ELEKTROSTATYKA
Oddzia
ływania elektromagnetyczne:
o
zjawiska elektryczne,
o
promieniowanie elektromagnetyczne i optyka,
o
powi
ązane z mechaniką kwantową.
Ładunek elektryczny
Si
ła oddziaływania między elektronem a protonem znajdującymi się w odległości równej promieniowi
atomu wodoru:
o
grawitacyjne:
2
r
/
m
Gm
F
e
p
=
= 3.61
×
10
–47
N
(
e
m
= 9.11
×
10
–31
kg,
p
m
= 1.67
×
10
–27
kg),
o
elektrostatyczne: 8.19
×
10
–8
N, si
ła 2,27
×
10
39
razy wi
ększa.
W du
żych obiektach ilość elektronów i protonów jest jednakowa i dlatego ogromne siły przyciągania i
odpychania elektrostatycznego wzajemnie kompensuj
ą się i pozostaje jedynie słaba siła
grawitacyjna.
Oddzia
ływanie grawitacyjne dużych obiektów może okazać się silniejsze od oddziaływania
elektrostatycznego (przyk
ładem są czarne dziury we Wszechświecie).
Źródłem siły grawitacyjnej jest masa grawitacyjna.
Si
ła elektrostatyczna wywołana jest ładunkiem elektrycznym
.
Ładunek elektryczny może być dodatni lub ujemny.
o
Ładunek elementarny e = 1.60
×
10
–19
C
o
Niektóre cz
ąstki elementarne (np. neutron, foton i neutrino) charakteryzują się zerowym
ładunkiem elektrycznym.
o
Na
ładowana cząstka ma ładunek skwantowany, tzn. równy całkowitej wielokrotności e.
Prawo zachowania
ładunku sformułowane przez Franklina w 1747 r.
W uk
ładzie zamkniętym całkowity ładunek pozostaje stały
.
Prawo to jest spe
łnione nawet przy anihilacji naładowanych cząstek.
Prawo Coulomba
Si
ła działająca pomiędzy dwoma naładowanymi cząstkami jest proporcjonalna do iloczynu
ładunków q
1
i q
2
i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odleg
łości między nimi
2
2
1
r
q
q
k
F
o
=
(4.1)
gdzie
o
k
jest wspó
łczynnikiem proporcjonalności.
Jednostka
ładunku jest C. Stała
o
k
w uk
ładzie SI wynosi
o
/
πε
4
1
. Wówczas
2
2
1
4
1
r
q
q
F
o
⋅
=
ε
π
(4.2)
gdzie
=
=
o
o
k
π
ε
4
1
8.854
×
10
–12
C
2
/(Nm
2
). Wielko
ść tę nazywamy
przenikalno
ścią elektryczną
pró
żni
.
q
1
q
2
q
q
3
1
F
1
F
2
F
2
F
3
F
3
F
F
(a) (b)
Rys. 4.1. (a) Si
ły działające na ładunek q za strony ładunków q
1
, q
2
, q
3
. (b) Wypadkowa si
ła
otrzymana w wyniku dodania wektorowego si
ł działających na ładunek q.
Zasada superpozycji
si
ł elektrostatycznych potwierdzona jest eksperymentalnie.
Pole elektryczne
Definicja pola
q
F
E
r
v
=
(4.3)
Wielko
ść E mierzona jest w N/C lub V/m.
Pole elektryczne
ładunku punktowego Q w odległości r:
(
)
z
,
y
,
x
E
r
r
r
q
Q
q
E
2
o
r
r
r
=
=
ε
π
4
1
1
czyli
'
r
r
Q
E
o
r
r
2
4
1
ε
π
=
(4.4)
gdzie
'
r
r
jest wektorem jednostkowym skierowanym od
ładunku Q do punktu P(x, y, z).
