- 1 -
Wersja 4.7.0.
9.11.2015
Instalka
http://www.fx-calc.de/index_en.html
Uniwersalny kalkulator naukowy
dla Windows
Przekład
Robert Wiśniewski
http://chomikuj.pl/bobwis
FX-Calc jest jednym z najbardziej zaawansowanych kalkulatorów przeznaczonych do definiowania,
wizualizacji i obliczania funkcji naukowych. Pozwala na definiowanie i natychmiastowe obliczanie
funkcji zawierających do 5 zmiennych. Działa również na liczbach zespolonych. Rozwiązuje równania
i analizuje funkcje z graficzną prezentacją wyników w formacie 2D i 3D. Wyznacza ekstrema lokalne,
punkty przegięcia, styczne oraz przeprowadza analizę regresji liniowej i interpolacje. Dokumentacja
(w j, angielskim) znajduje się w pliku PDF. Aplikacja działa w systemie Windows XP.
- 2 -
SPIS TREÅšCI
1. Fx-Calc  Uniwersalny kalkulator naukowy
1.1. Unikalne możliwości
2. Instalacja
3. Podstawowe koncepcje
4. Skrócona tablica składni wprowadzanych obiektów
5. Obliczenia przykładowe
6. Obliczenia z funkcjami i nawiasami
7. Funkcje definiowane przez użytkownika
7.1. Obliczanie przy korzystaniu z pamięci
8. Sumy i iloczyny
9. Inne operacje
9.1. Analiza funkcji
9.2. Obliczanie stycznych
9.3. Wykresy funkcji 2D
9.4. Wykresy funkcji 3D
9.5. Regresja liniowa
10. Baza danych wartości stałych
10.1. Obliczanie pierwiastków
10.2. Pierwiastki dla argumentów innych niż 0
10.3. Wartości ekstremalne
10.4. Całki oznaczone
10.5. Punkty nieokreślone
10.6. Punkty brakujÄ…ce, pierwiastki i ekstrema
11. Od Autora.
- 3 -
1. Fx-Calc  Uniwersalny kalkulator naukowy
Program fx-Calc jest aktualnie jednym z z najbardziej zaawansowanych kalkulatorów pulpitowych dla
obliczeń naukowych w środowisku Windows. Począwszy od prostego okna obliczeń, pozwala na
korzystanie z wbudowanych funkcji, sum i iloczynów.
Przykładowo, kilka kliknięć myszką uruchamia iterację Leibnitza do obliczania wartości liczby Ą.
Ä„
Ä„
Ä„
Program fx-Calc pozwala na definiowanie, analizowanie i obliczanie funkcji naukowych i jest
doskonałym zamiennikiem starego kalkulatora Windows.
Niezależnie od obliczeń i wizualizacji, można analizować i rozwiązywać funkcje naukowe oraz
przeprowadzać analizę regresji liniowej.
Chociaż koncepcja Windows nie pozwala na zaawansowany wygląd interfejsu, dużą zaletą programu
jest możliwość wielokrotnego otwierania okien i porównywania wyników w razie potrzeby.
Aplikacja ta wymaga mniej niż 750 kB pamięci i jest mniejsza od programu calc.exe wbudowanego
w Windows.
Aby skorzystać z interpretera DLL we własnych projektach, można uzyskać jego kopię oraz
dokumentację bezpośrednio od autora programu.
1.1. Unikalne możliwości
" Definiowanie i pośrednie obliczanie funkcji mających do 5 zmiennych
" Rozwiązywanie równań
" Analiza funkcji w połączeniu z graficzna prezentacją wyników
" Obliczanie parametrycznych sum i iloczynów
" Wbudowana biblioteka funkcji
" Wbudowana biblioteka stałych naukowych
" Wykresy 2D zawierające złożone grafiki
" Mechanizm Open GL przyśpieszający tworzenie wykresów 3D
" Wielokrotne okna wykresów i analiz w celu porównywania różnych charakterystyk funkcji
" Interaktywny moduł analizy regresji liniowej
" Zautomatyzowana historia poleceń
" Wyświetlanie aktualnej wartości pamięci w osobnym polu
" Wbudowane przykłady
" Obsługa liczb zespolonych
" Obliczanie punktów nieokreślonych
- 4 -
2. Instalacja
Wymagania systemowe:
Procesor CPU X86 Dual Core poczwszy od 1,6 GHz
Pamięć RAM 5123 MB
Dysk twardy HDD 3 MB
Karta grafkii Wymagana Open GL 2,0
Systemy operacyjne Windows Vista, Windows 7, Windows 8 (32 i 64 bit),
Windows XP (w ograniczeniu, ale działa)
Fx-Calc wymaga Microsoft dotNET v. 4.0 lub wyższej.
