FALE ELEKTROMAGNETYCZNE id 1677 Nieznany

background image

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE


Teoria Maxwella – cztery równania

Przy

śpieszony ładunek emituje pola elektryczne i magnetyczne propagujące się z prędkością

o

o

c

µ

ε

=

.


Fale elektromagnetyczne – zakres cz

ęstotliwości (4–7)

×

10

14

Hz

W wi

ększości zjawisk fizycznych występują oddziaływania elektromagnetyczne

10

10

10

4

10

16

10

10

10

5

11

17

10

10

10

6

12

18

10

10

10

7

13

19

10

10

8

14

10

10

9

15

Cz

ęstotliwość Hz

Fale

średnie

Fale

krótkie

Fale

radiowe

Promieniowanie

podczerwone

Zakres

widzialny

Ultrafiolet

Promieniowanie

Mikrofale

TV

X

γ

Rys. 9.1. Widmo fal elektromagnetycznych

background image

Równanie ró

żniczkowe fali elektromagnetycznej

O

P

x

y

z

J

Rys. 9.2. Prostok

ątny element nieskończonej

powierzchni z pr

ądem powierzchniowym J.

Widok z góry

P

x

B

B

B

B

B

a

z

b

b

+d

Rys. 9.3. Widok z góry elementu pr

ądu

przedstawionego

na

rys.

9.2.

Ca

łki

krzywoliniowe liczone s

ą w kierunku ruchu

wskazówek zegara wokó

ł prądu i wokół

punktu P.

background image

Uogólnione prawo Ampera

S

d

t

E

c

S

d

j

s

d

B

S

S

C

o

r

v

r

r

r

r

+

=

2

1

µ

(7.16)

Kontur obchodzimy zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara. Równanie (7.16) napiszemy w postaci

Jb

s

d

B

o

µ

=

r

r

lub

Jb

Bb

o

µ

=

2

St

ąd znajdujemy B w pobliżu płaskiego prądu

2

J

B

o

µ

=

(9.1)

Pr

ąd J zmienia się w czasie, a otrzymany wynik słuszny jest jedynie w pobliżu źródła.


Teraz pos

łużymy się prostokątnym konturem całkowania wokół punktu P. Wektor

S

d

r

jest skierowany

za p

łaszczyznę rysunku w ujemnym kierunku osi y. Wówczas

bdx

E

dS

E

S

d

E

y

y

=

=

r

r

.

a równanie (7.16) przyjmie posta

ć

S

d

t

E

c

s

d

B

C

r

r

r

+

=

2

1

0

background image

lub

(

)

(

)

bdx

t

E

c

b

B

b

dB

B

y

z

z

z

2

1

=

+

Wobec tego

dx

t

E

c

dB

y

z

2

1

=

dx

t

E

c

dx

dB

y

const

t

z

2

1

=

=

t

E

c

x

B

y

z

2

1

=

(9.2)

Z uogólnionego prawa Faradaya

=

S

C

S

d

dt

B

s

d

E

r

r

r

r

mo

żna otrzymać jeszcze jeden związek między polami B i E.

background image

P

y

h

dx

J

E

)

E

d

E

(

+

Rys. 9.4. Widok z boku na element p

łaskiego

pr

ądu przedstawionego na rys. 9.2.

Ca

łkujemy w kierunku przeciwnym do ruchu

wskazówek zegara po prostok

ątnym konturze

wokó

ł punktu P w płaszczyźnie Oxy

=

C

S

d

t

B

s

d

E

r

r

r

r

)

hdx

(

t

B

h

E

h

)

dE

E

(

z

y

y

y

=

+

czyli

dx

t

B

dE

z

y

=

a dalej

t

B

dx

dE

z

const

t

y

=

=

i ostatecznie

t

B

x

E

z

y

=

(9.3)

background image

Mamy dwa równania, (9.2) i (9.3), z dwiema niewiadomymi B

z

i E

y

. Ró

żniczkując równanie (9.2) po x,

a równanie (9.3) po t, mo

żna wyłączyć E

y





=

t

E

c

x

x

B

x

y

z

2

1

t

x

E

c

x

B

y

z

2

2

2

2

1

=

(9.4)

Podobnie

2

2

2

t

B

t

x

E

t

B

t

x

E

t

z

y

z

y

=

=

Podstawiaj

ąc to wyrażenie w prawą stronę równania (9.4), mamy

2

2

2

2

2

1

t

B

c

x

B

z

z

=

(9.5)

Jest to s

łynne równanie różniczkowe równanie falowe Maxwella. Rozwiązanie tego równania

przedstawia fal

ę biegnącą propagującą się z prędkością c.

Równanie (9.3) zawiera uzupe

łniającą informację wskazującą, że wielkość pola elektrycznego

jest równa E = cB i

że pola

E

r

i

B

r

s

ą wzajemnie prostopadłe.

background image

Promieniowanie p

łaskiego prądu

O

P

x

y

z

J

Rys. 9.2. Prostok

ątny element nieskończonej

powierzchni z pr

ądem powierzchniowym J.

Za

łóżmy, że prąd powierzchniowy (rys. 9.2) ma

posta

ć

t

cos

J

J

o

ω

=

,

pr

ąd J

o

p

łynie w kierunku przeciwnym do osi y.


Przy ma

łych wartościach x rozwiązanie

okre

ślone jest wyrażeniem (9.1)

( )

t

cos

J

t

,

x

B

o

o

z

ω

µ

2

=

W

przypadku

du

żych

warto

ści

x

jednoznacznym rozwi

ązaniem jest

( )

 −

=

c

x

t

cos

J

t

,

x

B

o

o

z

ω

µ

2

(9.6)

Pdstawiaj

ąc to rozwiązanie do lewej strony równania (9.5) mamy

z

o

o

z

B

c

c

x

t

cos

J

c

x

B

2

2

2

2

2

2

ω

ω

µ

ω

=

 −

=

a do prawej

( )

z

o

o

z

B

c

c

x

t

cos

J

c

t

B

c

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

ω

ω

µ

ω

=

 −

=

czyli równanie falowe (9.5) jest spe

łnione.

background image


Zauwa

żmy, że dla

0

x

otrzymujemy

t

cos

J

)

/

(

B

o

o

z

ω

µ 2

=

. Rozwi

ązanie to spełnia warunek

brzegowy i jest jednoznacznym rozwi

ązaniem problemu.

Teraz znaj

ąc B możemy obliczyć pole E podstawiając rozwiązanie na B do równania (9.3)

 −

=





 −

=

c

x

t

sin

B

c

x

t

cos

B

t

x

E

o

o

y

ω

ω

ω

st

ąd

const

c

x

t

cos

cB

dx

c

x

t

sin

B

E

o

o

y

+

 −

=

 −

=

ω

ω

ω

Sta

ła całkowania jest równa zeru, ponieważ ładunki tworzące stałe pole elektryczne nie występują.

Tak wi

ęc

 −

=

=

c

x

t

cos

J

c

cB

E

o

o

z

y

ω

µ
2

(9.7)

Jest to pole promieniowania.


Za dodatni kierunek pr

ądu J

o

przyj

ęto kierunek przeciwny do kierunku osi y. Dlatego dodatnie znaki

wielko

ści

y

E i

z

B oznaczaj

ą, że w pobliżu źródła pole E

y

skierowane jest przeciwnie do pr

ądu J.


Wygodnie jest to zapami

ętać w następujący sposób: dodatnie ładunki będą gromadzić się na dolnej

kraw

ędzi, a ujemne na górnej. Linie sił pola skierowane są z dołu do góry, tj. przeciwnie do kierunku

pr

ądu.

background image


Wykazali

śmy, że E = cB a także, że pola elektryczne i magnetyczne są wzajemnie prostopadłe.

B

B

B

E

E

E

y

y

z

z

x

x

J

c

c

Rys. 9.5. P

łaska fala monochromatyczna propagująca się w prawo z prędkością c. Fala

emitowana jest przez sinusoidalny pr

ąd J płynący w płaszczyźnie yz.

background image

Rozk

ład Fouriera periodycznej funkcji F(t


Rozwa

żmy przypadek, kiedy prąd powierzchniowy określany jest funkcją piłokształtną o okresie

τ.

Wówczas

τ

π

ω 2

=

.


Funkcj

ę piłokształtną można przedstawić w postaci sumy nieskończonej liczby fal sinusoidalnych

(

)

=

=

1

1

n

t

n

sin

n

)

t

(

F

ω

Jest to rozk

ład Fouriera periodycznej funkcji F(t).


