Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.

1

Obwody elektryczne

[e-mail]

1. Podstawowe pojęcia

Źródło: np. Wikipedia!

• ładunek elektryczny - wyrażamy w kulombach [C]

(analogia hydrodynamiczna: masa wody)

• natężenie prądu I – wyrażamy w amperach [A=C/s]

𝐼 =

𝑄

𝑡

(analogia hydrodynamiczna: masa płynącej wody)

Natężenie prądu elektrycznego I definiuje się jako stosunek ładunku, który przepływa przez

poprzeczny przekrój przewodnika do czasu przepływu tego ładunku t:

• napięcie U – wyrażamy w woltach [V].

Między dwoma punktami pola występuje różnica potencjałów (napięcie elektryczne) 1 V, jeśli praca

wykonana przy przesuwaniu ładunku 1 C między tymi punktami wynosi 1 J:

(analogia hydrodynamiczna: ciśnienie wody, łatwo zamienić na wysokość, z jakiej woda spada)

W przypadku baterii, prądnic, cewek itp. pojawia się pojęcie siły elektromotorycznej

Siła elektromotoryczna (SEM) – czynnik powodujący przepływ prądu w obwodzie elektrycznym

równy energii elektrycznej uzyskanej przez jednostkowy ładunek przemieszczany w urządzeniu

(źródle) prądu elektrycznego w przeciwnym kierunku do sił pola elektrycznego oddziałującego na

ten ładunek („normalnie” prąd płynie od (+) do (–), a w jakim kierunku płynie w środku baterii?).

Siła elektromotoryczna jest najważniejszym parametrem charakteryzującym źródła energii

elektrycznej zwane też źródłami siły elektromotorycznej, są nimi prądnice (prądu stałego i

przemiennego), baterie, termopary, fotoogniwa.

• opór elektryczny (rezystancja) R

𝐼 =

𝑈
𝑅

Jednostką jest Ω - om (nie Ohm!)

Om jest to opór elektryczny między dwiema powierzchniami ekwipotencjalnymi przewodu

jednorodnego prostoliniowego, gdy występujące między tymi punktami niezmienne napięcie

elektryczne 1V wywołuje w tym przewodzie prąd elektryczny 1A:

Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.

2

Prawo Ohma: natężenie prądu stałego I jest wprost proporcjonalne do całkowitej siły

elektromotorycznej w obwodzie zamkniętym lub do różnicy potencjałów (napięcia elektrycznego U)

między końcami części obwodu nie zawierającej źródeł siły elektromotorycznej.

• pojemność C - określa zdolność kondensatora do gromadzenia ładunku:

𝐶 =

𝑄
𝑈

Farad jest to pojemność elektryczna przewodnika elektrycznego, którego potencjał zwiększa się o 1

wolt po dostarczeniu ładunku 1 kulomba.

Farad to bardzo dużo! Zwykle kondensatory mają piko lub mikro-farady

• Indukcyjność L – siła elektromotoryczna indukcji (prawa indukcji Faradaya)

ℰ = −

𝑑Φ

𝑑𝑡 = −𝐿

𝑑I

𝑑𝑡

(minus, bo wzbudzony prąd przeciwstawia się zmianie strumienia pola magnetycznego Φ)

Gdy w otoczeniu obwodu nie ma żadnych ciał o właściwościach ferromagnetycznych, czyli

przenikalność magnetyczna ośrodka μ jest równa 1 (w próżni) lub μ > 1 ale stałe, wówczas

indukcyjność w równaniu jest współczynnikiem proporcjonalności. W takim przypadku indukcyjność

jest stała i zależy tylko od geometrii obwodu, współczynnik proporcjonalności oznacza się L.

Henr jest to indukcyjność takiego obwodu, w którym prąd o natężeniu 1 ampera wytwarza strumień

magnetyczny o wartości 1 webera lub też: obwód ma indukcyjność jednego henra, jeżeli przy

jednostajnej zmianie prądu o 1 amper w czasie jednej sekundy indukuje się w nim napięcie

samoindukcji równe 1 woltowi.

• Moc prądu

𝑃 = 𝑈𝐼 𝑐𝑜𝑠𝜑

Gdzie ϕ oznacza przesunięcie fazowe pomiędzy prądem i napięciem

Jak zależy moc prądu od oporu R w przypadku?

a) źródła prądowego I=const?

b) źródła napięciowego U=const?

Czym różnią się te dwa przypadki? Dlaczego w systemach energetycznych przy przesyłaniu dużych

mocy stosuje się wysokie napięcia, a nie duże prądy?