Pole elektryczne pochodz
ące od n ładunków punktowych
(
)
∑
∑
=
=
=
=
n
j
n
j
j
,
j
j
j
o
z
,
y
,
x
E
r
r
Q
E
1
1
2
4
1
r
r
r
ε
π
(4.5)
W przypadku
ładunku rozłożonego o gęstości ładunku
ρ = dQ/dV = ρ(x,y,z) [jednostka C/m
3
]
(
)
'
dz
'
dy
'
dx
r
'
z
,
'
y
,
'
x
E
V
r
o
∫
=
2
4
1
ρ
ε
ε
π
(4.6)
r
ε
okre
śla względną przenikalność elektryczną ośrodka.
W skali mikro (np. w atomie) g
ęstość ładunku zmienia się silnie od punktu do punktu i wtedy takie
poj
ęcie traci sens.
Dipol
r
r
+
-
+Q
-Q
Dipol
q
1
F
2
F
F
l
Rys. 4.2. Si
ły działające na ładunek q ze
strony dipola o momencie p = Ql.
Dipol elektryczny charakteryzujemy momentem
dipolowym p = Ql. Zauwa
żmy, że
r
/
l
F
/
F
=
1
,
czyli
( )
3
1
r
p
o
r
Qq
o
r
l
r
l
k
q
k
F
F
2
=
=
=
(4.7)
Pole elektryczne dipola
3
4
1
r
p
E
o
ε
π
=
(4.8)
Strumie
ń pola
Rys. 4.3. Strumie
ń pola elektrycznego.
Ka
żdemu elementowi dS przypisujemy
wektor
j
S
d
r
normalny do powierzchni i
okre
ślający orientację elementu dS
n
dS
S
d
;
dS
S
d
j
j
j
r
r
r
=
=
Strumie
ń natężenia pola elektrycznego przez
powierzchni
ę
j
S
d
r
j
j
E
S
d
E
d
r
r
⋅
=
Φ
(4.9)
Ca
łkowity strumień przez powierzchnię S:
∫
=
∑
⋅
⋅
=
S
j
j
j
E
S
d
E
S
d
E
r
r
r
r
Φ
(4.10)
Jednostka strumienia ma wymiar Vm.
Prawo Gaussa
Dla
ładunku punktowego q otoczonego kulą o promieniu r i środku pokrywającym się z położeniem
ładunku, strumień
E
Φ
przechodz
ący przez sferę
r
o
r
o
q
r
r
q
r
E
S
d
E
E
ε
ε
π
ε
ε
π
π
Φ
=
=
=
⋅
=
∫
2
2
2
4
4
1
4
r
r
(4.11)
Strumie
ń pola nie zależy od wielkości powierzchni.
r
R
A
a
θ
Rys. 4.4 Strumie
ń przez dowolną
zamkni
ętą powierzchnię zawierającą
ładunek q.
Rozpatrzymy dowoln
ą powierzchnię, która zawiera
kul
ę wraz z ładunkiem i udowodnimy, że całkowity
strumie
ń przez tę powierzchnię jest identyczny jak
strumie
ń przez powierzchnię kulistą.
Powierzchnia elementu
A
r
jest wi
ększa od powierzchni
elementu
a
r
( )
θ
cos
r
R
a
A
1
2
=
ze wzgl
ędu na ten sam kąt bryłowy
θ
Ω
cos
R
A
r
a
d
2
2
=
=
oraz ze wzgl
ędu na nachylenie elementu do kierunku
radialnego.
K
ąt
θ jest kątem zawartym zewnętrzną normalną a
kierunkiem radialnym.
Strumie
ń natężenia pola przez oba elementy jest równy
a
E
a
E
d
r
r
a
,
E
=
⋅
=
r
r
Φ
oraz
θ
Φ
cos
A
E
A
E
d
R
R
A
E,
=
⋅
=
r
r
Wstawiaj
ąc do równania na strumień wartości
R
q
E
r
o
R
2
4
1
ε
πε
=
i
( )
θ
cos
r
R
a
=
A
1
2
dostajemy
a
E
a
q
d
r
r
o
A
E,
=
=
ε
πε
Φ
4
(4.12)
Strumienie przez oba elementy s
ą równe. Również całkowity strumień przez obie powierzchnie
b
ędzie jednakowy, a więc
strumie
ń natężenia pola przez dowolną zamkniętą powierzchnię
otaczaj
ącą ładunek q będzie równy
o
q
εε
.