W ogólnym przypadku dowoln

ą funkcję periodyczną o częstości 1/

τ można zapisać w postaci sumy fal

monochromatycznych o cz

ęstościach n(1/

τ), gdzie n przyjmuje liczby całkowite od 1 do

.

background image

(a)

(b)

(c)

19 fal

9 fal

2 fale

t

t

t

τ

τ

τ

1

0

1

0

1

0

-1

-1

-1

t

2

sin

2

1

ω

sin t

ω

ω

+

ω

t

2

sin

2

1

t

sin

( )

( )

=

ω

=

1

n

t

n

sin

n

1

t

F

Rys. 9.6. Przedstawienie pi

łokształtnej funkcji

w postaci sumy niesko

ńczonej liczby fal

sinusoidalnych: (a) dwie fale sinusoidalne; (b)
wynik z

łożenia dwóch fal sinusoidalnych; (c)

suma pierwszych dziewi

ęciu i dziewiętnastu

fal sinusoidalnych.


Dla

generacji

pi

łokształtnej

fali

elektromagnetycznej

pr

ąd powierzchniowy

okre

ślany jest wzorem

(

)

=

=

1

n

o

t

n

sin

n

1

J

J

ω

gdzie

τ

π

ω 2

=

.


Poniewa

ż równania Maxwella są liniowe

odno

śnie E, B i J, więc pełne rozwiązanie jest

równe sumie oddzielnych rozwi

ązań.

background image

Oddzia

ływanie promieniowania z materią


Dobry przewodnik odbija fal

ę ze 100% efektywnością. Przez dielektryk fala propaguje się nie

doznaj

ąc pochłaniania; jednakże propagacja fali zachodzi wolniej niż w próżni. Te pozorne paradoksy

rozwi

ązuje się stosując podejście mikroskopowe z uwzględnieniem budowy atomowej materii.

Energia promieniowania

z

o

y

o

x

E

E

j

pad

E

pad

B

Rys. 9.7. Fala padaj

ąca

pad

E

r

przemieszcza

si

ę w prawo i pada na płytkę indukując

pr

ąd, który na prawo i na lewo od płytki

promieniuje w

łasne pole

E

r

.

Na rys. 9.7 pokazano fal

ę elektromagnetyczną

padaj

ącą na prostokątny element płytki o

niesko

ńczonych rozmiarach. Jeżeli gęstość

pr

ądu indukowanego jest równa j, to w

prostok

ątnym elemencie będzie płynął prąd

x

jz

I

o

=

żnica potencjałów pomiędzy górną a dolną

kraw

ędzią wynosi

o

Ey

V

=

, a energia tracona

w jednostce czasu na ciep

ło Joule'a wynosi

(

)

(

)

x

z

y

jE

Ey

x

jz

IV

dt

dW

o

o

o

o

=

=

=

gdzie

x

z

y

o

o

oznacza obj

ętość elementu

p

łytki.

Moc

tracona

w

jednostce

obj

ętości

przewodnika wynosi jE

.

background image

Je

żeli na przewodzącą płytkę pada płaska fala monochromatyczna, to przy tym nie tylko wydziela się

ciep

ło z szybkością jE w jednostce objętości, lecz indukowany prąd j także promieniuje falę

elektromagnetyczn

ą.


Je

żeli prąd powierzchniowy

x

j

J

=

, to zgodnie z (9.7)

x

j

c

E

o

µ

2

=

(9.8)

Znak minus wskazuje,

że wewnątrz płytki pole

E

r

skierowane jest przeciwnie do pr

ądu

j

r

.


Niech

S

P

oznacza straty mocy na jednostkow

ą powierzchnię. W przypadku cienkiej płytki o grubości

x

x

jE

dt

dW

z

y

P

o

o

S

=

=

1

(9.9)

czyli

E

E

c

P

o

S

µ

2

=

(9.10)

Rozpatrzmy teraz stos takich cienkich p

łytek. Jeżeli stos płytek jest nieskończenie gruby, to pole

pad

E

r

zostanie ca

łkowicie pochłonięte i całkowitą moc promieniowania z jednostki powierzchni wynosi

pad

pad

pad

pad

E

S

B

E

E

c

EdE

c

P

0

2

0

0

0

1

1

2

µ

µ

µ

=

=

=

background image

Moc promieniowana przez jednostkow

ą powierzchnię charakteryzowana jest wektorem

Poytinga

. Jego warto

ść oznaczana jest przez P

S

. Poniewa

ż kierunek strumienia energii określany

jest iloczynem wektorowym

B

E

r

r

×

, to

S

P

r

mo

żemy wyrazić

B

E

P

o

S

r

r

r

×

=

µ

1

(9.11)

Sprawdzimy czy otrzymany wzór nie przeczy otrzymanemu wcze

śniej wyrażeniu dla energii

przypadaj

ącej na jednostkę objętości pola [wzór (7.14)]. Rozpatrzymy falę płaską padającą na

powierzchni

ę A. Zgodnie z określeniem P

S

, strumie

ń energii w czasie dt wynosi

Adt

P

dW

S

=

gdzie dW oznacza energi

ę w objętości dV = Adx. Ponieważ

c

dx

dt

=

, st

ąd

dV

c

P

c

dx

A

P

dW

S

S

=

=

czyli

c

P

dV

dW

S

=

Stosuj

ąc teraz wyrażenie (9.11) otrzymamy

EB

c

dV

dW

o

µ

1

=

Zamieniaj

ąc E na cB

o

o

B

B

dV

dW

µ

µ

2

2

2

2

+

=

czyli

+

=

=

o

o

B

E

dV

dW

w

µ

ε

2

2

2

1

background image

P

ęd promieniowania

c

m

F

z

o

y

o

x

j

pad

E

pad

B

Rys. 9.8. Padaj

ąca fala wywołuje w płytce

pr

ąd

x

jz

I

o

=

. Na ten pr

ąd działa siła

magnetyczna

B

y

I

F

o

m

r

r

r

=

.

Wyka

żemy teraz, że płaska fala z rys. 9.7

przekazuje p

łytce o grubości

∆x nie tylko

energi

ę, ale i pęd. Rozważmy prostokątny

element

niesko

ńczonej

p

łytki,

którego

powierzchnia wynosi

o

o

z

y

(rys. 9.8).


Poniewa

ż jEdt jest ilością ciepła Joule’a

wydzielaj

ącego się w jednostce objętości w

czasie dt, to ilo

ść ciepła wydzielającego się w

elemencie p

łytki o objętości y

o

z

o

∆x wynosi

(

)(

)

x

z

y

jEdt

dW

o

o

=

Zamieniaj

ąc E na cB

Bdt

y

x

cjz

dW

o

o

=

Poniewa

ż prąd płynący przez rozważany

element p

łytki wynosi

(

)

x

z

j

I

o

=

, wi

ęc

Bdt

cIy

dW

o

=

background image

Na element pr

ądu długości y

o

, prostopad

ły do padającego pola magnetycznego, działa siła

B

y

I

F

o

m

r

r

r

×

=

w kierunku

B

E

r

r

×

zgodnie z kierunkiem fali padaj

ącej. Zamieniając Iy

o

B na F

m

otrzymujemy

dt

cF

dW

m

=

P

ęd przekazywany elementowi płytki dp = F

m

dt, czyli

cdp

dW

=

, a st

ąd

dW

c

dp

1

=

(9.12)

Tak jak poprzednio, ca

łkując po grubości płytki x otrzymujemy p = W/c. Wobec tego

p

ęd

przekazywany p

łytce przez padającą falę równy jest wielkości 1/c pomnożonej przez energię

rozproszon

ą w płytce

.


W dowolnym elemencie obj

ętości pola promieniowania dV zawarta energia wynosi

dV

E

dW

o

2

ε

=

a jego p

ęd jest równy energii podzielonej przez c.


Element obj

ętości dV charakteryzuje się wektorem pędu (z uwzględnieniem związku

c

dV

P

dW

S

=

)





=

dV

c

P

c

p

d

S

r

r

1

(9.13)

Energi

ę promieniowania łatwo odczuć umieszczając rękę w strumieniu światła. Jednakże pomiar pędu

strumienia

świetlnego jest utrudniony na skutek tego, że wartość 1/c jest mała.

background image

Odbicie promieniowania od przewodnika


P

łytka

pad

E

E

E

J

Rys. 9.9. Padaj

ąca fala wywołuje w płytce

nadprzewodz

ącej prąd J, który promieniuje

pole

E

r

równe co do warto

ści z

pad

E

r

.

W

przypadku

przewodnika

o

wysokiej

konduktywno

ści

σ, fala elektromagnetyczna nie

jest poch

łonięta całkowicie; częściowo jest

odbijana.

Rozwa

żymy

skrajny

przypadek

=

σ

(nadprzewodnik). Pole elektryczne wewn

ątrz

nadprzewodnika zawsze przyjmuje warto

ść

zerow

ą

(w

przeciwnym

przypadku

nieograniczenie wzrós

łby prąd). Tak więc

indukowany pr

ąd powierzchniowy okazuje się

takim,

że pole promieniowania

pad

E

E

=

.