Instalacja jest bardzo prosta i przeprowadzana w sposób standardowy.
Wymagane jest tylko jedno ustawienie: Lokalizacja.
- 5 -
Instalator tworzy odpowiedni wpis w menu Start i oferuje opcjonalne utworzenie ikony programu na
pulpicie. Istniejące dane z wcześniejszej wersji są automatycznie przenoszone do nowej wersji.
Niezależnie od ikony programu, można utworzyć skrót do pliku dokumentacji w formacie PDF.
Fx-Calc zawiera funkcję automatycznego sprawdzania aktualizacji. Gdy dostępna jest nowa wersja,
wówczas program oferuje skrót do ściągania nowej wersji po zamknięciu aplikacji. Taki rodzaj
komunikacji internetowej jest tylko do czytania, tzn. Fx-Calc nie wysyła żadnych danych z komputera
do Internetu.
3. Podstawowe koncepcje
Każde obliczenie wymaga wprowadzenia danych w polu edycji. Fx-Calc oblicza natychmiast wyniki
podczas wpisywania. Format wyrażeń matematycznych jest podobny do BASIC, a wbudowana
klawiatura ułatwia wprowadzane funkcji. W razie popełnienia pomyłki w wyrażeniu matematycznym,
program wyświetli odpowiedni komunikat o błędzie. Zniknie on automatyczne po wprowadzeniu
korekty.
Interpreter rozróżnia duże i małe litery ! Korzystając z klawiatury można wstawiać poprawne nazwy
funkcji w polu edycji.
WAŻNE
Fx-Calc korzysta z normalnej logiki obliczeń naukowych o nazwie DAL (Direct Algebraic Logic).
Tak więc mnożenie * oraz dzielenie / jest wykonywane przed dodawaniem + i odejmowaniem -, np:
4 + 5 * 3 = 19, a nie 27
Z tego powodu wyrażenia matematyczne obliczane są krok po kroku w zależności od hierarchii
operatorów.
- 6 -
4. Skrócona tablica składni wprowadzanych obiektów
Poniższa tablica zawiera przegląd składni wprowadzanych obiektów:
Temat Podtemat Przykłady Komentarze
Liczby Liczby 1; 2,579; 3,14256; Jako separator dziesiętny można stosować
proste 0,0015 przecinek lub kropkÄ™
Format 4e-4; 6.623e-23 Litera e poprzedza wykładnik potęgi
naukowy o podstawie 10
Liczby 1+1i; 0-4i; 6e-12+i8e3; Liczby zespolone w wyrażeniu muszą zawsze
zespolone (12-i3e-5) zawierać oba elementy: rzeczywisty i urojony.
Gdy część urojona jest zerwa, wpisujemy 0
+ 5+3.14; 546+3+6 Każdy operator * lub / wykonywany jest wcześniej
- 5-3.14; 546-3-6 Każdy operator * lub / wykonywany jest wcześniej
* 5*3.14; 546*3*6 Operator ten ma pierwszeństwo przed + lub -
W poniższych przypadkach operator mnożenia
nie jest wymagany:
" Mnożenie dwóch zmiennych x*y jest takie
samo jak xy
" Liczba i otwarty nawias 2,5*( ... jest takie
samo jak 2,5 (...
" Funkcja 2,5*sin(30) jest taka sama jak
2,5sin(30)
" Zmienna 2,5*x jest taka sama jak 2,5x
" Nawias zamknięty i otwarty ...)*(... jest taki
sam jak ...)(...