Je
żeli ładunek leży na zewnątrz zamkniętej dowolnej powierzchni, to strumień przez tę powierzchnię
znika.
Je
żeli mamy n ładunków punktowych objętych powierzchnią, to strumień przez tę powierzchnię
wynosi:
∑
=
n
1
=
i
r
o
E
i
q
ε
ε
Φ
(4.13)
W przypadku
ładunku o gęstości objętościowej
ρ(x,y,z)
∫
∫
=
⋅
V
r
o
S
dV
S
d
E
ρ
ε
ε
1
r
r
(4.14)
Prawo Gaussa brzmi:
strumie
ń natężenia pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię
zamkni
ętą równa się iloczynowi całkowitego ładunku zamkniętego w tej powierzchni przez
.
Powierzchniowy rozk
ład ładunku
S
o
a
a
Fig. 4.6. Niesko
ńczona powierzchnia
metalowa o g
ęstości powierzchniowej
ładunku
σ.
Ca
łkowity strumień natężenia pola elektrycznego
∫
=
⋅
o
ES
S
d
E
2
r
r
Zgodnie z twierdzeniem Gaussa
r
o
o
o
S
ES
ε
ε
σ
=
2
czyli pole elektryczne na
ładowanej płaszczyzny
jest równe
r
o
E
ε
ε
σ
2
=
(4.17)
Kondensator p
łaski
I II III
a b
Fig. 4.7. Pole elektryczne mi
ędzy dwoma
p
łaszczyznami o równych gęstościach
ładunku
powierzchniowego
σ lecz
przeciwnych znakach.
Pole wytworzone przez p
łaszczyznę b wynosi
r
o
b
/
E
ε
ε
σ 2
=
i jest skierowane od tej
p
łaszczyzny.
W obszarze I:
0
2
2
=
−
=
+
=
r
o
r
o
bI
aI
I
E
E
E
ε
ε
σ
ε
ε
σ
W obszarze II:
r
o
r
o
r
o
II
b
II
a
II
E
E
E
ε
ε
σ
ε
ε
σ
ε
ε
σ
−
=
−
−
=
+
=
2
2
(4.18)
W obszarze III:
0
2
2
=
+
−
=
+
=
r
o
r
o
III
b
III
a
III
E
E
E
ε
ε
σ
ε
ε
σ
Na zewn
ątrz płaszczyzn pole elektryczne
znika, natomiast mi
ędzy płaszczyznami wynosi
r
o
/
ε
ε
σ
.
Powierzchnia przewodnika
Wi
ększość ciał stałych dzielimy na przewodniki i izolatory (dielektryki)
.
Dodatkowy
ładunek umieszczony na powierzchni lub wewnątrz dielektryka pozostaje nieruchomy.
Powierzchnia S
∆
Przewodnik
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + +
Rys. 4.9 Wewn
ątrz prostopadłościanu
o podstawie
∆S znajduje się ładunek σ∆S.
W przewodniku pole elektryczne mo
że istnieć jedynie
w ci
ągu krótkiego okresu czasu dopóki swobodne
elektrony
nie
zgromadz
ą się na powierzchni
przewodnika pod wp
ływem działania zewnętrznego
pola i nie utworz
ą przeciwnie skierowanego pola.
