23 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE (5 stron) Falami elektromagnetycznymi nazywamy rozchodzące się w przestrzeni zaburzenia pola elektromagnetycznego.

Istnienie fal elektromagnetycznych wynika bezpośrednio z równań Maxwella. W dużej odległości od źródeł pola czyli ładunków swobodnych i prądów elektrycznych, czyli dla ρ = 0 i j = 0 równania Maxwella mają postać:

∂

B

∂

rotE = −

D

rotH =

∂ t

∂ t

divD =

0

divB = 0

gdzie

D = εε E ε = 8

,

8 5 ⋅10 1

− 2 F / m

0

0

B = µµ H

µ = 4π ⋅10−7 H / m

0

0

Z równań Maxwella wynika, że wektory natężeń pól elektrycznego i magnetycznego (oraz wszystkie ich rzuty na osie układu współrzędnych kartezjańskich) w ośrodku jednorodnym, izotropowym i nieprzewodzącym spełniają równanie falowe: Dla ε = const

2

∂

∆ − εε µµ

E

E

= 0

0

0

2

∂ t

2

∂

∆ − εε µµ

H

H

= 0

0

0

2

∂ t

2

∆ ≡ ∇∇ = ∇ jest operatorem Laplace’a nazywanym też laplasjanem. We współrzędnych kartezjańskich laplasjan równy jest:

 ∂2

∂2

∂2 

∆ = 

+

+

2

2

2 

∂ x

∂ y

∂ z 

Rozwi

ązaniem równania falowego jest dowolna funkcja argumentu τ = t − ( r ⋅ n) / v , która ma ciągłe drugie pochodne.



r n 

E = f  t −

 n r = n x + n y + n z



v

x

y

z



Wartość τ opisuje fazę fali, n jest wektorem jednostkowym w kierunku rozchodzenia się fali a r wektorem położenia danego punktu. Prędkość rozchodzenia się fali, v, spełnia warunek:

1

v 2 = εε

0µµ o

c

1

Stąd v =

gdzie c =

jest prędkością światła w próżni, c = 2,997924562 m/s.

εµ

ε µ

0

0

Punkty o stałej wartości fazy tworzą powierzchnie stałej fazy opisane równaniem rn

τ = t −

= const .

v

Powierzchnie te rozchodzą się z prędkością v, którą nazywa się prędkością fazową fali.



x 

W jednym wymiarze rozwiązanie równania falowego ma postać f  t − 



v 

Fale elektromagnetyczne 23/

1

FALE PŁASKIE

W określonej chwili czasu t powierzchnie stałej fazy dane są równaniem rn = const . Jeżeli wektor n ma stały kierunek, to powierzchnie stałej fazy są płaszczyznami prostopadłymi do n . Taką falę nazywa się falą płaską.

Dla fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku x równania Maxwella rozdzielają się na dwa niezależna podukłady ( wykład):

(1)

(2)

E

∂

∂

H

∂

∂

y

H

y

E

z

= −µµ

z

= εε

x

o

∂

t

∂

∂ x

0

∂ t

∂ H

∂

∂ E

∂

= −

E

H

y

z

εε

=

y

z

µµ

0

∂ x

∂ t

0

∂ x

∂ t

E

H

x =

x = 0

0

H

Ex =

x = 0

0

Rozwiązaniami tych układów równań są niezależne od siebie pary składowych ( Ey, Hz) dla podukładu (1) oraz ( Ez, Hy) dla podukładu (2). Fala elektromagnetyczna może składać się z jednej lub drugiej pary pól. Może też zawierać obie pary w dowolnych proporcjach i z dowolną różnicą faz.

FALE MONOCHROMATYCZNE

Spośród wszystkich funkcji E(τ) największe znaczenie mają funkcje harmoniczne (sinωτ i cosωτ), ponieważ dowolną funkcję argumentu τ możemy przedstawić w postaci kombinacji funkcji harmonicznych (analiza Fouriera). Falę sinusoidalną o określonej częstości nazywamy falą monochromatyczną. Natężenie pola elektrycznego fali monochromatycznej można przedstawić w postaci:

ω





E = E co 

s

0

ω t − nr 



v



gdzie ω = 2π / T jest częstotliwością lub częstością kołową fali. Wygodny jest zapis:

E = E cos

0

(ω t− kr)

ω

gdzie k =

n

k = ω εε µµ

nazywamy wektorem falowym. Długość wektora falowego,

.

v

0

0

~ iωτ

Funkcję A cos(ωτ) można przedstawić jako część rzeczywistą funkcji wykładniczej Ae

~

A cos(

) = Re[

ωτ

ωτ

i

Ae

]

lub

~ iωτ

~

A cos ω

( τ )

1

= (

* − iωτ

Ae

+ A e

)

2

.