Operatory
/ 5/3.14; 546/3*6 Operator ten ma pierwszeństwo przed + lub -
Przykłady 4+3*6 = 40 Najpierw obliczane jest 3*6 przed dodaniem 4
pierwszeństwa 7+1/2 = 7,5 Dzielenie jest wykonywane przed dodaniem 7
^ x^n; 4^3 = 64 W celu podniesienia liczby x do potęgi n, liczby te
5,23^2,77 = 97,77 mogą być całkowite, ułamkowe
a nawet zespolone
Korzystanie sin(30); f(x)=sin(x) Ona te przykłady pokazują jak korzysta się
z funkcji 3^(1.2); 4^2 z funkcji. Zwykle zaczynamy od identyfikatora
funkcji. po czym następuje argument funkcji
w nawiasach Jest to bardzo podobne do składni
języka BASIC. Wyjątkiem od tej zasady jest
funkcja potęgowa z której można korzystać za
pomocÄ… operatora ^
Funkcje Wszystkie wbudowane ln(x), exp(x), log(x), x^y, sqrt(x), abs(x), fac(x)
wbudowane funkcje (facult), sin(x), cos(x), tan(x), cotan(x), pi,
arcsin(x), arccos(x), arctan(x), sinh(x), cosh(x),
tanh(x), Con(i); Rec(i);
Funkcje
Stopnie Funkcje Dla funkcji trygonometrycznych można wybrać
i radiany trygonometryczne argumenty w stopniach lub w radianach przy
korzystaniu z przycisków radiowych w górnym
prawym rogu kalkulatora
Funkcje Wszystkie funkcje definiowane zaczynajÄ… siÄ™ od f(,
definiowane po czym następuje do 5 parametrów, przy czym
f(x)=sin(x); ich separatorem jest przecinek, a na końcu
f(hight)=sqrt(hight*9,91 znajduje się nawias zamykający i znak równości
oraz wyrażenie z tymi parametrami:
f(argument 1, argument 2,...) = Wyrażenie
Program fx-Calc rozpoznaje te argumenty oraz
uaktywnia automatycznie odpowiednie pola.
- 7 -
O czym należy pamiętać:
" Ogólna zasada jest taka, że gdy mamy wątpliwości co do operatorów lub nawiasów, lepiej
skorzystać z nawiasów aby wyrażenie było bardziej zrozumiałe
" Obowiązuje hierarchia operatorów
" Wejścia rozróżniają wielkości liter
" Liczby zespolone muszą zawsze zawierać część rzeczywistą i urojoną  nawiasy mogą
pomóc przy ich wpisywaniu, ale nie są konieczne
" Kalkulator ten jest bardzo tolerancyjny na brak operatorów mnożenia, ale korzystanie z nich
zmniejsza możliwość popełnienia błędu,
5. Obliczenia przykładowe
W celu wykonywania prostych obliczeń, wprowadzać wymagane zadania w polu tekstowym  wyniki
obliczeń będą pojawiały się w miarę wpisywania danych. Program fx-Calc przetwarza wyrażenia
korzystając z hierarchii operatorów, np.:
lub:
Można korzystać z naukowego formatu liczb, np. 5e-5, co jest równe 0,00005. Ponadto, fx-Calc
obsługuje liczby zespolone korzystając z poniższego formatu:
r +/- i z
gdzie r jest częścią rzeczywistą, z jest częścią urojoną, znak plus lub minus przed literą i definiuje
znak składowej z., np.:
4-ie-3 lub 0+2i
- 8 -
Poniżej podano przykład takich obliczeń na liczbach zespolonych:
W celu wykonania złożonych obliczeń na liczbach zespolonych, fx-Calc oferuje funkcje sprzężenia
liczb zespolonych i obliczania odwrotności liczb zespolonych. Typowym przykładem jest obliczanie
pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej:
6. Obliczenia z funkcjami i nawiasami
Podstawą jest również porównywanie prostych operacji arytmetycznych bez zbytniej komplikacji.
Takie funkcje wymagające korzystania z nawiasów można wstawiać w polu tekstowym pry korzystaniu
z odpowiednich przycisków. Pamięć dynamiczna pozwala przynajmniej teoretycznie na stosowanie
nieograniczonych poziomów nawiasów w wyrażeniach matematycznych. Przy dzisiejszych rozmiarach
pamięci, nie ma żadnych ograniczeń w tym zakresie, np.:
lub przy korzystaniu z funkcji sinus:
- 9 -
Wszystkie zaimplementowane funkcje występujące w większości kalkulatorów naukowych można
znalez
ć wskazując kursorem przycisk funkcyjny. Szczególnym przypadkiem jest obliczanie
pierwiastków innych niż kwadratowe. Poniższe dwa przykłady pokazują jak to można w prosty sposób
wykonać korzystając z funkcji potęgowej y^x (np. do obliczenia pierwiastka 3-go i 4-go stopnia):
7. Funkcje definiowane przez użytkownika
Krotko mówiąc, funkcje te definiują jak można obliczyć określony wynik na podstawie pewnych
parametrów lub zmiennych. Takie zmienne mogą mieć własne nazwy, a fx-Calc może zarządzać
funkcjami definiowanymi korz6stająć z własnej, malej bazy danych. Program pozwala na korzystanie
do 5 zmiennych w tych funkcjach.