Zgodnie z twierdzeniem Gaussa
∫
=
⋅
S
r
o
w
Q
S
d
E
ε
ε
r
r
o
W stanie równowagi
ładunkowej przewodnika E
w
= 0,
ładunek wewnętrzny przewodnika Qw = 0.
o
Linie si
ł pola elektrycznego na powierzchni
przewodnika s
ą skierowane prostopadle do
powierzchni.
r
o
S
S
E
ε
ε
∆
σ
∆
=
czyli nat
ężenie pola na powierzchni przewodnika
r
o
E
ε
ε
σ
=
(4.20)
Potencja
ł elektryczny
Poka
żemy, że całka z pola elektrycznego
E
r
po krzywej
łączącej punkty A i B
∫
=
⋅
B
A
const
s
d
E
r
r
przybiera t
ę samą wartość dla wszystkich dróg łączących punkty A i B.
Dla
ładunku punktowego praca sił pola elektrostatycznego wynosi
B
A
B
A
B
A
B
A
AB
U
U
s
d
E
q
s
d
E
q
s
d
F
W
−
=
⋅
−
=
⋅
=
⋅
=
∫
∫
∫
r
r
r
r
r
r
(4.21)
i jest równa zmianie energii potencjalnej pola elektrostatycznego.
Przyjmujemy U = 0, gdy
ładunek znajduje się w nieskończoności. Wówczas
∫
∞
⋅
−
=
A
A
s
d
E
q
U
r
r
(4.22)
Je
żeli przesuniemy ładunek q z nieskończoności do punktu położonego w odległości r od ładunku
punktowego Q, to energia potencjalna b
ędzie równa pracy przeciwko sile elektrostatycznej
[ ]
r
r
o
r
r
o
r
1
qQ
dr
r
Q
q
U
∞
∞
−
−
=
−
=
∫
ε
πε
ε
πε
4
1
4
1
2
Wobec tego, energia potencjalna
ładunku punktowego q umieszczonego w polu ładunku Q wynosi
r
qQ
U
r
o
ε
ε
π
4
1
=
(4.23)
Potencja
ł elektryczny określamy jako energię potencjalną jednostkowego ładunku
q
U
V
=
(4.24)
Jednostk
ą potencjału elektrycznego jest wolt V = J/C.
Potencja
ł ładunku punktowego Q
r
Q
V
r
o
ε
πε
4
1
=
(4.25)
Potencja
ł elektryczny jest pracą jaką należy wykonać aby przesunąć ładunek jednostkowy z
niesko
ńczoności na odległość r od ładunku punktowego Q.
Ró
żnica potencjałów (napięcie elektryczne) pomiędzy dwoma punktami stanowi pracę jaką
nale
ży wykonać w celu przesunięcia jednostkowego ładunku z jednego punktu pola do
drugiego.
s
d
E
V
V
A
B
B
A
r
r
⋅
−
=
−
∫
(4.26)
Z ostatniego wyra
żenia wynika
s
d
E
dV
r
r
⋅
−
=
(4.27)
dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
dV
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
+
=
(4.28)
Z kolei wektor przesuni
ęcia
s
d
r
dz
k
dy
j
dx
i
s
d
r
r
r
r
+
+
=
Przyjmuj
ąc teraz, że
V
grad
E
−
=
r
+
+
−
=
z
V
k
y
V
j
x
V
i
E
∂
∂
∂
∂
∂
∂
r
r
r
r
(4.29)
widzimy,
że iloczyn skalarny
dV
dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
s
d
E
−
=
+
+
−
=
⋅
∂
∂
∂
∂
∂
∂
r
r
co potwierdza relacj
ę (4.27). Pokazaliśmy zatem, że
V
grad
E
−
=
r
(4.30)
Znak minus oznacza,
że wektor natężenia pola elektrycznego skierowany jest od większego do
mniejszego potencja
łu. Wektor grad V pokrywa się z kierunkiem wzrostu funkcji V.
Przyk
ład:
ró
żnica potencjałów pomiędzy dwiema przeciwnie naładowanymi równoległymi płytkami
x
o
σ
_
σ
+
Rys. 4.11. Dwie równoleg
łe płytki naładowane
równymi co do warto
ści lecz przeciwnymi
ładunkami.
