Zadanie 12
Obustronnie przytwierdzona belka jest obciążona równomiernie rozłożonym
obciążeniem ciągłym na odcinku CB. Wyznacz wielkości podporowe i wykonaj wykresy Mg
i T z wykorzystaniem zasady najmniejszej pracy (wg. Tw. Menabre a).
a)
1.Równania statyki:
5�9�5�f� = 0: 5�E�5�4� - 25�^�5�N� + 5�E�5�5� = 0
5�@�5�4� = 0: - 5�@�5�4� + 25�N� " 25�^�5�N� - 5�E�5�5� " 35�N� + 5�@�5�5� = 0
-5�@�5�4� + 45�^�5�N�2 - 35�E�5�5� " 5�N� + 5�@�5�5� = 0
I przedział: 0 d" 5�e�1 d" 5�N�
M(5�e�1) = 5�E�5�4� " 5�e�1 - 5�@�5�4�
II przedział: ad" 5�e�2 d" 3a
1
2
5�@� 5�e�2 = 5�^�5�N�2 + 5�@�5�5� - 5�E�5�5� " 5�e�2
2
1
2
5�@� 5�e�2 = 5�^�5�e�2 + 5�@�5�4� - 45�^�5�N�2 + 65�^�5�N� - 35�E�5�4� - 25�^�5�N�5�e�2 + 5�E�5�4�5�e�2
2
Obieram 5�E�5�4�, 5�@�5�4�
1) 5��5��5�I� = 0
5�@�5�4�
5��5�I�
2) = 0
5��5�E�5�4�
5��5�I� 1 5�N� 25�N� 5��5�@� 5�e�2
1) = 5�@� 5�e�1 5��5�@� 5�e�1 5�Q�5�e�1 + 5�@� 5�e�2 " 5�Q� 5�e�2 = 0
0 0
5��5�@�5�4� 5�8�5�<� 5��5�@�5�4� 5��5�@�5�4�
5�N� 25�N�
5��5�I� 1 1 2
= 5�E�5�4� " 5�e�1 - 5�@�5�4� " -1 5�Q�5�e�1 + ( 5�^�5�e�2 + 5�@�5�4� - 45�^�5�N�2 + 65�^�5�N� - 35�E�5�4� - 25�^�5�N�5�e�2
5��5�@�5�4� 5�8�5�<� 2
0 0
+ 5�E�5�4�5�e�2)5�Q�5�e�2
5�N� 25�N�
1
2
= -5�E�5�4�5�e�1 + 5�@�5�4� 5�Q�5�e�1 + ( 5�^�5�e�2 + 5�@�5�4� - 45�^�5�N�2 + 65�^�5�N� - 35�E�5�4� - 25�^�5�N�5�e�2 + 5�E�5�4�5�e�2)5�Q�5�e�2
2
0 0
1 5�N� 1 1 25�N�
2 3 2 2
= - 5�E�5�4�5�e�1 + 5�@�5�4�5�e� + 5�^�5�e�2 + 5�@�5�4�5�e�2 ą -45�^�5�N�2 + 65�^�5�N�5�e�2 - 35�E�5�4�5�e�2 - 5�^�5�N�5�e�2 + 5�E�5�4�5�e�2
2 0 6 2 0
1 4
- 5�E�5�4�5�N�2 + 5�@�5�4�5�N� + 5�^�5�N�3 + 25�N�5�@�5�4� + 45�^�5�N�3 - 65�E�5�4�5�N� - 45�^�5�N�3 + 25�E�5�4�5�N� = 0
2 3
1 1
2 2
5�@� 5�e�2 = 5�^�5�N�2 + 5�@�5�5� - 5�E�5�5� " 5�e�2 = 5�^�5�N�2 + 5�@�5�4� - 45�^�5�N�2 + 65�^�5�N�2 - 35�E�5�4� " 5�N� - (25�^�5�N� - 5�E�5�4�)5�e�2
2 2
1
2
= 5�^�5�N�2 + 5�@�5�4� + 25�^�5�N�2 - 35�E�5�4� " 5�N� - 25�^�5�N�5�e�2 + 5�E�5�4�5�e�2
2
5�N�
25�N�
5��5�I� 1 1
2