Każda nazwa zmiennej musi zaczynać się literą i musi być inna od nazwy wbudowanej funkcji, np.
takiej jak sin lub ln. Zmienne sÄ… automatycznie wykrywane podczas ich wpisywania w polu tekstowym
przy czym jednocześnie aktywowane są odpowiednie pola (pod polem tekstowym) zgodne z nazwami
zmiennych.
Należy pamiętać, że wszystkie funkcje definiowane zaczynają się od f(, po czym następuje do
5 parametrów, przy czym ich separatorem jest przecinek, np w postaci f(a1,b2,c3,.... Na końcu
znajduje się nawias zamykający oraz znak równości i wyrażenie z tymi parametrami, npi:
f(a1, b2, c3) = a1*b2*c3
Najłatwiej to zapamiętać na podstawie przykładów:
Wszystkie wartości zmiennych (w naszym przykładzie x1 i x2) można zmieniać w celu obliczania
nowego wyniku funkcji.
- 10 -
Każda funkcja definiowana jest przechowywana bazie danych funkcji Function Database (otwieranej
po kliknięciu przycisku ), co pozwala na ich wywoływanie przez podwójne kliknięcie wymaganej
funkcji
Inną możliwością jest wywołanie historii poleceń, po kliknięciu przycisku Calculation History
WAŻNE :
Po podwójnym kliknięciu zaznaczonej pozycji, zostanie ona natychmiast wstawiona do kalkulatora.
Odnosi siÄ™ to do wszystkich okienek baz danych.
7.1. Obliczanie przy korzystaniu z pamięci
Program fx-Calc obsługuje rozszerzoną manipulację aktualnej wartości w pamięci za pomocą
czterech podstawowych operacji. Aktualna zawartość pamięci jest wyświetlana w dolnym prawym
rogu głównego okna Value in Memory.
Wartość początkowa wynosi 0 i można ją przede wszystkim zmieniać przyciskami oraz .
- 11 -
Przycisk wywołuje zawartość pamięci wstawia ją w polu edycji, a przycisk oczyszcza
zawartość pamięci nadając jej wartość 0.
Program fx-Calc wykonuje poniższe obliczenia na pamięci:
Dodaje wynik do pamięci
Odejmuje wynik z pamięci
Mnoży wynik w pamięci
Dzieli wynik w pamięci
8. Sumy i iloczyny
Sumy i iloczyny są nieco bardziej złożone niż definiowane funkcje. W odróżnieniu od wyrażenia
funkcji, sumy i iloczyny wymagają punktu startowego oraz liczy iteracji. Chociaż samo sumowanie jest
proste, to punkt startowy = 0 nie zawsze jest poprawny dla iloczynu
nnym ważnym aspektem jest obserwowanie jak zachowuje się określone wyrażenie i program musi
mieć znalez
ć koniec iteracji podany przez użytkownika. Można to sprawdzić ustawiając liczbę iteracji
na 0 lub wciskając przycisk gdy chcemy zatrzymać proces obliczeń. Najlepiej to ilustrują
poniższe przykłady.
Aby zsumować wszystkie liczby od 0 do 100, wystarczy wprowadzić poniższe wyrażenie:
Poniższy przykład ilustruje korzystanie z wyrażenia funkcyjnego:
- 12 -
Wartość można ustawić w odpowiednim polu zmiennej jeśli nie jest aktywowane automatycznie Nawet
jeśli n jest rozpoznawane i prezentowane w polu zmiennej, wszelkie wartości tego pola będą
ignorowane i nadpisywane przez wartości z wyrażenia.
Wyrażenie S(0;100;f(n,x)=n/(x+n)) zawiera poniższe elementy:
" S = suma (P = iloczyn)
" Licznik n od 0
" Licznik n do 100
" Wyrażenie to korzysta z funkcji f(n,x)=n/(x+n))
Jak wspomniano wcześniej, obowiązuje to również dla iloczynu za wyjątkiem zmiany litery S na P.
Drugi parametr naszego przykładu jest ustawiony na 0, a program oblicza sumę lub iloczyn do chwili
kliknięcia przycisku przez użytkownika (oczywiście, zatrzymanie następuje automatycznie po
zakończeniu obliczeń).
Wszystkie cztery przyciski sumy i iloczynu znajdują się w lewym górnym rogu klawiatury kalkulatora.
Chociaż ten kalkulator wykonuje wszystkie obliczenia w trakcie wprowadzania danych, to jednak nie
ma to miejsca w przypadku sum i iloczynów. Powód jest oczywisty. Obliczenia wymagają iteracji.
Dlatego trzeba kliknąć zielony przycisk w celu uruchomienia obliczeń..
