Sprawdzian z TMM – zadania przykładowe y
r
Wyniki obliczeń należy wpisać do tabelki z dokładnością do trzech cyfr po przecinku.
1
2
ω1
1. Na rysunku przedstawiono schemat kinematyczny mechanizmu w położeniu jakie przyjął w chwili, 0
b
gdy prędkość członu 2 względem 1 wynosiła r& . Policzyć prędkość kątową członu 1 w rozpatrywanej 3
chwili.
x
b
0
Dane: a = 2 (m), b = 1 (m), r = 3 (m),
r& = 1 (m/s).
a
y
2.
Na rysunku przedstawiono schemat kinematyczny mechanizmu.
2
Współrzędna ϕ odmierza kąt obrotu członu 1 względem podstawy, a współrzędna s przesunięcie członu 2
s
1
względem 3. Obliczyć współrzędną s w chwili, gdy ϕ = 1.2 (rad).
Dane: a = 2 (m), b = 1 (m), c = 5 (m).
3
0
ϕ
a
2
x
3. Dany jest układ równań: (
x
y
Φ x, y)
+ −1
0
≡
=
0
.
3
c
x − 2 y − 4
0
Układ rozwiązywano metodą Newtona–Raphsona, przyjmując przybliżenie startowe x 0 = 2 oraz y 0 = 1.
Należy obliczyć wartość x 1, uzyskaną po pierwszym kroku iteracji.
Imię i nazwisko
ω1 (rad/s)
s (m)
x 1 (–)
Marek Wojtyra
–0.667 2.935 1.500
Wprowadzamy lokalne, związane z członami, układy odniesienia w sposób pokazany na rysunku b).
y
0
r
y 0
y 0
1
π1
π2
r
2
ω1
0
b
b
d
3
π
x
3
c
0
x 0
x 0
0
a
a)
b)
c)
Łańcuch kinematyczny opisujemy za pomocą wieloboku wektorowego, pokazanego na rysunku c).
Wektory b, c i d są stałe w odpowiednich układach odniesienia, zmienny w czasie jest jedynie wektor r:
0
r − a
a
r
(0)
b
=
,
(0)
c
=
,
(3)
d =
,
)
1
(
r =
.
(1)
b
0
b
0
Pisząc równanie wieloboku wektorowego pamiętamy, aby wszystkie wektory dodawać w tym samym, globalnym układzie odniesienia. Przeliczając wektor z lokalnego do globalnego układu odniesienia korzystamy z
odpowiedniej macierzy kosinusów kierunkowych. Otrzymujemy następujące równanie wieloboku wektorowego:
b(0) + R r( )1 − R d(3) − c(0) = 0 .
(2)
1
3
Ze sposobu wprowadzenia lokalnych układów odniesienia wynika, że w rozpatrywanej chwili kąty opisujące obroty członów względem podstawy mechanizmu są zerowe (należy jednak pamiętać, że są to wielkości zmienne w czasie):
cosϕ
− sinϕ 1 0
ϕ = ,
0
1
1
R =
=
= I , ϕ = ,
0
R = I .
(3)
1
1
sinϕ cos
ϕ 0 1 2×2
3
3
2×2
1
1
Różniczkując równanie wieloboku wektorowego, pamiętamy, że jedynie macierze kosinusów kierunkowych i wektor r zależą od czasu, otrzymujemy zatem: ΩR r( )1ϕ& + R r( )1
& − ΩR d(3)ϕ& = 0 .
(4)
1
1
1
3
3
To samo równanie można zapisać inaczej, grupując nieznane prędkości ϕ& i ϕ& po lewej stronie, a znaną 1
3
prędkość r& po prawej:
[
&
ϕ
( )
1
(3)
ΩR r
− ΩR d
= −R r
& .
(5)
1
3
] 1
( )
1
1
&
ϕ3
Jak wiadomo, macierz Ω ma następującą postać:
0 −1
Ω =
.
(6)
1
0
Podstawiając (1), (3) i (6) do (5), otrzymujemy:
0
b &
ϕ
r&
1
−
=
.
(7)
r − a &ϕ3 0
Pozostaje tylko podstawienie danych liczbowych i rozwiązanie układu równań liniowych (np. metodą wyznaczników):
0
1 ϕ&1 −
1
− 2
=
,
ω = ϕ& =
≈ − 667
.
0
(rad/s)
.
(8)
3 − 2 ϕ&
1
1
3
3
0
Warto zauważyć, że przystępując do rozwiązywania zadania, lokalne układy odniesienia można związać z członami na wiele różnych sposobów. Schemat postępowania nie ulegnie zmianie, mogą się jednak zmienić szczegóły obliczeń. Dla rozwiania wątpliwości, wprowadźmy lokalne układy odniesienia nieco inaczej i przepiszmy wzory w odpowiednio zmienionej formie.
y 0 π1
π2
π3
ϕ3
x 0
d)
Dla lokalnych układów odniesienia wprowadzonych tak, jak na rysunku d) zmianie ulegają tylko wzory (1) i (3), pozostałe równania pozostają natomiast bez zmian:
0
r − a
d
r
(0)
b
=
,
(0)
c
=
,
2
2
d = a + b ,
(3)
d
=
,
)
1
(
r =
.