Źródło: np. Wikipedia!

2. Oznaczenia

Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.

3

3. Prawo Kirchhoffa, prawo Ohma, prawo oczka

Pierwsze prawo Kirchhoffa – zasada zachowania ładunku elektrycznego (suma algebraiczna prądów

wpływających i wypływających jest równa zeru)

I

1

+ I

2

+ I

3

– I

4

– I

5

=0

Drugie prawo Kirchhoffa - w zamkniętym obwodzie suma spadków napięć na oporach równa jest

sumie sił elektromotorycznych występujących w tym obwodzie

Prawo oczka – praktyczne sformułowanie II prawa Kirchhoffa – liczy się prądy i napięcia w „oczkach”

obwodu elektrycznego.

4. Przykłady układów z opornikami

1. Idealna bateria i opornik

lub równoważnie:

W obwodzie płynie tylko jeden prąd ℰ = 𝑈 = 𝐼𝑅

Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.

4

2. Realna bateria ma swój opór wewnętrzny

W obwodzie płynie tylko jeden prąd ℰ =

𝐼(𝑅 + 𝑟) = 𝑈

𝑅

+ 𝑈

𝑟

Przedyskutować napięcie U

R

w zależności od

pobieranego prądu z baterii (wykres!).

Czy woltomierz podłączony do bateryjki (dla

ustalenia uwagi nowej) ZAWSZE wskaże jej

nominalne napięcie – zwłaszcza gdy jest

podłączona do obwodu zewnętrznego?

Wniosek: dla oporów połączonych szeregowo opór całkowity 𝑅

𝐶

= 𝑅 + 𝑟

3. Dwa oporniki równolegle, idealna bateria

𝐼 = 𝐼

1

+ 𝐼

2

Stąd

𝑈

𝑅

𝐶

=

𝑈

𝑅

1

+

𝑈

𝑅

2

Wniosek: dla oporów połączonych równolegle

opór całkowity

1

𝑅

𝐶

=

1

𝑅

1

+

1

𝑅

2

4. Dzielnik napięcia (ważne!)

Znajdź napięcie na oporze

R

1

Co się stanie jeśli przez wyjście będzie płynąć prąd? Jaki maksymalnie może płynąć prąd na wyjściu
żeby napięcie mierzone na oporze

R

1

było równe napięciu układu nieobciążonego z dokładnością do

1%?

Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.

5

Przykład praktyczny dzielnika napięcia. Załóżmy, że chcemy zmierzyć napięcie układu o dużym
oporze wyjściowym, r

wy

=1MΩ, a dysponujemy oscyloskopem (odbiornikiem) o oporze wejściowym

R

we

=1kΩ. Jakie napięcie wskaże nam oscyloskop? Czy jeśli weźmiemy oscyloskop o oporze

wejściowym R

we

=1MΩ albo R

we

=100MΩ będzie lepiej? Jaki musi być opór wejściowy R

we

w stosunku

do oporu wyjściowego r

wy

żeby oscyloskop zmierzył „prawdziwe” napięcie z dokładnością do 1%? Czy

w tym układzie to w ogóle możliwe?

5. Garść zadań na oporniki

Zadanie 1 - Opornik

Przez opornik podłączony do źródła prądu stałego o napięciu U= 220 V płynie prąd o natężeniu I =
0.11 A.

Oblicz należenie prądu, jaki popłynie przez ten sam opornik, jeśli podłączymy go do źródła o

napięciu U = 20 V.

Zadanie 2 - Kilka prostych obwodów

Obliczyć spadek napięcia na oporze

Ri

w poniższych obwodach. Po otrzymaniu ogólnego wzoru jako

wyniku, uzyskaj również wynik liczbowy przyjmując, że każde ze źródeł zapewnia różnice potencjału

10 V

i nie ma oporu wewnętrznego, oraz w przypadku każdego rezystora jego opór jest równy

1 k

Ω.

(jeśli nie starczy czasu po prostu napisz stosowny układ równań algebraicznych)

a)

b)

c)

Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.

6

d)

e)

6. Kondensatory

Czy przez poniższy układ po zamknięciu

przełącznika popłynie prąd? Dlaczego?

Pojemność kondensatora:

𝐶 =

𝑄
𝑈

Kilka prostych zasad:

Kondensatory połączone szeregowo:

Pojemność kondensatora – suma napięć na

kondensatorach daje napięcie całkowite układu,

natomiast ładunek zgromadzony na każdym musi być ten

sam (dlaczego? rozważ ładunki na okładkach

kondensatora):

𝑈

𝑍

= 𝑈

1

+ 𝑈

2

𝑄

𝐶

𝑍

=

𝑄

𝐶

1

+

𝑄

𝐶

2

czyli

1

𝐶

𝑍

=

1

𝐶

1

+

1

𝐶

2

Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.