Poniżej przytoczono przykład stosowania sumy do obliczania liczby Ą :
S(0;1000;f(n)=((-1)^n/4^n)(2/(4n+1)+2/(4n+2)+1/(4n+3)))
9. Inne operacje
Program fx-Calc pozwala na:
" Wykreślanie funkcji w 2D i 3D`
" RozwiÄ…zywanie i analizowanie funkcji
" Przeprowadzanie analizy regresji liniowej.
Każdy z tych modułów zaczyna się wbudowanym przykładem, który ilustruje stosowane parametry
oraz składnię modułu.
Wszystkie przykłady można łatwo zmieniać i stosować wg uznania.
- 13 -
Ważne wskazówki:
Wszystkie moduły zawierają metody sprawdzania wprowadzanych danych. Gdy wpis zawiera
niepoprawne dane, wowczas obliczenia zostaną przerwane i zasygnalizowany jest błąd, który należy
skorygować.
Błędy sygnalizowane są przez:
" Czerwony kolor tekstu w polach edycji`
" Tekst informujÄ…cy w osobnym polu pod polem edycji.
9.1. Analiza funkcji
Analiza funkcji może być czasochłonna, zwłaszcza przy bardziej złożonych wyrażeniach.
Program oferuje możliwość oglądania wielu pierwiastków i ekstremów lokalnych w ściśle
zdefiniowanym przedziale. Obliczenia oparte są na algorytmach numerycznych co ułatwia skanowanie
przedziałów i zmiany ich znaków lub pochodnych funkcji. Jest bardzo elastyczne i stabilne, ale ma
pewne ograniczenia. W szczególności należy korzystać z odpowiednich przedziałów i parametrów.
Ponadto można korzystać z wykresów funkcji w celu weryfikacji rozwiązań.
Moduł analizy oblicza:
" Pierwiastki funkcji
" Ekstrema lokalne
" Punkty przegięcia
" InteraktywnÄ… iteracjÄ™ Newtona
" Całki oznaczone
Ważne: Zakładka definicji funkcji Function może być stosowana również dla innych zakładek.
Tak więc gdy chcemy zmienić funkcję lub jej przedział, można korzystać z tej pierwszej zakładki.
Rozwiązywanie równań jest bardzo proste. Wystarczy wybrać zakładkę Solution, zmienić wartość
docelową i kliknąć przycisk :
- 14 -
Korzystając z zakładki Function Plot, można łatwo zweryfikować wszystkie wyniki na wykresie:
Na koniec, moduł ten pozwala w zakładce Integration na obliczanie całki oznaczonej funkcji.
Program umożliwia jednoczesne otwieranie wielu instancji tego okna w celu porównywania różnych
scenariuszy
- 15 -
9.2. Obliczanie stycznych
Obliczanie stycznych do równań w zakładce Tangent jest oparte na obliczeniach numerycznych
pierwszej pochodnej danej funkcji w określonym punkcie x danych. Punkt startowy x jest zwykle
średnią z przedziału analizowanej funkcji i może być łatwo zmieniony przez ustawienie jego wartości
w pierwszym polu tekstowym. Uzyskanie poprawnych wyników wymaga aby dana funkcja była
różniczkowalna w wybranym przedziale.
Program fx-Calc oblicza styczną do równania za pomocą przycisku oferuje możliwość transferu
uzyskanego równania bezpośrednio do okna kalkulatora. Na dole tego okna znajduje się przycisk
pozwalający na wykonanie następnej iteracji Newtona. Podczas tej operacji można
obserwować jak styczna zbliża się do następnego rozwiązania danej funkcji. Zwykle proces tej jest
szybko zbieżny i najczęściej wystarczy 5 kroków aby uzyskać wynik końcowy.
9.3. Wykresy funkcji 2D
Przycisk w prawym górnym rogu kalkulatora otwiera okno wykresów dwuwymiarowych
2D Graphics z aktywną zakładką Ordinary Function pozwalające na wykreślanie jednej lub kilka
zwykłych funkcji. Program może wyświetlać tabelę zawartości i pole zawartości edytora.
- 16 -
Korzystając z pól zaznaczania na dole tego okna, można wybierać poniższe opcje:
" Wykres funkcji zawarty w polu edycji Plot function in editor field (opcja domyślna)
" Wykresy funkcji zawartych w tabeli Plot functions in table
" Wykresy z edytora i z tabeli funkcji
Korzystając z dolnych i górnych granic funkcji, można wizualizować funkcje i istotnych różnicach. Inną
możliwością jest wykreślanie funkcji parametrycznych, co pozwala na wizualizację określonych
właściwości funkcji w zależności od wybranych parametrów. W celu zmiany funkcji lub jej opcji, kliknąć
funkcję w dolnej tabeli. Zawartość górnego pola edycji automatycznie zmieni się wyświetlając klikniętą
funkcję. Każda zmiana opcji, zmieni natychmiast odpowiedni pola tabeli. Tryb ten jest wskazywany
przez zmianę koloru tła i nagłówka pola edytora.