(1a)
b
0
0
0
ϕ
−
ϕ a d − b d
ϕ = ,
0
R = I , ϕ =
b a
R = R ϕ =
=
(3a)
1
1
2×2
3
(
atan2 , ),
3
( 3) cos
sin
/
/
3
3
.
sinϕ cos
ϕ b / d a /
d
3
3
Wprowadzamy lokalne, związane z członami, układy odniesienia w sposób pokazany na rysunku b).
b
y 2
y0
y
π
k
2
s
1
k
ϕ+π/2
r
3
0
r
π
ϕ w
a
ϕ
3
π
x
1
x0
x
0
c
a)
b)
c)
Łańcuch kinematyczny opisujemy za pomocą wieloboku wektorowego, pokazanego na rysunku c).
Wśród wprowadzonych wektorów, jedynie wektor w jest stały: (0
c
)
w
= .
(1)
a
Wektory r i k są zmienne. Wygodnie jest zapisać je w lokalnych układach π1 i π3. By uzależnić wektory od skalarnych parametrów r i k (pokazanych na rysunku c) wprowadzimy dodatkowy, stały wektor u:
1
(3)
u =
k
= ( s + b) 1
,
= k ,
( )
1
u
r = r .
u
(2)
0
0
Równanie wieloboku wektorowego ma następujące sformułowanie: w(0) + R k(3) − R r( )1 = 0 .
(3)
3
1
Na podstawie schematu kinematycznego wyznaczamy kąty obrotu lokalnych układów odniesienia względem układu globalnego:
cosϕ − sinϕ
− sinϕ − cosϕ
ϕ = ϕ, R =
, ϕ = ϕ + π / ,
2
R =
.
(4)
1
1
sinϕ cos
3
3
ϕ
cosϕ
− sin
ϕ
Równanie wieloboku wektorowego (3), korzystając z zależności (2), można przepisać w następującej postaci:
[
k
R u − R u
= −w .
(5)
3
1 ]
(0)
r
Po podstawieniu (1) i (4) do wzoru (5) i zmianie znaku, otrzymujemy:
sinϕ
cosϕ k c
=
.
(6)
− cosϕ sinϕ r a
Stąd, stosując np. metodę wyznaczników, otrzymujemy: k = c sinϕ − a cosϕ .
(7)
Ostatecznie, poszukiwaną wartość s obliczamy tak: s = k − b = c sinϕ − a cosϕ − b .
(8)
Podstawiając dane liczbowe, otrzymujemy:
s = 5sin 2
.
1 − 2cosϕ −1 ≈ 935
.
2
(m) .
(9)
Niewiadome x i y zapisujemy w postaci wektora:
x
q = .
(1)
y
Układ równań można przepisać w postaci:
2
(
Φ q) x + y −1 2
q + q −1
1
2
0
≡
.
(2)
3
=
=
3
x − 2 y − 4 q − 2 q − 4
1
2
0
Macierz Jacobiego obliczamy, różniczkując Φ(q) względem wektora q: Φ
.
(3)
q (q)
2 x
1 2 q
1
≡
≡
1
2
2
3 x
− 2 3 q − 2
1
Zgodnie z treścią zadania przybliżenie startowe wynosi:
x 0 2
q =
=
.
(4)
0
y 0 1
Funkcja wektorowa Φ, dana równaniem (2) ma w punkcie q0 wartość: 2
(
Φ q
.
(5)
0 )
2 +1−1 4
= 3
=
2 − 2 ⋅1− 4 2
Macierz Jacobiego, dana równaniem (3) ma w punkcie q0 wartość: Φ
.
(6)
q (q0 )
2 ⋅ 2
1 4
1
=
=
2
3⋅ 2
− 2 12 − 2
Przyrost obliczany w pierwszym kroku iteracji N-R oznaczamy przez ∆q:
∆ x x − x
1
0
∆q =
=
.
(7)
∆ y y − y
1
0
Wartość przyrostu ∆q oblicza się rozwiązując następujący układ równań liniowych: Φ
= −
.
(8)
q (q
∆q
Φ q
0 )
( 0)
Podstawiając (5), (6) i (7) do (8), otrzymujemy:
4
1 ∆ x − 4
=
.
(9)
12 − 2 ∆ y − 2
Rozwiązując powyższy układ równań, znajdujemy:
−1
∆ x =
.
(10)
2
Ostatecznie zatem, korzystając z zależności (7), obliczamy: 1
3
x = x + ∆ x = 2 − = = 5
.
1 .
(11)
1
0
2
2