Wówczas wewn

ątrz płytki wypadkowe pole

0

=

+

=

E

E

E

pad

r

r

r

Na lewo od p

łytki pole uwarunkowane jest

dwoma

falami

monochromatycznymi

o

jednakowym

nat

ężeniu,

biegn

ącymi

w

przeciwnych kierunkach (fala stoj

ąca).


background image

Oddzia

ływanie promieniowania z dielektrykiem


Zewn

ętrzne elektrony atomów dielektryka ulegają przemieszczaniu pod wpływem zewnętrznego pola

elektrycznego.

R

x

o

Chmura

elektronowa

Proton

Rys. 9.10. Elektron traktowany jako
jednorodna na

ładowana kula przesunięty

na odleg

łość x

o

wzgl

ędem protonu.

Zewn

ętrzny elektron atomu traktujemy w postaci

kulistego ob

łoku o promieniu R. Przyjmiemy, że

g

ęstość ładunku jest stała.

Si

ła działająca na proton zgodnie z równaniem

(4.16) wynosi

x

R

e

k

x

R

e

e

eE

F

o

r

o

3

2

3

4

=





=

=

ε

ε

π

gdzie

r

o

o

/

k

ε

πε

4

1

=

.


Zgodnie z III prawem Newtona, identyczna si

ła

dzia

ła na elektron

x

R

e

k

dt

x

d

m

o

e

3

2

2

2

=


Z powy

ższego równania otrzymamy

x

x

R

m

e

k

dt

x

d

2

o

3

e

2

o

2

2

ω

=





=

background image

gdzie

3

2

R

m

e

k

e

o

o

=

ω

Si

ła działająca na zewnętrzną chmurę elektronową wynosi

x

m

F

o

atom

2

ω

=

(9.14)

gdzie

ω

o

cz

ęstość kołowa drgań własnych elektronu.


Je

żeli na chmurę elektronową działa pole E

pad

padaj

ącej fali, to wypadkową siłę zapiszemy w postaci

( )

pad

atom

wyp

E

e

F

F

+

=

st

ąd otrzymamy następujące równanie

pad

o

E

e

y

m

dt

y

d

m

=

2

2

2

ω

Rozpatrujemy przypadek, kiedy

pad

E

r

skierowane jest wzd

łuż osi y. Falę padającą w odległości x od

źródła zapisujemy jako

( )

c

x

o

pad

t

cos

E

E

=

ω

Wówczas

 −

=

c

x

t

cos

m

eE

y

dt

y

d

o

o

ω

ω

2

2

2

background image

Rozwi

ązaniem tego równania różniczkowego jest

(

)

 −

=

c

x

t

cos

m

eE

y

o

o

ω

ω

ω

2

2

(9.15)

W powy

ższy sposób wykazaliśmy jak oddziaływuje pojedynczy atom z falą elektromagnetyczną.

Teraz rozwa

żymy oddziaływanie fali z dużą ilością takich atomów zawartych w płytce ciała stałego lub

w warstwie gazu.

background image

Wspó

łczynnik załamania. Dyspersja


o

na p

łytkę o grubości

∆x pada fala płaska,

o

pole elektryczne fali padaj

ącej E

pad

wymusi drganie harmoniczne elektronów,

o

drgaj

ący elektron promieniuje falę elektromagnetyczną,

o

powstaje fala odbita i przechodz

ąca, lecz teraz nie ma strat na ciepło Joule’a,

o

energia zachowuje si

ę w postaci promieniowania elektromagnetycznego, a wobec tego płytka

okazuje si

ę przezroczystą dla promieniowania,

o

fala elektromagnetyczna propaguje si

ę wewnątrz płytki z prędkością u < c.


Chcemy wyja

śnić, że fala elektromagnetyczna propaguje się z prędkością u < c.

Pole wewn

ątrz płytki jest superpozycją pola fali padającej i pól promieniowania wszystkich

elektronów. Ka

żde z pól z osobna będzie propagować się z prędkością u = c, lecz pole

wypadkowe mo

że propagować się tak, jakby jego prędkość była mniejsza.


Stosuj

ąc wzór (9.15) wykażemy, że pole promieniowania każdego elektronu atomowego opóźnia się

w fazie o

π

/2 wzgl

ędem pola fali padającej, która wywołuje ruch elektronów.

background image

Wyprowadzimy wzór dla wspó

łczynnika załamania korzystając z rys. 9.11 i postępując w następujący

sposób:

1. Zadamy pole elektryczne fali padaj

ącej.

2. Obliczymy pr

ędkość elektronów atomowych w płytce uwarunkowaną wpływem pola

elektrycznego fali padaj

ącej.

3. Maj

ąc tą prędkość (lub gęstość pola elektrycznego), obliczymy wtórne promieniowanie

emitowane przez elektrony.

4. Zsumujemy fal

ę padającą i fale wtórne w celu otrzymania wypadkowej emitowanej fali.

5. Znajdziemy zwi

ązek pomiędzy fazą fali emitowanej a współczynnikiem załamania.

Ad.1. Fala padaj

ąca

x

Pró

żnia Płytka Próżnia

y

x

E

'

E

J

Rys. 9.11 Fala padaj

ąca

pad

E

r

wytwarza w p

łytce

pr

ąd o gęstości j, którego promieniowanie

wnosi wk

ład w wypadkową falę

'

E

r

.

Pole elektryczne fali padaj

ącej ma postać

 −

=

c

x

t

cos

E

E

o

pad

ω

background image

Ad.2. Pr

ędkość elektronu

żniczkując wzór (9.15) otrzymujemy wyrażenie na prędkość słabo związanych elektronów:

(

)

 −

=

=

c

x

t

sin

m

eE

dt

dy

v

o

o

y

ω

ω

ω

ω

2

2

G

ęstość prądu w płytce wynosi

( )

y

v

e

N

j

=

gdzie N jest liczb

ą drgających elektronów w jednostce objętości. Czyli

(

)

 −

=

c

x

t

sin

m

E

Ne

j

o

o

ω

ω

ω

ω

2

2

2

background image

Ad.3. Promieniowanie emitowane przez elektrony


Pole promieniowania emitowane przez elektrony p

łytki, zgodnie z (9.7), zapiszemy w postaci

x

j

2

c

=

E

o

µ

gdzie znak ”–” wskazuje,

że prąd j i wytwarzane przezeń pole promieniowania charakteryzują się

przeciwnymi kierunkami.

Podstawiaj

ąc wyrażenie dla j, mamy

(

)

x

c

x

t

sin

m

E

Ne

c

E

o

o

o

ω

ω

ω

ω

µ

 −

=

2

2

2

2

Przepiszemy to wyra

żenie w postaci

(

)

2

kx

t

cos

E

=

E

o

π

ω

(9.16)

gdzie k =

ω/c, oraz

(

)

x

E

m

Ne

c

E

o

o

o

o

ω

ω

ω

µ

2

2

2

2

=

(9.17)

background image

Ad.4. Fala wypadkowa

π

/2

ϕ

θ

o

E

o

E

'
o

E

x

y

Rys. 9.12. Wykres fazowy dla przypadku
dodawania dwóch fal monochromatycznych

θ

cos

E

o

i

(

)

2

/

cos

E

o

π

θ

.

Wypadkowe pole elektryczne emitowanej fali
stanowi superpozycj

ę pola fali padającej i pola

emitowanego przez elektrony atomowe

E

E

'

E

pad

+

=

Uwzgl

ędniając wyrażenie (9.16) otrzymamy

( )

2

π

θ

θ

+

=

cos

E

cos

E

'

E

o

o

gdzie

(

)

c

x

t

=

ω

θ

.


Chocia

ż

θ

rośnie z czasem, jednakże obie fale

monochromatyczne zachowuj

ą stałą różnicę

faz równ

ą

π

/2.

Z rys. 9.12 mo

żna zauważyć, że wektor wypadkowy

'

o

E

r

przesuni

ęty jest w fazie względem fali

padaj

ącej o kąt

o

o

E

/

E

ϕ

=

(przyj

ęto przy tym małe kąty zakładając, że

1

<<

o

o

E

/

E

).

background image

Ad.5. Zwi

ązek pomiędzy przesunięciem fazowym a współczynnikiem załamania


Fala padaj

ąca przechodzi przez płytkę w ciągu czasu

c

x

t

=

,

podczas gdy fala rozchodz

ąca się z prędkością u = c/n potrzebuje więcej czasu

c

x

n

'

t

=

.

Czo

ło wypadkowej fali przy przejściu przez płytkę opóźni się o

(

)

c

x

n

'

t

1

=

.

Odpowiada to przesuni

ęciu fazowemu

(

)

[

]

c

x

n

t

ω

ω

ϕ

1

=

=

Poniewa

ż

E

/

E

o

ϕ

=

, to

(

)

o

o

E

E

c

x

n

ω

=

1

background image

1

n

ω

ω

o

Rys. 9.13. Krzywa dyspersji normalnej
wykre

ślona zgodnie ze wzorem (9.18).