W celu opuszczenie tego trybu, wystarczy kliknąć w pustym miejscu tabeli.
Inną nową opcją jest wykreślanie funkcji przy korzystaniu z liczb zespolonych. W tym przypadku
program wykreśla dwa wykresy funkcji: jeden dla składowej rzeczywistej a drugi dla składowej
urojonej. Ponadto, można wzbogacać wykresy dodając do nich wykresy pochodnych. Tak więc
obydwie linie można wizualizować na jednym diagramie:
" Kilka funkcji (pole edytora i tabela)
" Każda z nich może mieć poniższe opcje:
Pochodna funkcji
Rozszerzenie zespolone (część urojona)
Drugi wynik pierwiastka kwadratowego
Stopnie lub radiany dla funkcji trygonometrycznych
" W razie potrzeby, można zmniejszyć zdefiniowane granice.
Przyciski radiowe na dole tego okna pozwalają na prezentację wykresów w postaci linii, punktów lub
wypełnień kolorami.
Przycisk wykreśla odpowieni wykres:
- 17 -
W celu wizualizacji funkcji parametrycznej, druga zakładka Parametric Function otwiera okienko
dialogowe pozwalające na definiowanie poniższych wielkości:
" Liczby wyświetlanych funkcji
" Wartości początkowej każdego parametru
" Wartości końcowej każdego parametru
" Kolorów
" Przedziału
" Wartości granicznych
Po kliknięciu przycisku uzyskujemy poniższy diagram:
- 18 -
Na diagramie funkcji parametrycznej, program pozwala na wstawienie do 40 kroków parametrów na
jednym wykresie. Kursor graficzny umożliwia oglądanie współrzędnych określonych punktów. Program
fx-Calc pozwala na otwieranie wielu instancji wykresów parametrycznych w tym oknie w celu
porównywania różnych scenariuszy.
9.4. Wykresy funkcji 3D
Kliknięcie przycisku w prawym górnym rogu kalkulatora otwiera okno 3D Function Plot
pozwalające na tworzenie wykresów powierzchni trójwymiarowych Z = f(x,y). Sterownik Open GL
pozwala na manipulację wykresów w czasie rzeczywistym przy korzystaniu z przyspieszanego
sprzętowo interfejsu graficznego komputera.
Program fx-Calc oferuje dwie metody definiowania obiektów 3D:
" Definiowanie obiektów w postaci funkcji Z = f(x,y)
" Definiowanie x, y, z jako wektorów za pomocą współrzędnych biegunowych r oraz phi (Ć).
Nie działa to w komputerach bez zainstalowanego sterownika Open GL.
- 19 -
Podobnie do wykresów 2D,m wykresy 3D oferują możliwość ustawiania granic wartości Z Kliknięcie
zakładki OpenGL 3D pozwala na uzyskanie poniższego wykresu funkcyjnego.
W oknie tym można:
" Obracać ręcznie wykres 3D myszką przy wciśniętym jej lewym klawiszu
" Wyświetlać siatkę zamiast powierzchni gładkiej
" Przybliżać (powiększać) i oddalać (pomniejszać)
" Uruchamiać automatyczne obracanie
W przypadku modelu biegunowego (zakładka 3D vector) otwiera się poniższe okno: deklarowania
ustawień:
Natomiast kliknięcie zakładki OpenGL 3D wyświetla odpowiadający wykres wektorowy:
- 20 -
Program fx-Calc pozwala na otwieranie wielu instancji wykresów w tym oknie w celu porównywania
różnych scenariuszy.
9.5. Regresja liniowa
W statystyce, prosta regresja liniowa jest estymacją metodą najmniejszych kwadratów modelu regresji
liniowej o jednej zmiennej objaśniającej. Inaczej mówiąc, prosta regresja liniowa dopasowuje linię
prostą do zestawu punktów w taki sposób, aby suma kwadratów reszt modelu (tzn. pionowych
odległości między punktami zestawu danych a dopasowaną linią) była możliwie jak najmniejsza.