Zgodnie z (4.27)
o
Ex
V
−
=
Poniewa
ż
linie
si
ł
pola
elektrycznego
skierowane s
ą od ładunków dodatnich do
ujemnych, to znak minus wskazuje,
że dodatnia
p
łytka charakteryzuje się wyższym potencjałem.
Ró
żnica potencjałów między płytkami wynosi
S
Q
x
x
V
r
o
o
r
o
o
ε
ε
ε
ε
σ
∆
=
=
(4.31)
Je
żeli kilka naładowanych ciał położonych jest w odległościach odpowiednio
n
2
r
,
...
,
r
,
r
1
od punktu P,
to potencja
ł elektryczny w tym punkcie jest równy sumie potencjałów od poszczególnych ciał.
(
)
n
n
V
V
V
s
d
E
E
E
s
d
E
V
+
+
+
=
+
+
+
−
=
⋅
−
=
∫
∫
K
r
r
K
r
r
r
r
2
1
2
1
Si
ły elektrostatyczne są zachowawcze.
∫
=
⋅
0
s
d
E
r
r
(4.32)
Powy
ższa
ca
łka po konturze zamkniętym nazywana jest cyrkulacją wektora natężenia pola
elektrycznego
.
Wzór (4.32) nie jest s
łuszny w przypadku zmiennych w czasie pól elektrycznych. Pola takie nie są
potencjalne.
Pojemno
ść elektryczna
Stosunek nagromadzonego
ładunku do różnicy potencjałów V nazywamy pojemnością C:
V
Q
C
∆
=
(4.33)
Jednostka pojemno
ści: C/V = F (farad). Stosuje się mniejsze jednostki jak mikrofarad (
µ
F), nanofarad
(nF), pikofarad (pF).
Ró
żnica potencjałów pomiędzy dwoma płytkami wynosi
S
Q/
x
V
r
o
o
ε
ε
∆
=
. St
ąd wynika, że
pojemno
ść kondensatora płaskiego wynosi
o
r
o
x
S
V
Q
C
ε
ε
∆
=
=
(4.34)
G
ęstość energii pola elektrycznego
Za
łóżmy, że początkowo nienaładowany kondensator stopniowo ładowano, przy czym różnica
potencja
łów wzrastała od 0 do V
o
.
Ładunek na okładkach kondensatora będzie wzrastał od 0 do Q
o
,
gdzie Q
o
= CV
o
. Praca wykonana przy przemieszczaniu
ładunku dq od ujemnie naładowanej płytki do
na
ładowanej dodatnio wynosi
Vdq
dW
=
Energia zmagazynowana w kondensatorze
C
Q
dq
C
q
dq
V
W
o
V
0
Q
o
o
2
0
2
1
=
=
=
∫
∫
(4.35)
Zauwa
żmy, że
S
Q
x
V
E
r
o
o
o
ε
ε
∆
=
=
czyli
SE
Q
r
o
o
ε
ε
=
Podstawiaj
ąc to do (4.35) otrzymamy
(
)
C
SE
W
r
o
2
2
1
ε
ε
=
Uwzgl
ędniając z kolei (4.34) mamy
o
r
o
Sx
E
W
2
2
ε
ε
=
Teraz dziel
ąc obie części przez objętość kondensatora Sx
o
, otrzymujemy g
ęstość energii pola
elektrycznego
2
2
1
E
w
r
o
ε
ε
=
(4.36)
Z bardziej ogólnych ale zarazem bardziej z
łożonych rozważań wynika, że całkowita energia
konieczna do uformowania dowolnego rozk
ładu ładunków, jest równa dokładnie całce po
2
2
/
E
r
o
ε
ε
liczonej po ca
łej przestrzeni V, gdzie E jest polem utworzonym przez taki rozkład ładunku
dV
E
W
r
o
∫
=
2
2
ε
ε
(4.37)
Dielektryki
Je
żeli między okładkami umieścimy substancję, to pojemność kondensatora wzrasta od C do C’.