Podstawiaj

ąc wyrażenie (9.17) dla

∆E

o

i

rozwi

ązując względem n, znajdujemy

(

)

2

2

2

2

1

ω

ω

ε

+

=

o

o

m

Ne

n

(9.18)

Jest to wzór okre

ślający współczynnik

za

łamania płytki.


Zauwa

żmy także, że stosowaliśmy przybliżenie

zgodnie z którym pole fali padaj

ącej zmienia się

s

łabo, tj.

o

o

E

E

<<

i st

ąd (n – 1) << 1.


W przypadku du

żych n, pole E

pad

wewn

ątrz

p

łytki należy zmienić na wypadkowe pole.

Komplikuje to obliczenia i nie b

ędziemy ich tutaj

przytacza

ć.

background image

Otrzymany wynik poprawnie okre

śla zależność współczynnika załamania od częstości padającego

promieniowania (rys. 9.13).

o

Dla wi

ększości atomów

2

2

ω

ω

>

o

, gdzie

ω odnosi się do widzialnego zakresu widma. Odpowiada

temu wspó

łczynnik załamania większy od 1, czyli prędkość światła mniejsza od c.


o

Przy przej

ściu od zakresu czerwonego do zakresu fioletowego widma widzialnego, współczynnik

za

łamania wzrasta i wzrasta również odchylenie promieni świetlnych przechodzących przez

pryzmat, tj. ma miejsce dyspersja normalna.


o

Fala elektromagnetyczna propaguje si

ę wewnątrz płytki z prędkością u < c.


o

Stosunek c/u = n nazywamy wspó

łczynnikiem załamania.


o

Dla wi

ększości ciał stałych, współczynnik załamania równy jest w przybliżeniu 1.5; oznacza to, że

pr

ędkość światła w tych ciałach jest niższa o około 33

%

.

background image

Pole promieniowania

ładunków punktowych


Za

łóżmy, że w jednostce objętości znajduje się N ładunków. Jeżeli każdy ładunek q drga według

prawa

t

sin

y

y

o

ω

=

,

to g

ęstość prądu wynosi

t

cos

y

Nq

j

o

ω

ω

=

,

a pr

ąd w warstwie o grubości

∆x wynosi

t

cos

)

x

y

q

N

(

x

j

J

o

ω

ω

=

=

Wówczas stosuj

ąc wyrażenie (9.7), pole promieniowania jest określone wzorem

)

kx

t

cos(

x

y

Nq

c

E

o

o

y

=

ω

ω

µ
2

(9.19)

Za

łóżmy teraz, że zamiast rozkładu ładunków mamy pojedynczy ładunek q drgający według prawa

t

sin

y

y

o

ω

=

. Korzystaj

ąc z równania Maxwella można pokazać, że w odległości r od ładunku q pole

promieniowania okre

ślone jest wyrażeniem

θ

ω

π

ω

µ

sin

c

r

t

sin

r

y

q

E

o

o

 −

=

4

2

(9.20)

gdzie

θ jest kątem pomiędzy wektorem przyśpieszenia a wektorem wodzącym (rys. 9.14).

background image

Uwzgl

ędniając, że przyśpieszenie

t

sin

y

a

o

ω

ω

2

=

, mamy

θ

π

µ

sin

c

r

t

a

r

q

E

o

 −

=

4

(9.21)

q

P

q

E

a

θ

Rys. 9.14. Kierunek pola promieniowania

E

r

wytwarzanego przez

ładunek punktowy q

poruszaj

ący się z przyśpieszeniem

a

r

.


We wzorze tym

(

)

c

r

t

a

oznacza przy

śpieszenie z wcześniejszej chwili czasu

c

r

t

. Wektor

E

r

skierowany jest prostopadle do wektora wodz

ącego

r

r

(rys. 9.14). Wzór (9.21) jest poprawny gdy

c

v

<<

. Kierunek pola B

r

jest prostopad

ły do

E

r

i

r

r

i tak jak poprzednio B = E/c.

background image

Interferencja fal elektromagnetycznych

Interferencja fal promieniowanych przez dwa

źródła punktowe

(a)

(b)

d

O

Ekran

x

y

P

S

1

S

1

S

2

S

2

r

1

r

1

r

2

r

2

dsin

θ

θ

θ

Rys. 9.15. (a) Dwa

źródła S

1

i S

2

w

odleg

łości d od siebie. (b) Powyższe

źródła w powiększeniu. Różnica dróg

θ

sin

d

r

r

1

2

.

Rozwa

żmy dwa dipole elektryczne S

1

i S

2

drgaj

ące

w fazie w kierunku osi z (rys. 9.15). Przyjmijmy,

że

moment dipolowy okre

ślony jest wzorem

t

cos

p

t

cos

qz

qz

p

o

o

ω

ω

=

=

=

.

Wówczas przy

śpieszenie ładunku dipola

(

)

t

cos

q

p

t

cos

z

a

o

o

ω

ω

ω

ω

2

2

=

=

Podstawiaj

ąc to wyrażenie do (9.21) znajdujemy

pole promieniowania dipola w postaci

(

)

t

kr

cos

E

c

r

t

cos

r

p

c

r

t

cos

q

p

r

q

E

o

o

o

o

o

ω

ω

π

ω

µ

ω

ω

π

µ

=

 −

=

 −

=

4

4

2

2

poniewa

ż

1

=

Θ

sin

i

r

p

E

o

o

π

ω

µ

4

2

=

.

background image

ϕ

E

1

E

2

E

x

y

O

Rys. 9.16. Wykres fazowy dla przypadku

dwóch

źródeł o różnicy faz

ϕ.

Zgodnie z tym wyra

żeniem, pole elektryczne w

punkcie P

(

)

(

)

t

kr

cos

E

t

kr

cos

E

E

E

E

o

o

ω

ω

+

=

+

=

2

1

2

1

gdzie

r

p

E

o

o

o

π

ω

µ

4

2

=

K

ąt

ϕ

mi

ędzy wektorami jest równy różnicy faz pól

1

E

r

i

2

E

r

(

) (

) (

)

1

2

1

2

r

r

k

t

kr

t

kr

=

=

ω

ω

ϕ

Pole wypadkowe

)

cos

(

E

cos

E

E

E

E

o

o

o

o

2

ϕ

ϕ

+

=

+

+

=

1

2

2

2

2

2

2

Nat

ężenie fali, I, jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy, dlatego

(

)

[

]

1

2

1

2

r

r

k

cos

I

I

o

+

=

.

żnica dróg

θ

sin

d

r

r

=

1

2

, je

żeli odległość od ekranu jest dostatecznie duża.

background image

Warunek, dla którego ró

żnica dróg jest równa dsin

θ, nazywany jest przybliżeniem Fraunhofera

.

W tym przypadku

[

]

)

sin

kd

cos(

I

I

o

θ

+

=

1

2

(9.22)

I

4I

o

0

sin

θ

λ

/2d

λ

/d

Rys. 9.17. Obraz interferencyjny od dwóch

źródeł. Pokazano zależność intensywności od sin

θ.

Maksimum intensywno

ści obserwuje się zawsze, gdy

π

θ 2

=

sin

kd

, czyli gdy

d

n

sin

λ

θ

=

(9.23)

W tym przypadku ró

żnica dróg, która zgodnie z (9.23) jest równa dsin

θ, wynosi nλ.

background image

Interferencja fal od wi

ększej liczby źródeł

r

1

S

1

S

2

S

3

S

N

r

2

r

3

r

N

d

θ

Rys. 9.18. N

źródeł we wzajemnej odległości d.

Za

łóżmy, że obserwator położony jest pod

k

ątem

θ względem normalnej do linii łączącej N

równomiernie rozmieszczonych

źródeł (rys.

9.18). Dla obserwatora ró

żnica faz pomiędzy

s

ąsiednimi źródłami jest równa

(

)

θ

ϕ

sin

kd

r

r

k

=

=

1

2

.

Z trójk

ąta równoramiennego z rys. 9.19a mamy

=

2

2

ϕ

N

sin

R

E

Z kolei z trójk

ąta prostokątnego na rys. 9.19b

mamy

=

2

2

1

ϕ

sin

R

E


Dziel

ąc stronami dwa ostatnie równania

=

2

sin

2

N

sin

E

E

1

ϕ

ϕ

background image

E’

/2

ϕ

ϕ

ϕ

R

R

0

0

R

N /2

ϕ

(a) (b)

1

E

1

E

2

E

N

E

E

2

ϕ

Rys. 9.19. (a) Wykres fazowy dla przypadku N

źródeł przedstawionych na rys. 9.18, końce

wektorów po

łożone są na okręgu o promieniu R. (b) Wykres dla pierwszego źródła.


i po podniesieniu do kwadratu

=

2

2

2

2

ϕ

ϕ

sin

N

sin

I

I

o

(9.24)

gdzie I

o

jest nat

ężeniem fali pojedynczego źródła, a

θ

ϕ

sin

kd

=

.

background image

sin

θ

λ

/d

−λ

/d

/d

0

10I

o

I

Rys. 9.20. Obraz interferencyjny od sze

ściu źródeł położonych w jednej linii.