Po kliknięciu przycisku w prawym górnym rogu kalkulatora, otwiera się okno analizy regresji
Regression zawierające dwie pary wartości danych x i y. Program oblicza funkcję liniową oraz tworzy
odpowiedni wykres.
Korzystając z przycisku można kopiować uzyskany wykres do schowka, a klikając przycisk
można wkleić aktualną funkcję wynikową do pola edycji kalkulatora w celu jej
wykorzystania w dalszych obliczeniach.
Program fx-Calc pozwala na otwieranie wielu instancji wykresów w tym oknie w celu porównywania
różnych scenariuszy.
- 21 -
10. Baza danych wartości stałych
Kliknięcie przycisku z lewej strony klawiatury kalkulatora otwiera okno Scentific Constants
zawierające małą bazę stałych naukowych. Podwójne kliknięcie dowolnej stałej kopiuje ją do pola
edycji kalkulatora i okno bazy danych zostaje zamknięte.
W celu skopiowania stałej do kalkulatora można również kliknąć przycisk .
Obliczenia i metody numeryczne
W celu wykonywania obliczeń, program fx-Calc musi interpretować wszystkie wejścia. Realizuje się to
za pomocą specjalnie ładowanego programu, który przekształca wejścia na szybszy kod wykonawczy.
Kod ten jest następnie wykorzystywany w obliczeniach i w indywidualnych iteracjach.
Program fx-Calc korzysta tylko z metod numerycznych do rozwiązywania równań, całek oznaczonych
oraz do wyznaczania wartości ekstremalnych. Metody te są dobrze znane i dostosowane specjalnie
dla fx-Calc. Zarówno interpreter jak i metody obliczeniowe są składnikami tego programu.
Metody numeryczne
Do obliczania pierwiastków, rozwiązań, całek oznaczonych i ekstremów, istnieją na ogół dwa sposoby.
Pierwszy z nich analizuje wyrażenie matematyczne (symboliczne), rozwiązuje je oblicza. Tworzy to
najbardziej dokładne wyniki i zawiera reguły stosowane do wszystkich funkcji. Wadą tej metody jest
rosnąca złożoność przy zagnieżdżaniu funkcji i w wyrażeniach trudniejszych do analizy. Dotyczy to
zwłaszcza całek oznaczonych, ale pierwiastki równań są obliczane szybko. Program fx-Calc korzysta
najczęściej z tej metody do rozwiązywania większości zadań. W pozostałych przypadkach program
korzysta z metod numerycznych. Jednak i te metody majÄ… swoje zalety i wady.
Te ostatnie są niżej wymienione:
" Konieczność zdefiniowania analizowanego przedziału (nic poza nim nie będzie wynikiem)
" Określona niedokładność (kryterium przerwania obliczeń w przypadku iteracji)
" Pierwiastki wyższych rzędów nie są definiowane jako takie.
Zaletą metod numerycznych jest ich uniwersalność. Tak więc są one bardzo przydatne do
weryfikowania wyników na podstawie wykresów, które pozwalają natychmiast na porównywanie
wszystkich wyników.
- 22 -
Przykładowo, kliknięcie przycisku w prawym górnym rogu głównego okna kalkulatora
otwiera okno analizy funkcji f(x) Analyse (patrz rozdział 9.1).
Kliknięcie w nim zakładki Function Plot otwiera okno aktualnego wykresu z wynikami analizy funkcji.
W odróżnieniu od weryfikacji wyników, wykres ten ilustruje zachowanie się funkcji.
10.1. Obliczanie pierwiastków
Obliczanie pierwiastków równań (w postaci f(x) = 0) jest bardziej złożone niż można sądzić na
pierwszy rzut oka. Niezależnie od zmiany znaku, istnieją tutaj specjalne sytuacje:
" Wierzchołki funkcji, które nie wykazują zmiany znaku
" Funkcje o małym zakresie analizowanego przedziału
Przy poszukiwania pierwiastków, funkcja jest analizowana w celu wyznaczenia zakresu wartości oraz
opcjonalnie jest odpowiednio przekształcana. Program korzysta przy tym z metody zagnieżdżania
przedziałów (metoda bisekcji), która sprawdza zmiany znak funkcji w przedziale.
- 23 -
Następnie wyznaczane są wierzchołki funkcji  również numerycznie. Jest to numeryczne szukanie
różnic. Odnajdywane są przy tym pierwiastki. Metoda Newtona jest tutaj nieprzydatna, ponieważ nie
zawsze uzyskuje się zbieżność jeśli funkcje nie są ciągle różniczkowalne.