7

Kondensatory połączone równolegle:

Pojemność zastępczego kondensatora – całkowity

ładunek zgromadzony na układzie kondensatorów:

𝑄

𝑍

= 𝑄

1

+ 𝑄

2

𝑈𝐶

𝑍

= 𝑈𝐶

1

+ 𝑈𝐶

2

czyli:

𝐶

𝑍

= 𝐶

1

+ 𝐶

2

7. Przykłady układów z kondensatorami

Oblicz pojemność układu kondensatorów:

A co by było gdyby:

?

?

Czy w powyższej sytuacji na oporach R jest jakiś spadek napięcia? Dlaczego?

Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.

8

Oblicz ładunek zgromadzony na kondensatorze w układzie:

Zaznacz którędy płynie prąd w obwodzie. Taki układ – dla bardzo małego oporu R

1

i bardzo dużego R

2

opisuje rzeczywisty kondensator o małym oporze „wejściowy,” i bardzo małej upływności (dużej

rezystancji) diektryka/elektrilotu.

Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.

9

8. Układy RLC

Co się stanie gdy załączymy obwód szeregowy RLC jak na rysunku

Po pewnym czasie prąd w takim obwodzie nie płynie (dlaczego?)

A teraz prąd płynie:

Rozważymy tylko stan ustalony (pomijamy efekty włączeniowe

1

) – rozwiązaniem równania

różniczkowego będzie równanie z oscylującym prądem w układzie

Po kolei –najpierw obwód z opornikiem:

ℰ = 𝑈

0

cos 𝜔𝑡

𝐼 =

𝑈

0

R cos 𝜔𝑡

Wygodniejszy zapis:

ℰ = 𝑈

0

𝑒

𝑖𝜔𝑡

Obwód z kondensatorem:

ℰ = 𝑈

0

𝑒

𝑖𝜔𝑡

ℰ = 𝑈

𝐶

=

𝑄

𝐶

𝐼 =

𝑑𝑄

𝑑𝑡 =

𝑑(𝐶ℰ)

𝑑𝑡 = 𝐶

𝑑ℰ

𝑑𝑡 = 𝐶

𝑑(𝑈

0

𝑒

𝑖𝜔𝑡

)

𝑑𝑡

= 𝑖𝜔𝐶𝑈

0

𝑒

𝑖𝜔𝑡

= 𝑖𝜔𝐶ℰ

Czyli

𝑅

𝐶

=

1

𝑖𝜔𝐶

1

Pomijamy więc generatory samowzbudne, cewki Ruhmkorffa (np. w silnikach iskrowych) itp.

Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.

10

Obwód ze zwojnicą:

ℰ = 𝑈

0

𝑒

𝑖𝜔𝑡

Napięcie na zwojnicy jest także SEM (siłą elektromotoryczną)

ℰ + 𝑈

𝐿

= ℰ − 𝐿

𝑑𝐼
𝑑𝑡 = 0

Spadek napięcia w oczku, przy braku rezystancji =0

ℰ𝑑𝑡 − 𝐿𝑑𝐼 = 0 ⇒ � 𝐿𝑑𝐼 = 𝐿𝐼 = � ℰ𝑑𝑡 = � 𝑈

0

𝑒

𝑖𝜔𝑡

𝑑𝑡

=

1

𝑖𝜔 𝑈

0

𝑒

𝑖𝜔𝑡

𝑅

𝐿

= 𝑖𝜔𝐿

Od tej pory oporniki, kondensatory i zwojnice będziemy traktowali jak „zwykłe” oporniki!

Zatem:

Równanie oczka:

ℰ = 𝑈

0

𝑒

𝑖𝜔𝑡

= 𝐼(𝑅 + 𝑅

𝐶

+ 𝑅

𝐿

)

= 𝐼(𝑅 +

1

𝑖𝜔𝐶 + 𝑖𝜔𝐿)

Wprowadza się pojęcie impedancji (oporu

urojonego):

𝑍 = 𝑅 +

1

𝑖𝜔𝐶 + 𝑖𝜔𝐿 = 𝑍

𝑅

+ 𝑍

𝐶

+ 𝑍

𝐿

oraz pojęcie zawady

|𝑍| (modułu impedancji)

Dyskusja rozwiązania𝑈 = 𝐼𝑍:

Po pierwsze widać, że prąd i napięcie nie muszą mieć tej samej fazy! (dlaczego?)