Najczęściej stosuje się zapis:

i (ω t− kr )

E = E e

+ .

c .

c

0

gdzie c.c. oznacza funkcję sprzężoną do funkcji stojącej przed znakiem dodawania.

Fale elektromagnetyczne są falami poprzecznymi, co oznacza, że wektory E i H leżą w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji fali, czyli do kierunku wektora jej prędkości w danym punkcie

Fale elektromagnetyczne 23/

2

MONOCHROMATYCZNE FALE PŁASKIE

W każdym punkcie pola elektromagnetycznego fali monochromatycznej rzuty wektorów E i

H na osie inercjalnego układu odniesienia wykonują drgania harmoniczne o jednakowej częstości.

1. O fali zawierającej tylko składowe ( Ey, Hz):

E = E co

t

ω − kx

y 0

(s

)

εε

0

H

=

E

z 0

y 0

H = H cos

t

ω − kx

µµ0

z 0

(

)

mówi się że jest spolaryzowana liniowo w kierunku osi y 2. O fali zawierającej tylko składowe ( Ez, Hy)

E = E co

t

ω − kx

z 0

(s

)

εε0

H

= −

E

y 0

z 0

H = H co

t

ω − kx

µµ

y 0

(s

)

0

mówi się że jest spolaryzowana liniowo w kierunku osi z Z równań Maxwella wynika ogólny związek między polem elektrycznym i polem magnetycznym fali:

εε

0

H =

n × E

µµ

0

1

lub, po podstawieniu B = εε H oraz v =

0

εε µµ

0

0

B = 1 n × E

v

Wynika z tego, że wzajemnie prostopadłe wektory E i H drgają w tej samej fazie, czyli jednocześnie osiągają wartości zerowe i maksymalne. Ich długości związane są zależnością µµ H = εε E .

0

0

Znając pole elektryczne fali możemy jednoznacznie określić jej pole magnetyczne.

Fala spolaryzowana liniowo

Fale elektromagnetyczne 23/

3

POLARYZACJA FAL

W ogólnym przypadku pole elektryczne monochromatycznej fali płaskiej zawiera obie składowe mogące różnić się między sobą fazą początkową

E y = ˆ yA cos ω t − kx + δ

1

(

1 )

E z = ˆ zA cos ω t − kx + δ

2

(

2 )

δ1 - δ2 - przesunięcie fazowe

y

A1

E

z

A2

Wektor pola elektrycznego takiej fali zatacza elipsę a falę nazywa się spolaryzowaną eliptycznie.

W szczególnym przypadku, dla

• A1 = A2 i δ 1 - δ2 = (2 m + 1) π/2, m = 0, ±1, ... fala jest spolaryzowana kołowo.

• A1 = 0 lub A2 = 0 lub δ 1 - δ 2 = mπ fala jest spolaryzowana liniowo.

metody uzyskania fal spolaryzowanych (na przykład liniowo)

• emisja selektywna

• absorpcja selektywna

• selektywne odbicie

• dwójłomność

ENERGIA FALI ELEKTROMAGNETYCZNEJ

W każdym punkcie, w którym istnieje pole elektryczne lub pole magnetyczne, jest zmagazynowana pewna energia. Gęstość energii fali elektromagnetycznej jest równa sumie gęstości energii pola elektrycznego i gęstości pola magnetycznego w danym punkcie: 1

e = e + e =

εε E 2 + µµ H 2

(

)

m

el

2

0

0

Po podstawieniu zależności między wartościami E i H otrzymuje się 2

e = εε E

0

Z rozchodzeniem się fali elektromagnetycznej związany jest przepływ energii. Wektor gęstości strumienia energii, o wartości określającej ilość energii przepływającej w jednostce czasu przez powierzchnię jednostkową prostopadłą do kierunku propagacji, nazywany jest wektorem Poyntinga:

S = E × H

Fale elektromagnetyczne 23/

4

NATĘśENIE ŚWIATŁA

Natężeniem światła (natężeniem fali elektromagnetycznej) nazywa się średnią ilość energii jaką fala przenosi w jednostce czasu przez jednostkową powierzchnię prostopadłą do kierunku rozchodzenia się fali. Natężenie światła jest równe wartości średniej wektora Poyntinga w czasie jednego okresu drgań

T

1

I = S

=

∫ Sdt

ś r

T 0

Dla fali płaskiej spolaryzowanej liniowo

εε

S = EH =

0 E 2

µµ

0

dla t >> T

stąd zależność między natężeniem światła a natężeniem pola elektrycznego fali elektromagnetycznej.

1

εε

2

0

I =

E 0

2

µµ0

Fale elektromagnetyczne 23/

5