10.2. Pierwiastki dla argumentów innych niż 0
Obliczanie pierwiastków ma również miejsce przy szukaniu rozwiązań równania fx(x), nawet jeśli
funkcja jest zdefiniowana jako:
0 = f(x) - stała
Jest ona analizowana pry korzystaniu z tej samej metody jak przy poszukiwaniu pierwiiastków
10.3. Wartości ekstremalne
Obliczanie ekstremów pozwala na szybkie sprawdzenie rozmieszczenia pierwiastków oraz na
stosowanie transformacji. Jednak tworzenie drugiej pochodnej różnic może być niestabilne i dlatego
pomija się je przy obliczaniu pików drugiej pochodnej. To również tłumaczy dlaczego fx-Calc nie
oblicza punktów pośrednich. W każdym przypadku zmiana znaku pierwszej pochodnej odpowiada
realnym ekstremom.
10.4. Całki oznaczone
Całki oznaczone są częściej przedmiotem metod numerycznych niż wartości pierwiastków oraz
ekstremów, chociaż rzadko występują w analizie funkcji f(x). W tym konkretnym przypadku, fx-Calc
korzysta z metody trapezów, która dzieli badany obszar na 1000 podprzedziałów z dużą precyzją.
Przed każdym obliczaniem całki, fx-Calc analizuje funkcję wyznaczając jej pierwiastki oraz ekstrema.
Program korzysta z tych wyników do definiowania cząstkowych zakresów całkowania w celu
uzyskania możliwie jak największej dokładności.
10.5. Punkty nieokreślone
W celu obliczania nieokreśloności funkcji gdy mianownik funkcji ułamkowej staje się zerem, program
Å‚amie funkcjÄ™ w mianowniku i w odpowiednich punktach. W takich przypadkach sÄ… to punkty
nieokreślone.
Istnieją pewne ograniczenia dokładności przy obliczaniu tych punktów.
Program fx-Calc rozwiązuje ten problem numerycznie gdy wartość bezwzględna mianownika jest
mniejsza od 1e-5. Inny przypadek nieokreśloności ma miejsce przy trygonometrycznej funkcji tangens.
Program fx-Calc wyznacza ten punkt dla argumentu równego Ą/2.
Ä„
Ä„
Ä„
- 24 -
10.6. Punkty brakujÄ…ce, pierwiastki i ekstrema
Wszystkie wcześniej opisane metody były testowane i dopasowane do największej przydatności.
Tym niemniej mogą wystąpić pewne braki oczekiwanych wyników i dlatego warto je porównywać oraz
sprawdzać korzystając z wykresów. Wyświetlają one wyniki uzyskiwane metodami numerycznymi dla
najlepiej ustawionych parametrów.
" Pierwszym sposobem jest zwiększenie liczby podprzedziałów i wykonanie dokładnego
skanowania funkcji
" Możliwości te obejmują:
Ustawienie pełnego przedziału funkcji
Zmiana dokładności parametrów.
Oczywiście, kombinacja wszystkich możliwości zwiększa szanse powodzenia zgodnie z wybraną
precyzją. Dokładność odchyleń mniejsza od 1e-15 jest praktycznie bezużyteczna nawet dla danych
podwójnej dokładności.
Krytyczne przypadki są funkcjami o bardzo małych lub bardzo dużych zakresach:
" |F(x)| < 1e-50
" |F(x)| < 1e+100
Program optymalizuje te przypadki przez odpowiednią transformację wartości funkcji Jednak nie
zawsze jest to skuteczne. Dokładne sprawdzanie wykresów pozwala na wykrywanie niezgodności.
11. Od Autora
Przede wszystkim pochodzę z Niemiec i mam nadzieję, że mój przekład jest wystarczający. Jeśli nie,
proszÄ™ o kontakt ze mnÄ….
Program fx-Calc może być bardzo silnym narzędziem w większym stopniu do badania funkcji niż do
algebry. Większość obliczeń statystycznych i algebraicznych jest zwykle częścią typowych arkuszy
kalkulacyjnych, np. takich jak Excel lub Open Office i dlatego nie implementowano szerzej tych
zagadnień.
Moim drugim celem było utworzenie aplikacji możliwie jak najłatwiejszej w stosowaniu. Mam nadzieję,
że zostało to osiągnięte.
Bardzo proszę o nadsyłanie swoich uwag i propozycji, zwłaszcza w zakresie poprawy tej aplikacji
Życzę powodzenia przy korzystaniu z fx-Calc,
Hans Jörg ;-)
Author: Hans Jörg Schmidt, Fasanenweg 10, 99869 Drei Gleichen, Germany Google+
E-mail: [e-mail]