Przesunięcie fazowe 𝛿 = arctg(Im(Z)/Re(Z))

Po drugie możemy równanie oczka zapisać jako równanie na ładunki elektryczne:

ℰ − 𝐿

𝑑𝐼
𝑑𝑡 = 𝑈

0

𝑒

𝑖𝜔𝑡

− 𝐿

𝑑𝐼
𝑑𝑡 = 𝐼𝑅 +

𝑄

𝐶

Wtedy (skoro 𝐼 =

𝑑𝑄

𝑑𝑡

):

𝑈

0

𝑒

𝑖𝜔𝑡

− 𝐿

𝑑

2

𝑄

𝑑𝑡

2

=

𝑑𝑄

𝑑𝑡 𝑅 +

𝑄

𝐶

Co daje nam równanie oscylatora harmonicznego z siłą wymuszającą!

𝑈

0

𝑒

𝑖𝜔𝑡

= 𝐿

𝑑

2

𝑄

𝑑𝑡

2

+

𝑑𝑄

𝑑𝑡 𝑅 +

𝑄

𝐶

Wnioski – natychmiastowe, z porównania z rozwiązaniami oscylatora:

𝐹

0

𝑚 𝑒

𝑖𝜔𝑡

=

𝑑

2

𝑥

𝑑𝑡

2

+ 2𝛾

𝑑𝑥

𝑑𝑡 + 𝜔

0

2

𝑥

Rozważając drgania ustalone (dla czasu dostatecznie długiego od chwili włączenia):

• Ile wynosi częstotliwość rezonansowa 𝜔

0

? Jakie są jednostki 𝜔

0

(przeprowadź rachunek na

mianach)? Ile wynosi okres drgań? 𝑇

0

= 2𝜋/𝜔

0

• Co odpowiada za tłumienie? Kiedy tłumienie w obwodzie jest duże, a kiedy małe?

• Jaka jest faza pomiędzy prądem i napięciem? Ile wynosi ta faza w rezonansie? (Te pytani ejest

trudne, wymaga rozwiązania szczegółowego równania różniczkowego)

Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.

11

Wskazówka:

Równanie ogólne:

𝑑

2

𝑥

𝑑𝑡

2

+ 2𝛾

𝑑𝑥

𝑑𝑡 + 𝜔

0

2

𝑥 = 0

ma rozwiązanie
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒

𝑖𝛽𝑡

gdzie 𝛽 = −𝛾 ± �𝛾

2

− 𝜔

0

2

9. Przykłady układów RLC

Oblicz zawadę i przesunięcie fazowe na wyjściu układu, do którego przyłożono zmienne napięcie
𝑈

𝑤𝑒

= 𝑈

0

𝑒

𝑖𝜔𝑡

:

Znajdź zależność napięcia wyjściowego od częstości ω.

To samo dla kolejnych konfiguracji:

A)

B)

C)

D)

Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.

12

Układ A) to tzw. układ różniczkujący.
𝑈

𝐶

= 𝑈

𝑤𝑒

− 𝑈

𝑤𝑦

=

1

𝐶 � 𝐼𝑑𝑡

stąd
𝐼 = 𝐶

𝑑

𝑑𝑡 (𝑈

𝑤𝑒

− 𝑈

𝑤𝑦

)

i mamy, zakładając 𝑈

𝑤𝑦

≪ 𝑈

𝑤𝑒

𝑈

𝑤𝑦

= 𝐼𝑅 = 𝑅𝐶

𝑑

𝑑𝑡 (𝑈

𝑤𝑒

− 𝑈

𝑤𝑦

) ≈ 𝑅𝐶

𝑑𝑈

𝑤𝑒

𝑑𝑡

Czy jest to filtr górno-, czy dolno-przepustowy? Co oznacza stwierdzenie, że „stała czasowa układu to

1/𝑅𝐶”?

Przykład praktyczny dzielnika napięcia 1. Załóżmy, że chcemy zmierzyć szybko zmieniający się w

czasie sygnał, a dysponujemy długim kablem BNC. Niestety końcówka kabla nie była odpowiednio

przylutowana (powstał tzw. „zimny lut” o pasożytniczej pojemności C – często dla bardzo wysokich

częstotliwości taki „zimny lut” zachowuje się jak kondensator). Jakie sygnały możemy mierzyć w tym

układzie?

