że 2Ą jest okresem funkcji trygonometrycznej, otrzymujemy
j(ą +k �"2Ą ) ją
e = e , k = 1,2,...,
stąd wynika, że argument liczby zespolonej nie jest jednoznacznie określony, lecz przybiera wartości
różniące się o dowolna wielkość kąta 2Ą. W celu uniknięcia tej wielo znaczności rozpatrujemy wartości
argumentu ą z przedziału (-Ą, Ą), określając w ten sposób argument główny liczby zespolonej.
1
Wartość zespolona napięcia i prądu
Liczby zespolone przedstawiające wielkości elektryczne, na przykład prądy lub napięcia, będziemy
oznaczać kreską pod wielką literą będącą symbolem wielkości.
Rozpatrujemy wyrażenie
j(�t +� )
x
X = Xe (4.7)
mt
przy czym X moduł wielkości X ; indeks t wielkości X oznacza, że wielkość ta zależy do czasu.
m mt mt
Przedstawiając wielkości X w postaci trygonometrycznej stwierdzamy, że części rzeczywista i urojona
mt
x`= Re X = Xm cos(�t + �x)
mt
(4.8)
x``= Im X = Xm sin(�t + �x)
mt
zmieniają się sinusoidalnie w czasie, przy czym X jest wartością maksymalną (amplitudą), a �x faza.
m
Wobec tego napięcie u = Um sin(�t + �x) oraz prądy i = Im sin(�t + �x) możemy przedstawić w postaci
zespolonej:
j(�t +�u )
�#
U = Ume
�#
mt
(4.9)
Ź#
j(�t +�i )
I = Ime �#
mt
�#
Wartości chwilowe u oraz i otrzymujemy, wyodrębniając część urojoną wyrażeń, a wiec:
u = ImU , i = Im I (4.10)
mt mt
Wartościami zespolonymi (symbolicznymi) napięcia i prądu nazywamy odpowiednie wyrażenia:
j�u j�i
U = Ue , I = Ie
Moduł wartości liczby zespolonej oraz jej argument równają się odpowiednio wartości skutecznej oraz fazie
wielkości sinusoidalnej.
2
1. Wstęp teoretyczny.
Dławikiem w obwodzie prądu zmiennego nazywamy cewkę nawiniętą na rdzeniu
ferromagnetycznym. Rdzeń ferromagnetyczny stanowi obwód magnetyczny, przez który zamyka się
zmienny strumień magnetyczny wywołany prądem płynącym w uzwojeniu cewki. Indukcyjność dławika nie
jest wielkością stałą, lecz zależną od stopnia namagnesowania rdzenia. Z tego względu dławik jest
elementem nieliniowym. Kształt charakterystyki napięciowo-prądowej dławika jest wynikiem nieliniowej
zależności między natężeniem pola magnetycznego i indukcją magnetyczną.
Nieliniowość dławika wynika z nieliniowości przenikalności magnetycznej rdzenia
ferromagnetycznego w funkcji natężenia pola magnetycznego. Ze wzrostem natężenia, czyli ze
zwiększaniem się prądu magnesującego w uzwojeniu dławika, przenikalność rdzenia ferromagnetycznego
maleje i maleje w związku z tym indukcyjność dławika. Ze wzrostem prądu maleje więc impedancja dławika
2
U = R2 + � L2 I
i jednakowym przyrostom prądu odpowiadają coraz mniejsze przyrosty napięć na zaciskach uzwojenia
magnesującego.
Charakterystyka napięciowo-prądowa dławika. Poczynając od wartości prądu Inas, zwanego prądem
nasycenia, napięcie na zaciskach uzwojenia magnesującego zwiększa się wolniej niż prąd w tym uzwojeniu,
gdyż wzrost prądu powoduje jednocześnie zmniejszanie się indukcyjności i impedancji dławika.
Dławik przyłączony do z
ródła napięcia przemiennego pobiera z tego z
ródła moc czynną i bierną. Moc bierna
jest zużywana na wytworzenie w rdzeniu strumienia magnetycznego.
Moc czynna jest tracona na:
- nagrzewanie uzwojeń dławika (ciepło Joule'a-Lenza wydzielające się na rezystancji uzwojeń),
- przemagnesowanie rdzenia - wytworzenie prądów wirowych.