Na rys. 9.20 pokazano rozk

ład natężenia określony wzorem (9.24). Należy zaznaczyć, że dla

0

ϕ

mamy

(

)

2

2

ϕ

ϕ

N

/

N

sin

, a

(

)

2

2

ϕ

ϕ

/

sin

, wtedy zwi

ązek (9.24) można napisać w postaci

o

o

I

N

N

I

I

2

2

2

2

2

=

ϕ

ϕ

Wobec tego nat

ężenie fali wytworzonej przez N źródeł okazuje się N

2

razy wi

ększe od natężenia fali

pojedynczego

źródła.

background image

Siatka dyfrakcyjna

Dla siatki dyfrakcyjnej rozk

ład natężenia na ekranie określa wzór





=

2

2

2

2

ϕ

ϕ

sin

N

sin

I

I

o

gdzie

θ

ϕ

sin

kd

=

.

Nat

ężenie przyjmuje wartość

o

I

N

I

2

=

w tych przypadkach, kiedy mianownik przyjmuje warto

ść

zerow

ą, czyli kiedy

n

n

π

ϕ

2

=

lub

n

sin

kd

n

π

θ

2

=

st

ąd

d

n

sin

n

λ

θ

=

(9.25)

background image

θ

0

I

Do

ekranu

Od

źródła

dsin

θ

(a) (b)

θ

θ

1

θ

2

−θ

2

−θ

1

Rys. 9.21. (a) Cz

ęść siatki dyfrakcyjnej w powiększonej skali. (b) Rozkład natężenia na ekranie.

Dla pozosta

łych kątów

θ natężenie I w przybliżeniu jest równe I

o

, tj. oko

ło N

2

razy mniejsze.


W typowych siatkach dyfrakcyjnych warto

ść N wynosi kilka tysięcy.


Z pomoc

ą rys. 9.21a nietrudno otrzymać warunek (9.25); różnica dróg dla każdej pary sąsiednich

promieni musi wynosi

ć n

λ. Ponieważ ta różnica dróg wynosi dsinθ, otrzymamy

λ

θ n

sin

d

=

lub

d

n

sin

λ

θ

=

Linia spektralna odpowiadaj

ąca długości fali

λ jest obserwowana pod kątem określonym związkiem

d

sin

λ

θ

=

. Obraz linii drugiego rz

ędu będzie odpowiadać

d

sin

λ

θ 2

=

, trzeciego rz

ędu

d

sin

λ

θ 3

=

, itd.

background image

Dyfrakcja

światła


Dwie szczeliny o

świetlone są pojedynczym źródłem światła. Rozkład natężenia światła na ekranie

opisany jest wzorem (9.22) i przedstawia taki obraz jakby szczeliny by

ły zastąpione przez dwa źródła

światła. Pierwszy taki eksperyment przeprowadził Thomas Young w 1803 r.

d

Źródło

Ekran

Przys

łona

y

x

0

Rys. 9.22. Schemat do

świadczenia interferencji światła z dwóch szczelin.

background image

Zasada Huygensa


W XVIII w. Christian Huygens sformu

łował następującą zasadę, nie dowodząc jej:

je

żeli czoło fali

przechodzi przez jeden lub kilka otworów, ka

żdy element czoła fali zachowuje się tak jakby był

źródłem fali

.

Na pierwszy rzut oka mo

że to wydawać się dziwne, gdy odniesiemy to do np. siatki dyfrakcyjnej. W

otworach nie mamy

źródeł prądu; prądy mogą indukować się w dowolnym miejscu ekranu za

wyj

ątkiem otworów.

Wyka

żemy matematycznie, że promieniowane przez źródło prądu pole zapełniające otwór w

ekranie jest zgodne z polem fali padaj

ącej na ekran z otworami

.


Oznaczamy pole promieniowane przez pr

ądy indukowane w ekranie jako E

ekr

. Wówczas na prawo od

ekranu wypadkowe pole zapiszemy w postaci

ekr

pad

wyp

E

E

E

+

=

(9.26)

gdzie E

pad

jest polem wytwarzanym przez

źródło w nieobecności ekranu.


Teraz zakryjmy otwory dodatkowymi ekranami, których rozmiary s

ą zgodne z rozmiarami otworów.

Niech E

otw

oznacza pole promieniowane przez pr

ądy w ekranach zakrywających otwory. Wówczas

mamy

0

=

+

+

=

otw

ekr

pad

wyp

E

E

E

E

na prawo od ekranu, st

ąd

background image

2

2

ekr

pad

otw

ekr

pad

otw

E

E

E

E

E

E

+

=

+

=

Prawa strona tego równania jest zgodna z polem odpowiadaj

ącym realnej sytuacji fizycznej [wzór

(9.26)]; a lewa

świadczy o tym, że sytuacja ta jest matematycznie równoważna rozkładowi

intensywno

ści promieniowania wywołanego źródłami prądów położonych w otworach i emitujących

promieniowanie niezale

żnie od siebie.

Wykazali

śmy, że jeżeli każdy element frontu falowego przechodzącego za ekran traktować jako

nowe punktowe

źródło, to rozkład intensywności będzie identyczny jak w przypadku ekranu i

oddzielnego

źródła

.


Jednak

że rozważania należy nieznacznie skorygować ze względu na efekty graniczne

(przeprowadzony przez nas dowód zak

ładał, że indukowane prądy mogą przecinać krawędzie

otworów).

background image

Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie


Równoleg

ła wiązka światła monochromatycznego padając na pojedynczą szczelinę o szerokości a

tworzy na oddalonym ekranie obraz interferencyjny pokazany na rys. 9.23. Podobna interferencja
powstaj

ąca od pojedynczej szczeliny lub od krawędzi ekranu nazywana jest dyfrakcją.

θ

I

Rys. 9.23. Rozk

ład intensywności na

oddalonym ekranie przy dyfrakcji na
pojedynczej szczelinie.

S

1

S

2

S

N

a

θ

1

2

3

Padaj

ący

front falowy

Rys. 9.24. Promieniowanie od pojedynczej
szczeliny. Promienie 1 i 3 wychodz

ą od

kraw

ędzi, a promień 2 ze środka szczeliny.


Korzystaj

ąc z rys. 9.24 łatwo można określić kąt

θ, przy którym obserwuje się pierwsze minimum

nat

ężenia. Zgodnie z zasadą Huygensa szczelinę możemy traktować jako zbiór pojedynczych źródeł

N

2

1

S

,.....

S

,

S

.

background image

żnica dróg między promieniami 1 i 2 wynosi

( )

θ

sin

a 2

. Aby uzyska

ć różnicę faz między nimi

wynosz

ącą

π

, ró

żnica dróg powinna wynosić

λ/2. Kąt odpowiadający pierwszemu minimum natężenia

okre

ślony jest z równania

Φ

/2

Φ

R

R

A/2

od S

1

od S

N

A

Rys. 9.25. Wektor

A

r

stanowi sum

ę wektorową

sygna

łów od N źródeł przedstawionych na

rys. 9.18.

Φ oznacza różnicę faz pomiędzy

pierwszym a ostatnim

źródłem.

2

2

1

λ

θ

=

sin

a

czyli

a

sin

λ

θ

=

1

(9.27)

Warto

ść natężenia dla dowolnego kąta

θ

otrzymuje si

ę w wyniku zsumowania wkładów

niesko

ńczenie małych źródeł (rys. 9.25).


Odpowiednie wektory tworz

ą łuk, dla którego

wypadkowa ró

żnica faz dla skrajnych promieni

1 i 3 wynosi

θ

Φ

sin

ka

=

Wypadkow

ą amplitudę A można znaleźć z

trójk

ąta prostokątnego

R

A

sin

2

2

=

Φ

background image

st

ąd

=

2

2

Φ

sin

R

A

(9.28)

D

ługość łuku równa jest A

o

. Jest to wypadkowa amplituda widziana pod k

ątem 0

°

, równa promieniowi

R pomno

żonemu przez kąt

Φ ( w radianach)

o

A

R

=

Φ

St

ąd znajdujemy

Φ

o

A

R

=

Podstawiaj

ąc tę wielkość do (9.28) mamy

2

2

Φ

Φ

=

sin

A

A

o

Rozk

ład natężenia

2

2

2

=

Φ

Φ

sin

I

I

o

(9.29)

gdzie

θ

Φ

sin

ka

=

.

background image


Kolejne minima obserwuje si

ę przy

π

Φ

n

=

2

, lub przy

π

θ

n

sin

ka

=

2

czyli

a

n

sin

min

λ

θ

=

(n

1)

Warunek ten jest zgodny z otrzymanym poprzednio.

background image

Koherentno

ść i niekoherentność


Dotychczas badali

śmy

efekty interferencyjne wywo

łane źródłami, które znajdowały się w fazie

wzgl

ędem siebie lub z pewną stałą różnicą faz. Takie źródła nazywamy koherentnymi lub

spójnymi

.