= 5�E�5�4� " 5�e�1 - 5�@�5�4� -1 5�Q�5�e�1 + ( 5�^�5�e�2 + 5�@�5�4� + 25�^�5�N�2 - 35�E�5�4�5�N� - 25�^�5�N�5�e�2
5��5�@�5�4� 5�8�5�<� 2
0
0
+ 5�E�5�4�5�e�2)5�Q�5�e�2 = 0
1 1 1
- 5�E�5�4�5�N�2 + 5�@�5�4�5�N� + " 85�^�5�N�2 + 25�N�5�@�5�N� + 25�^�5�N� " 25�N� - 3 " 25�N�25�E�5�4� - 5�^�5�N� " 45�N� + 5�E�5�4� " 45�N�2 = 0
2 6 2
9 4
- 5�E�5�4�5�N� + 35�@�5�4� + 5�^�5�N� = 0
2 3
5��5�I�
2) = 0;
5��5�E�5�4�
5�N� 25�N�
5��5�I� 1 5��5�@�(5�e�1) 5��5�@� 5�e�2
= 5�@�(5�e�1) 5�Q�5�e�1 + 5�@� 5�e�2 " 5�Q� 5�e�2 = 0
5��5�E�5�4� 5�8�5�<� 5��5�E�5�4� 5��5�E�5�4�
0 0
5��5�@�(5�e�1) 5��5�@�(5�e�2)
= 5�e�1 ; = -35�N� + 5�e�2
5��5�E�5�4� 5��5�E�5�4�
5�N�
5�E�5�4� " 5�e�1 - 5�@�5�4� 5�e�1 5�Q�5�e�1
0
25�N�
1
2
+ 5�^�5�e�2 + 5�@�5�4� + 25�^�5�N�2 - 35�E�5�4�5�N� - 25�^�5�N�5�e�2 + 5�E�5�4�5�e�2 (-35�N� + 5�e�2)
2
0
5�N� 25�N�
3
2 2
= (5�E�5�4�5�e�1 - 5�@�5�4�5�e�1)5�Q�5�e�1 + (- 5�^�5�N�5�e�2 - 35�@�5�4�5�N� - 65�^�5�N�3 + 95�E�5�4�5�N�2 + 65�^�5�N�25�e�2 - 35�N�5�E�5�4�5�e�2
2
0 0
1
3 2 2
+ 5�^�5�e�2 + 5�@�5�4�5�e�2 + 25�^�5�N�25�e�2 - 35�E�5�4�5�N� " 5�e�2 - 25�^�5�N�5�e�2 + 5�E�5�4�5�e�2 )5�Q�5�e�2
2
1 1 3
= 5�E�5�4�5�N�3 - 5�@�5�4�5�N�2 - 5�^�5�N� " 85�N�3 - 35�@�5�4� " 25�N� - 65�^�5�N�3 " 25�N� + 95�E�5�4�5�N�2 " 25�N� + 35�^�5�N�2 " (25�N�)2
3 2 6
3 1 1 1 1
- 5�N� " 5�E�5�4� " 45�N�2 + 5�^� " 165�N�4 + 5�@�5�4� " 45�N�2 + " 25�^�5�N�2 " 45�N�2 - " 35�E�5�4�5�N� " 45�N�2
2 8 2 2 2
1 1
- " 25�^�5�N� " 85�N�3 + 5�E�5�4� " 85�N�3
3 3
9 10
95�E�5�4�5�N� - 5�@�5�4� - 5�^�5�N�2 = 0
2 3
Rozwiązujemy układ równań 3 i 4
9 4
- 5�E�5�4�5�N� + 35�@�5�4� + 5�^�5�N�2 = 0/5�e�2
2 3
9 10
95�E�5�4�5�N� - 5�@�5�4� - 5�^�5�N�2 = 0
2 3
8
-95�E�5�4�5�N� + 65�@�5�4� + 5�^�5�N�2 = 0
3
9 10
95�E�5�4�5�N� - 5�@�5�4� - 5�^�5�N�2 = 0
2 3
3 2
5�@�5�4� - 5�^�5�N�2 = 0
2 3
4
5�@�5�4� = 5�^�5�N�2
9
8
-95�E�5�4�5�N� + 65�@�5�4� + 5�^�5�N�2 = 0
3
8
-95�E�5�4�5�N� = -65�@�5�4� - 5�^�5�N�2
3
16
5�E�5�4� = 5�^�5�N�
27
Rozwiązujemy układ równań 1 i 2
5�E�5�4� - 25�^�5�N� + 5�E�5�5� = 0
38