Prądy wirowe płyną w płaszczyz
nie przekroju poprzecznego rdzenia stalowego i powodują jego
nagrzewanie się. Jest to zjawisko niepożądane. Dlatego też, aby zwiększyć rezystancję dla prądów
wirowych, rdzenie dławików składa się z blach izolowanych od siebie warstwą lakieru izolacyjnego.
3
Straty mocy w dławiku dzieli się na:
- straty w miedzi (straty mocy w uzwojeniach z reguły nawiniętych drutem miedzianym);
- straty w żelazie (straty mocy na przemagnesowanie stalowego rdzenia i prądy wirowe).
Straty w miedzi nie zależą praktycznie od częstotliwości zmian prądu lub napięcia, natomiast straty mocy
czynnej w żelazie silnie zależą od częstotliwości prądu magnesującego.
Zjawiska występujące w dławiku są charakterystyczne dla wszystkich elementów złożonych
z rdzenia ferromagnetycznego i nawiniętych na nim uzwojeń, a więc transformatorów, przekaz
ników,
elektromagnesów i innych urządzeń. Ze względu na różnorodność zjawisk towarzyszących przepływowi
prądu magnesującego cewki z rdzeniami ferromagnetycznymi znalazły wiele zastosowań w różnych
dziedzinach techniki. Między innymi wykorzystuje się je do budowy magnetycznych stabilizatorów napięcia
i wzmacniaczy magnetycznych, dławików w świetlówkach, przekaz
ników, elektromagnesów itd. Dławiki
wykorzystywane są również jako elementy pamięciowe elektronicznych maszyn cyfrowych. Ze względu na
to, że w tym przypadku rdzeń dławika wykonany jest z magnetycznie twardego ciała ferromagnetycznego,
przechowuje on stan namagnesowania długo po wyłączeniu prądu magnesującego, jest wiec on elementem
pamięciowym.
W przypadku dławika bez szczeliny powietrznej mamy do czynienia z jednorodnym obwodem
magnetycznym wykonanym z tego samego materiału.
1a. Ferrorezonans napięcia  połączenie szeregowe cewki nieliniowej i kondensatora.
Rozpatrujemy połączenie szeregowe kondensatora o pojemności C i cewki z rdzeniem stalowym. W
celu ułatwienia dalszych rozwiązań przyjmujemy, że rezystancja uzwojenia cewki równa się zeru oraz
potraktujemy cewkę jako element warunkowo nieliniowy. Pojemność C dobieramy w ten sposób, aby
charakterystyki UL(I), UC(I) przecięły się.
Napięcia na połączeniu wyraża się wzorem U = UC + UL, przy czym napięcia UL wyprzedza w fazie o 900
prąd I, a napięcie UC opóz
nia się w fazie o 900 względem prądu I, czyli napięcia UL, UC są w przeciw fazie.
Wartości napięcia U można przedstawić wzorem: U=|UL-UC|, przy czym UL, UC  wartości skuteczne napięcia
na cewce i na kondensatorze.
Odejmując od siebie rzędne charakterystyk UL oraz UC, otrzymujemy zależności U(I). Krzywa U(I) przebiega
nad osią OI, bowiem wartości skuteczne U > 0. W punkcie przecięcia charakterystyk UL, UC, określonym
przez prąd Io mamy U = 0. Gdy 0 < I < Io (łuk 0ad charakterystyki U(I)), mamy UL > UC wobec tego napięcie
4
U = UC + UL wyprzedza w fazie prąd I o 900, w tym przypadku połączenie ma charakter indukcyjny.
Natomiast gdy I > Io (łuk db charakterystyki), wówczas UL < UC, wobec tego napięcie U opóz
nia się w fazie
o 900 względem prądu I, a połączenie ma charakter pojemnościowy. W punkcie przecięcia charakterystyk
UL(I), UC(I) mamy UL(I) = UC(I), co odpowiada rezonansowi napięć. Warunkiem wystąpienia opisywanego
zjawiska jest przecięcie się charakterystyk UL(I) oraz UC(I). W przeciwnym razie, gdy te charakterystyki nie
przecinają się, nie osiągnie się zrównoważenia napięć UL(I) i UC(I).
1b. Ferrorezonans prądów  połączenie równoległe cewki nieliniowej i kondensatora.
Rozpatrujemy połączenie równoległe kondensatora o pojemności C i cewki z rdzeniem stalowym.