Koherentno

ść dwu wiązek określa ich zdolność do interferowania; wiązki spójne interferują, wiązki

niespójne s

ą tej właściwości pozbawione.

Koherentne wi

ązki światła można również otrzymać stosując półprzezroczyste zwierciadła – jak w

interferometrze Michelsona. Jednak

że w przypadku, kiedy obydwa ramiona interferometru mają różną

d

ługość, obraz interferencyjny może zniknąć, jeżeli różnica dróg optycznych przekracza pewną

wielko

ść

∆L

o

odpowiadaj

ącą różnicy czasu

∆t

o

=

∆L

o

/c.

Wielko

ść

∆L

o

nazwana jest d

ługością

koherentno

ści, a

∆t

o

– czasem koherentno

ści

.


Linie emisyjne

źródła interferometru charakteryzują się szerokością

f

w skali cz

ęstotliwości.

Szeroko

ść ta związana jest z czasem koherentności

o

t

zwi

ązkiem

1

2

o

t

f

π

background image


o

Z mechaniki kwantowej wiadomo,

że światło stanowią fotony emitowane przez różne atomy.

o

Ci

ąg fal emitowanych nie jest nieskończenie długi (jest niekoherentny).

o

Wi

ązka światła niekoherentnego składa się z ciągu fal o skończonej długości, poprzedzielanych

przypadkowymi przerwami.

o

Docieraj

ące do punktu obserwacji dwie takie wiązki nakładają się na siebie, ale różnica faz ciągów

fal obu wi

ązek zmienia się chaotycznie, wskutek czego interferencja nie zachodzi.

o

Jednak

że w odcinku czasu

f

t

o

π

2

1

=

, gdzie

∆f jest obserwowaną szerokością linii, dowolna

para fotonów b

ędzie zachowywać względem siebie stałą fazę. Fotony te zachowują się jak paczki

falowe o d

ługości

f

c

t

c

L

o

o

π

2

=

.

o

Cz

ęstotliwość źródła światła monochromatycznego zmienia się w przedziale

(

)

2

f

f

o

do

(

)

2

f

f

o

+

. Dwie czysto sinusoidalne fale ró

żnią się częstotliwościami o

∆f, będą się różnić w

fazie w czasie

f

t

π

2

1

.

o

Najbardziej w

ąskim liniom widm atomowych odpowiada

o

t

10

–8

s.

o

W laserze dryf cz

ęstotliwości jest mniejszy i dlatego czas koherentności jest większy.

o

Koherentno

ść to najważniejsza i najcenniejsza własność światła laserowego.

background image

Drgania o czasie trwania t

Drgania harmoniczne

N

a

że

n

ie

N

a

że

n

ie

Widmo

Widmo

∆ν

=1/ t

o

+∆

t /2

o

−∆

t /2

o

(a)

(b)

ν

ν

Rys. 9.26. (a) Drgania harmoniczne o widmie liniowym. (b) Drgania o czasie trwania

∆t

o

i

widmie Fouriera.

Wektory

E

r

i

B

r

o niesko

ńczenie długim ciągu falowym opisujemy wzorem typu

( )

t

cos

S

t

S

o

o

ω

=

Drganie, które opisuje powy

ższy wzór jedynie przez czas trwania

o

t

, a poza tym przedzia

łem czasu

S(t) = 0, nie s

ą harmonicznymi; nie charakteryzują się bowiem ściśle określoną częstotliwością, lecz

pewnym widmem cz

ęstotliwości (patrz pkt. 9.2). Drgania te opisuje wzór

( )

( )

ν

πν

ν

d

t

cos

G

t

S

2

=

background image

gdzie funkcja G(f) jest amplitud

ą drgań o częstotliwości f, zwana również widmem Fouriera, przy czym

( )

( )

(

)

[

]

(

)

o

o

o

o

o

o

t

t

sin

t

S

dt

t

cos

G

G

ν

ν

π

ν

ν

π

πν

ν

ν

=

=

2

Je

żeli

∆f oznacza szerokość widmową linii, wówczas ∆f = 1/∆t

o

.

Czas

∆t

o

nazywamy czasem

koherentno

ści, a długość

∆L

o

= c

∆t

o

d

ługością koherentności.

background image

Polaryzacja

światła


Za kierunek polaryzacji wybrano kierunek wektora

E

r

.


P

łaszczyzną polaryzacji określa się płaszczyznę, w której leżą wektor

E

r

i wektor kierunku propagacji

fali.

Promieniowanie elektromagnetyczne, którego kierunek pola

E

r

jest sta

ły nazywamy

p

łaskospolaryzowanym, lub spolaryzowanym

liniowo.

W wi

ązce światła żródła niekoherentnego, kierunek pola elektrycznego zmienia się chaotycznie

w przestrzeni pozostaj

ąc jednak prostopadłym do kierunku propagacji fali. Taką wiązkę

nazywamy niespolaryzowan

ą.

background image

Polaryzacja ko

łowa

Wi

ązka 1 spolaryzowana jest pionowo (wektor

1

E

r

po

łożony jest w płaszczyźnie xy), a wiązka 2

spolaryzowana jest poziomo (wektor

2

E

r

po

łożony jest w płaszczyźnie xz).

y

x

z

Strumie

ń

zmieszany

Strumie

ń 1

Strumie

ń 2

łprzezroczyste

zwierciad

ło

1

E

2

E

Rys.

9.27.

Dwie

wi

ązki

światła

spolaryzowanego

liniowo

zmieszane

za

pomoc

ą

zwierciad

ła

łprzezroczystego.

Pole

2

E

r

skierowane jest na czytelnika z

p

łaszczyzny rysunku równolegle do osi z.

α

y

z

O

o

1

)

E

(

o

2

)

E

(

E

Rys. 9.28. Rzut na p

łaszczyznę yz pól

pokazanych na rys. 9.27.

Obydwie fale opisujemy

(

)

kx

t

cos

E

E

=

ω

10

1

;

(

)

kx

t

cos

E

E

=

ω

20

2

przy czym kierunki pól E

10

i E

20

tworz

ą kąt prosty (rys. 9.28).

background image

Wektor wypadkowego pola elektrycznego zawsze po

łożony jest w płaszczyźnie, która tworzy kąt

α z

pionem, przy czym

10

20

E

E

tg

=

α

.

Je

żeli

20

10

E

E

=

, to

°

=

45

α

. Wypadkowa wi

ązka światła jest płaskospolaryzowana, przy czym

p

łaszczyzna polaryzacji tworzy kąt 45

°

z pionem.

Je

żeli dwie wiązki przesunięte są w fazie o

π

/2, to przy x = 0 mamy

t

cos

E

E

y

ω

10

=

i

(

)

2

20

2

π

ω

=

t

cos

E

E

.

background image

z

z

z

z

z

z

y

y

y

y

y

y

t=0 t=(1/8)T t=(1/4)T t=(3/8)T t=T/2 t=(5/8)T

1

E

1

E

1

E

1

E

1

E

2

E

2

E

2

E

2

E

E

E

E

Rys. 9.29. Pole wypadkowe w p

łaszczyźnie yz w kolejnych chwilach czasu dla przypadku kiedy

wi

ązka 2 opóźnia się w fazie w stosunku do wiązki 1 o kąt

π/2. Wypadkowe pole

E

r

obraca si

ę

zgadnie ze wskazówk

ą zegara. E

y

i E

z

maj

ą jednakowe amplitudy.

o

Wypadkowy wektor

E

r

(sta

ły co do wartości) obraca się zgodnie ze wskazówką zegara

wokó

ł osi x wykonując jeden obrót w okresie drgań T. Taką polaryzację fali nazywamy lewą

polaryzacj

ą kołową.

o

Je

żeli wektor

E

r

obraca si

ę w kierunku przeciwnym do wskazówek zegara (kiedy patrzymy w

kierunku propagacji wi

ązki), to taką polaryzację nazywamy prawą polaryzacją kołową.

o

Je

żeli zmieszać wiązki o jednakowym natężeniu, z których jedna jest spolaryzowana kołowo

w lewo a druga – w prawo, to w rezultacie otrzymamy wi

ązkę płaskospolaryzowaną.

background image

Polaryzatory


Wi

ązkę światła niespolaryzowanego można spolaryzować, jeżeli przepuścić ją przez polaryzator.

Ekran wykonany z cienkich równoleg

łych drucików jest pięknym przykładem polaryzatora dla fal

milimetrowych (mikrofal); pokazano to na rys. 9.30.

