RODZAJE JEDNORODNYCH

TRANSFORMACJI

STOSOWANYCH W KINEMATYCE

I DYNAMICE MANIPULATORÓW

ROBOTÓW

Macierz wektor, lub macierz kolumnę jako
obraz dowolnego wektora

k

c

j

b

i

a

v















przestrzeni trójwymiarowej można przedstawić jako

























w

z

y

x

lub





T

w

z

y

x

gdzie:

w

x

a 

w

y

b 

w

z

c 

w – dowolna liczba skalująca – współczynnik skali
Przykładowo dowolna z następujących macierzy









































































5

.

0

0

.

10

0

.

5

5

.

12

lub

0

40

20

50

lub

1

20

10

25

jest macierzową reprezentacją wektora

k

j

i

v









20

10

25







Powyższe reprezentacje wektora

k

c

j

b

i

a

v















definiują położenie końca ramienia manipulatora robota.

W przypadku wektora promienia

k

r

j

r

i

r

r

z

y

x















można go przedstawić poprzez składowe

w

r

x

x



w

r

y

y



w

r

y

z



taką postać wektora nazywa się postacią jednorodną

W przypadku wektora o składowych wyrażonych
poprzez jednostki układu kartezjańskiego oraz

w = 1

Jeśli

w = 0

to wektor

r

reprezentuje tylko kierunek ramienia manipulatora
robota.

Innymi słowy kierunek jest wektorem, którego
koniec znajduje się w nieskończoności co oznacza,
że









2

2

2

z

y

x

r

r

r

Współczynnik skali wynosi wtedy

0

2

2

2

2

2

2













z

y

x

r

r

r

z

y

x

w

Zatem postać jednorodna kierunku jest następująca



























0

z

y

x

r

Wektor





T

r

0

0

0

0





jest wektorem nieokreślonym

Dowolny wektor może być obracany (poddany
rotacji) lub przesuwany (poddany translacji) w
przestrzeni,

czyli

przekształcany

lub

transformowany (poddany transformacjom).

Transformacje będą przedstawiane za pomocą
macierzy o wymiarach 4x4 (PYTANIE:
DLACZEGO?).

Przykładowo wektor

k

c

j

b

i

a

v















może być przetransformowany (przekształcony) w wektor

k

f

j

e

i

d

u















za pomocą następującej operacji mnożenia macierzy jako

u = Hv

Powyższa

transformacja

odpowiada

przekształceniu wektora w przestrzeni poprzez
przesunięcie punktu. Transformacja ta polega na
przesunięciu punktu w kierunku osi x o odległość
a, w kierunku osi y odległość b, o c w kierunku osi
z, a zatem

































1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

,

,

H

c

b

a

c

b

a

Trans

Przykł
ad

Dany jest wektor

k

j

i

v









20

10

25







należy dokonać translacji tego wektora o 8
jednostek wzdłuż osi x, o 5 wzdłuż osi y oraz 0
jednostek wzdłuż osi z.

Macierz translacji jest równa

































1

0

0

0

0

1

0

0

5

0

1

0

8

0

0

1

,

,

H

c

b

a

Trans

Wektor poddany translacji















































































1

20

15

33

1

20

10

25

1

0

0

0

0

1

0

0

5

0

1

0

8

0

0

1

Hv

u





Obrót albo rotacja dowolnego wektora wokół
każdej osi układu kartezjańskiego o kąt θ
odpowiada transformacji obrotu lub rotacji

Transformacja rotacji wokół osi x o kąt θ jest następująca:

 































1

0

0

0

0

cos

sin

0

0

sin

cos

0

0

0

0

1

,

H











x

Rot

Transformacja rotacji wokół osi y o kąt θ jest następująca:

 































1

0

0

0

0

cos

0

sin

0

0

1

0

0

sin

0

cos

,

H











y

Rot

Transformacja rotacji wokół osi z o kąt θ jest następująca:

 































1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

cos

sin

0

0

sin

cos

,

H











z

Rot

Ogólnie jest możliwe dokonanie obrotu wokół
dowolnego wektora

K



, gdzie wektor

K



może mieć dowolne

współrzędne różne od x, y, z.

Transformacje taką oznacza się jako

 



,

K

Rot



Przykład

Dany jest wektor

k

j

i

v









8

3

5







należy dokona obrotu – rotacji tego wektora o θ =
90° wokół osi x

Macierz rotacji jest równa



































1

0

0

0

0

90

cos

90

sin

0

0

90

sin

90

cos

0

0

0

0

1

90

,

H

0

0

0

0

0

x

Rot

Wektor

k

j

i

v









8

3

5







poddany rotacji jest następujący



















































































1

3

8

5

1

8

3

5

1

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

Hv

u





W ogólnym przypadku jeśli układ współrzędnych
nie pokrywa się z układem odniesienia, to macierz
przekształceń (translacji lub rotacji) można zapisać
jako



























1

0

0

0

T

z

z

z

z

y

y

y

y

x

x

x

x

p

n

m

l

p

n

m

l

p

n

m

l

Macierz T nazywa się macierzą przekształceń
wektora. Macierz ta jest postacią jednorodną
układu odniesienia po przekształceniu T.

Macierz T wynika z przekształceń wektora z
jednego układu współrzędnych do innego układu
współrzędnych.