W celu ułatwienia dalszych rozwiązań przyjmujemy, że rezystancja uzwojenia cewki równa się zeru oraz
potraktujemy cewkę jako element warunkowo nieliniowy:
Na wykresie podane są charakterystyki IL(U), IC(U) cewki oraz kondensatora przy stałej częstotliwości.
Pojemność C kondensatora dobrana jest tak aby charakterystyki IL(U), IC(U) przecinały się.
Prądy dopływające do połączenia wyrażają się wzorem: I=IL+IC
Prąd IL w cewce opóz
nia się w fazie o 900 względem napięcia, natomiast prąd IC wyprzedza w fazie o 900
napięcie U, czyli prądy IL,IC są w przeciw fazie. Wartość skuteczna prądu I wyraża się wzorem: I=|IL-IC|
Odejmując od siebie odcięte charakterystyki IL(U), IC(U), otrzymujemy krzywą I(U). Charakterystyka I(U
przebiega w I ćwiartce, ponieważ wartość skuteczna I>0. W punkcie przecięcia charakterystyk IL(U), IC(U),
określonym przez napięcie Uo, mamy I=0. Gdy 0prąd I wyprzedza w fazie o 90 0 napięcie U ; w tym przypadku połączenie ma charakter pojemnościowy.
Natomiast gdy U > Uo (łuk bc charakterystyki), wówczas mamy IL > IC, co oznacza, że prąd I opóz
nia się
0
w fazie o 90 względem napięcia U, czyli połączenie ma charakter indukcyjny. W punkcie przecięcia
charakterystyk IL(U), IC(U) jest IL = IC, co odpowiada rezonansowi prądów. Warunkiem wystąpienia zjawiska
jest przecięcie się charakterystyk IL(U), IC(U). Charakterystyka I(U) ma jedynie znaczenie teoretyczne. Przy
uwzględnieniu rezystancji R uzwojenia cewki oraz strat w jej rdzeniu otrzymuje się charakterystykę I(U):
5
Załóżmy, że rozpatrywane połączenie zasilane jest ze z
ródła prądu. Przy wzroście prądu I od 0 do I2,
napięcie U rośnie od 0 do Ua wzdłuż łuku 0ea charakterystyki, przy czym obwód ma charakter
pojemnościowy. Gdy prąd I przekroczy nieznacznie wartości I2, wówczas napięcie U wzrasta nagle od Ua do
Ub, natomiast charakter obwodu zmienia się z pojemnościowy na indukcyjny. Przy dalszym wzroście prądu I
napięcie U zwiększa się według łuku bc charakterystyki, przy czym obwód ma charakter indukcyjny.
Gdy prąd I zmaleje od wartości I > I2 do wartości I1, napięcie U będzie się zmniejszać według łuku cbd
charakterystyki U(I), a obwód ma charakter indukcyjny. Jeśli prąd I nieznacznie zmniejszy się w stosunku do
wartości I1, to napięcie U nagle zmaleje od Ud do Ue, przy czym charakter obwodu zmieni się z indukcyjnego
na pojemnościowy. Dalsze zmniejszanie prądu I powoduje malenie napięcia U według łuku e0
charakterystyki, a obwód ma charakter pojemnościowy.
Opisane zjawisko nosi nazwę ferrorezonansu prądów i charakteryzują się nagłym wzrostem napięcia U od
Ua do Ub oraz nagłym zmniejszeniem się tego napięcia od Ud do Ue. Tym zmianom napięcia towarzyszy
zmiana charakteru obwodu: obwód z pojemnościowego staje się indukcyjny i odwrotnie, z indukcyjnego staje
się pojemnościowy. Ferrorezoznans prądów występuje tylko w obwodach nieliniowych, zawierających
połączenie równoległe cewek z rdzeniem stalowym i kondensatora. Inna cechą tego zjawiska jest to, że w
przeciwieństwie do obwodów linowych ferrorezonans prądów osiąga się przez zmianę prądu I
dopływającego do połączenia przy stałej częstotliwości.
1c. Stabilizacja napięcia - połączenie szeregowe cewki nieliniowej i kondensatora.
Stabilizatorem napięcie nazywamy czwórnik, w którym znaczna zmiana napięcia wejściowego
powoduje nieznaczną zmianę napięcia wyjściowego. Zastosowanie stabilizatorów umożliwia zatem zasilanie
urządzeń elektrycznych napięciami o praktycznie stałej wartości skutecznej, niezależnej od zmian napięcia
sieci zasilającej.