(a) (b)

E

E

I

I=0

pad

E

pad

E

Rys. 9.30. Fala elektromagnetyczna z polaryzacj

ą pionową padająca na ekran równoległych

drucików (a) Ekran z pionowymi drucikami odbija fal

ę. (b) Ekran z poziomymi drucikami nie

odbija fali; fala przechodzi przez ekran bez os

łabienia.

background image

Je

żeli wiązka promieniowania mikrofalowego spolaryzowana jest pionowo i druciki także ułożone są

pionowo, to w ka

żdym druciku indukuje się prąd I. Indukowany prąd emituje pole

pad

E

E

r

r

=

.

Na prawo od polaryzatora, wypadkowe pole

0

=

+

=

E

E

E

pad

r

r

r

.

Przy takiej orientacji, polaryzator zachowuje si

ę analogicznie do idealnego zwierciadła, które nie

przepuszcza wi

ązki.

Je

żeli druciki są prostopadłe do

pad

E

r

to pionowe pr

ądy nie indukują się, nie powstaje dodatkowe

promieniowanie i padaj

ąca fala przechodzi bez strat.


Za o

ś polaryzatora przyjmujemy linię prostopadłą do linii, w której kierunku położone są

druciki

(rys. 9.31).

background image

E

E

'

E

pad

r

r

r

+

=

E

r

r

pad

E

r

pad

E

r

'

+

=

E

α

α

Druciki

(a)

(b)

O

ś polaryzatora

I

Rys. 9.31. (a) Widok przekroju poprzecznego
wi

ązki (wiązka wnika w płaszczyznę rysunku);

wektor pionowej polaryzacji wi

ązki tworzy kąt

α z osią polaryzatora stanowiącego druciki
promieniuj

ące pole

E

r

. (b) Wypadkowe pole

'

E

r

za drucikami.

Je

żeli oś polaryzatora tworzy kąt

α z kierunkiem

pad

E

r

, to polaryzator b

ędzie promieniować pole

E

r

pod k

ątem prostym do osi. Ponieważ

E

r

kompensuje sk

ładową

pad

E

r

w tym kierunku,

wi

ęc wypadkowe pole

'

E

r

b

ędzie przedstawiać

sk

ładową pola

pad

E

r

równoleg

łą do osi, a więc

α

cos

E

'

E

pad

=

czyli

α

2

cos

I

'I

pad

=

(9.30)

Polaryzator

przepuszcza

maksimum

nat

ężenia gdy jego oś skierowana jest

wzd

łuż płaszczyzny polaryzacji.


Dowolne promieniowanie po przej

ściu przez

polaryzator jest p

łaskospolaryzowane w

kierunku osi polaryzatora.

background image

o

E

r

o

E

r

0

''

E

r

''

E

r

'

E

r

I

pad

o

E

O

ś

α

(a)

(b)

Rys. 9.32. (a) Dwa wzajemnie prostopad

łe

polaroidy ca

łkowicie wygaszają światło. (b)

Światło pojawia się jeżeli pomiędzy nimi
umie

ścić trzeci polaroid.

Na podobnej zasadzie oparte jest dzia

łanie

polaroidowego filtru

świetlnego:


o

W przypadku

światła niespolaryzowanego,

sk

ładowe pola E

r

równoleg

łe do łańcuchów

molekularnych ulegaj

ą pochłonięciu. Po

przej

ściu przez filtr polaroidowy pozostają

jedynie te sk

ładowe, które są równoległe do

osi polaroidu.

o

Je

żeli za pierwszym polaroidem umieścić

drugi, w taki sposób, aby ich osie by

ły

wzajemnie prostopad

łe, to wiązka ulega

ca

łkowitemu pochłonięciu i z drugiego

polaroidu

światło nie wychodzi.

o

Je

żeli teraz między dwoma skrzyżowanymi

polaroidami umiejscowi

ć trzeci polaroid, to

światło ponownie pojawi się.

background image

Za

łóżmy, że na środkowy polaroid pada światło, którego natężenie jest równe

2

pad

o

I

I

=

. Za drugim

polaroidem

światło będzie spolaryzowane pod kątem

α i będzie charakteryzowało się natężeniem

α

2

o

cos

I

'I

=

. O

ś ostatniego polaroidu tworzy kąt

π

/2 z p

łaszczyzną polaryzacji światła. Tak więc

( )

(

)

( )

α

α

π

α

α

π

2

4

2

2

2

2

2

2

sin

I

cos

cos

I

cos

'

I

'

'I

o

o

=

=

=

Wyra

żenie to ma maksymalną wartość dla

α =

π

/4, przy czym w przypadku idealnych polaroidów

ko

ńcowe natężenie wynosi I

pad

/8.

background image

Polaryzacja przez odbicie


Niespolaryzowane

światło słoneczne staje się spolaryzowane przy odbiciu.

E

pad

E’

θ

1

θ

1

θ

2

Promie

ń

padaj

ący

Promie

ń

odbity

Promie

ń

za

łamany

Rys. 9.33. Zmiana polaryzacji przy odbiciu.
Promienie odbite i za

łamane są wzajemnie

prostopad

łe, tj. kierunek pola E' jest zgodny

z kierunkiem promienia odbitego.

Prawo Snelliusa

n

sin

sin

=

2

1

θ

θ

o

Odbite

światło może być emitowane tylko

dzi

ęki drganiom atomów nieprzewodzącego

o

środka.

o

Elektrony nie emituj

ą promieniowania w

kierunku swego ruchu.

o

Je

żeli padające światło jest spolaryzowane

jak pokazano na rys. 9.33, to elektrony b

ędą

drga

ły w kierunku

'

E

r

. W tym przypadku

światło nie będzie odbijane, ponieważ
odbijany promie

ń skierowany byłby w

kierunku ruchu elektronów.

o

Jednak

że,

je

żeli

padaj

ące

światło

spolaryzowane

jest

prostopadle

do

p

łaszczyzny rysunku, to odbicie jest

dopuszczalne.

background image

Na rys. 9.33 mamy

2

2

1

π

θ

θ

=

+

. Podstawiaj

ąc do prawa Snelliusa

( )

1

2

2

θ

π

θ

=

otrzymamy

n

sin

sin

=

 −

1

1

2

θ

π

θ

czyli

n

tg

=

1

θ

(9.31)

Je

żeli światło niespolaryzowane pada pod kątem Brewstera, to światło odbite jest

spolaryzowane prostopadle do p

łaszczyzny rysunku. Ten warunek powstania polaryzacji przy

odbiciu nazywamy prawem Brewstera

.

background image

Holografia

Zwierciad

ło

Laser

Przedmiot

Warstwa

fotoczu

ła

O

x

L

y

Rys.

9.34.

Sposób

otrzymywania

hologramu. Na warstw

ę fotoczułą pada

światło laserowe odbite od przedmiotu i
wi

ązka odbita od zwierciadła.

Zasada holografii stanowi pogl

ądową ilustrację

falowej natury

światła i tego w czym tkwi istotna

żnica pomiędzy światłem koherentnym, a

niekoherentnym.

Konieczna d

ługość koherentności wynosi 2L,

gdzie L jest odleg

łością pomiędzy przedmiotem a

zwierciad

łem.

Za pomoc

ą obrazu na warstwie udaje się

odtworzy

ć czoło fali z prawidłowymi wartościami

amplitud i faz wzd

łuż całej jego powierzchni

(warstwa jest jedynie czu

ła na natężenie światła).

Za

łóżmy, że warstwa fotoczuła hologramu

po

łożona jest w płaszczyźnie yz. Wówczas

amplitud

ę fali odbitej przez przedmiot w

p

łaszczyźnie yz możemy napisać w postaci

( )

( )

[

]

z

,

y

t

cos

z

,

y

a

E

Φ

ω

+

=

(9.32)

Przypu

śćmy teraz, że mając taki rozkład amplitudy fali na warstwie, oświetlamy ją płaską falą lasera.

Wówczas rozk

ład pola elektrycznego w płaszczyźnie warstwy ma postać

(

)

Φ

ω

ω

+

+

=

t

cos

a

t

cos

E

E

o

wyp

gdzie a = a(y,z) i

Φ = Φ(y,z).

background image

Poniewa

ż natężenie jest proporcjonalne do kwadratu E

wyp

, mamy

(

)

(

)

Φ

ω

Φ

ω

ω

ω

+

+

+

+

=

t

cos

a

t

cos

t

cos

E

t

cos

E

I

o

o

2

2

2

2

2

Średnia wartość natężenia wynosi

(

)

[

]

2

2

2

2

a

t

cos

cos

a

E

I

I

o

o

+

+

+

+

=

Φ

ω

Φ

Uwzgl

ędniono tu, że

(

)

(

)

β

α

α

β

β

α

+

+

=

cos

)

/

(

cos

)

/

(

cos

cos

2

1

2

1

.

Średnia wartość cos(2

ωt + Φ) = 0, dlatego

( )

( )

z

,

y

cos

z

,

y

a

E

K

I

o

Φ

+

=

1

(9.33)

gdzie

(

)

2

2

1

a

I

K

o

+

=

.