5�E�5�5� = 5�^�5�N�
27
-5�@�5�4� + 45�^�5�N�2 - 35�N�5�E�5�5� + 5�@�5�5� = 0
2
5�@�5�5� = 5�^�5�N�2
3
T(x1)=RA=16 5�^�5�N�
27
T(5�e�2) = 5�e�2 - 5�^�(5�e�2 - 5�N�)
16
T(a)=5�E�5�4� - 0 = 5�^�5�N�
27
38
T(3a)=(16 - 2)5�^�5�N� = - 5�^�5�N�
27 27
Max Mg dla T=0:
5�E�5�4� - 5�^� 5�e�2 - 5�N� = 0
16
-5�^� 5�e�2 - 5�N� = - 5�^�5�N�
27
43
5�e�2 = 5�N�
27
16 4
M(5�e�1) = 5�E�5�4� " 5�e�1 - 5�@�5�4� = 5�^�5�N� " 5�e�1 - 5�^�5�N�2
27 9
4
M(0)= - 5�^�5�N�2
9
4 4
M(a)=16 5�^�5�N�2 - 5�^�5�N�2 = 5�^�5�N�2
27 9 27
1
5�@� 5�e�2 = 5�E�5�4� " 5�e�2 - 5�@�5�4� - 5�^�(5�e�2 - 5�N�)2
2
16 4 1
5�@� 5�e�2 = 5�^�5�N� " 5�e�2 - 5�^�5�N�2 - 5�^�(5�e�2 - 5�N�)2
27 9 2
16 4 4
5�@� 5�N� = 5�^�5�N�2 - 5�^�5�N�2 = 5�^�5�N�2
27 9 27
16 4 1 2
5�@� 35�N� = " 35�^�5�N�2 - 5�^�5�N�2 - " 45�^�5�N�2 = - 5�^�5�N�2
27 9 2 3
43 16 43 4 1 43 236
5�@� 5�N� = " 5�^�5�N�2 - 5�^�5�N�2 - 5�^�( 5�N� - 5�N�)2 = 5�^�5�N�2
27 27 27 9 2 27 729
Wykresy momentów i sił tnących:
b)
1. Równania statyki:
5�9�5�f� = 0: 5�E�5�4� - 25�^�5�N� + 5�E�5�5� + 5�E�5�6� = 0
5�@�5�P� = 0: 5�E�5�4� " 35�N� - 25�^�5�N� " 25�N� + 5�@� + 5�E�5�5� " 5�N� = 0
35�E�5�4� " 5�N� - 45�^�5�N�2 + 5�@� + 5�E�5�5� " 5�N� = 0
Układ jednokrotnie niewyznaczalny
I przedział: 0 d" 5�e�1 d" 25�N�
1
2
M(x1)=RA"x1 - 5�^�5�e�1
2
II przedział: 2a d" x2 d" 3a
M(x2)= RA"x2 -2qa"(x2-a)+ RB(x2-2a)+ M
Równanie Menabre a:
5��5�I�
= 0
5��5�E�5�4�
5��5�I� 1 25�N� 35�N� 5��5�@� (5�e�2)
= 5�@�(5�e�1 " 5��5�@� (5�e�1) 5�Q�5�e�1 + 5�@�(5�e�2) " 5�Q� 5�e�2 =0
0 25�N�
5��5�E�5�4� 5�8�5�<� 5��5�E�5�4� 5��5�E�5�4�
5��5�@�(5�e�1)
= 5�e�1 ; 5��5�@�(5�e�2) = 5�e�2
5��5�E�5�4� 5��5�E�5�4�
25�N� 35�N�
5��5�I� 1 1 2
= [( 5�E�5�4� " 5�e�1 - 5�^�5�e�1 ) " 5�e�1]5�Q�5�e�1 + [(5�E�5�4� " 5�e�2 - 25�^�5�N� " 5�e�2 - 5�N� + 5�E�5�5� 5�e�2 - 25�N�
5��5�E�5�4� 5�8�5�<� 2
0 25�N�
+ 5�@�) " 5�e�2]5�Q�5�e�2
25�N� 35�N�
1 1 3
2 2
= (5�E�5�4� " 5�e�1 - 5�^�5�e�1 )5�Q�5�e�1 + (5�E�5�4� " 5�e�2 - 25�^�5�N� " 5�e�2 - 5�N� 5�e�2 + 5�E�5�5�(5�e�2 - 25�N�)5�e�2