6
Na wykresie są podane charakterystyki U1(I) cewki z rdzeniem stalowym. Stwierdzamy, że stosunkowo dużej
zmianie "U1 napięcia wejściowego odpowiada mała zmiana "U2 napięcia wyjściowego. Na podstawie tych
charakterystyk można skonstruować krzywą przedstawiająca zależność napięcia wyjściowego U2 od
napięcia wejściowego U1. Przy konstrukcji należy wziąć pod uwagę zmiany skokowe napięcia U2
występujące przy stopniowym powiększaniu się lub zmniejszaniu napięcia U1. Krzywa U2=f(U1) pokazana
jest na wykresie, przy czym strzałkami oznaczone są gałęzie odpowiadające zwiększeniu napięcia U1 od 0
oraz zmniejszeniu tego napięcia do 0. Przy dostatecznie dużych wartości U1 zależność U2=f(U1) jest zbliżona
do linii prostej, równoległej do osi U1. Z tego powodu wartość skuteczna U2 napięcia wyjściowego jest
praktycznie stała , a więc dużej zmianie "U1 napięcia wejściowego odpowiada mała zmiana "U2 napięcia
wyjściowego.
Stabilizatory napięcia charakteryzuje się za pomocą współczynnika stabilizacji:
"U1 "U2
k = :
U1 U2
Przy czym U1, U2  wartości skuteczne napięcia: wejściowego i wyjściowego, "U1, "U2  odpowiadające
sobie zmiany napięcia na wejściu i na wyjściu stabilizatora. Im większa jest wartość współczynnika
stabilizacji, tym lepsze są własności stabilizacyjne obwodu.
Stabilizację napięcia wyjściowego można uzyskać tylko za pomocą czwórników zbudowanych z elementów
nieliniowych. W czwórnikach liniowych bowiem napięcia: wyjściowe i wejściowe są do siebie proporcjonalne
przy stałej częstotliwości, wskutek czego współczynnik stabilizacji k=1.
1.d Zastosowanie Dławika.
" Do ograniczenia prądu w obwodach elektrycznych prądu przemiennego.
Stosuje się cewki indukcyjne, wykorzystując ich reaktancję, są one korzystniejsze niż rezystory
włączane szeregowo z danym odbiornikiem, np. świetlówką lub lampą rtęciową, ze względu na
znacznie mniejszy pobór mocy. Idealna cewka indukcyjna nie pobiera w ogóle mocy czynnej.
W cewkach rzeczywistych są nieuniknione straty mocy w uzwojeniu oraz w rdzeniu
ferromagnetycznym.
2
"Pu = R �" I
W celu uzyskania potrzebnej reaktancji, przy możliwie małych wymiarach cewki, często stosuje się
magnetowody stalowe ze szczeliną od ułamka milimetra do kilku milimetrów. Napięcie skuteczne,
indukowane w cewce o danej liczbie zwojów, jest proporcjonalne do strumienia Śm.
Cewki indukcyjne o rdzeniu ferromagnetycznym, wykonane w celu uzyskania żądanej reaktancji,
nazywa się dławikami.
7
Ograniczenia prądu za pomocą dławika.
Polega to na wykorzystaniu jego reaktancji dla prądu przemiennego albo, ściślej mówiąc, na
indukowaniu siły elektromotorycznej przez zmienny strumień magnetyczny. Ten sam dławik włączony
w obwód prądu stałego zachowuje się jak rezystor o rezystancji równej rezystancji uzwojenia.
2. Przebieg ćwiczenia.
Tematem ćwiczenia jest wyznaczanie parametrów dławika: napięcia, indukcyjności, reaktancji, oraz
rezystancji strat w rdzeniu stalowym dławika w funkcji prądu, określonych przez szeregowo-równoległy
schemat zastępczy. (rys.1)
Rys.1
Gdzie:
RCU  rezystancja uzwojeń (rezystancja miedzi)
RFe  rezystancja wniesiona do obwodu dławika przez straty w rdzeniu stalowym
XL  reaktancja dławika
1. Pomiar rezystancji uzwojeń dławika według schematu na Rys.2 wykonujemy na prądzie stałym.
Rys.2 Tabelka nr1
8
U U U
Obliczanie rezystancji Rcu dławika: RCU = = =
Idł I - Iv I - U
Rv
jeżeli uznamy że rezystancja RV za bardzo dużą (woltomierz wysokiej klasy) to czynnik
U
0
RV
U
otrzymujemy że: RCu =
I
Wyniki pomiarów zapisujemy w Tabeli nr1
2. Pomiar rezystancji RFe i reaktancji XL dławika dokonuje się prądem sinusoidalnie zmiennym ( f = 50
Hz ) według schematu na Rys.3.