W przypadku stosowania

źródła światła o długości koherentności przewyższającej 2L, udaje się

zachowa

ć informację o rozkładzie fazy

( )

z

,

y

Φ

na warstwie.

Poczernienie warstwy jest proporcjonalne do

I

.

Je

żeli skierować na negatyw wiązkę lasera o natężeniu

t

cos

'I

ω

2

, to natychmiast za negatywem

otrzymamy

(

)

[

]

Φ

ω

cos

a

E

K

K

t

cos

'I

I

o

+

=

1

2

2

Odpowiednie pole elektryczne proporcjonalne jest do pierwiastka kwadratowego z wyra

żenia, więc

background image

(

)

[

]

Φ

ω

ω

Φ

ω

cos

t

cos

a

K

t

cos

K

cos

a

E

K

K

K

t

cos

E

E

/

o

4

3

2

1

2

2

1

2

1

+

+

=

gdzie

2

1

2

1

3

K

K

K

=

i

4

2

4

o

E

K

K

=

Stosuj

ąc ponownie związek trygonometryczny

2cos

αcosβ = cos(α –β) + cos(α +β),

mamy

( )

( )

[

]

( )

( )

[

]

z

,

y

t

cos

z

,

y

a

K

z

,

y

t

cos

z

,

y

a

K

t

cos

K

E

Φ

ω

Φ

ω

ω

+

+

+

=

4

4

3



+



+



fazie

odwróconej

o

przedmiotu

od

świato

K

przedmiotu

od

odbite

świato

K

lasera

od

io

bezposredn

świato

4

4

Pierwszy cz

łon – rejestrowany jest przez oko obserwatora jako światło laserowe.


Drugi cz

łon – w postaci światła odbitego od przedmiotu jakby przedmiot faktycznie znajdował się w

swym pierwotnym po

łożeniu.


Trzeci cz

łon przejawia się w postaci jeszcze jednego realnego obrazu.


Chocia

ż holografię odkryto w 1949 r., pozostała nauką samą w sobie do początku lat

sze

śćdziesiątych. Dopiero po konstrukcji pierwszych laserów znalazła szerokie zastosowanie.

background image

Optyka geometryczna


D

ługość fali świetlnej jest na tyle mała w porównaniu z rozmiarami większości przyrządów

optycznych,

że efekty interferencyjne nie ujawniają się.


Fale

świetlne rozprzestrzeniają się wzdłuż linii prostych prostopadłych do czoła fali.


Dowolna taka prosta wzd

łuż kierunku propagacji fal świetlnych nazywana jest promieniem świetlnym.


Stosuj

ąc prawo odbicia i załamania i zwykłe zasady geometrii euklidesowej można zbudować opis

matematyczny lub obraz geometryczny propagacji promieni

świetlnych.


Taki opis matematyczny promieni

świetlnych stanowi oddzielny dział fizyki i nosi nazwę

optyki

geometrycznej

.

background image

Prawo odbicia

pad

E

(a)

(b)

Str

um

ień

pa

da

jąc

y

Str

um

ień

pro

mie

niu

jąc

y

Stru

mień

prom

ieniu

j

ący

Przewodnik

θ

pad

'
L

E

'
R

E

λ

λ

'

L

θ

'
R

θ

J

Rys. 9.35. (a) Trzy kolejne po

łożenia czoła fali

padaj

ącej pod kątem padania

θ

pad

;

w

przewodniku indukuje si

ę prąd powierzchniowy

J(y), którego maksima odpowiadaj

ą przecięciu

czo

ła fali z powierzchnią przewodnika. (b) Pole

promieniowania wywo

łane jedynie prądem J(y).

Pr

ąd powierzchniowy okazuje się być takim,

że pole wewnątrz przewodnika zawsze jest
równe zeru.

Oznacza to,

że promieniowane przez prąd

pole na praw

ą stronę dokładnie kompensuje

E

pad

. Tak wi

ęc

pad

'

R

E

E

=

i

pad

'

R

θ

θ

=

.

Warunki symetrii wymagaj

ą

'

R

'

L

E

E

=

i

'

R

'

L

θ

θ

=

Udowodnili

śmy więc, że w przypadku

powierzchni przewodz

ącej amplituda fali

odbitej zachowuje si

ę lecz jej składowa

wzd

łuż powierzchni zmienia swój kierunek na

przeciwny.

background image

Jak wida

ć z rys. 9.36, ogniskowa zwierciadła wklęsłego równa jest połowie jego promienia krzywizny.

P

C

A

Zwierciad

ło

wkl

ęsłe

Ognisko

Strumie

ń

światła

Środek

krzywizny

F

θ

θ

θ

Rys. 9.36. Równoleg

ła wiązka światła padająca na zwierciadło wklęsłe o promieniu CP.

Na rys. 9.37 pokazano jak mo

żna graficznie zbudować obraz przedmiotu (w danym przypadku

strza

łki), jeżeli znane jest położenie ogniska F.

1

2

Przedmiot

Obraz

C

F

Rys. 9.37. Tworzenie obrazu przez zwierciad

ło wklęsłe. Za pomocą promieni 1 i 2 określa się

graficzne po

łożenie obrazu.

background image

Prawo za

łamania

θ

1

θ

2

1

1

2

2

λ

1

λ

2

A

B

B

A

O

środek 1 Ośrodek 2

Rys. 9.38. Dwa kolejne po

łożenia czoła

falowego, kiedy fala przechodzi, przez
powierzchni

ę rozdziału szkło - powietrze.

Prawo za

łamania potwierdza, że przy przejściu z

jednego o

środka przezroczystego do drugiego,

promie

ń świetlny zmienia swój kierunek.


Na rysunku pokazano dwa kolejne po

łożenia

czo

ła falowego AB i A'B'.

f

u

1

1

=

λ

;

f

u

2

2

=

λ

Z trójk

ąta prostokątnego ABB' znajdujemy

'

AB

sin

1

1

λ

θ

=

a z trójk

ąta prostokątnego A'AB

'

AB

sin

2

2

λ

θ

=

Podzielimy pierwszy zwi

ązek przez drugi

1

2

2

1

2

1

2

1

u

c

u

c

u

u

sin

sin

=

=

=

λ

λ

θ

θ

St

ąd

1

2

2

1

n

n

sin

sin

=

θ

θ

(9.34)

gdzie

1

n i

2

n wspó

łczynniki załamania odpowiednio ośrodka 1 i 2. Jest to prawo Snelliusa.

background image

Soczewki

O

P

B

A

A

B

s

s

2

2

1

1

F

f

Rys. 9.39. Przedmiot AB po

łożony jest w odległości s od soczewki o ogniskowej f. Obraz A'B'

po

łożony jest w odległości s' od soczewki.

Trójk

ąt ABO jest podobny do trójkąta A'B'O. Dlatego

s

'

s

AB

'

B

'

A

=

(9.35)

Trójk

ąt POF podobny jest do trójkąta A'B'F, tak że

f

f

'

s

PO

'

B

'

A

=

(9.36)

background image

Poniewa

ż PO = AB, lewe strony we wzorach (9.35) i (9.36) są równe. Przyrównując między sobą

prawe strony, otrzymujemy

'

s

s

f

1

1

1

+

=

(9.37)

Zwi

ązek ten między odległościami od przedmiotu i obrazu nazywany jest wzorem cienkiej

soczewki.


Zwykle przy rozwi

ązywaniu jakichkolwiek zadań, elementy optyczne umieszcza się w taki sposób

a

żeby światło biegło przez soczewkę z lewa na prawo. Wówczas wielkość s' traktuje się jako

dodatni

ą, jeżeli obraz położony jest na prawo od soczewki i ujemną – jeżeli obraz położony jest na

lewo od niej.

W przypadku soczewki rozpraszaj

ącej wielkość f jest ujemna.


Wielko

ść s będzie ujemna, jeżeli promienie wychodzące z soczewki schodzą się w urojony przedmiot

(mo

że to być urojony obraz wytworzony na lewo od soczewki).


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Echo elektroniczne id 149974 Nieznany
Mikroskopia elektronowa id 3018 Nieznany
elektro 3 id 157863 Nieznany
elektra 4 id 157704 Nieznany
5 Pole elektrostatyczne id 397 Nieznany
elektrae1 id 157847 Nieznany
elektro 2 id 157860 Nieznany
Budowa Lampy Elektronowej id 94 Nieznany (2)
Obrobka elektroerozyjna id 3280 Nieznany
ELEKTROSTATYKA 2 id 159079 Nieznany
elektra 8 id 157752 Nieznany
O PODPISIE ELEKTRONICZNYM id 32 Nieznany
elektroliza 3 id 158085 Nieznany
Obwody elektryczne id 329051 Nieznany
angielski dla elektrykow id 640 Nieznany
elektro4 id 157939 Nieznany
elektra 9 id 157753 Nieznany
cta 105 elektryka id 108360 Nieznany

więcej podobnych podstron