Mo
żemy wówczas określić względną przenikalność dielektryczną substancji
C
'
C
r
=
ε
(4.38)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
σ
0
σ
’
−σ
’
−σ
0
Rys. 4.12. Powstanie
ładunku indukowanego
σ' na powierzchni dielektryka umieszczonego
mi
ędzy okładkami kondensatora.
W dielektrykach
ładunki nie mają możliwości
swobodnego przemieszczania
Polaryzacja dielektryka to indukcja
ładunku
na powierzchni dielektryka pod wp
ływem
zewn
ętrznego pola elektrycznego.
Wskutek zjawiska polaryzacji zmienia si
ę
warto
ść
nat
ężenia
pola
w
o
środku
dielektrycznym; wp
ływ pola wewnętrznego.
Cz
ąsteczki niespolaryzowane
(np. H
2
, Cl
2
,
CCl
4
, w
ęglowodory): środki ciężkości ładunków
dodatnich i ujemnych pokrywaj
ą się.
Pod wp
ływem zewnętrznego pola elektrycznego w cząstkach niespolaryzowanych indukuje się
moment dipolowy
E
p
o
e
r
r
α
ε
=
(4.39)
gdzie
α jest współczynnikiem polaryzowalności atomu.
Cz
ąsteczki spolaryzowane
o samoistnym momencie dipolowym
e
p
r
(H
2
O, NH
3
, HCl, CH
3
Cl)
Rodzaje polaryzacj
Polaryzacja skierowana
: pod wp
ływem zewnętrznego pola elektrycznego cząsteczki dielektryka
d
ążą do zajęcia takiego położenia, aby kierunek wektorów ich momentów dipolowych
e
p
r
by
ł
zgodny z kierunkiem wektora
E
r
.
Polaryzacja elektronowa
: cz
ąsteczki niespolaryzowane uzyskują w polu elektrycznym momenty
dipolowe indukowane w wyniku odkszta
łcenia orbit elektronowych.
Polaryzacja jonowa
(NaCl, CsCl): rozsuni
ęcie jonów pod wpływem pola elektrycznego.
Wska
źnik ilościowy polaryzacji –
wektor polaryzacji
∑
→
=
N
1
=
i
ei
V
e
p
V
lim
P
r
r
1
0
(4.40)
N oznacza liczb
ę dipoli zawartych w objętości V dielektryka, a
ei
p
r
moment elektryczny i-tego dipola.
W przypadku dielektryka jednorodnego o cz
ąsteczkach niespolaryzowanych
e
o
e
p
N
P
r
r
=
(4.41)
gdzie
o
N
oznacza liczb
ę cząsteczek w jednostce objętości. Stosując wzór (4.39) otrzymujemy
E
E
N
P
o
o
o
e
r
r
r
χ
ε
α
ε
=
=
(4.42)
Wspó
łczynnik
α
χ
o
e
N
=
– podatno
ść dielektryczna substancji.
Twierdzenie Gaussa w przypadku obecno
ści dielektryków.
Wektor indukcji elektrycznej
Warto
ść liczbowa
E
r
jest zawsze odwrotnie proporcjonalna do sta
łej dielektrycznej
ε ośrodka. Z tego
wzgl
ędu wprowadzono wielkość
D
r
niezale
żną od stałej dielektrycznej danej substancji
E
D
o
r
r
εε
=
(4.43)
D
r
nazywamy wektorem indukcji elektrycznej i mierzymy w C/m
2
:
D
r
charakteryzuje zatem to pole elektryczne, które wytwarzaj
ą w danej substancji same tylko ładunki
swobodne.
Ładunki związane powstające w dielektryku wywołują zmianę rozkładu w przestrzeni
ładunków swobodnych wytwarzających pole
.
Strumie
ń indukcji elektrycznej
j
j
D
S
d
D
d
r
r
⋅
=
Φ
Ca
łkowity strumień
∑
∫
=
⋅
=
swob
S
D
q
S
d
D
r
r
Φ
(4.45)
gdzie zgodnie z definicj
ą wektora indukcji elektrycznej uwzględniono tylko ładunki swobodne.