Układ B) to tzw. układ całkujący:
𝑈

𝑤𝑦

=

𝑄

𝐶 =

1

𝐶 � 𝐼𝑑𝑡 =

1

𝑅𝐶 � 𝑈

𝑤𝑒

𝑑𝑡

Czy jest to filtr górno-, czy dolno-przepustowy? Co oznacza stwierdzenie, że „stała czasowa układu to

1/𝑅𝐶”?

Przykład praktyczny dzielnika napięcia 2. Załóżmy, że chcemy zmierzyć szybko zmieniający się w

czasie sygnał, a dysponujemy długim kablem BNC. Taki kabel ma swoją pojemność C

kabla

(odbiornik

tez może mieć swoją pojemność wejściową C

we

). Jakie sygnały możemy mierzyć w tym układzie?

Dlaczego audiofile taką wagę przywiązują do „dobrych kabli”?

Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.

13

Przykład praktyczny dzielnika napięcia 3. Czasami niektóre kable (np. do monitora) mają

charakterystyczne zgrubienie – kabel kilkukrotnie owinięty jest wokół rdzenia ferrytowego – jest to

tzw. dławik ferrytowy. Jaka jest jego rola – czy jest to filtr górno-, czy dolno-przepustowy? Jak

zachowuje się w przypadku zakłóceń sygnału w postaci nagłych „igieł” napięcia?

Przykład praktyczny dzielnika napięcia 4. Przeanalizuj problem pojawiający się w bardzo długich

kablach (tzw. linia długa):

Gdzie zwykle podaje się (na jednostkę długości); pojemność kabla c, jego rezystancję r

1

, indukcyjność

l

, przewodność izolacji 1/r

2

(oporność to odwrotność przewodności, często podaje się też upływność).

Bez wykonywania obliczeń (no, chyba że ktoś lubi) przedyskutuj propagację impulsu prostokątnego w

takim kablu. Jaki warunek musi spełniać rezystancja odbiornika (obciążenie), żeby impuls się nie

odbił? Dlaczego do takiej linii trzeba się „dopasować” (obciążyć impedancją dopasowaną)? Dlaczego

kable Ethernetowe (do przesyłania impulsów elektrycznych między komputerami) nie mogą być

dowolnie długie, a karty sieciowe muszą spełniać specyfikację np. dot. obciążenia wejściowego?

10.

Podziękowania

Podziękowania: dla dr Tomasza Słupińskiego oraz dr Piotra Nieżurawskiego.za pomoc w

przygotowaniu zadań.

Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.

14

11.

Praca domowa (100p)

Zadanie 1 (5p)
Ile wynosi natężenie prądu I

jeśli

E = 31 V

oraz

R =1 k

Ω.

Zadanie 2 (5p)

Oblicz pojemność całkowitą układu zastępując wszystkie oporniki z zadania 1 kondensatorami o

pojemności C.

Zadanie 3 (10p)

Policz moc wydzieloną na każdym z oporów R:

A)

B)

Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.

15

Zadanie 4 (25p)

Narysuj (komputerowo!) charakterystyki częstotliwościowe: amplitudową i fazową napięcia na

wyjściu (oscyloskopie) dla układu (dla stanu ustalonego):

Wyznaczyć częstości graniczne układu (należy sprawdzić w literaturze co to są częstości

graniczne) oraz impedancję i zawadę układu. Podaj odpowiednie wzory matematyczne.

Wskazówka – wykres zaznacz na skali logarytmicznej. Oznacz, który filtr jest górno-, a który

dolno-przepustowy.

Zadanie 5 (25p)

Zastąp kondensatory w zadaniu 4 (powyżej) cewkami o indukcyjności L=2 mH i przeprowadź

taką samą analizę rozwiązania jak w zadaniu 4.

Zadanie 6 (30p)

Narysuj (komputerowo!) charakterystyki częstotliwościowe: amplitudową i fazową napięcia na

wyjściu (oscyloskopie) dla układu (dla stanu ustalonego). Podaj odpowiednie wzory
matematyczne. Przyjmij R =1 kΩ, C =100 nF, L =2 mH. Przyjmij, że cewka ma niewielki opór
wewnętrzny r=10 Ω. Przedyskutuj (zaproponuj sposób tej dyskusji!) jak zmieni się

charakterystyka amplitudowa gdy cewka będzie miała bardzo duży opór? Wskazówka – wykres

zaznacz na skali logarytmicznej.

A)

B)

Który z powyższych filtrów może mieć zastosowanie w radiu (żeby dostroić się do określonej

częstotliwości fali radiowej)? Dla jakich parametrów r, L i C napięcie wyjściowe w takim układzie

„radiowym” jest maksymalne?