Rys.3
Wyniki pomiarów i obliczeń wpisujemy do Tabeli nr2.
ilość stała
I U P cosĆ Ć UCU "PCU "PFe UL RFe IFe I� XL L
Lp działek Watomierza
A V - - [W] - [ o] [V] [W] [W] [V] [&!] [A] [A] [&!] [H]
1
2
...
Tabela nr 2
Wzory użyte do obliczeń:
UCU = Rcu �" I - napięcie na uzwojeniu dławika
P
cos � =
U �" I
2
- moc wydzielana na uzwojeniu
"PCU = RCU �" I
- moc wydzielana na rdzeniu
PFe = P - "PCU
U = U - U
L CU
- napięcie na cewce dławika
2 2 2
U = U + U - 2 �"U �"U �" cos �
L CU CU
2
U
L
- rezystancja wniesiona przez straty na rdzeniu
RFe =
PFe
� = 2 �"Ą �" f
9
U
L
I =
Fe
RFe
2 2
I� = I - IFe
U
L
X =
- reaktancja dławika
L
I�
X
L
- indukcyjność cewki dławika
L =
�
Rys.4
Wykres wskazowy
Jako wynik pomiarów należy podać zależności:
prądów i napięć dławika
U=f(I); RFe=f1(I); XL=f2(I); L=f3(I) na wspólnym wykresie (Rys.5):
Rys.5
10
3. Przykładowe zadanie.
Wyznaczyć indukcyjność dławika ze szczeliną powietrzną i bez szczeliny powietrznej. Do obliczeń przyjąć
lp=0,01m, lFe=0,6m, Sp=10cm2, SFe=8cm2, �r=6000, �0=4Ą 10-7 Hm-1, z=100.
Rozwiązanie:
Z prawa przepływu wynika, że:
Ś = Iz = H lp + H lFe
p Fe
Ponieważ Bp = �0H i BFe = �0H
p Fe
lp
lFe
Ś = Iz = Bp + BFe
�0 �0�r
Uwzględniając, że: BpS = BFeSFe = Ć
p
Ą# lp
lFe ń#
Ś = Iz = +
ó# Ą#Ć
�0S �r �0SFe Ą#
ó# p
Ł# Ś#
Z reguły w rdzeniu ze szczeliną powietrzną
lp
lFe
<<
�0�r SFe �oS
p
lFe lp
W naszym przypadku odpowiada to nierówności <<
�0�r �o
lp
Ponieważ � = Ć �" z I �" z2 =
�0S
p
z2�0S
�
p
Stąd L0 = =
I lp
Uwzględniając wartości liczbowe: L0=1,256mH
W przypadku dławika bez szczeliny powietrznej lp=0 i wtedy
l
2 Fe
Iz = �
� � S
0 r Fe
z2� �r SFe
0
A indukcyjność LFe =
lFe
Uwzględniając wartości liczbowe: LFe=100,5mH
Indukcyjność L0 dławika ze szczeliną powietrzną jest znacznie mniejsza od indukcyjności LFe dławika bez
szczeliny, jest jednak indukcyjnością liniową, praktycznie niezależną od przenikalności magnetycznej
względnej �r rdzenia, która, jak wiadomo, zależy od stopnia nasycenia rdzenia.
Dławik ze szczeliną powietrzna jest także zwany dławikiem linowym. Dławik liniowy nie może przejść
w nasycenie, nawet przy największych prądach, jakie mogą płynąć przez uzwojenia magnesujące bez
obawy ich zniszczenia. W rozpatrywanym przypadku, np. prąd nasycenia dławika liniowego (dławika ze
szczeliną powietrzną) jest ok. 100 razy większy od prądu nasycenia dławika bez szczeliny (porównaj
indukcyjność dławików).
11