5�8�5�<� 2
0 25�N�
+ 5�@�5�e�2
1 1 1 25�N�
3 4
= 5�E�5�4�5�e�1 - 5�^�5�e�1 )
5�8�5�<� 3 8 0
1 2 1 1 35�N�
3 3 2 3 2 2
+ 5�E�5�4�5�e�2 - 5�^�5�N�5�e�2 + 5�^�5�N�25�e�2 + 5�E�5�5�5�e�2 - 5�E�5�5�5�N�5�e�2 + 5�@�5�e�2 )
3 3 3 2 25�N�
1 1 1 2 1
= " 85�E�5�4�5�N�3 - " 165�^�5�N�4 + " 195�E�5�4�5�N�3 - 5�^�5�N� " 195�N�3 + 5�^�5�N�2 " 55�N�2 + 5�E�5�5� " 195�N�3 - 5�E�5�5� " 5�N�
3 8 3 3 3
1 5�^�5�N�2
" 55�N�2 + " 55�N�2
2 4
4 217
95�E�5�4�5�N�3 + 5�E�5�5� " 5�N�3 - 5�^�5�N�4 = 0
3 24
4 217
95�E�5�4� + 5�E�5�5� - 5�^�5�N� = 0
3 24
Rozwiązujemy układ równań:
4 217
5�E�5�4� = - 5�E�5�5� + 5�^�5�N� = 0
27 216
4 217
- 5�E�5�5� + 5�^�5�N� - 25�^�5�N� + 5�E�5�5� + 5�E�5�6� = 0
27 216
4 217
- 5�E�5�5� + 5�^� 5�N� " 35�N� - 45�^�5�N�2 + 5�@� + 5�E�5�5� " 5�N� = 0
27 216
4 217 5�^�5�N�
- 5�E�5�5� + 5�^�5�N� - 45�^�5�N� + + 5�E�5�5� = 0
9 72 4
5 53
5�E�5�5� = 5�^�5�N�
9 72
53
5�E�5�5� = 5�^�5�N� = 1,3255�^�5�N�
40
4 53 217 97
5�E�5�4� = - " 5�^�5�N� + 5�^�5�N� = 5�^�5�N�
27 40 216 120
4 53 217 53 2
5�E�5�6� = " 5�^�5�N� - 5�^�5�N� + 25�^�5�N� - 5�^�5�N� = - 5�^�5�N�
27 40 216 40 15
T(5�e�1) = 5�E�5�4� - 5�^�5�e�1
97
T(0) = 5�E�5�4� = 5�^�5�N�
120
97 143
T(2a) = 120 5�^�5�N� - 25�^�5�N� = - 5�^�5�N�
120
T(5�e�2) = 5�E�5�4� - 25�^�5�N� + 5�E�5�5�
97 53 2
T(2a) = 120 5�^�5�N� - 25�^�5�N� + 5�^�5�N� = 5�^�5�N�
40 15
2
T(3a) = 15 5�^�5�N�
5�E�5�4� - 5�^�5�e�1 = 0
97
5�e�1 = 5�N�
120
1
2
5�@� 5�e�1 = 5�E�5�4� " 5�e�1 - 5�^�5�e�1
2
5�@� 0 = 0
97 1 23
5�@� 25�N� = " 25�N�2 - 5�^� " 45�N�2 = - 5�^�5�N�2
120 2 60
97 97 1 97 9409
5�@� 5�N� = ( 5�N�)2 - 5�^� " ( 5�N�)2 = H" 0,3265�^�5�N�2
120 120 2 120 28800
5�^�5�N�4
5�@� 5�e�2 = 5�E�5�4� " 5�e�2 - 25�^�5�N� " 5�e�2 - 5�N� + 5�E�5�5� 5�e�2 - 25�N� +
4
97 5�^�5�N�2 2
5�@� 25�N� = " 25�N�2 - 25�^�5�N�2 + = - 5�^�5�N�2
120 4 15
97 53 5�^�5�N�2
5�@� 35�N� = " 35�N�2 - 25�^�5�N� " 25�N� + 5�^�5�N�2 + = 0
120 40 4
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