W pró
żni
E
D
o
ε
=
, a zatem równanie (4.45) przybiera posta
ć
∑
∫
=
⋅
swob
S
o
q
S
d
E
r
r
ε
(4.46)
Pole w dowolnym
środowisku różni się od pola w próżni tym, że wytwarzają je ładunki zarówno
swobodne, jak i zwi
ązane. W ogólnym przypadku
∑
∑
∫
+
=
⋅
zwi
ą
swob
S
o
q
q
S
d
E
r
r
ε
(4.47)
Ładunki swobodne wytwarzają zewnętrzne pole elektryczne, natomiast ładunki związane
wytwarzaj
ą pole wewnętrzne spolaryzowanego dielektryka.
l
α
α
(a) (b)
∆
S
∆
S
l/2
l/2
E
E
e
P
e
P
n
n
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
A B
A’ B’
+
σ
-
σ
-
σ
p
+
σ
p
E
E
o
p
Rys. 4.13. Powstawanie
ładunku związanego.
Pole elektryczne
p
E
r
ładunków związanych jest skierowane przeciwnie względem pola zewnętrznego
o
E
r
, wytworzonego przez
ładunki swobodne. Natężenie pola wypadkowego
p
o
E
E
E
r
r
r
+
=
Znajdziemy teraz sum
ę ładunków związanych, które powstały w wyniku polaryzacji dielektryka,
obj
ętego zamkniętą powierzchnią S.
Suma algebraiczna wszystkich
ładunków dipoli całkowicie objętych powierzchnią, równa się zeru.
Przy obliczaniu
zwi
ą
q
∑
uwzgl
ędnia się zatem tylko te dipole, które przecinają powierzchnię S. Warunek ten spełniają
wszystkie dipole, których
środki leżą wewnątrz objętości l
∆Scos
α
.
Liczba dipoli przeci
ętych przez element
∆S wynosi
o
N
l
∆Scosα.
Ca
łkowity ładunek związany
ą
zwi
q
∆
, powierzchni
∆
S
S
cos
p
N
S
cos
ql
N
q
e
o
o
zwi
ą
∆
α
∆
α
∆
−
=
−
=
Iloczyn
e
o
p
N
równy jest modu
łowi wektora polaryzacji. A zatem
S
d
P
S
n
P
S
cos
P
q
e
e
e
zwi
ą
r
r
r
r
r
⋅
−
=
⋅
−
=
−
=
∆
∆
α
∆
(4.48)
Sumy
ładunków związanych, znajdujących się wewnątrz zamkniętej powierzchni S
S
d
P
q
S
e
zwi
ą
r
r
⋅
−
=
∫
∑
(4.49)
Twierdzenie Gaussa
S
d
P
q
S
d
E
S
e
swob
S
o
r
r
r
r
⋅
−
=
⋅
∫
∑
∫
ε
st
ąd
(
)
∑
∫
=
+
swob
S
e
o
q
S
d
P
E
r
r
r
ε
(4.50)
Wstawiaj
ąc tu
∑
swob
q
z równania (4.45) otrzymujemy
(
)
∫
∫
⋅
=
+
S
S
e
o
S
d
D
S
d
P
E
r
r
r
r
r
ε
Przeto
e
o
P
E
D
r
r
r
+
=
ε
(4.51)
Uwzgl
ędniając (4.42) mamy
(
)
E
E
E
D
e
o
e
o
o
r
r
r
r
χ
ε
χ
ε
ε
+
=
+
=
1
(4.52)
Z drugiej strony, w my
śl definicji (4.43), wektor
D
r
równy jest
E
D
r
o
r
r
ε
ε
=
Zatem
e
r
χ
ε
+
=
1
(4.53)
Sta
ła dielektryczna równa się podatności dielektrycznej zwiększonej o 1
. Dla pró
żni
1
=
r
ε
, a
0
=
e
χ
.